Charakterystyka detektorów i kolimatorów dla gamma kamer

Charakterystyka detektorów i kolimatorów dla gamma kamer

Charakterystyka detektorów i kolimatorów dla
gamma kamer SPECT w medycynie nuklearnej
Characteristic of detectors and collimators for SPECT gamma cameras in nuclear medicine
Ł UKASZ K AMIL G RACZYKOWSKI
Praca inżynierska
Opiekun:
dr inż. Krzysztof Kacperski
Centrum Onkologii - Instytut im. Marii Skłodowskiej-Curie w Warszawie
Opiekun z ramienia Wydziału Fizyki PW:
dr Krystyna Wosińska
Warszawa, luty 2010
Podzi˛ekowania dla Opiekuna, Pana dra inż. Krzysztofa Kacperskiego, za udzielane merytoryczne
rady i wskazówki oraz pomoc w przygotowaniu tej pracy.
Szczególne podzi˛ekowania dla personelu Zakładu Medycyny Nuklearnej Centrum Onkologii w
Warszawie, za udost˛epnienie tomografu SPECT i pomoc oraz cierpliwość w trakcie wykonywania
pomiarów.
Streszczenie
Tomografia emisyjna pojedynczego fotonu (ang. SPECT - Single Photon Emission Computed Tomography) jest najbardziej rozpowszechniona˛ i najcz˛eściej stosowana˛ metoda˛ diagnostyki medycyny nuklearnej. Płaskie detektory scyntylacyjne z odpowiednimi kolimatorami rejestruja˛ fotony
promieniowania gamma w postaci dwuwymiarowych projekcji pola promieniowania emitowanego
przez izotop promieniotwórczy, którym znakowana jest substancja podawana pacjentowi. Pozwala
to na odtworzenie, za pomoca˛ odpowiedniego algorytmu rekonstrukcji obrazu, rozkładu radioizotopu (a wi˛ec i znakowanej nim substancji metabolicznej) w organizmie pacjenta. Poznanie dokładnej charakterystyki zarówno detektora, jak i kolimatora, pozwala na zwi˛ekszenie efektywności
takiego algorytmu. W mojej pracy inżynierskiej prezentowane sa˛ wyniki badań skanera SPECT
marki PHILIPS SkyLight znajdujacego
˛
si˛e na wyposażeniu Zakładu Medycyny Nuklearnej Centrum Onkologii - Instytutu im. Marii Skłodowskiej-Curie w Warszawie. Do przeprowadzania pomiarów wykorzystany został izotop technetu 99m T c, który jest najcz˛eściej stosowany w badaniach
diagnostycznych medycyny nuklearnej.
Rozdziały 1. oraz 2. omawiaja˛ podstawy teoretyczne medycyny nuklearnej oraz tomografii SPECT.
W punkcie 2.4 omówione zostały krótko analityczne i iteracyjne metody rekonstrukcji obrazu.
Rozdział 3. przedstawia użyty do pomiarów sprz˛et oraz metodyk˛e ich wykonywania i późniejszej
analizy danych. W rozdziale 4. w punkcie 4.1 prezentowane sa˛ wyniki pomiaru charakterystyki
szybkości zliczeń detektora bez założonego kolimatora, przy użyciu źródeł punktowych, dla różnych odległości źródeł od detektora. Zaobserwowano charakterystyk˛e liniowa˛ dla małych szybkości zliczeń. Wyznaczony został 20 procentowy spadek mierzonej szybkości zliczeń w stosunku
do oczekiwanej, przy szybkości oczekiwanej wynoszacej
˛ 174 tysiace
˛ zliczeń na sekund˛e. Z kolei
w miar˛e wzrostu szybkości zliczeń, zaobserwowano „nasycanie si˛e” detektora a nast˛epnie spadek
szybkości mierzonej. W dalszej cz˛eści pracy sprawdzona została charakterystyka lokalnej szybkości zliczeń przy niejednakowym nat˛eżeniu promieniowania padajacego
˛
na różne obszary detektora. W punkcie 4.2 prezentowane sa˛ wyniki pomiaru zależnych od odległości źródła od detektora
funkcji odpowiedzi kolimatora na źródło punktowe (PSRF). Zastosowano kolimator niskoenergetyczny wysokiej rozdzielczości typu LEHR wykonany z ołowiu. Użyte źródła promieniotwórcze
do pomiaru funkcji PSRF były liniowe (a właściwie „walcowe” - roztwór 99m T c w strzykawce
insulinowej). Pomiary wykonane zostały dla różnych ustawień tych źródeł wzgl˛edem detektorów.
Pozwoliło to na przeanalizowanie funkcji odpowiedzi kolimatora na źródło punktowe PSRF w
różnych kierunkach. Otrzymane z danych doświadczalnych funkcje zostały nast˛epnie dopasowane
odpowiednim modelem teoretycznym, uwzgl˛edniajacym
˛
skończone rozmiary przestrzenne źródła.
W rezultacie otrzymano bardzo dobre dopasowania funkcji odpowiedzi PSRF za pomoca˛ funkcji
Gaussa. Zaobserwowano zależność pararametru szerokości połówkowej (zwiazanej
˛
z odchyleniem
standardowym) dopasowanych funkcji Gaussa od odległości źródła od detektora i wyznaczono parametry modelu charakteryzujace
˛ kolimator. Zdolność rozdzielcza (szerokość połówkowa funkcji
odpowiedzi) dla odległości źródła od detektora wynoszacej
˛ 10 cm wyniosła około 7, 6 mm. Ponadto, w punkcie 4.3 przedstawiona jest analiza zjawiska penetracji ścian kolimatora. Pomiary liniowych źródeł technetowych pozwoliły na wyznaczenie, jaki % całości obrazu stanowi ten efekt.
Dla odległości źródła od detektora wynoszacej
˛ 72 cm udzial tego efektu wyniósł około 2%, w
przypadku zaś typowej odległości pacjenta od detektora wynoszacej
˛ 20 cm, efekt ten wyniósł około 0,5%. Dodatkowo, w celu lepszej obserwacji tego zjawiska, wykonane zostały pomiary punktowego źródła jodowego - tabletki terapeutycznej 131 I. Pomiary te pozwoliły scharakteryzować
prawdopodobny kształt otworów używanego do pomiarów kolimatora.
Abstract
Single Photon Emission Computed Tomography (SPECT) is the most widespread and most commonly used diagnostic technique of nuclear medicine. Scintillation detectors with proper collimators detect gamma ray photons as 2-dimensional projections of gamma ray field which is emitted
by a tracer (radioactive isotope) from the patient’s body. This allows us to reconstruct, using image reconstruction algorithm, 3-dimensional distribution of the tracer in the body. Knowledge of
the precise characteristic of both detector and collimator can lead to improvements of the reconstruction algorithm’s efficiency. In my thesis studies of SPECT Philips SkyLight scanner of the
Centre of Oncology - Maria Sklodowska-Curie Memorial Institute in Warsaaw, are shown. The
radioactive isotope used was technetium 99m T c which is also the most commonly used in nuclear
medicine diagnostic methods. In chapters 1. and 2. theoretical background of the SPECT tomography is presented. In section 2.4 analytical and iterative image reconstruction algorithms are briefly
discussed.
Chapter 3. shows how the measurments were done and how the obtained data was analyzed. In
chapter 4., section 4.1 studies of the characteristic of the detector count-rate capability without
collimator are shown. Measurments were done using two point sources with different activities.
Linear characteristic has been observed. Studies of count-rate capability for the whole detector
surface and in chosen local areas were done. This allowed to calculate dead time of the gamma
camera. Local count-rate capability was also checked when non homogenous intensity of the radiation was measured in different areas of the detector. In section 4.2 characteristic of collimator is
studied. Low Energy High Resolution parallel-hole made from lead collimator was used. Point source response function (PSRF) measurments and analysis were performed. For these measurments
linear radioactive sources were used. This allowed to analyze point source response function in two
different perpendicular directions. The sources were in the form of solution in insulin syringes. Finite size of the sources has been taken into account in data analysis. Distance dependent point
source response function has been measured and parametrised by a Gaussian based model. The
system resolution at the distance of 10 cm to the detector is 7, 6 mm full width at half maximum
(FWHM). In section 4.3, results of the measurments of septal penetration are presented. Percentage
of this effect in the whole image was obtained. At the distance of 20 cm between source and detector this effect is at the level of 0,5% of the total counts. In addition, measurments of iodine point
source - 131 I pill were performed. Analysis of them gave information about geometrical shape of
the collimator holes.
Spis treści
1 Wst˛ep
1.1 Medycyna nuklearna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Obrazowanie radioizotopowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Podstawy tomografii emisyjnej pojedynczego fotonu (SPECT)
2.1 Podstawy fizyczne - oddziaływanie promieniowania gamma z materia˛ . . . . . .
2.2 Gamma kamera - budowa i zasada działania, charakterystyka . . . . . . . . . . .
2.2.1 Budowa i zasada działania gamma kamery . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Charakterystyka gamma kamery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Kolimatory używane w tomografii emisyjnej pojedynczego fotonu . . . . . . . .
2.3.1 Podstawowe rodzaje oraz parametry budowy kolimatorów . . . . . . . .
2.3.2 Charakterystyka obrazowania z użyciem kolimatorów . . . . . . . . . .
2.4 Algorytmy rekonstrukcji obrazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Analityczne algorytmy rekonstrukcji obrazu - algorytm projekcji wstecznej FBP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Iteracyjne algorytmy rekonstrukcji obrazu - algorytm ML-EM . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
9
9
13
13
15
17
17
19
21
. 21
. 23
3 Metodyka przeprowadzania pomiarów i analizy danych
25
3.1 Opis badanego tomografu, użytych źródeł promieniotwórczych oraz aplikacji do
analizy danych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Pomiary charakterystyki szybkości zliczeń detektora . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Pomiary charakterystyki kolimatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Wyniki i analiza pomiarów
4.1 Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki szybkości zliczeń detektora
4.1.1 Charakterystyka szybkości zliczeń całego detektora . . . . . . .
4.1.2 Lokalna charakterystyka szybkości zliczeń . . . . . . . . . . .
4.2 Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki kolimatora . . . . . . . . .
4.3 Wyniki i analiza pomiarów zjawiska penetracji ścian kolimatora . . . .
4.4 Oszacowanie czułości kolimatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
34
34
35
38
43
49
53
5 Podsumowanie
54
Spis tabel
56
Spis rysunków
58
Bibliografia
59
Rozdział 1
Wst˛ep
1.1 Medycyna nuklearna
Jednym z ważniejszych zastosowań fizyki i techniki jadrowej
˛
jest gałaź
˛ medycyny zwana medycyna˛ nuklearna.˛ Zajmuje si˛e ona wykorzystaniem izotopów promieniotwórczych do diagnozowania
oraz leczenia chorób. Dzieli si˛e na terapi˛e oraz diagnostyk˛e, której jedna z metod - SPECT (tomografia emisyjna pojedynczego fotonu) - jest tematem mojej pracy inżynierskiej. Metody diagnostyki medycyny nuklearnej pozwalaja˛ na nieinwazyjne uzyskanie informacji o funkcjonowaniu
(fizjologii) narzadów
˛
wewn˛etrznych organizmu, ktorych najcz˛eściej nie da si˛e uzyskać stosujac
˛
inne (nieinwazyjne) metody diagnostyczne.
1.2 Obrazowanie radioizotopowe
W celach diagostyki medycznej wykorzystuje si˛e szereg metod wykorzystujacych
˛
izotopy promieniotwórcze. Dziela˛ si˛e one w ogólności na metody in vitro - obejmujace
˛ badania analityczne
przeprowadzane poza ciałem pacjenta, które polegaja˛ na wykorzystaniu reakcji immunologicznych
antygen-przeciwciało (nie sa˛ one jednak przedmiotem tej pracy) oraz znacznie szerzej stosowane
metody in vivo. Metody te polegaja˛ na wprowadzeniu do organizmu badanego pacjenta substancji
metabolicznej znaczonej odpowiednim izotopem promieniotwórczym (tzw. radiofarmaceutyka).
Radiofarmaceutyk dobierany jest w zależności od rodzaju badania (badanego narzadu,
˛ lub układu
narzadów).
˛
Polega to na tym, że substancja, która pełni rol˛e radiofarmaceutyka jest w naturalny
sposób przetwarzana (gromadzona) w danym narzadzie,
˛
dlatego na przykład do badań kości używa
si˛e zwiazków
˛
zawierajacych
˛
fluor, a do badań tarczycy jod (ponieważ gromadza˛ si˛e one odpowiednio w kościach i tarczycy). Wprowadzony do organizmu (zazwyczaj wstrzykni˛ety do krwiobiegu,
rzadziej przez inhalacj˛e) znacznik emituje promieniowanie gamma powstałe w wyniku rozpadu
promieniotwórczego radioizotopu, które nast˛epnie jest rejestrowane przez odpowiednie detektory
i przetwarzane przez systemy komputerowe. W tomografii emisyjnej stosujemy szereg izotopów
gamma promieniotwórczych, które emituja˛ promieniowanie o różnej energii. Zakres ten wynosi
od 68 keV dla izotopu talu 201 T l do 364 keV w przypadku izotopu jodu 131 I. W tym miejscu
warto zauważyć ważna˛ różnic˛e w porównaniu z innymi diagnostycznymi metodami obrazowania (na przykład porównanie z obrazowaniem wykorzystujacym
˛
promieniowanie X - czyli popularnymi „prześwietleniami”). Otóż badania radioizotopowe daja˛ informacj˛e na temat czynności
(fizjologii) badanych narzadów,
˛
a nie ich struktury (anatomii), jak w wyniku badań wykorzystuja˛
cych wspomniane promieniowanie X. W przypadku prawidłowego funkcjonowania narzadu
˛ znane
jest gromadzenie si˛e (metabolizm) danej substancji w nim. W przypadku, gdy narzad
˛ nie funk-
6
1.2. Obrazowanie radioizotopowe
cjonuje dobrze (wyst˛epuja˛ jakieś patologiczne zmiany) obserwuje si˛e odst˛epstwa od normy tego
gromadzenia, przejawiajace
˛ si˛e najcz˛eściej jako niejednorodności zwane ogniskami „goracymi”
˛
lub „zimnymi”. Innym typem badań sa˛ tzw. badania dynamiczne. Przykładem może być badanie
dynamiczne nerek (tzw. renografia) - podaje si˛e pacjentowi substancj˛e znakowana˛ izotopem promieniotwórczym, po czym natychmiast ustawia pod detektorem, żeby w czasie rzeczywistym obserować przepływ (metabolizm) tego znacznika w organizmie. Pozwala to wykreślić tzw. krzywe
renograficzne, obrazujace
˛ zależność gromadzenia si˛e izotopu (czyli też znakowanej nim substancji) w nerkach (lub innych narzadach
˛
w przypadku innych badań) od czasu.
Istnieje szereg metod obrazowania radioziotopowego, które krótko przedstawi˛e poniżej:
1. Techniki planarne (tzw. scyntygrafia) - promieniowanie gamma emitowane z badanego narzadu
˛ rejestrowane jest na płaszczyźnie detektora tylko dla danego, wybranego kata
˛ obserwacji. Rejestruje si˛e jedynie rzuty dwuwymiarowe badanych narzadów
˛
bez stosowania algorytmów do rekonstrukcji trójwymiarowego rozkładu znacznika. Przykładowy obraz
scyntygrafii kośćca zarejestrowany w warszawskim Centrum Onkologii przy użyciu skanera
SPECT, wykorzystywanego do pomiarów dla celów tej pracy inżynierskiej, pokazany jest na
rysunku 1.1. Widoczne sa˛ ciemniejsze punkty - obszary „gorace”,
˛
w tym przypadku miejsca
przerzutu raka do kości.
Rysunek 1.1: Przykładowy obraz scyntygrafii kośćca.
