Zadanie 2 Koło o promieniu R jest styczne do ramion kąta 600

Zadanie 2
0
Koło o promieniu R jest styczne do ramion kąta 60 . Drugie koło,
o mniejszym promieniu, jest styczne do pierwszego koła i do ramion kąta.
Tworzymy nieskończony ciąg takich kół.
Oblicz sumę obwodów i sumę pól wszystkich takich kół.
B
C
R-R1
R
30
A
O1
R1
O2
60
R+R1
∆ABC – jest prostokątny
BC = R − R1
AC = R + R1
Poprowadzimy AC || O1O2
∠CAB = 30° jako kąty o ramionach odpowiednio równoległych
stąd sin 30° =
R − R1
R + R1
czyli R − R1 =
R1 =
1
( R + R1 )
2
1
R
3
analogicznie
R1 − R2 = ( R1 + R2 ) sin 30°
1
czyli R2 = R1
3
Zauważmy więc, że promienie takich kół tworzy zbieżny ciąg geometryczny
1
o ilorazie q =
3
Stąd sumę obwodów takich kół obliczamy ze wzoru
2πR 2πR
=
= 3πR
S=
1− q 1− 1
3
Pola kół tworzą również zbieżny ciąg geometryczny o ilorazie
1
q=
9
Stąd sumę ich pól obliczamy z tego samego wzoru:
πR 2 9πR 2
=
S=
1− q
8
9πR 2
Odp. Suma obwodów wszystkich kół wynosi 3πR , a suma pól
8