LISTA 2 1. Niech (X,) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym

LISTA 2
1. Niech (X, ¬) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Udowodnić, że
a) x ¬ y ⇔ sup{x, y} = y,
b) x ¬ y ⇔ inf{x, y} = x.
2. Niech (L, ∨, ∧) będzie kratą. Udowodnić, że x ∧ y = x ⇔ x ∨ y = y.
3. Niech (L, ∨, ∧) będzie kratą. Udowodnić, że relacja ¬ określona następująco
x¬y ⇔x∨y =y
jest relacją częściowego porządku.
4. Niech (L, ∨, ∧) będzie kratą. Niech ¬ będzie częściowym porządkiem zdefiniowanym następująco x ¬ y ⇔ x ∧ y = x. Udowodnić, że
a) a ∧ b ¬ a,
b) a ¬ b ∧ c ¬ d ⇒ a ∧ c ¬ b ∧ d.
5. a) Udowodnić, że w kracie jest co najwyżej jedno zero.
b) Udowodnić, że w kracie jest co najwyżej jedna jedność.
c) Znaleźć kratę z jednością ale bez zera.
d) Znaleźć kratę z zerem ale bez jedności.
e) Czy w kracie zero może być jednocześnie jednością?
6. Narysować diagramy Hasse’a krat dla n ¬ 6.
7. Rozważmy algebrę (N, ∨, ∧), gdzie x ∨ y = NWW(x, y), x ∧ y = NWD(x, y). Udowodnić,
że algebra ta jest kratą. Czy ta krata jest rozdzielna?
8. W zbiorze B = {0, 1} wprowadzamy działania x ∧ y = min{x, y}, x ∨ y = max{x, y} oraz
x0 = 1 − x. Udowodnić, że (B, ∨, ∧, 0, 1) jest algebrą Boolea.
9. W zbiorze B n = B × . . . × B ciągów zerojedynkowych długości n wprowadzamy działania:
(a1 , a2 . . . , an ) + (b1 , b2 . . . , bn ) = (a1 ∨ b1 , a2 ∨ b2 , . . . , an ∨ bn ),
(a1 , a2 . . . , an ) · (b1 , b2 . . . , bn ) = (a1 ∧ b1 , a2 ∧ b2 , . . . , an ∧ bn ),
(a1 , a2 . . . , an )0 = (a01 , a02 . . . , a0n ).
Udowodnić, że (B n , +, ·,0 ) jest algebrą Boole’a.
10. Znajdź taki zbiór S, by P (S) i B 5 były izomorficznymi algebrami Boole’a.
11. Narysuj diagramy Hasse’a dla następujących algebr Boole’a:
a) P ({1, 2}),
b) B,
c) B 2 ,
d) B 3 .
12. Czy podkrata algebry Boole’a musi być algebrą Boole’a? Jeżeli nie, to podaj odpowiedni
przykład.
13. Niech R(X) będzie niepustą rodziną podzbiorów zbioru X taką, że dla dowolnych A, B ∈
R(X) zachodzi A ∪ B ∈ R(X) i X \ A ∈ R(X). Udowodnić, że (R(X), ∪, ∩) jest algebrą
Boole’a.
14. Dla danej liczby naturalnej n, większej od 1, niech Dn będzie zbiorem dzielników liczby n.
Definujemy działania ∨, ∧ oraz ’ w zbiorze Dn wzorami: a∨b = NWW(a, b), a∧b = NWD(a, b)
oraz a0 = na .
a) Zbiór D6 = {1, 2, 3, 6} z działaniami ∨, ∧ oraz ’ jest algebrą Boole’a. Które elementy są
zerem i jednością?
b) Znajdź zbiór S taki, że algebry D6 i P (S) są izomorficzne.
c) Pokaż, że zbiór D4 z tymi działaniami nie jest algebrą Boole’a.
d) Pokaż, że zbiór D8 z tymi działaniami nie jest algebrą Boole’a.
15. Udowodnić, że w każdej algebrze Boole’a zachodzi:
a) x ∨ 0 = x,
b) x ∧ 1 = x,
c) (x ∧ y)0 = x0 ∨ y 0 .