1.2. Obrazowanie radioizotopowe
7
2. Techniki tomografii emisyjnej - dziela˛ si˛e na dwie główne metody:
• SPECT (ang. Single Photon Emission Computed Tomography) - tomografia emisyjna
pojedynczego fotonu, b˛edaca
˛ rozwini˛eciem idei scyntygrafii. Polega na detekcji promieniowania za pomoca˛ gamma kamery ustawianej pod różnymi katami,
˛
w celu rekonstrukcji trójwymiarowego obrazu rozkładu znacznika w organizmie. Z uwagi na to,
że elementy techniki SPECT sa˛ przedmiotem mojej pracy inżynierskiej, jej dokładniejsze omówienie znajduje si˛e w rozdziale 2. Ideowy schemat działania tomografu SPECT
pokazany jest na rysunku 1.2.
Rysunek 1.2: Ideowy schemat działania skanera SPECT. [1]
• PET (ang. Positron Emission Tomography) - pozytonowa tomografia emisyjna.
Rysunek 1.3: Ideowy schemat działania skanera PET. [8]
W przeciwieństwo do pozostałych metod diagnostyki radioizotopowej, wykorzystuje
izotopy, ktore sa˛ beta plus promieniotwórcze. Emitowane promieniowanie (którym sa˛
fotony gamma) pochodzi z anihilacji par elektron-pozyton i rejestrowane jest przez
zespół detektorów ułożony w pierścień, co pozwala na późniejsza˛ rekonstrukcj˛e trójwymiarowych obrazów. W przypadku tomografii PET nie ma konieczności stosowania
kolimatorów. Zamiast tego mamy do czynienia z tzw. kolimacja˛ elektroniczna.˛ Polega
to na tym, że rejestrowane sa˛ tylko te fotony, które sa˛ w tzw. koincydencji czasowej,
8
1.2. Obrazowanie radioizotopowe
czyli pochodza˛ z tej samej anihilacji (zostały wyemitowane z tego samego punktu w
przestrzeni i biegna˛ wzdłuż tej samej linii prostej w przeciwnych kierunkach). Brak
fizycznych kolimatorów powoduje, że nie ma absorpcji fotonów w materiale kolimatora, przez co czułość skanera PET jest dużo wi˛eksza niż skanera SPECT (kolimatory
używane w tomografii SPECT absorbuja˛ ponad 99,9% promieniowania na nie padaja˛
cego). PET jest najnowsza˛ i najdroższa˛ technologia˛ diagnostyki radioizotopowej. Charakteryzuje si˛e również najlepsza˛ rozdzielczościa˛ zrekonstruowanych obrazów rozkładu znacznika w organizmie. Rysunek 1.3 prezentuje ide˛e działania skanera PET.
Rozdział 2
Podstawy tomografii emisyjnej
pojedynczego fotonu (SPECT)
2.1 Podstawy fizyczne - oddziaływanie promieniowania gamma z materia˛
Jak już zostało wspomniane we wst˛epie, technika SPECT wykorzystuje promieniowanie gamma
do tworzenia obrazów. Oddziałuje ono z materia˛ na kilka sposobów: może zostać pochłoni˛ete w
ósrodku - inicjować zjawisko fotoelektyczne, może zostać rozproszone comptonowsko (nieelastycznie) lub koherentnie (elastycznie; rozpraszanie to zwane jest też rozpraszaniem Rayleigha),
jak i może dojść do kreacji par elektron-pozyton (tylko dla energii emitowanych fotonów wi˛ekszych niż 1022 keV ). Wszystkie te zjawiska zostaa˛ omówione krótko poniżej:
1. Zjawisko fotoelektryczne:
Zachodzi na elektronach silniej zwiazanych
˛
z jadrem
˛
(prawdopodobieństwo zajścia tego
zjawiska rośnie wraz ze wzrostem energii wiazania
˛
elektronu w atomie), czyli na elektronach leżacych
˛
na pierwszych orbitach od jadra.
˛
Elektron pochłania cała˛ energi˛e kwantu
gamma i różnic˛e jej i energii wiazania
˛
unosi w postaci swojej energii kinetycznej, zatem:
Ek = hν − Eb , gdzie Eb - oznacza energi˛e wiazania
˛
elektronu w atomie. Po wybiciu elektronu z orbity, pozostałe elektrony rekombinuja˛ z wyższych powłok elektronowych, by atom
znalazł si˛e w stanie podstawowym, emitujac
˛ przy tym wtórne promieniowanie. Ide˛e tego
zjawiska prezentuje rysunek 2.1.
Rysunek 2.1: Ilustracja zjawiska fotoelektrycznego. [7]
10
2.1. Podstawy fizyczne - oddziaływanie promieniowania gamma z materia˛
2. Rozpraszanie Comptona (nieelastyczne):
Zachodzi na elektronach słabo zwiazanych
˛
z jadrem
˛
(znajdujacych
˛
si˛e na najdalszych powłokach elektronowych, głównie walencyjnych). W wyniku tego procesu kwant gamma przekazuje elektronowi jedynie cz˛eść swojej energii (która˛ ten unosi w postaci swojej energii
kinetycznej). Z zasady zachowania energii i p˛edu otrzymujemy wzór na energi˛e rozproszonego fotonu: E ′ = hν ′ = 1+ E E(1−cos θ) . Rysunek 2.2 prezentuje geometri˛e rozpraszania
Comptona.
m0 c2
Rysunek 2.2: Ilustracja efektu rozpraszania Comptona. [1]
3. Rozpraszanie koherentne Rayleigha (elastyczne):
Jest to rozpraszanie kwantów gamma, które ma charakter kolektywny (spójny) i zachodzi na
całym atomie, powodujac
˛ jednoczesne wzbudzenie wszystkich elektronów atomu. W wyniku tego efektu zachodzi zmiana kierunku lotu fotonu a nie zmienia si˛e jego energia. Efekt ten
jest wi˛ekszy dla promieniowania o niższej energii. Prawdopodobieństwo jego wystapienia
˛
jest wi˛eksze dla pierwiastków o wi˛ekszej masie atomowej.
4. Zjawisko kreacji par elektron-pozyton:
Jest zjawiskiem odwrotnym do anihilacji. Może zachodzić tylko wtedy, gdy energia kwantu
gamma jest wi˛eksza od sumy energii spoczynkowej elektronu i pozytonu (których energia
spoczynkowa jest jednakowa i wynosi 0, 511 M eV ), czyli wi˛eksza niż 1, 022 M eV . Z uwagi
na ta˛ energi˛e, ktora jest znacznie wyższa niż zakresy energii, z którymi mamy do czynienia
w przypadku tomografii SPECT, efekt ten nie jest w tym przypadku obecny.
W celu określenia osłabienia promieniowania przy przechodzeniu przez materi˛e, posługujemy si˛e
poj˛eciem masowego współczynnika osłabienia promieniowania. Rozważmy wiazk˛
˛ e n czastek,
˛
które padaja˛ i przechodza˛ przez cienka˛ płytk˛e (warstw˛e) materiału o grubości dx i g˛estości atomowej
N . Przedstawia to rysunek 2.3. W wyniku oddziaływania wiazki
˛ z materiałem, pewna liczba dn
czastek
˛
zostaje z niej usuni˛eta. Po przejściu przez płytk˛e pozostaje wi˛ec n − dn czastek.
˛
Liczba
czastek,
˛
które zostały z wiazki
˛ usuni˛ete, jest wprost proporcjonalna do grubości warstwy materiału
i do liczby padajacych
˛
czastek,
˛
co można zapisac jak w równaniu (2.1):
dn = −σ · n · N · dx
(2.1)
Współczynnik proporcjonalności σ w tym równaniu nosi nazw˛e przekroju czynnego i najcz˛eściej
wyrażony jest w cm2 . Zapisujac
˛ równanie (2.1) w inny sposób, otrzymujemy:
dn
= −σ · N · dx
n
(2.2)
2.1. Podstawy fizyczne - oddziaływanie promieniowania gamma z materia˛
11
Rysunek 2.3: Ilustracja przejścia wiazki
˛ promieniowania przez warstw˛e materiału. [7]
Z równania (2.2) po scałkowaniu otrzymujemy:
n = C · e−σN x
(2.3)
Jeżeli liczba czasteczek
˛
w wiazce
˛
przed przejściem przez warstw˛e materiału wynosi N0 , to wzór
na osłabienie wiazki
˛ (ilość czastek
˛
pozostałych w wiazce)
˛
przy przechodzeniu przez taka˛ warstw˛e
o grubości x:
n = N0 · e−σN x
(2.4)
Liniowy współczynnik osłabienia promieniowania µx można otrzymać przez podstawienie µx =
σ · N . Wymiarem liniowego współczynnika jest osłabienia jest cm−1 . Z kolei masowy współczynnik osłabienia promieniowania wyraża si˛e wzorem:
µd =
µx
σ
=
ρ
mA
(2.5)
We wzorze (2.5) ρ jest g˛estościa˛ ośrodka a mA masa˛ czastek
˛
materiału ośrodka. Wymiarem ma2
sowego współczynnika osłabienia promieniowania jest cm /g. Przekształcajac
˛ wzór (2.4) oraz
podstawiajac
˛ zależność z (2.5), otrzymujemy wzór na stosunek liczby czastek
˛
oddziałujacych
˛
z
materiałem ośrodka do liczby czastek
˛
padajacych
˛
na niego (2.6):
N0 − n
= 1 − e−µd ρx
N0
(2.6)
Zależność masowego współczynnia osłabienia (zwanego też masowym współczynnikiem absorpcji promieniowania) od energii dla trzech substancji: wody (która może służyć za model ludzkiego
ciała), ołowiu (z którego najcz˛eściej wykonane sa˛ kolimatory) i jodku sodu (kryształu scyntylacyjnego najcz˛eściej używanego w detektorach gamma kamer), prezentuje wykres na rysunku 2.4
(dane zaczerpni˛ete z [5]). Z kolei wykresy na rysunku 2.5 prezentuja˛ całościowe masowe współczynniki absorpcji dla tych substancji, na które składaja˛ si˛e wymienione wyżej trzy (z uwagi na
niewyst˛epowanie w tym zakresie energii zjawiska kreacji par) efekty wyst˛epujace
˛ w oddziaływaniu promieniowania gamma z materia.˛ Na wykresie dla ołowiu widać, że zdecydowanie najważniejsza˛ rol˛e odgrywa efekt fotoelektryczny - jego wkład do całkowitego współczynnika absorpcji
jest najwi˛ekszy i dla energii promieniowania 140, 5 keV , emitowanego przez izotop 99m T c, wynosi prawie 88%. Warto również zauważyć, że dla tej energii rozpraszanie koherentne (Rayleigha)
jest wi˛eksze niż rozpraszanie Comptona. Wkład od rozpraszania Rayleigha do całkowitego współczynnika absorpcji wynosi około 7,6%, zaś od efektu Comptona około 4%. W przypadku kryształu jodku sodu zdecydowanie bardziej dominuje rozpraszanie typu Comptona, które stanowi około 15% wkładu do całego masowego współczynnika absorpcji przy tej samej energii 140, 5 keV .
12
2.1. Podstawy fizyczne - oddziaływanie promieniowania gamma z materia˛
Rysunek 2.4: Zależność masowego współczynnika absorpcji od energii promieniowania dla ołowiu, wody i jodku sodu.
Rysunek 2.5: Wkłady poszczególnych efektów do masowego współczynnika absorpcji dla ołowiu,
wody i jodku sodu.
Rozpraszanie koherentne stanowi w tym przypadku również około 7%. Oznacza to, że w obu przypdadkach (ołowiu i jodku sodu) najważniejszym efektem jest zjawisko fotoelektryczne. Z kolei w
przypadku wody (która może być w dobrym przybliżeniu modelem ciała człowieka) widzimy, że
zdecydowanie najwi˛ekszy wkład do masowego współczynnika absorpcji ma rozpraszanie comptonowskie, który to wkład wynosi ponad 97%. Oznacza to, że w przypadku badań pacjentów, dużo
fotonów, które zostały rozporoszone w ich ciele, jest rejestrowanych przez aparatur˛e.
Wiedza na temat efektów wyst˛epujacych
˛
przy oddziaływania promieniowania gamma z materia˛
jest kluczowa w celu stworzenia dobrego i efektywnego systemu obrazowania przy jego wykorzystaniu. Jest to szczególnie ważne w medycynie nuklearnej, gdzie od wyników badań zależa˛
postawione pacjentom przez lekarzy diagnozy. Takim systemem jest właśnie tomografia SPECT.
2.2. Gamma kamera - budowa i zasada działania, charakterystyka
13
2.2 Gamma kamera - budowa i zasada działania, charakterystyka
2.2.1 Budowa i zasada działania gamma kamery
Gamma kamera jest nazwa˛ urzadzeń
˛
używanych w diagnostyce medycyny nuklearnej (zarówno
w scyntygrafii, jak i w tomografii SPECT). Pierwsze urzadzenie
˛
tego typu zostało zaproponowane
i zbudowane przez Hala Angera (naukowca z University of Berkeley w Kalifornii) w 1958 roku,
dlatego czasami w literaturze można spotkać określenie kamera Angera. Generalnie rzecz biorac
˛ zbudowana jest z kryształu scyntylacyjnego, układu fotopowielaczy i systemu elektronicznego
zliczajacego
˛
fotony promieniowania gamma, które uległy detekcji w krysztale scyntylacyjnym.
Typowa gamma kamera tomografu SPECT przedstawiona jest na rysunku 2.6.
Rysunek 2.6: Gamma kamera APEC Elscint SP4 znajdujaca
˛ si˛e w warszawskim Centrum Onkologii.
Działa ona w ten sposób, że fotony promieniowania gamma przechodza˛ przez odpowiedni kolimator (szczegółowo o kolimatorach w punkcie 2.3.1), który przepuszcza z nich te biegnace
˛ o
odpowiednim kierunku (w przybliżeniu prostopadłym do detektora, choć istnieja˛ też innego typu
kolimatory). Nast˛epnie fotony te padaja˛ na kryształ scyntylacyjny (zwany również scyntylatorem),
którym zazwyczaj jest jodek sodu domieszkowany talem - N aI(T l). Promieniowanie gamma emitowane przez izotop oddziałuje z materiałem scyntylatora jak opisano w punkcie 2.1. Padajace
˛
fotony przekazuja˛ energi˛e wybijanym elektronom. Wybity elektron z kolei oddziałuje z kolejnymi atomami w krysztale powodujac
˛ wybicie kolejnych elektronów o coraz mniejszych energiach.
Powstaje wi˛ec kaskada elektronowa prowadzaca
˛ do wzbudzeń atomów w pewnym niewielkim
obszarze detektora zależnym od średniego zasi˛egu wybitego elektronu w tym krysztale. Zasi˛eg
takiego elektronu, wybitego w wyniku efektu fotoelektrycznego, w przypadku kryształu jodku sodu jest rz˛edu mikrometrów. W atomach, z którymi oddziaływał elektron, nast˛epuje rekombinacja
atomów z wyższych powłok elektronowych i emitowane jest wtórne promieniowanie rentgenowskie o coraz mniejszej energii, które w końcu dochodzi do rz˛edów odpowiadajacych
˛
długościom
fali promieniowania leżacych
˛
w bliskim nadfiolecie lub widmie widzialnym. Wtórne fotony emitowane z takiego obszaru nazywane sa˛ fotonami scyntylacji, a błyski świetlne - scyntylacjami. W
wyniku scyntylacji, w odpowiedzi na jeden foton promieniowania gamma, powstaje kilkadziesiat
˛
tysi˛ecy fotonów scyntylacji. Efekt powstawania tego zjawiska przedstawiony jest na rysunku 2.7.
Liczba fotonów powstałych w wyniku scyntylacji jest proporcjonalna do energii fotonów promieniowania gamma padajacego
˛
na kryształ scyntylacyjny i oddziałujacego
˛
z nim w wyniku opisanych
14
2.2. Gamma kamera - budowa i zasada działania, charakterystyka
Rysunek 2.7: Ilustracja powstawania zjawiska scyntylacji w krysztale scyntylacyjnym.
wcześniej zjawisk. Jak już zostało wspomniane, ilość światła powstajaca
˛ w wyniku efektu scyntylacji jest niewielka, błyski rejestrowane sa˛ wi˛ec przez układ fotopowielaczy i przetwarzane na
sygnał elektryczny, który jest nast˛epnie wzmacniany i rejestrowany przez odpowiedni układ elektroniczny. Taka procedura pozwala na uzyskanie tzw. widma energetycznego badanego izotopu
(lub izotopów) promieniotwórczego. Przykładowe widmo technetu 99m T c, zarejestrowane w trakcie wykonywania pomiarów do tej pracy inżynierskiej, prezentuje rysunek 2.8. Obserwujemy pik
Rysunek 2.8: Przykładowe, zmierzone widmo energetyczne technetu Tc-99m.
absorpcji całkowitej zwiazany
˛
z całkowita˛ absorpcja˛ promieniowania w krysztale (izotop 99m T c
emituje monoenergetyczne promieniowanie gamma o energii 140, 5 keV ) oraz charakterystyczny
„ogon” o mniejszej energii, typowy głównie dla rozpraszania Comptona.
Za detektorem umieszczona jest pewna liczba fotopowielaczy (zwykle od 40 do nawet 100) o znanej pozycji x oraz y (jak na rysunku 2.9). Sygnał ten nast˛epnie trafia do układu elektronicznego
i później do komputera, gdzie zostaje poddany cyfrowej obróbce. W uproszczeniu można stwierdzić, że znajac
˛ pozycj˛e każdego fotopowielacza, jesteśmy w stanie powiedzieć, w którym miejscu
nastapiło
˛
zliczenie (detekcja fotonu). Pozwala to na stworzenie przez program komputerowy dwu-
2.2.2. Charakterystyka gamma kamery
15
Rysunek 2.9: Układ fotopowielaczy nad kryształem scyntylacyjnym. [1]
wymiarowego obrazu - mapy rozmieszczenia tego znacznika w badanym obszarze. Całościowy,
ideowy schemat działania gamma kamery prezentowany jest na rysunku 2.10.
Rysunek 2.10: Ideowy schemat działania gamma kamery. [1]
Po przetworzeniu sygnału przez komputer, obrazy zapisywane sa˛ w odpowiednim formacie plików (najcz˛eściej jest to format DICOM, który jest szeroko używany w medycynie) i po obróbce
cyfrowej trafiaja˛ do lekarza specjalisty medycyny nuklearnej, który na ich podstawie stwierdza
ewentualne nieprawidłowości w funkcjonowaniu organizmu i wystawia diagnoz˛e.
2.2.2 Charakterystyka gamma kamery
Gamma kamera opisana jest przez szereg parametrów. Jednymi z nich sa˛ jej parametry fizyczne.
Obejmuja˛ one mi˛edzy innymi własna˛ przestrzenna˛ zdolność rozdzielcza˛ detektora, rozdzielczość
całej gamma kamery (czyli detektora wraz z kolimatorem), energetyczna˛ zdolność rozdzielcza,˛
charakterystyk˛e szybkości zliczeń rejestrowanych przez detektor oraz czułość detektora. Parametry
te zostały krótko opisane poniżej:
• Własna przestrzenna zdolność rozdzielcza detektora (ang. detector spatial intrinsic resolution) - determinuje, jak precyzyjnie detektor (bez kolimatora) może zarejestrować położenie
16
2.2. Gamma kamera - budowa i zasada działania, charakterystyka
fotonu w płaszczyźnie XY , czyli rozmycie położenia rejestracji zdarzenia. Może być ona
opisana przez rozmycie, które ma charakter gaussowski, zwykle parametryzowane przez jego szerokość w połowie wysokości (ang. FWHM - Full Width at Half Maximum). Na ta˛
zdolność rozdzielcza˛ detektora składa si˛e wiele czynników: przede wszystkim propagacja
fotonów scyntylacji w krysztale scyntylacyjnym od punktu emisji do fotopowielacza, wielokrotne rozpraszanie fotonów promieniowania gamma w krysztale scyntylacyjnym i inne. W
typowych komercyjnych gamma kamerach ta wielkość zwykle znajduje si˛e w przedziale od
3 mm do 6 mm.
• Energetyczna zdolność rozdzielcza (ang. energy resolution) - czyli rozmycie w rejestracji
energii zdarzenia. Jest zdeterminowana przede wszystkim przez szum poissonowoski w produkcji fotonów w wyniku efektu scyntylacji. Jest ważnym parametrem, ponieważ lepsza
energetyczna zdolność rozdzielcza pozwala na efektywniejsze odrzucenie rozproszonych
fotonów i w konsekwencji otrzymanie obrazu o wi˛ekszej jakości. Energetyczna zdolność
rozdzielcza w nowoczesnych kamerach z kryształem scyntylacyjnym N aI(T l) wynosi 910%.
• Charakterystyka szybkości zliczeń (ang. count-rate capability) - określa, jaka jest zdolność
do rejestracji przez gamma kamer˛e promieniowania o jak najwyższym możliwym nat˛eżeniu,
czyli różnica mi˛edzy teoretyczna˛ szybkościa˛ zliczeń a zmierzona,˛ która jest wynikiem istnienia przede wszystkim tzw. czasu martwego. W nowoczesnych gamma kamerach mierzona
liczba zliczeń na sekund˛e nie spada poniżej 20% w stosunku do oczekiwanej nawet dla 200
tysi˛ecy zliczeń na sekund˛e. Powyżej tych wartości (dla promieniowania o coraz wi˛ekszej
intensywności) dochodzi do efektu tzw. „nasycania si˛e” detektora (detektor nie jest w stanie
zarejestrować dobrze takiego promieniowania) i liczba zliczeń na sekund˛e rejestrowanych
przez detektor coraz bardziej odbiega od oczekiwanej (a nawet może zaczać
˛ spadać). Efekt
ten jest konsekwencja˛ istnienia czasu martwego, czyli czasu, w którym układ nie jest w
stanie zarejestrować kolejnego zdarzenia w wyniku ograniczonej szybkości działania elektroniki. Gamma kamery konstruuje si˛e tak, by czas martwy był możliwie najmniejszy. W
nowoczesnych skanerach jest to wielkość rz˛edzu mikrosekund.
• Czułość detektora (ang. detector sensitivity) - określa, jaki % promieniowania oddziałuja˛
cego z kryształem scyntylacyjnym zostanie zarejestrowana przez układ. Wyprowadzony w
punkcie 2.1 wzór (2.6) pozwala na oszacowanie dolnej i górnej granicy czułości detektora.
Dla detektora tomografu SPECT używanego do przeprowadzania pomiarów do mojej pracy
inżynierskiej, górna˛ granic˛e czułości smax można oszacować podstawiajac
˛ do wzoru (2.6)
całkowity masowy współczynnik absorpcji promieniowania przy energii 140, 5 keV dla jodku sodu, wynoszacy
˛ µd = 0, 713 cm2 /g oraz parametry kryształu (grubość x = 0, 95 cm
oraz g˛estość ρ = 3, 67 g/cm3 ). Otrzymujemy wtedy smax = 92%. Dolna˛ granic˛e szacujemy
podstawiajac
˛ w równaniu (2.6) za µd wkład do masowego współczynnika absoropcji pochodzacy
˛ tylko od efektu fotoelektrycznego, wtedy µd = 0, 604 cm2 /g. Dolna granica czułości
kryształu wynosi zatem smin = 86%. W praktyce faktyczna czułość jest mniejsza od tych
wartości o około 10% z uwagi na ograniczenia elektroniki układu.
Ponadto, nowoczesne tomografy SPECT maja˛ możliwość rejestracji promieniowania w wielu
oknach energetycznych jednocześnie w trakcie wykonywania jednego pomiaru. W takim przypadku ustala si˛e okna energetyczne na zasadzie wyboru energii oraz określa si˛e szerokość każdego
z nich w procentach od wybranej energii. W przypadku izotopu technetu 99m T c najcz˛eściej jest to
okno 140, 5 keV ± 10%.
2.3. Kolimatory używane w tomografii emisyjnej pojedynczego fotonu
17
2.3 Kolimatory używane w tomografii emisyjnej pojedynczego
fotonu
2.3.1 Podstawowe rodzaje oraz parametry budowy kolimatorów
W tradycyjnym aparacie fotograficznym obraz tworzony jest za pomoca˛ obiektywów (b˛edacych
˛
układem soczewek), które w odpowiedni sposób załamuja˛ światło, a wi˛ec fotony z zakresu widma
widzialnego, na nie padajace.
˛ Niestety, promieniowanie gamma jest zbyt wysoko energetyczne,
aby mogło zostać znaczaco
˛ załamane. Z tego też powodu do formowania obrazu stosuje si˛e kolimatory.
Kolimator jest płaskim kawałkiem materiału w formie płytki, zwykle wykonanym z ołowiu, umieszczanym przed detektorem. W kolimatorze znajduja˛ si˛e otwory (najcz˛eściej o osiach równoległych
do siebie). Ścianki tych otworów nazywaja˛ si˛e septa. Zasada działania takiego kolimatora polega na tym, że przepuszcza on fotony, które biegna˛ w kierunku prostopadłym (lub prawie prostopadłym) do powierzchni kolimatora (czyli przechodza˛ przez otwory). Fotony, które maja˛ inny
kierunek, zostaja˛ zaabsorbowane przez materiał, z którego wykonany jest kolimator i nie podlegaja˛ detekcji. W typowych kolimatorach stosowanych w tomografii SPECT zaabsorbowane zostaje
nawet do 99,99% fotonów padajacego
˛
na nie promieniowania gamma. Idea działania kolimatora
pokazana jest na rysunku 2.11. Z powodu tego, iż otwory kolimatora maja˛ skończona˛ średnic˛e,
Rysunek 2.11: Schematyczna ilustracja działania kolimatora. [1]
nie wszystkie fotony biegnace
˛ w kierunku innym niż prostopadły do kolimatora (czyli też detektora) zostana˛ zaabsorbowane. W praktyce jest wi˛ec pewien zakres katów
˛
kierunku lotu fotonów,
które moga˛ one posiadać, by zostać zarejestrowane w detektorze. Im wi˛ekszy stosunek średnicy
otworu do jego długości, tym wi˛ekszy jest zakres tych katów
˛
i tym gorsza przestrzenna zdolność
rozdzielcza gamma kamery, ale wi˛eksza czułość. Ponadto, w rzeczywistości nie wszystkie fotony
18
2.3. Kolimatory używane w tomografii emisyjnej pojedynczego fotonu
biegnace
˛ w kierunkach o katach
˛
wi˛ekszych niż wspomniany zakres, b˛eda˛ zaabsorbowane w kolimatorze. Cz˛eśc z nich „przeleci” bez oddziaływania przez materiał kolimatora i ulegnie detekcji,
inna cz˛eść ulegnie rozproszeniu i, z odpowiednio mniejsza˛ energia,˛ również zostanie zarejestrowana w krysztale scyntylacyjnym. W obu przypadkach efekty te moga˛ zostać uwzgl˛ednione w
algorytmach rekonstrukcji obrazu.
Najcz˛eściej używanym materiałem, z którego wykonuje si˛e kolimatory, jest ołów (o liczbie masowej Z = 82 i g˛estości ρ = 11, 34 g/cm3 ), który charakteryzuje si˛e odpowiednio wysokim masowym współczynnikiem pochłaniania promieniowania gamma (masowy współczynnik absorpcji
dla ołowiu, w porównaniu ze współczynnikami dla wody oraz jodku sodu, jest zaprezentowany na
wykresach z rysunków 2.4 oraz 2.5). Oprócz tego, na mniejsza˛ skal˛e (głównie ze wzgl˛edu na ich
koszt), do budowy kolimatorów stosuje si˛e też stopy wolframu i złota.
Kolimatory dziela˛ si˛e również ze wzgl˛edu na kształt geometryczny otworów. Wyróżnia sie cztery ich podstawowe typy: heksagonalne (najbardziej popularne), prostokatne,
˛
trójkatne
˛ i okragłe.
˛
Sposób ułożenia trzech pierwszych z nich prezentuje rysunek 2.12. Geometria takich otworów
z uwagi na to, że znajduja˛ si˛e w regularnej sieci, opisana jest przez parametry jednego takiego
otworu. Składaja˛ si˛e na nia:
˛ grubość kolimatora T, grubość ścianki SPT, odległość mi˛edzy środ-
Rysunek 2.12: Trzy podstawowe układy otworów w kolimatorze. [1]
kami dwóch najbliższych sasiadów
˛
HOLSEP oraz rozmiar otworu S. Przykładowe wartości tych
parametrów, dla kolimatora odpowiedniego do stosowania w przypadku promieniowania o energii
140 keV , to: T = 2, 2 cm, SP T = 0, 02 cm, HOLSEP = 0, 15 cm oraz S = 0, 07 cm (dane
zaczerpni˛ete z [1]). Poza tym, oprócz kolimatorów o równoległych otworach, czasami stosuje si˛e
kolimatory o geometrii otworów zbiegajacej
˛ lub rozbiegajacej
˛ (zwykle w celu osiagni˛
˛ ecia lepszej
rozdzielczości w obrazach).
Ze wzgl˛edu na energi˛e padajacego
˛
promieniowania, kolimatory o otworach równoległych dziela˛
si˛e na cztery podostawowe typy: LEHR - niskoenergetyczny o wysokiej rozdzielczości (ang. Low
Energy, High Resolution), LEGP - niskoenergetyczny do ogólnego zastosowania (ang. Low Energy,
General Purpose), MEGP - średnioenergetyczny do ogólnego zastosowania (ang. Medium Energy, General Purpose) oraz HEGP - wysokoenergetyczny do ogólnego zastosowania (ang. High
Energy, General Purpose). Każdy z nich przeznaczony jest do innego zakresu energii oraz, w
konsekwencji, innych radioizotopów, ktore używane sa˛ w badaniu. Kolimatory niskoenergetyczne
wykorzystuje si˛e do takich izotopów jak: 123 I - energia 159 keV ; 99m T c - energia 140 keV i 201 T l energia 68 keV do 81 keV . Kolimatory średnioenergetyczne do izotopów: 67 Ga - energie 93 keV ,
184 keV i 296 keV ; 111 In - energie 172 keV i 247 keV . Natomiast kolimatory wysokoenergetyczne głównie do izotopu 131 I - energie 284 keV i 364 keV .
2.3.2. Charakterystyka obrazowania z użyciem kolimatorów
19
2.3.2 Charakterystyka obrazowania z użyciem kolimatorów
Głównym parametrem charakteryzujacym
˛
kolimator jest tzw. funkcja odpowiedzi na źródło punktowe (ang. PSRF - Point Source Response Function). Funkcja ta opisuje rozmycie zmierzonego
rzutu źródła punktowego znajdujacego
˛
si˛e na płaszczyźnie XY detektora przy zadanej odległości d
źródło-detektor. Schemat wyznaczania funkcji odpowiedzi przedstawiony został na rysunku 2.13.
W idealnym przypadku obraz źródła powinniśmy otrzymać w punkcie na płaszczyźnie obrazu,
Rysunek 2.13: Ideowy schemat wyznaczania funkcji odpowiedzi PSRF. [1]
który leży na prostej łacz
˛ acej
˛ źródło punktowe z płaszczyzna˛ obrazu pod katem
˛
prostym. Wprowadza si˛e również wektor ⃗r, od którego zależna jest funkcja odpowiedzi i którego wartość r = 0
odpowiada centralnemu maksimum tej funkcji. Dla kolimatora o równoległych otworach funkcja odpowiedzi posiada własność symetrii translacyjnej w odniesieniu do pozycji źródła. Funkcja
odpowiedzi kolimatora na źródło punktowe PSRF może zostać wyliczona analitycznie, przy założeniu idealnej zdolności rozdzielczej samego detektora i całkowitej absorpcji promieniowania w
materiale kolimatora. W praktyce jednak detektor ma skończona˛ zdolność rozdzielcza,˛ jak i cz˛eść
padajacego
˛
promieniowania nie jest w całości absorbowana w materiale kolimatora. Efekty te powoduja,˛ że w funkcji odpowiedzi na źródło punktowe PSRF pojawiaja˛ si˛e dodatkowe zliczenia w
jej „ogonach”. Z uwagi na ten fakt, dla ustalonej odległości d, jest ona z dobrym przybliżeniem
dwuwymiarowa˛ funkcja˛ Gaussa:
2
P SRF (⃗r; σcol ) ∼ exp[−|⃗r|2 /2σcol
]
(2.7)
W praktyce, zamiast parametru σcol podaje si˛e tzw. zdolność rozdzielcza˛ układu, określana˛ przez
F W HMcol - szerokość połówkowa,˛ która jest powiazana
˛
z odchyleniem standardowym σcol . Zwia˛
zek ten wyprowadza si˛e w nast˛epujacy
˛ sposób. Rozpatrzmy przypadek jednowymiarowej funkcji
Gaussa zależnej od zmiennej r o wartości średniej wynoszacej
˛ r = 0 i odchyleniu standardo−
+
wym σ. Należy znaleźć punkty r0 oraz r0 , którym odpowiada połowa maksimum funkcji Gaussa.
20
2.3. Kolimatory używane w tomografii emisyjnej pojedynczego fotonu
Trzeba zatem rozwiazać
˛ równanie (2.8):
1
exp[−r02 /2σ 2 ] = f (0)
2
(2.8)
Dla unormowanego rozkładu Gaussa f (0) = 1, wi˛ec:
exp[−r02 /2σ 2 ] =
1
2
exp[−r02 /2σ 2 ] = 2−1
r02
− 2
2σ
= − ln(2)
r02 = 2σ 2 ln(2)
czyli:
r0 = ±σ
√
2 ln(2)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Ostatecznie otrzymujemy zwiazek
˛
mi˛edzy odchyleniem standardowym σ oraz szerokościa˛ połówkowa˛ F W HM :
√
F W HM = r0+ − r0− = 2 2 ln(2)σ ≈ 2, 35σ
(2.14)
Po podstawieniu szerokości połówkowej F W HMcol w miejscu σcol w równaniu funkcji Gaussa
otrzymamy zależność jak w równaniu (2.15):
2
P SRF (⃗r, d) ∼ exp[−4ln2|⃗r|2 /F W HMcol
]
(2.15)
Rysunek 2.14 pokazuje, że szerokość połówkowa F W HMcol funkcji odpowiedzi PSRF zależy
od odległości d źródła od detektora. W miar˛e zwi˛ekszania odległości szerokość połówkowa rośnie liniowo. W praktyce, gdy mamy do czynienia ze skończona˛ zdolnościa˛ rozdzielcza˛ detektora,
Rysunek 2.14: Zależność funkcji odpowiedzi PSRF od odległości źródła od detektora. [1]
mierzona funkcja odpowiedzi całego układu (detektora wraz z kolimatorem) na źródło punktowe
PSRF matematycznie jest splotem funkcji Gaussa opisujacej
˛ zdolność rozdzielcza˛ detektora oraz
funkcji Gaussa opisujacej
˛ odpowiedź samego kolimatora. Zuwagi na fakt, że splot funkcji Gaussa
2.4. Algorytmy rekonstrukcji obrazu
21
z funkcja˛ Gaussa jest również funkcja˛ Gaussa o odchyleniu standardowym równym pierwiastkowi z sumy kwadratów odchyleń standardowych splatanych funkcji, ostateczna zależność funkcji
odpowiedzi na źródło punktowe dana jest wzorem (2.16):
√
F W HMcol (d) = F W HMi2 + (p · d)2
(2.16)
W równaniu (2.16) parametr F W HMi opisuje zdolność rozdzielcza˛ detektora, zaś parametr p ma
charakter geometryczny i jest zwiazany
˛
ze stosunkiem szerokości otworu do jego długości (czyli
grubości kolimatora). Z uwagi na gaussowski charakter funkcji odpowiedzi, matematyczna˛ zależność tego parametru od geometrii otworu można wyznaczyć zakładajac
˛ arbitralnie, ile fotonów z
funkcji PSRF przechodzi przez otwór, pomijajac
˛ opisany poniżej w tym punkcie efekt penetracji
ścian kolimatora. Takim zgrubnym założeniem może być ustalenie, że fotony mieszczace
˛ si˛e w
zakresie ±2, 5σ od centralnego piku funkcji odpowiedzi zachowuja˛ si˛e w ten sposób. Wobec tego,
wykorzystujac
˛ zwiazek
˛
szerokości połówkowej F W HM z odchyleniem standardowym σ funkcji
Gaussa (wzór (2.14)), dochodzimy do zależności, że stosunek szerokości otworu do jego długości
wynosi w przybliżeniu 2·2,5
p ≈ 2, 13p. Z drugiej zaś strony, stosunek szerokości otworu do je2,35
go długości wyznacza graniczny kat
˛ αg , jaki moga˛ mieć fotony rejestrowane w detektorze, które
przeszły przez otwór, pomijajac
˛ penetracj˛e ścian. Kat
˛ ten jest zatem dany równaniem (2.17):
αg ∼
(2.17)
= arc tg(2, 13p)
Zmierzenie funkcji odpowiedzi kolimatora na źródło punktowe i w konsekwencji zależności wielkości F W HMcol od odległości d źródła od detektora, pozwala na oszacowanie zdolności rozdzielczej detektora F W HMi . Pomiary i analiza funkcji odpowiedzi kolimatora na źródło punktowe sa˛
głównym tematem mojej pracy inżynierskiej.
Innym efektem wyst˛epujacym
˛
w trakcie pomiarów z użyciem kolimatorów jest tzw. efekt penetracji ścian kolimatora (ang. septal penetration). Otóż istnieje skończone prawdopodobieństwo, że
foton biegnacy
˛ pod katem
˛
(w stosunku do kierunku prostopadłego do detektora) wi˛ekszym niż dozwolony przedział wynikajacy
˛ z konstrukcji geometrycznej kolimatora, nie zostanie zaabsorbowany i, w konsekwencji, zostanie zarejestrowany przez detektor. Efekt ten można wziać
˛ pod uwag˛e
w trakcie badań funkcji odpowiedzi i w algorytmach rekonstrukcji obrazu. Ponadto, dodatkowe
zliczenia wynikajace
˛ z tego zjawiska, nie dochodza˛ w centralnym piku funkcji odpowiedzi, lecz w
jej długich „ogonach”, przez co zwi˛ekszane jest całościowe tło obrazu. Fotony uderzajace
˛ prostopadle do ścianki kolimatora maja˛ wi˛eksze prawdopodobieństwo jej penetracji niż fotony padajace
˛
na nia˛ pod mniejszymi katami.
˛
Przykładowy efekt penetracji ścian kolimatora o heksagonalnym
kształcie otworów prezentuje obraz 2.15.
2.4 Algorytmy rekonstrukcji obrazu
Jak już zostało wspomniane wcześniej, w przypadku tomografii SPECT gamma kamera rejestruje
dwuwymiarowe obrazy pod zadanymi, znanymi katami,
˛
w celu rekonstrukcji trójwymiarowego
rozkładu znacznika w organizmie pacjenta. Algorytmy rekonstrukcji obrazu dziela˛ si˛e na dwie
główne metody: analityczne oraz iteracyjne. Najważniejsze założenia i elementy obu tych metod
zostana˛ krótko omówione w tym rozdziale.
2.4.1 Analityczne algorytmy rekonstrukcji obrazu - algorytm projekcji wstecznej FBP
Jedna˛ z głównych analitycznych metod rekonstrukcji obrazu jest tzw. metoda FBP (ang. Filtered
Backprojection - filtrowana projekcja wsteczna). Jest to matematyczna technika bazujaca
˛ na ide-
22
2.4. Algorytmy rekonstrukcji obrazu
Rysunek 2.15: Efekt penetracji ścian kolimatora o heksagonalnym kształcie otworów. [1]
alnym modelu tomografii SPECT (lub PET, gdzie też jest wykorzystywana), która ignoruje wiele
ważnych efektów obecnych w przypadku rzeczywistych, zmierzonych danych (takich jak szum,
rozmycie, itp.). Szum musi być jednak uwzgl˛edniany - projekcje sa˛ wi˛ec wygładzane (przed rekonstrukcja˛ obrazu lub sam obraz po rekonstrukcji).
Metoda projekcji wstecznej zaniedbuje istnienie rozmycia zarówno detektora, jak i kolimatora
oraz zakłada, że liczba fotonów biegnacych
˛
w konkretnym kierunku, które uległy zarejestrowaniu,
jest proporcjonalna do całki funkcji rozkładu znacznika po tej linii, jest to tzw. projekcja równoległa. Funkcja odpowiedzi PSRF w takim przypadku jest linia˛ prosta.˛ Pokazuje to rysunek 2.16,
na którym widać projekcj˛e równoległa˛ pod zadanym katem
˛
ϕ dwuwymiarowego przekroju f (x, y)
trójwymiarowego obiektu. W przypadku algorytmu FBP takie projekcje mierzone sa˛ dla wszyst-
Rysunek 2.16: Projekcja równoległa przekroju f (x, y) pod katem
˛
ϕ. [1]
kich spróbkowanych wartości kata
˛ ϕ (z reguły pełny skan w zakresie od 0 do 360 stopni, rzadziej
180 stopni). Nast˛epnie, odwrotna transformata Radona pozwala na obliczenie trójwymiarowego
rozkładu aktywności w badanym obszarze na podstawie zmierzonych projekcji.
Opisana tu metoda projekcji wstecznej pozwala na otrzymanie trójwymiarowych obrazów o wystarczajacej
˛ do wielu zastosowań jakości. Poczynione uproszczenia daja˛ jednak efekt w postaci
2.4.2. Iteracyjne algorytmy rekonstrukcji obrazu - algorytm ML-EM
23
artefaktów, szczególnie widocznych w przypadku pomiarów wykonywanych dla małej całkowitej
liczby zliczeń.
2.4.2 Iteracyjne algorytmy rekonstrukcji obrazu - algorytm ML-EM
Iteracyjne metody rekonstrukcji obrazu sa˛ nowszymi technikami, stosowanymi w celu uzyskania
lepszej jakości obrazów niż przy zastosowaniu metod analitycznych. W metodach tych można
bezpośrednio uwzgl˛ednić wyst˛epowanie takich efektów jak szum, rozmycie, rozpraszanie. Można
również uwzgl˛ednić funkcj˛e odpowiedzi kolimatora na źródło punktowe PSRF. Metody sa˛ iteracyjne, ponieważ obraz końcowy otrzymywany jest w wyniku powtarzajacych
˛
si˛e iteracji prowadzacych
˛
do jak najlepszej jakości obrazu. Z uwagi na ten fakt, wymagaja˛ one znaczaco
˛ dłuższego
czasu obliczeń niż metody analityczne.
Matematycznie algorytmy iteracyjne rozwiazuj
˛ a˛ liniowy problem dany równaniem:
⃗g = H f⃗
(2.18)
W równaniu (2.18) wielkość ⃗g stanowi wektor projekcji obrazu, f⃗ jest obrazem, zaś H macierza˛ systemu, która opisuje proces obrazowania. Całe równanie opisuje wi˛ec liniowe przejście z
przestrzeni obrazu do przestrzeni projekcji. W sposób schematyczny przedstawia to rysunek 2.17.
Współczynniki macierzy H moga˛ uwzgl˛edniać w sobie wspomniane wyżej efekty (jak szum, rozmycie, itp.), które moga˛ być scharakteryzowane doświadczalnie, jak i moga˛ uwzgl˛edniać zmierzona˛ funkcj˛e odpowiedzi na źródło punktowe. Zmierzone do celów tej pracy inżynierskiej funkcje PSRF pozwalaja˛ na wyznaczenie grupy elementów tej macierzy. Każdy element macierzy hij
opisuje wzgl˛edne prawdopodobieństwo tego, że foton wyemitowany z piksela j obrazu zostanie
zarejestrowany w pikselu i projekcji.
Równanie (2.18) opisuje proces stochastyczny, gdzie ⃗g jest próba˛ losowa˛ z funkcji rozkładu prawdopodobieństwa f⃗. Majac
˛ dana˛ zmierzona˛ prób˛e losowa˛ ⃗g oraz macierz H, poszukujemy najlepszego estymatora funkcji f⃗. Wi˛ekszość z iteracyjnych metod rekonstrukcji obrazu działa według
Rysunek 2.17: Schematyczna ilustracja liniowego równania (2.18). [1]
schematu przedstawionego na rysunku 2.18.
24
2.4. Algorytmy rekonstrukcji obrazu
Rysunek 2.18: Ogólny schemat iteracyjnych metod rekonstrukcji obrazu. [1]
Jednym z algorytmów rozwiazuj
˛ acych
˛
problem (2.18) jest tzw. algorytm ML-EM (ang. MaximumLikelihood Expectation-Maximization Algorithm), który maksymalizuje prawdopodobieństwo tego, że ⃗g powstało jako próba losowa z estymowanego rozkładu f⃗. Każda iteracja obrazu opisana
jest (zgodnie z [3]) przez równanie (2.19):
(n)
(n+1)
fj
fj
=∑
i′
hi′ j
∑
hij ∑
i
gi
hik fkn
(2.19)
k
Wielkości ∑
wyst˛epujace
˛ w tym równaniu to: f n - n-ta iteracja estymacji obrazu, g - zmierzona
hjk f k - projekcja estymacji obrazu porównywana z projekcja˛ zmierzona˛ g. W algoprojekcja,
k
rytmie tym nast˛epuje zatem dzielenie zmierzonej projekcji przez projekcj˛e otrzymana˛ z estymacji
obrazu. Cały proces zaczyna si˛e od pewnej poczatkowej
˛
estymacji obrazu (przez estymacj˛e obrazu rozumie si˛e wartości intensywności pikseli w obrazie). Nast˛epnie wykonuje si˛e projekcj˛e
tego obrazu (dla wielu katów)
˛
otrzymujac
˛ zbiór projekcji. Później projekcje te sa˛ porównywane
z projekcjami zmierzonymi przez gamma kamer˛e i obliczany jest bład
˛ oszacowania projekcji w
porównaniu do projekcji zmierzonej. Bł˛edy te nast˛epnie poddawane sa˛ projekcji wstecznej w celu
korekcji kolejnej estymacji obrazu.
W celu osiagni˛
˛ ecia wartościowych rezultatów, algorytm zwykle wymaga co najmniej 30-50 iteracji. Z uwagi na to, że każda iteracja wymaga przeprowadzenia projekcji obrazu a nast˛epnie projekcji wstecznej, algorytm wymaga od jednego do dwóch rz˛edów wielkości razy wi˛ecej czasu
obliczeń niż analityczna metoda filtrowanej projekcji wstecznej FBP. W przypadku typowych pomiarów, rozmiar zarówno obrazu, jak i projekcji, wynosi około 1 miliona pikseli. Macierz H w
takim przypadku ma wymiar milion na milion. Im wi˛ecej macierz H ma niezerowych elementów,
tym rozwiazanie
˛
problemu (2.18) jest odpowiednio bardziej skomplikowane i wymagajace
˛ wi˛ecej
czasu obliczeń. Zaleta˛ metod iteracyjnych jest jednak możliwość uwzgl˛edniania efektów wspomnianych na wst˛epnie, w tym niejednorodnego rozmycia, szumu oraz funkcji odpowiedzi na źródło punktowe. Dłuższy czas obliczeń oraz wi˛eksza komplikacja metod iteracyjnych od analitycznej
metody filtrowanej projekcji wstecznej powoduja,˛ że użycie tej drugiej nie zostało zaniechane i, w
różnych zastosowaniach, używa si˛e odpowiednio metod iteracyjnych lub FBP.
Rozdział 3
Metodyka przeprowadzania pomiarów i
analizy danych
3.1 Opis badanego tomografu, użytych źródeł promieniotwórczych oraz aplikacji do analizy danych
Wszystkie pomiary do tej pracy inżynierskiej zostały wykonane w Centrum Onkologii - Instytucie
im. Marii Skłodowskiej-Curie w Warszawie, w Zakładzie Medycyny Nuklearnej. Źródłem promieniotwórczym używanym do pomiarów był izotop technetu 99m T c, który jest najpopularniejszym
izotopem promieniotwórczym stosowanym w diagnostyce radioizotopowej. Emituje on monoenergetyczne promieniowanie gamma o stosunkowo niskiej energii wynoszacej
˛ 140, 5 keV , zaś czas
jego połowicznego rozpadu do izotopu 99 T c wynosi 6, 005 godziny. Użyte również zostało źródło
- tabletka terapeutyczna zawierajaca
˛ izotop jodu 131 I, który emituje głównie promieniowanie gamma o energii 364 keV oraz, z mniejszym prawdopodobieństwem, o energiach 284 keV , 637 keV
oraz 723 keV .
Wszystkie pomiary wykonywane były za pomoca˛ tomografu SPECT marki PHILIPS SkyLight,
znajdujacego
˛
si˛e na wyposażeniu Zakładu Medycyny Nuklearnej (badany skaner pokazany jest
na zdj˛eciu 3.1). Tomograf jest stosunkowo nowym urzadzeniem
˛
i posiada dwie w przybliżeniu
Rysunek 3.1: Skaner SPECT marki PHILIPS SkyLight w warszawskim Centrum Onkologii.
26
3.2. Pomiary charakterystyki szybkości zliczeń detektora
prostokatne
˛ (majace
˛ ści˛ete rogi) głowice, gdzie detektorem jest kryształ scyntylacyjny jodku sodu domieszkowany talem N aI(T l). Wymiary obu detektorów to: 38, 1 cm i 58, 2 cm. Głowice
maja˛ bardzo szeroki zakres ruchu i możliwych ustawień w przestrzeni. Żródła promieniotwórcze
umieszczane były na statywie, mniej wi˛ecej na wysokości środka detektora. Fakt posiadania przez
skaner dwóch głowic pozwolił na ustawienie ich naprzeciw siebie w najwi˛ekszej możliwej odległości i jednoczesne pomiary obu detektorów. Statyw wraz ze źródłem, po każdym wykonaniu
pomiaru, przesuwany był wzdłuż prostej prostopadłej do powierzchni obu detektorów. Odległości mi˛edzy źródłem a detektorami mierzone były za pomoca˛ laserowego dalmierza marki DISTO
Leica D2, charakteryzujacego
˛
si˛e bł˛edem pomiaru wynoszacym
˛
1, 5 mm. W celu oszacowania
całkowitego bł˛edu określenia odległości, zmierzony został dystans mi˛edzy detektorami, który wyniósł 1, 185 m. Odległość ta zmierzona została bardzo dokładnie, przykładajac
˛ miernik laserowy
do detektora w czterech jego rogach. Zmierzone w ten sposób odległości nie różniły si˛e mi˛edzy
soba˛ o wartość wi˛eksza˛ niż bład
˛ samego dalmierza. Z uwagi na to, że ustawienie detektorów w
trakcie pomiarów nie ulegało zmianie, dla każdego ustawienia źródła mierzone były odległości
mi˛edzy źródłem a każdym detektorem osobno. Maksymalna różnica mi˛edzy suma˛ tych odległości a odległościa˛ mi˛edzy samymi detektorami, nie przekraczała 1, 5 cm. Z tego powodu całkowity
bład
˛ wyznaczenia odległości został przyj˛ety jako ∆d = 1, 5 cm. Pionowe słupki bł˛edów (głównie
bł˛edy zliczeń rejestrowanych przez układ) na wszystkich prezentowanych w dalszej cz˛eści pracy
wykresach, sa˛ mniejsze niż rozmiary punktów i z uwagi na to zostały pomini˛ete.
Wynikiem pomiarów rejestrowanych przez skaner były obrazy - pliki zapisane w formacie DICOM o rozdzielczości 256 na 256 pikseli. Szerokość każdego kwadratowego piksela w takim
obrazie wynosi 2, 332 mm. Standard DICOM jest najpopularniejszym standardem zapisywania i
analizy informacji z badań diagnostycznyhch różnego typu w medycynie (nie tylko diagnostyki radioizotopowej). Do analizy zarejestrowanych obrazów wykorzystano środowisko ROOT - oprogramowanie do analizy danych doświadczalnych stworzone w CERN - Europejskim Ośrodku Badań
Jadrowych,
˛
głównie na potrzeby analizy danych fizyki wysokich energii. Skonstruowane jest ono
na zasadzie specjalnego szkieletu aplikacji napisanego w j˛ezyku C++ i zawiera w sobie ogromny
zestaw bibliotek do bardzo szerokiej analizy i prezentacji danych doświadczalnych.
W punktach 3.2 oraz 3.3 opisany jest sposób przeprowadzania pomiarów odpowiednio charakterystyki szybkości zliczeń detektora oraz funkcji odpowiedzi kolimatora na źródło punktowe.
3.2 Pomiary charakterystyki szybkości zliczeń detektora
Do pomiaru charakterystki szybkości zliczeń użyte zostały dwa, w przybliżeniu punktowe, źródła
promieniotwórcze zawierajace
˛ roztwór izotopu 99m T c. Zamkni˛ete zostały w specjalnych kapsułach
o średnicy 3 mm oraz grubości 2 mm. W zastosowaniach medycznych do określania aktywności
źródeł promieniotwórczych najcz˛eściej używa si˛e jednostki zwanej kiurem Ci. Przelicznik mi˛edzy
kiurem a bekerelem Bq dany jest wzorem (3.1):
1 Ci ≈ 3, 7 · 1010 Bq
(3.1)
Podane przez pracowników Pracowni Radiochemicznej aktywności źródeł wynosiły: silniejsze
955 µCi (czyli 35, 34 M Bq) oraz słabsze 146, 4 µCi (czyli 5, 42 M Bq). W trakcie późniejszych
analiz okazało si˛e, że aktywność słabszego źródła wynosiła około 21 M Bq i w dalszej cz˛eści pracy źródło słabsze b˛edzie oznaczane przez ta˛ wartość. W trakcie wykonywania pomiarów detektor
nie miał założonego kolimatora, co pozwoliło na stosowanie źródeł o stosunkowo niskiej aktywności (w porównaniu ze źródłami używanymi do pomiarów przeprowadzanych z kolimatorem).
Wszystkie pomiary rejestrowane były w czterech różnych oknach energetycznych. Były to okna:
3.2. Pomiary charakterystyki szybkości zliczeń detektora
27
140, 5 keV ±10%, 120 keV ±10%, 100 keV ±10% i 80 keV ±10%. Przy czym dokładnej analizie
poddane zostało tylko okno 140, 5 keV ± 10%.
W celu zmierzenia charakterystyki szybkości zliczeń można si˛e posłużyć jedna˛ z dwóch metod.
Pierwsza˛ z nich jest duża seria pomiarów źródła punktowego ustawionego w jednej, zadanej odległości od detektora, wykonywanych w jednakowych odst˛epach czasu. Charakterystyka szybkości
zliczeń określana jest wtedy z malejacej
˛ w czasie aktywności źródła. Druga˛ metoda˛ sa˛ krótkie pomiary źródła punktowego przeprowadzane dla zmiennej odległości źródła od detektora. Charakterystyka jest wtedy określana ze zmiennej odległości źródła od detektora, co implikuje zmienny
kat
˛ bryłowy, w którym rejestrowane jest promieniowanie. Zaleta˛ pierwszej jest stała geometria
układu, zaś wada˛ stosunkowo długi czas przeprowadzanych pomiarów. W przypadku drugiej metody, z powodu zmiany odległości źródło-detektor, zmienia si˛e też geometria przeprowadzanych
pomiarów. Zmienność tej geometrii musi zostać uwzgl˛edniona w późniejszej analizie wyników.
Zaleta˛ tej metody sa˛ jednak zdecydowanie krótsze czasy rejestracji danych. W przypadku pomiarów przeprowadzonych do mojej pracy inżynierskiej, z powodu ograniczonego czasowo dost˛epu
do badanego tomografu, użyta została druga z opisanych tu metod.
Na rysunku 3.2 pokazany jest ideowy schemat wykonywania pomiarów. Punktowe źródło promieniotwórcze technetu 99m T c o aktywności A znajduje si˛e w odległości d od płaszczyzny detektora.
Po wykonaniu pomiaru odległość ta jest zmieniana i wykonywany jest kolejny pomiar. W celu
określenia zależności nat˛eżenia promieniowania padajacego
˛
na detektor od odległości, należy policzyć funkcj˛e N (x, y; d) - teoretycznego rozkładu szybkości liczby zliczeń w dowolnym punkcie
(x, y) na płaszczyźnie detektora dla punktowego źródła promieniotwórczego znajdujacego
˛
si˛e w
⃗
odległości d od jego płaszczyzny. Wprowadzamy wielkość Φ - wektor strumienia fotonów w kie-
Rysunek 3.2: Ideowy schemat pomiaru źródeł punktowych w celu określenia charakterystyki szybkości zliczeń.
runku w,
⃗ który ze wzgl˛edu na sferycznie symetryczny charakter emitowanego promieniowania ze
źródła punktowego, wyraża si˛e wzorem:
⃗ =
Φ
A
w
⃗
4πw3
(3.2)
√
We wzorze (3.2), z twierdzenia Pitagorasa, wielkość w =
x2 + y 2 + d2 . Funkcja N (x, y; d)
⃗ oraz wektora normalnego do powierzchni detektora
równa jest iloczynowi skalarnemu wektora Φ
⃗n = [0, 0, 1]. Ponadto, w obliczeniach należy również wziać
˛ pod uwag˛e fakt, że nie wszystkie
28
3.2. Pomiary charakterystyki szybkości zliczeń detektora
fotony trafiajace
˛ do detektora sa˛ rejestrowane - wprowadza si˛e wi˛ec współczynnik zwany czułościa˛
detektora, tu oznaczony jako s (zakładamy, że jest on stały w całym obszarze detektora). Równanie
(3.2) możemy zatem zapisać w postaci:
⃗ · ⃗n =
N (x, y; d) = s · Φ
4π(x2
sAd
+ y 2 + d2 )3/2
(3.3)
Wymiarem funkcji N (x, y; d), zgodnie z równaniem (3.3), jest 1/(s · m2 ). Przykładowy kształt
funkcji N (x, y; d), dla ustalonej odległości d = 10 cm, pokazany jest na wykresie z rysunku 3.3.
Funkcja N (x, y; d) ma coraz w˛eższy centralny pik dla coraz bliższych odległości źródła od detek-
Rysunek 3.3: Teoretyczna funkcja rozkładu szybkości zliczeń N (x, y; d) na płaszczyźnie detektora
dla odległości d = 10 cm.
tora. Z drugiej strony, w miar˛e zwi˛ekszania d, pik staje si˛e coraz szerszy i całość w konsekwencji
zbiega do jednorodnego rozkładu zliczeń na powierzchni detektora dla dużych wartości d. Fakt
ten został wykorzystany w przypadku analizy lokalnej charakterystyki szybkości zliczeń (w celu
zbadania, czy niejednorodnym nat˛eżeniu promieniowania padajacego
˛
na różne obszary detektora,
efekt „nasycania si˛e” ma charakter lokalny, czy też nie).
W celu obliczenia teoretycznej szybkości zliczeń NR1 ,R2 w pierścieniu o środku w punkcie (0, 0)
oraz promieniach wewn˛etrznym R1 i zewn˛etrznym R2 , należy scałkować równanie (3.3) we współrz˛ednych biegunowych, podstawiajac
˛ x2 + y 2 = r2 , wtedy:
(
)
∫ 2π ∫ R2
1
sAd
1
√
−√ 2
N (r; d) rdrdϕ =
(3.4)
NR1 ,R2 =
2
R12 + d2
R2 + d2
R1
0
W przypadku, gdy rozważamy centralny okrag
˛ o promieniu R, wtedy podstawiajac
˛ w równaniu
(3.4) promień R1 = 0, otrzymujemy:
(
)
1
sAd 1
−√
NR =
(3.5)
2
d
R 2 + d2
3.2. Pomiary charakterystyki szybkości zliczeń detektora
29
Z kolei w przypadku rozważania prostokata
˛ o bokach a i b, w wyniku całkowania równania (3.3)
we współrz˛ednych kartezjańskich, otrzymujemy:
(
)
∫ a∫ b
sA
ab
√
(3.6)
Na,b =
N (x, y; d) dxdy =
arc tg
π
d a2 + b2 + d2
−a −b
Użycie wzoru (3.6), ze wzgl˛edu na ści˛ete rogi detektora, jest obarczone bł˛edem. W przypadku, gdy
rozkład szybkości zliczeń na powierzchni detektora jest jednorodny, wtedy maksymalny bład
˛ popełniany przy użyciu tego wzoru stanowi stosunek powierzchni tych rogów do całości powierzchni detektora. Powierzchnia ści˛etych rogów wynosi 33, 8 cm2 a powierzchnia całego detektora
188 cm2 . Po podzieleniu tych wielkości przez siebie otrzymujemy, że bład
˛ ten wynosi niecałe
18%. W miar˛e przybliżania źródła do detektora rozkład szybkości zliczeń, zgodnie ze wzorem
(3.3), coraz bardziej odbiega od niejedorodnego i bład
˛ popełniany przy użyciu wzoru (3.6) maleje.
Charakterystyka szybkości zliczeń detektora pozwala również na wyznaczenie czasu martwego
układu. Zarejestrowana szybkość zliczeń, z uwagi na wyst˛epowanie tego czasu, nie jest równa
oczekiwanej. Oznaczmy przez m mierzona˛ a przez n oczekiwana˛ szybkość zliczeń (z uwzgl˛ednieniem czułości detektora). W najprostszym przypadku, stosunek „traconych” zliczeń, czyli stosunek różnicy oczekiwanej szybkości zliczeń i mierzonej szybkości zliczeń do oczekiwanej n−m
,
m
jest proporcjonalny do zmierzonej szybkości zliczeń pomnożonej przez czas martwy m · τ :
n−m
= mτ
n
(3.7)
Czas ten określa wi˛ec, jak długo detektor nie był w stanie zarejestrować kolejnego zliczenia. Wyprowadzajac
˛ z równania (3.7) zależność zmierzonej szybkości zliczeń m od oczekiwanej n, otrzymujemy wzór (3.8):
m = n · (1 − n · τ )
(3.8)
Wzór ten jest jednak przybliżeniem wynikajacym
˛
z założenia, że rejestrowane zdarzenia sa˛ stosunkowo rzadkie (odst˛ep czasu mi˛edzy nimi jest dużo wi˛ekszy niż czas martwy). Opisuje wi˛ec on
charakterystyk˛e szybkości zliczeń w jej zakresie bliskim liniowemu (dla szybkości zliczeń m i n
dużo mniejszych od 1/τ ; porównaj wykres na rysunku 3.5).
Wyróżnia si˛e dwa modele czasu martwego, charakterystyczne dla elektroniki układu: paralizowalny oraz nieparalizowalny (zgodnie z [2]). Ideowy schemat tych modeli prezentowany jest na rysunku 3.4. W modelu paralizowalnym, dla oczekiwanej szybkości zliczeń wi˛ekszej niż odwrotność
czasu martwego 1/τ , mierzona szybkość zliczeń zaczyna spadać. Z kolei w modelu nieparalizowalnym, rośnie ona asymptotycznie do wielkości równej 1/τ . Przedstawione jest to na wykresie
z rysunku 3.5. Mierzona szybkość zliczeń zależy od elektroniki, a ta zależy z kolei od wybranego
protokołu akwizycji danych. W przypadku pomiarów do mojej pracy inżynierskiej, wybrany został
protokół, który zwykle jest ustawiany przy badaniu kości i nie jest on ustawiony optymalnie pod
katem
˛
szybkości zliczeń. Protokołami, które sa˛ optymalizowane pod tym katem,
˛
sa˛ na przykład
protokoły do badań dynamicznych.
30
3.3. Pomiary charakterystyki kolimatora
Rysunek 3.4: Modele czasu martwego układu zliczajacego.
˛
Rysunek 3.5: Wykresy charakterystyki szybkości zliczeń dla dwóch modeli czasu martwego.
3.3 Pomiary charakterystyki kolimatora
Najistotniejszym elementem pomiaru charakterystyki kolimatora były pomiary funkcji odpowiedzi
kolimatora na źródło punktowe PSRF. Z powodu fizycznych trudności w przygotowaniu źródeł o
dużych aktywnościach zamkni˛etych w bardzo małej obj˛etości, konieczne było posłużenie si˛e źródłem liniowym (a właściwie „walcowym” - roztwór technnetu 99m T c znajdował si˛e w strzykawce
insulinowej). Wymiary strzykawki o kształcie walca wynosiły: średnica 5 mm i długość 7 cm.
Otrzymane źródło liniowe 99m T c miało aktywność, podana˛ przez pracowników Pracowni Radiochemicznej, wynoszac
˛ a˛ 5, 4 mCi ≈ 199, 8 M Bq. Z uwagi na ustawienie głowic naprzeciw siebie,
możliwe były jednoczesne pomiary obu detektorów badanego skanera SPECT (detektory te w dalszej cz˛eści pracy sa˛ określane jako DET1 oraz DET2) i analiza wyników została przeprowadzona
osobno dla każdego z nich. Detektory miały założony niskoenergetyczny kolimator wysokiej rozdzielczości typu LEHR wykonany z ołowiu. Funkcje odpowiedzi zmierzone zostały dla dwóch
różnych ustawień źródła-strzykawki: w kierunku x wzgl˛edem detektora (poziomej) oraz w kierunku y wzgl˛edem detektora (pionowej). Ustawienie strzykawki wzgl˛edem detektora i wymienione
3.3. Pomiary charakterystyki kolimatora
31
kierunki pokazane sa˛ na zdj˛eciu z rysunku 3.6. Pomiary wykonane były w oknach energetycznych: 140, 5 keV ± 10%, 120 keV ± 10%, 100 keV ± 10%, 80 keV ± 10% oraz w oknie b˛edacym
˛
suma˛ wszystkich powyższych okien - dla źródła ustawionego poziomo, oraz tylko dla sumy powyższych okien (z uwagi na pomyłk˛e przy podawaniu parametrów do programu obsługujacego
˛
skaner) - dla źródła ustawionego pionowo. W zwiazku
˛
z tym, dokładnej analizie poddane zostały
wyniki z sumy okien energetycznych oraz okna 140, 5 keV ± 10% jedynie dla źródła ustawionego
poziomo (tylko w tym przypadku analiza przeprowadzona jest bez rozróżniania detektorów DET1
i DET2 w celu osiagni˛
˛ ecia lepszej statystyki).
Rysunek 3.6: Ustawienie źródła liniowego - strzykawki z 99m T c, w trakcie wykonywania pomiarów.
Jak zostało już wspomniane w punkcie 2.3.2 dotyczacym
˛
kolimatorów, sa˛ one charakteryzowane
przez funkcj˛e odpowiedzi na źródło punktowe PSRF. Funkcja ta z kolei może być dość dobrze opisana przez dwuwymiarowa˛ funkcj˛e Gaussa o parametrze szerokości połówkowej F W HMcol (wzór
(2.15)). Z uwagi na fakt, że w tym przypadku do pomiarów użyte zostało źródło liniowe („walcowe”), konieczne było zmodyfikowanie modelu teoretycznego. Zmierzony rzut dwuwymiarowy
takiego źródła jest rzutem prostopadłym strzykawki (walca) i zarejestrowany obraz na płaszczyźnie
detektora ma kształt prostokata
˛ splecionego z funkcja˛ odpowiedzi kolimatora na źródło punktowe
(źródło takie o skończonych wymiarach przestrzennych jest superpozycja˛ źródeł punktowych). Jeżeli przetniemy źródło majace
˛ postać walca-strzykawki płaszczyzna˛ prostopadła˛ do osi walca, to
w przekroju takim otrzymamy dwuwymiarowe źródło majace
˛ kształt koła. Analizowana w takiej
płaszczyźnie funkcja odpowiedzi kolimatora jest wi˛ec splotem teoretycznej funkcji (zależnej od
kształtu źródła) opisujacej
˛ rozkład zliczeń na powierzchni detektora przy idealnej kolimacji oraz
jednowymiarowej funkcji Gaussa opisujacej
˛ funkcj˛e odpowiedzi kolimatora w kierunku prostopadłym do strzykawki. Model teoretyczny użyty do analizy otrzymanych danych doświadczalnych
zawierał w sobie parametry skończonych rozmiarów źródła. Opisana˛ powyżej ide˛e, dwuwymiarowe źródło w kształcie koła w odległości d od płaszczyzny detektora, prezentuje rysunek 3.7
(kierunek prostopadły do osi walca oznaczony jest tutaj przez x). Aby policzyć teoretyczna˛ funkcj˛e odpowiedzi P (x) układu w kierunku x na źródło b˛edace
˛ w przekroju kołem, należy policzyć
splot idealnie prostopadłego rzutu źródła przestrzennie rozciagłego
˛
S(x), opisujacego
˛
rozkład zliczeń na powierzchni detektora, z jednowymiarowa˛ funkcja˛ Gaussa charakteryzujac
˛ a˛ funkcj˛e odpowiedzi kolimatora na źródło punktowe PSRF. Rozklad S(x), jak zostało wspomniane, obliczany
jest przy założeniu idealnej kolimacji (rejestrowane tylko fotony majace
˛ kierunek prostopadły do
powierzchni detektora). Aby go wyznaczyć, należy zsumować (scałkować) aktywności pochodza˛
ce od każdego z punktowych źródeł tworzacych
˛
ci˛eciw˛e l źródła-koła dla każdej wartości x. Z
twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że długość ci˛eciwy wyrażona jest wzorem (3.9), co ilustruje
32
3.3. Pomiary charakterystyki kolimatora
Rysunek 3.7: Schemat pomiaru źródeł „walcowych” w przekroju poprzecznym do osi strzykawki.
również rysunek 3.8.
Rysunek 3.8: Idea obliczenia rozkładu S(x).
√
l = 2 r 2 − x2
(3.9)
Rozkład S(x) jest zatem dany wzorem (3.10):
√
S(x) = 2C r2 − x2
(3.10)
W równaniu (3.10) stała proporcjonalności C zwiazana
˛
jest z aktywnościa˛ źródła.
Teoretyczna funkcja P (x) opisujaca
˛ odpowiedź układu na źródło majace
˛ kształt walca w projekcji
prostopadłej do osi tego walca wyrażona jest jako splot S(x) z jednowymiarowa˛ funkcja˛ odpowiedzi kolimatora P SRFx (x; σ1 ):
P (x) = S(x) ⊗ P SRFx (x; σ1 )
(3.11)
Jak zostało już wspomniane wcześniej, funkcj˛e P SRFx (x; σ1 ) można przybliżyć jednowymiarowa˛
funkcja˛ Gaussa G(x; σ). Zatem równanie (3.11) możemy zapisać jako:
P (x) ≈ S(x) ⊗ G(x; σ1 )
(3.12)
W celu obliczenia tego splotu w spośob numeryczny, napisany został do tego celu program w
środowisku ROOT. Program ten pozwolił na wyznaczenie poprawki uwzgl˛edniajacej
˛ skończone
3.3. Pomiary charakterystyki kolimatora
33
rozmiary źródła. Splot ten został policzony dla szerokiego zakresu parametrów odchylenia standardowego funkcji Gaussa {σ1 }. Numerycznie splecione funkcje zostały nast˛epnie dopasowane funkcjami Gaussa, w wyniku czego otrzymany został zestaw parametrów {σ0 }. Dzi˛eki temu otrzymana
została zależność σ1 (σ0 ). Z uwagi na fakt, że otrzymane doświadczalnie funkcje P (x) sa˛ również
z bardzo dobrym przybliżeniem funkcjami Gaussa, to równanie (3.12) można zapisać jako:
P (x) ≈ G(x; σ0 ) = S(x) ⊗ G(x; σ1 )
(3.13)
Poprawka σ1 (σ0 ) pozwala wi˛ec na wyeliminowanie skończonych rozmiarów przestrzennych źródła i rozważać dalej funkcj˛e odpowiedzi na źródło punktowe PSRF. Szerokość połówkowa F W HMcol
policzona została nastepnie z wyprowadzonej w punkcie 2.3.2 zależności mi˛edzy szerokościa˛ połówkowa˛ a odchyleniem standardowym σ funkcji Gaussa (wzór (2.14)). Pozwoliło to na wyznaczenie zależności F W HMcol od odległości d źródła od detektora dla obu głowic. Zależności te
nast˛epnie zostały dopasowane teoretyczna˛ funkcja˛ dana˛ równaniem (2.16), co pozwoliło na obliczenie wewn˛etrznej zdolności rozdzielczej detektora F W HMi oraz parametru p i, w konsekwencji, kata
˛ granicznego αg .
Rozdział 4
Wyniki i analiza pomiarów
4.1 Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki szybkości zliczeń detektora
W wyniku przeprowadzonych pomiarów przy użyciu technetowych źródeł punktowych, otrzymano szereg obrazów rozkładu szybkości zliczeń na powierzchni detektora dla różnych odległości d
źródło-detektor. Dla źródła 35 M Bq niektóre z nich zaprezentowane zostały one na rysunku 4.1,
zaś dla źródła 21 M Bq na rysunku 4.2 (skala kolorowa na wszystkich rysunkach oznacza zarejestrowana˛ liczb˛e zliczeń na sekund˛e w każdym pikselu obrazu). Charakterystyka szybkości zliczeń
Rysunek 4.1: Technetowe źródło punktowe 35 M Bq - zarejestrowane obrazy DICOM.
4.1.1. Charakterystyka szybkości zliczeń całego detektora
35
Rysunek 4.2: Technetowe źródło punktowe 21 M Bq - zarejestrowane obrazy DICOM.
została zbadana dla całego detektora oraz lokalnie, w trzech wybranych obszarach detektora (centralnego okr˛egu o środku w punkcie (0, 0) i promieniu R = 30 pikseli, pierścienia o środku w
punkcie (0, 0) i promieniach wewn˛etrznym R1 = 30 pikseli i zewn˛etrznym R2 = 50 pikseli oraz
reszty detektora rozumianej jako powierzchni˛e powstała˛ w wyniku odj˛ecia od całej powierzchni
detektora centralnego okr˛egu o promieniu 50 pikseli). Analiza charakterystyki z całej powierzchni
detektora prezentowana jest w punkcie 4.1.1, zaś z wymienionych obszarów w punkcie 4.1.2.
4.1.1 Charakterystyka szybkości zliczeń całego detektora
Rysunek 4.3 przedstawia zmierzona˛ szybkość zliczeń na piksel w zależności od odległości źródła
od detektora d dla całej powierzchni detektora. Porównujac
˛ otrzymana˛ doświadczalnie wartość
szybkości zliczeń w przypadku źródła silniejszego 35 M Bq, dla najdalszej zmierzonej odległości
d (wynoszacej
˛ 2, 71 m) oraz uwzgl˛edniajac
˛ spadek aktywności źródła od momentu pomiaru aktywności do momentu wykonania pomiaru, okazuje si˛e, że z bardzo dobrym przybliżeniem jest
ona zgodna z obliczona˛ teoretycznie szybkościa˛ zliczeń ze wzoru (3.6). Obliczona na tej podstawie czułość detektora wynosi 78%. Podobne obliczenie przeprowadzone dla źródła słabszego
daje w przybliżeniu wynik szybkości zliczeń 3, 9 razy wi˛ekszy niż wynikałoby to z teorii. Oznacza to, że słabsze źródło miało faktyczna˛ aktywność wynoszac
˛ a˛ około 21 M Bq. Jest to widoczne
również na wykresie z rysunku 4.3. Gdyby prawdziwa była aktywność 5, 4 M Bq, to stosunek
szybkości zliczeń zmierzonych dla najdalszych odległości źródeł od detektora powinien wynosić
35/5, 4 ≈ 6, 5, tymczasem wynosi on około 1, 75. Wszystkie teoretyczne krzywe oczekiwanej
szybkości zliczeń liczone były zakładajac,
˛ że szybkość zliczeń zmierzona w najdalszej odległości
36
4.1. Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki szybkości zliczeń detektora
Rysunek 4.3: Szybkość zliczeń na piksel w całym obszarze detektora (źródła 35 M Bq i 21 M Bq).
źródła od detektora odpowiada teoretycznej wartości, tzn. że ta szybkość zliczeń mieści si˛e w liniowym zakresie odpowiedzi detektora na nat˛eżenie padajacego
˛
promieniowania (efekt „nasycania
si˛e” detektora jest pomijalnie mały) oraz współczynnik sA funkcji N (x, y; d) dopasowujemy do
danych doświadczalnych tak, aby zmierzona szybkość zliczeń w punkcie (x, y) na płaszczyźnie
detektora, dla danej odległości d, była określona wzorem (3.3).
W celu zbadania charakterystyki szybkości zliczeń detektora, wykonane zostały wykresy zmierzonej szybkości zliczeń m w zależności od oczekiwanej n dla obu źródeł punktowych. Wykresy te
prezentowane sa˛ na rysunkach 4.4 oraz 4.6. Z wykresów wynika, że układ nie jest w stanie zliczyć
Rysunek 4.4: Zależność zmierzonej szybkości zliczeń od oczekiwanej dla źródeł punktowych
35 M Bq oraz 21 M Bq.
wi˛ecej zdarzeń niż 200 tysi˛ecy na sekund˛e i w konsekwencji obserwowany jest efekt „nasycania
si˛e” detektora. Dla wartości oczekiwanych szybkości zliczeń wi˛ekszych niż 200 tysi˛ecy na sekund˛e, obserwujemy spadek rejestrowanej szybkości zliczeń. Prawdopodobnie przyczyna˛ tego jest
zmiana kalibracji energetycznej detektora. Zmiana ta została zaobserwowana jako przesuni˛ecie
głównego piku widma (odpowiadajacego
˛
energii 140, 5 keV ) w stron˛e niższych wartości energii.
4.1.1. Charakterystyka szybkości zliczeń całego detektora
37
Widma te, dla trzech odległości źródła d od detektora, pokazane sa˛ na rysunku 4.5.
Rysunek 4.5: Zarejestrowane widma energetyczne punktowego źródła 99m T c (21 M Bq) dla trzech
odległości źródła od detektora.
W celu obliczenia czasu martwego τ , dane przedstawione zostały w liniowym zakresie charakterystyki oraz dopasowane funkcja˛ dana˛ wzorem (3.8). Zostało to przedstawione na rysunku 4.6.
Prosta m = n na wykresie z rysunku 4.6 przedstawiona jest kolorem czerwonym. Czas martwy τ
Rysunek 4.6: Zależność zmierzonej szybkości zliczeń od oczekiwanej w liniowym zakresie charakterystyki szybkości zliczeń (oba źródła).
dla obu źródeł promieniotwórczych, wynikajacy
˛ z dopasowania funkcji (3.8) do danych z wykresu
4.6, prezentuje tabela 4.1. Z tabeli 4.1 wynika, że czas martwy uzyskany w wyniku dopasowaŹródło
[MBq]
21
35
Czas martwy τ
[µ s]
1,15
1,14
Bład
˛ czasu marwego
∆τ [µ s]
0,25
0,25
Tabela 4.1: Tabela z otrzymanym w wyniku dopasowania czasem martwym układu.
38
4.1. Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki szybkości zliczeń detektora
nia, dla obu źródeł promieniotwórczych i dla wykorzystanego protokołu akwizycji danych, jest w
granicy bł˛edu taki sam i wynosi nieco ponad jedna˛ mikrosekund˛e. Taka wartość czasu martwego
jest zgodna z oczekiwaniem i pozwoliła na wyznaczenie ze wzoru (3.8), dla jakiej oczekiwanej
szybkości zliczeń n zmierzona szybkość zliczeń m jest mniejsza od oczekiwanej o 20%. Spadek
ten ma taka˛ wartość przy wielkości n wynoszacej
˛ około n = 174 · 103 1s .
Ponadto, w celu zobrazowania zależności szybkości zliczeń zmierzonej m w stosunku do oczekiwanej n, został narysowany wykres przedstawiony na rysunku 4.7.
Rysunek 4.7: Stosunek zmierzonej szybkości zliczeń do oczekiwanej w zależności oczekiwanej szybkości zliczeń (oba źródła).
W tym miejscu warto również zauważyć, że typowe szybkości zliczeń w badaniach diagnostycznych wynosza˛ mniej niż 10 tysi˛ecy zliczeń na sekund˛e (w przypadku pokazanego we wst˛epie na
rysunku 1.1 badania kośćca sa˛ to 8494 zliczenia na sekund˛e). Wynika z tego, że w badaniach
diagnostycznych poruszamy si˛e w liniowym zakresie charakterystyki szybkości zliczeń.
4.1.2 Lokalna charakterystyka szybkości zliczeń
Na wykresach z rysunków 4.10 oraz 4.9 pokazane sa˛ szybkości zliczeń na piksel w trzech analizowanych obszarach detektora, które zostały zdefiniowane na wst˛epie. Krzywe teoretyczne oczekiwanej szybkości zliczeń liczone były przy użyciu wzorów (3.4) - w przypadku szybkości zliczeń
w pierścieniu i (3.5) - w przypadku szybkości zliczeń w centralnym okr˛egu. Przykładowe krzywe
teoretyczne (narysowane dla słabszego źródła o aktywności 21 M Bq) pokazane sa˛ na wykresie
z rysunku 4.8. Z wykresów 4.9 oraz 4.10 widać zgodny z oczekiwaniem spadek szybkości zliczeń w zależności od tego, czy badany obszar położony jest dalej od środka detektora, w którym
znajduje si˛e centralny pik funkcji N (x, y; d) (rysunek 3.3). W celu zbadania lokalnej charakterystyki szybkości zliczeń w badanych obszarach, stworzony został wykres 4.11. Z analizy wykresu
na rysunku 4.11 wysuwa si˛e wniosek, że lokalne charakterystyki zliczeń nie sa˛ jednakowe w badanych obszarach detektora. Potwierdzaja˛ to również projekcje pokazne na rysunku 4.15. Widać
również, że użyte do badania lokalnej charakterystyki szybkości zliczeń źródła promieniotwórcze
były zbyt silne - w momencie, gdy „nasyca si˛e” jeden obszar detektora, to w pozostałych obszarach
również obserwujemy spadek mierzonej szybkości zliczeń. W celu poprawnego przeprowadzenia
takiej analizy należałoby użyć takich źródeł, by w obszarze, na który pada najwi˛eksze nat˛eżenie
promieniowania, obecny był efekt „nasycania si˛e”, a w pozostałych obszarach, by padajace
˛ na nie
4.1.2. Lokalna charakterystyka szybkości zliczeń
39
Rysunek 4.8: Teoretyczne funkcje zależności szybkości zliczeń od odległości dla źródła 21 M Bq.
Rysunek 4.9: Szybkość zliczeń na piksel w badanych obszarach detektora (źródło 35 M Bq).
nat˛eżenie mieściło si˛e w liniowej charakterystyce szybkości zliczeń.
Przeprowadzona została również analiza wyników obrazów źródeł punktowych z rysunków 4.1
oraz 4.2 pod katem
˛
ich zgodności z teoretycznym rozkładem zliczeń na płaszczyźnie detektora.
W tym celu w środowisku ROOT napisany został program z zadeklarowana˛ funkcja˛ dopasowania
N (x, y; d) zgodnie ze wzorem (3.3) (dodatkowo, z uwagi na niedokładnie centralne ustawienie
źródła, wprowadzone zostały parametry przesuni˛ecia xsh oraz ysh w odpowiednich kierunkach),
gdzie parametrami dopasowywanymi były: sA - szybkość zliczeń, oraz wspomniane parametry
przesuni˛ecia xsh oraz ysh . Odległość źródła od detektora d była parametrem podawanym do programu. Dopasowanie zostało przeprowadzone za pomoca˛ zaimplementowanego w środowisku ROOT
algorytmowi MINOS, który działa na zasadzie minimalizacji wielkości χ2 . Na wykresie z rysunku 4.12 pokazana jest zależność χ2 dzielona przez liczb˛e stopni swobody (ang. ndf - number of
degrees of freedom) - czyli jakość dopasowania funkcji N (x, y; d) do otrzymanych obrazów dla
analizowanych źródeł punktowych o aktywnościach 35 M Bq oraz 21 M Bq. Widoczny jest efekt
znaczacego
˛
pogarszania si˛e jakości dopasowania dla odległości źródła od detektora mniejszych niż
40
4.1. Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki szybkości zliczeń detektora
Rysunek 4.10: Szybkość zliczeń na piksel w badanych obszarach detektora (źródło 21 M Bq).
Rysunek 4.11: Stosunek zmierzonej szybkości zliczeń do oczekiwanej dla badanych obszarów detektora (oba źródła).
d = 0, 7 m, przy czym trend tego pogarszania (wzrostu χ2 /ndf ) dla obu źródeł jest jednakowy. Dla
odległości mniejszych niż pokazane na wykresie, dopasowanie si˛e nie powiodło. Ponadto, w celu
lepszego pokazania zgodności dopasowania z danymi pomiarowymi, wykonane zostały projekcje obrazów oraz funkcji dopasowania wzdłuż osi x oraz y dla rz˛edu 20 środkowych pikseli (przy
czym projekcja oznacza tutaj histogram b˛edacy
˛ rzutem obrazu na dana˛ oś x lub y ze zsumowanymi
wartościami pikseli drugiej osi w zadanym zakresie). Ide˛e wykonywania takiej projekcji przedstawia rysunek 4.13 Dla trzech wybranych odległości, projekcje te przedstawione sa˛ na wykresach z
rysunku 4.15. Widać wi˛ec, że potwierdzaja˛ one coraz gorsza˛ jakość dopasowania dla coraz bliższych odległości źródła od detektora. Jest to przede wszystkim wynikiem efektu „nasycania si˛e”
detektora, który został opisany wcześniej. W przypadku, gdy efekt ten nie odgrywa znaczacej
˛ roli
widzimy, że obraz zarejestrowany przez detektor odpowiada z bardzo dobra˛ dokładnościa˛ funkcji
teoretycznej. Z wykresów na rysunku 4.15 widać ponadto, że dla odległości źródła dalekich od
detektora, rozkład szybkości zliczeń zaczyna zbiegać do jednorodonego. W celu pokazania odchy-
4.1.2. Lokalna charakterystyka szybkości zliczeń
41
Rysunek 4.12: Zależność χ2 dzielonego przez liczb˛e stopni swobody od odległości.
Rysunek 4.13: Ideowy schemat przeprowadzenia projekcji obrazu w wybranym kierunku.
lenia funkcji N (x, y; d) od rozkładu jednorodnego, policzone zostało średnie odchylenie wzgl˛edne
∆, zależne od odległości d źródło-detektor. Dane jest ono wzorem (4.1).
⟩
⟨
|N (x, y; d)− < N (x, y; d) >x,y |
(4.1)
∆(d) =
< N (x, y; d) >x,y
x,y
Wykres zależności odchylenia ∆ od odległości mi˛edzy źródłem a detektorem prezentuje wykres z
rysunku 4.14. Z analizy wykresu 4.14 wynika wzrost odchylenia ∆ mi˛edzy funkcja˛ N (x, y; d) a
rozkładem jednorodnym dla coraz bliższych odległości źródła od detektora. Widać również, że dla
najdalszych mierzonych odległości (powyżej 2, 7 m) wielkość ta jest bardzo mała i, w przypadku
wspomnianej odległości d = 2, 7 m, wynosi ∆ = 0, 0084, czyli rozkład szybkości zliczeń na powierzchni detektora może być z bardzo dobrym przybliżeniem opisany przez rozkład jednorodny.
Aby sprawdzić, czy dla zmierzonych obrazów, dla najdalszych mierzonych odległości źródła od
detektora, zarejestrowany rozkład szybkości zliczeń jest jednorodny, również dla nich obliczone
42
4.1. Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki szybkości zliczeń detektora
Rysunek 4.14: Średnie wzgl˛edne odchylenia ∆ w zależności od odległości źródła od detektora d.
zostało średnie odchylenie wzgl˛edne ∆m dane równaniem (4.2).
⟩
⟨
|m(x, y)− < m(x, y) >x,y |
∆m =
< m(x, y) >x,y
x,y
(4.2)
W równaniu (4.2) wielkość m(x, y) to zarejestrowana szybkość zliczeń w pikselu o pozycji odpowiadajacej
˛ punktowi (x, y) na płaszczyźnie detektora. Wyznaczone wielkości ∆m dla obu źródeł
promieniotwórczych prezentuje tabela 4.2. Z tabeli 4.2 wynika, że wielkość ∆m jest stosunkowo
Źródło promieniotwórcze
[MBq]
35
21
Odległość d Parametr
[m]
∆m
2,711
0,068
2,714
0,086
Tabela 4.2: Średnie odchylenie wzgl˛edne rejestrowanego rozkładu szybkości zliczeń od jednorodności ∆m .
mała w przypadku obu źródeł promieniotwórczych, zatem otrzymywany obraz dla dużych odległości źródła od detektora jest w dobrym przybliżeniu rozkładem jednorodnym.
4.2. Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki kolimatora
43
Rysunek 4.15: Projekcje obrazów DICOM oraz funkcji dopasowania (źródło 21 M Bq).
4.2 Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki kolimatora
W wyniku przeprowadzonych pomiarów liniowych źródeł technetowych otrzymano szereg obrazów DICOM rozkładu szybkości zliczeń zarejestrowanych przez detektory dla różnych odległości
źródła od detektora i dwóch różnych ustawień źródła liniowego (w kierunkach x - poziomym oraz
y - pionowym). Dla pionowego ustawienia źródła przykładowe obrazy dla wybranych odległości źródła od detektora zaprezentowane zostały na rysunku 4.16, zaś dla poziomego na rysunku
4.17 (w obu przypadkach skala kolorowa oznacza liczb˛e zarejestrowanych zliczeń na sekund˛e w
każdym pikselu). Nast˛epnie wykonane zostały projekcje tych obrazów na osie prostopadłe do
44
4.2. Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki kolimatora
Rysunek 4.16: Technetowe źródło liniowe (199, 8 M Bq), ustawienie pionowe - otrzymane obrazy
DICOM.
ustawienia źródła dla rz˛edu trzech środkowych pikseli (projekcja rozumiana jest w tym przypadku tak samo jak w punkcie 4.1; patrz rysunek 4.13). Do projekcji tych nast˛epnie dopasowane
zostały teoretyczne funkcje opisujace
˛ model P (x). Parametry σ dopasowanych funkcji Gaussa
zostały skorygowane, ze wzgl˛edu na skończone rozmiary źródła, wykorzystujac
˛ procedura˛ przedstawiona˛ w punkcie 3.3. Przykłady takiego dopasowania, dla kilku wybranych odległości źródła
od detektora, pokazane sa˛ na wykresach z rysunku 4.18. Z rysunków 4.16, 4.17 oraz 4.18 widać,
zgodne z oczekiwaniem, zw˛eżanie si˛e szerokości otrzymanych obrazów ze zmniejszaniem odległości źródło-detektor, a wi˛ec i zw˛eżanie si˛e dopasowanych do projekcji funkcji P (x) (czyli w
konsekwencji zmniejszanie szerokości połówkowych F W HMcol funkcji odpowiedzi kolimatora
na źródło punktowe PSRF).
Z uwagi na fakt, że pomiary w oknie energetycznym 140, 5 keV ± 10% zostały przeprowadzone tylko dla poziomego ustawienia źródła (czyli w kierunku y) oraz niewielka˛ liczb˛e pomiarów
osobno dla każdego z detektorów, analiza tego okna przedstawiona została bez rozróżniania detektorów DET1 i DET2. W przypadku pomiarów sumy okien energetycznych statystyka pozwoliła
na analiz˛e każdego z nich osobno. Wyniki pomiarów szerokości połówkowych F W HMcol w tym
kierunku, w zależności od odległości d, źródło-detektor w oknie energetycznym 140, 5 keV ± 10%
pokazuje wykres 4.19. Jest to najistotniejszy element charakterystyki detektora i kolimatora, decydujacy
˛ o zdolności rozdzielczej układu. Z rysunku 4.19 wynika dobra zgodność danych doświadczalnych z teoretyczna˛ funkcja˛ opisujac
˛ a˛ zależność szerokości połówkowych funkcji odpowiedzi
kolimatora PSRF od odległości, dana˛ wzorem (2.16). Kolejne wykresy (na rysunkach 4.20 - dla detektora DET1, 4.21 - dla detektora DET2 oraz 4.22 - oba detektory jednocześnie, suma okien energetycznych oraz okno 140 keV ± 10%), prezentuja˛ porównanie szerokości połówkowych funkcji
4.2. Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki kolimatora
45
Rysunek 4.17: Technetowe źródło liniowe (199, 8 M Bq), ustawienie poziome - otrzymane obrazy
DICOM.
odpowiedzi dla obu detektorów oraz dla różnych ustawień źródła wzgl˛edem detektora. Z analizy
powyższych rysunków widać, że wzór (2.16) również w przypadku sumy okien energetycznych
dobrze opisuje zmierzone dane. Otrzymane w wyniku dopasowania funkcji teoretycznej parametry prezentuje tabela 4.3. Z tabeli 4.3 wynika, że otrzymane doświadczalnie wewn˛etrzne zdolności
Detektor - okno en.
Kierunek
DET1,DET2 - 140 keV
kierunek y
DET1,DET2 - suma okien
kierunek y
DET1 - suma okien
kierunek x
DET1 - suma okien
kierunek y
DET2 - suma okien
kierunek x
DET2 - suma okien
kierunek y
Rozdzielczość
detektora F W HMi [mm]
5, 84
Bład
˛ rozdzielczości
∆F W HMi [mm]
0, 18
5, 94
0, 19
5, 93
0, 19
5, 96
0, 19
5, 34
0, 16
5, 95
0, 19
Tabela 4.3: Tabela dopasowania parametru własnej przestrzennej zdolności rozdzielczej detektora
F W HMi .
46
4.2. Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki kolimatora
Rysunek 4.18: Projekcje funkcji odpowiedzi oraz dopasowania na oś x.
Rysunek 4.19: Zależność szerokości połówkowych od odległości źródła od detektora (okno
140 keV ).
rozdzielcze obu detektorów sa,˛ w granicach bł˛edu, takie same i wynosza˛ niecałe 6 mm. Jedyna niższa wartość szerokości połówkowej otrzymana dla detektora DET2 i źródła ustawionego w
kierunku pionowym wynika z małej liczby zmierzonych punktów doświadczalnych dla bliskich
odległości źródła od detektora (jest to widoczne na wykresie z rysunku 4.21).
Parametr p, czyli współczynnik nachylenia cz˛eści liniowej zależności szerokości połówkowych
F W HMcol od odległości d, jest wi˛ekszy dla wyników z sumy okien energetycznych niż w oknie
140 keV , co widoczne jest również na wykresie z rysunku 4.22. Jest to wynikiem uwzgl˛edniania
w pomiarach, w przypadku sumy okien energetycznych, zliczeń pochodzacych
˛
ze zjawiska fluorescencji kolimatora (emisji charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego powstałego
w wyniku efektu fotoelektrycznego w materiale kolimatora) oraz rozproszonych fotonów gamma. Obserwujemy statystycznie istotna˛ różnic˛e, około 3%, szerokości połówkowych F W HMcol
w kierunkach x i y. Najprawdopodobniej wynika ona z budowy kolimatora (patrz punkt 4.3), który
nie miał otworów o kształcie heksagonalnym (dokładniejsza analiza geometrii otworów kolimatora w punkcie 4.3). Otrzymane parametry p zostały również przeliczone na katy
˛ graniczne αg
zgodnie ze wzorem (2.17). Prezentuje to tabela 4.4. Obliczony kat
˛ graniczny αg wynosi około 5,2
stopnia.
4.2. Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki kolimatora
47
Rysunek 4.20: Zależność szerokości połówkowych od odległości źródła od detektora (DET1, suma
okien energetycznych).
Rysunek 4.21: Zależność szerokości połówkowych od odległości źródła od detektora (DET2, suma
okien energetycznych).
Na rysunku 4.23 prezentowane sa˛ przekroje uzyskanej funkcji odpowiedzi kolimatora na źródło
punktowe P SRF (x, y, d) dla y = 0. Obraz po lewej stronie narysowany jest w zakresie osi x obejmujacej
˛ cała˛ szerokość detektora, zaś obraz po prawej stronie pokazuje funkcj˛e PSRF w powi˛ekszeniu. Skala kolorowa na obrazach ma sens wzgl˛ednego prawdopodobieństwa zarejestrowania
fotonu w punkcie (0, 0) na płaszczyźnie detektora, wyemitowanego ze źródła punktowego znajdujacego
˛
si˛e w odległości d od detektora. Funkcja PSRF stanowi grup˛e elementów macierzowych
hij macierzy systemu H w równaniu (2.18) i może być używana bezpośrednio w iteracyjnych algorytmach rekonstrukcji obrazu.
48
4.2. Wyniki i analiza pomiarów charakterystyki kolimatora
Rysunek 4.22: Zależność szerokości połówkowych od odległości źródła od detektora (oba detektory
jednocześnie).
Detektor - okno en.
Kierunek
DET1,DET2 - 140 keV
kierunek y
DET1,DET2 - suma okien
kierunek y
DET1 - suma okien
kierunek x
DET1 - suma okien
kierunek y
DET2 - suma okien
kierunek x
DET2 - suma okien
kierunek y
Parametr
p
4, 29 · 10−2
Bład
˛ parametru
∆p
4, 31 · 10−4
Kat
˛ graniczny Bład
˛ kata
˛ gr.
◦
αg [ ]
∆αg [◦ ]
5, 22
0, 05
4, 66 · 10−2
4, 37 · 10−4
5, 67
0, 06
4, 76 · 10−2
4, 39 · 10−4
5, 79
0, 06
4, 66 · 10−2
4, 38 · 10−4
5, 67
0, 06
4, 81 · 10−2
4, 39 · 10−4
5, 85
0, 07
4, 65 · 10−2
4, 37 · 10−4
5, 66
0, 06
Tabela 4.4: Wyznaczony z pomiarów parametr p określajacy
˛ geometryczna˛ cz˛eść zależności
F W HMcol (d) i obliczony kat
˛ graniczny αg .
Z otrzymanych parametrów opisujacych
˛
zależność szerokości połówkowych funkcji odpowiedzi
PSRF od odległości źródła od detektora, policzone zostały szerokości połówkowe F W HMcol dla
odlełości d wynoszacych
˛
5 cm, 10 cm oraz 15 cm. Obliczenia te zostały przeprowadzone w kierunkach x oraz y i zaprezentowane sa˛ w tabeli 4.5.
4.3. Wyniki i analiza pomiarów zjawiska penetracji ścian kolimatora
49
Rysunek 4.23: Przekrój poprzeczny przez funkcj˛e odpowiedzi na źródło punktowe PSRF.
Odległość d
F W HMcol
[cm]
Kierunek x [mm]
5
6, 39 ± 0, 34
10
7, 60 ± 0, 28
15
9, 28 ± 0, 23
F W HMcol
Kierunek y [mm]
6, 43 ± 0, 49
7, 66 ± 0, 42
9, 36 ± 0, 34
Tabela 4.5: Wielkości szerokości połówkowych F W HMcol dla wybranych odleglości źródła od
detektora d.
4.3 Wyniki i analiza pomiarów zjawiska penetracji ścian kolimatora
Przeprowadzone pomiary pozwoliły na zaobserwowanie efektu penetracji ścian kolimatora. Zjawisko to zostało opisane w cz˛eści teoretycznej pracy w punkcie 2.3.1, dotyczacym
˛
budowy kolimatorów. Efekt ten został zaobserwowany w trakcie wykonywania pomiarów źródła liniowego
izotopu 99m T c i, dla kilku wybranych odległości źródła od detektora DET1: najbliższej zmierzonej - 1, 4 cm, typowej odległości pacjenta od detektora w trakcie badań diagnostycznych - około
20 cm, oraz odległości 72 cm, dla której efekt ten jest najlepiej widoczny, pokazany jest na rysunku 4.24 (skala kolorowa na tym rysunku oznacza szybkość zliczeń w każdym pikselu). W celu
lepszego pokazania faktu, że dodatkowe zliczenia dochodza˛ w „ogonach” funkcji odpowiedzi kolimatora na źródło punktowe, na rysunku 4.25 pokazana jest projekcja obrazu, dla którego efekt
ten jest najwi˛ekszy (dla detektora DET2 i poziomego ustawienia źródła przy odległości źródła od
detektora d wynoszacej
˛ 1, 167 m). W celu dobrego zobrazowania tego efektu, oś wartości została
wyrysowana w skali logarytmicznej. Z rysunku 4.25 widać, że dodatkowe zliczenia sa˛ szczególnie
zauważalne w obszarze detektora dalekim od centralnego maksimum funkcji odpowiedzi PSRF i
w tych obszarach przybliżenie funkcja˛ Gaussa nie jest dobre. Aby zobaczyć, jaki % całości stanowi efekt penetracji ścian kolimatora, policzony został, dla tych samych odległości co na rysunku
4.24, stosunek zliczeń w centralnym piku funkcji odpowiedzi do reszty obrazu. W obliczeniach
uwzgl˛ednione zostało tło, którego wkład do całości obrazu, w przypadku obrazu zarejestrowanego dla odległości d = 72 cm, wyniósł 0,9%. Centralny pik funkcji wybrany został aribtralnie
50
4.3. Wyniki i analiza pomiarów zjawiska penetracji ścian kolimatora
Rysunek 4.24: Efekt penetracji ścian kolimatora (źródło 99m T c).
Rysunek 4.25: Porównanie efektu penetracji ścian kolimatora z gaussowska˛ funkcja˛ odpowiedzi.
jako obszar o szerokości ±2, 5σ od środka obrazu w kierunku prostopadłym do ustawienia źródła i dalej zaznaczony izokonturem po obszarze o szybkości zliczeń odpowiadajacej
˛ tej, która jest
w punkcie określonym przesuni˛eciem 2, 5σ od środka obrazu. Prezentuje to tabela 4.6. Z tabeli tej wynika wzrost efektu penetracji ścian kolimatora w całości otrzymanych obrazów wraz ze
wzrostem odległości źródła od detektora. Dla odległości 72 cm jego udział wynosiósł ponad 2%.
Przy czym warto również zauważyć, że dla odległości wynoszacej
˛ 20 cm, czyli typowej odległości
pacjenta od detektora, efekt ten okazał si˛e wynosisić około 0,5%. Aby wyjaśnić zaobserwowane
zależności, należy rozpatrzyć sytuacj˛e przedstawiona˛ na rysunku 4.26. Punktowe źródło promieniotwórcze znajduje si˛e w odległości d od detektora. Detektor ma założony kolimator z otworami o
osiach równoległych. Grubość kolimatora wynosi T , grubośc ścianki SP T a szerokość otworu a.
Oznaczmy ponadto odległości x oraz x′ tak, jak to zostało pokazne na rysunku. Załóżmy, że foton
promieniowania gamma wyemitowany ze źródła punktowego pada pod katem
˛
α na powierzchni˛e kolimatora. Droga, jaka˛ przeb˛edzie on w jednej ściance, wynosi SP T / sin α. Liczba ścianek
4.3. Wyniki i analiza pomiarów zjawiska penetracji ścian kolimatora
51
Odległość źródła Efekt penetracji septy
[m]
[%]
0,014
0,28
0,206
0,49
0,724
2,22
Tabela 4.6: Porównanie efektu penetracji ścian kolimatora dla różnych odległości dla źródla
T c.
99m
Rysunek 4.26: Schemat wyprowadzenia funkcji określajacej
˛ zależność drogi fotonu w kolimatorze
od odległości źródła od detektora i odległości od centralnego piku funkcji odpowiedzi na płaszczyźnie detektora.
przecinanych przez tor fotonu, znajdujacych
˛
si˛e na drodze do powierzchni detektora, wynosi w
x′
przybliżeniu a . Stad
˛ całkowita droga D(d, x) fotonu w kolimatorze dana jest wzorem (4.3):
D(d, x) ∼
SP T x′
·
sin α a
(4.3)
Z podobieństwa trójkatów
˛
dostajemy zwiazek:
˛
d
T
=
′
x
x
(4.4)
czyli:
xT
d
Z rysunku 4.26 widać ponadto, że sinus kata
˛ α można zapisać jako:
x
sin α = √
2
d + x2
x′ =
Podstawiajac
˛ (4.6) oraz (4.5) do równania (4.3), otrzymujemy ostatecznie, że D(d, x):
√
√
SP T · T
SP T · d2 + x2
x2
=
D(d, x) ∼
1+ 2
a·d
a
d
(4.5)
(4.6)
(4.7)
52
4.3. Wyniki i analiza pomiarów zjawiska penetracji ścian kolimatora
Jeśli teraz wykorzystamy wzór na osłabienie promieniowania przy przejściu przez matei˛e (2.4), to
funkcja opisujaca
˛ efekt penetracji SP (d, x) wyraża si˛e jako:
SP (d, x) ∼
x2
1
· e−µd ·ρ·D(d,x)
+ d2
(4.8)
Ze wzoru (4.8) wynika, że dla wi˛ekszych odległości d źródła od detektora efekt penetracji ścian
jest wi˛ekszy. Potwierdza to otrzymany doświadczalnie, pokazany w tabeli 4.6, wzrost tego efektu
oraz, że nat˛eżenie fotonów penetrujacych
˛
ścianki maleje z odległościa˛ x od centralnego maksimum funkcji PSRF. Mozna to zaobserwować na wykresie z rysunku 4.28, na którym został przedstawiony profil otrzymanego obrazu dla punktowego źródła jodowego, przy odległości d = 72 cm,
wzdłuż kierunku wyznaczonego przez najbardziej widoczny „ogon” funkcji odpowiedzi.
Rysunek 4.27: Efekt penetracji ścian kolimatora (źródło 131 I).
Rysunek 4.28: Profil obrazu punktowego źródła jodowego dla odległości 72 cm ukazujacy
˛ efekt
penetracji ścian kolimatora.
W celu jeszcze lepszego zaobserwowania efektu penetracji septy, wykonane zostały pomiary źródła punktowego - tabletki jodowej 131 I, która charakteryzuje si˛e emisja˛ promieniowania gamma o
energii głównie 364 keV . Z uwagi na fakt, że zastosowany był ten sam kolimator, co w przypadku pomiarów liniowych źródeł 99m T c, a wi˛ec niskoenergetyczny o wysokiej rozdzielczości typu
4.4. Oszacowanie czułości kolimatora
53
Rysunek 4.29: Schemat romboidalnego kształtu otworów kolimatora.
LEHR, efekt penetracji ścian powinien być w tym przypadku znacznie bardziej widoczny. Wyniki
pomiarów pokazane sa˛ na rysunku 4.27.
Na wyposażeniu Zakładu Medycyny Nuklearnej nie było dost˛epnych szczegółowych danych dotyczacych
˛
używanego kolimatora. Sam kolimator znajdował si˛e zaś w osłonie i nie można było
„gołym okiem” określić kształtu jego otworów. Tego typu pomiary daja˛ możliwość przybliżonego
określenia kształtu tych otworów. Widzimy, że obrazy z rysunku 4.24 różnia˛ si˛e od efektu penetracji septy przedstawionego w cz˛eści teoretycznej na rysunku 2.15 dla kolimatora o otworach
heksagonalnych. W tym przypadku, funkcja odpowiedzi nie ma symetrii heksagonalnej. Jak zostało również wspomniane w cz˛eści teoretycznej, najwi˛eksze prawdopodobieństwo wystapienia
˛
penetracji ścian kolimatora wyst˛epuje dla fotonów biegnacych
˛
w kierunku prostopadłym do tych
ścianek, czemu odpowiadaja˛ wspomniane najwi˛eksze „ogony”. Otrzymane wyniki pozwalaja˛ wi˛ec
założyć, że geometria otworów tego kolimatora ma kształt romboidalny, co przedstawione jest na
rysunku 4.29. Rysunek ten przedstawia również sposób wyznaczenia katów
˛
rozwarcia opisujacych
˛
◦
◦
kształt rombu. W przybliżeniu wynosza˛ one α ≈ 74 i β ≈ 106 .
4.4 Oszacowanie czułości kolimatora
Ponadto, pomiary źródeł liniowych pozwoliły na wyznaczenie czułości samego kolimatora scol .
W przypadku najdalszej zmierzonej odległości źródła od detektora, 1, 167 m, całkowita szybkość
zliczeń zarejestrowana w obrazie dla źródła-strzykawki ustawionego pionowo, wyniosła 1341 zliczeń na sekund˛e. Zakładajac,
˛ że teoretyczna szybkość zliczeń, która byłaby zarejestrowana przez
detektor, z uwzgl˛ednieniem czulości detektora wyliczonej w punkcie 4.1 i wynoszacej
˛ 78%, dana
jest wzorem (3.6) i dla odległości d = 1, 167 m, dla użytego źródła o aktywności 199, 8 M Bq
wynosi 7,09 miliona zliczeń. Dzielac
˛ obie liczby przez siebie otrzymujemy zatem, że czułość kolimatora wynosi scol = 0, 02%, czyli 99,98% promieniowania padajacego
˛
na gamma kamer˛e jest
absorbowane w kolimatorze.
Rozdział 5
Podsumowanie
Tematem mojej pracy inżynierskiej było zbadanie niektórych parametrów charakteryzujacych
˛
detektory oraz kolimatory wykorzystywane w tomografii SPECT. W dwóch pierwszych rozdziałach
opisane zostały założenia medycyny nuklearnej oraz podstawy teoretyczne i fizyczne, b˛edace
˛ baza˛ dla tomografii emisyjnej. Powinny one dać Czytelnikowi ogólny obraz, czym jest diagnostyka radioizotopowa i w jakich celach si˛e stosuje jej metody. Przedstawione zostały tam również
podstawowe efekty wyst˛epujace
˛ w oddziaływaniu promieniowania gamma z materia˛ (efekt fotoelektryczny, rozpraszanie Comptona i Rayleigha, kreacja par elektron-pozyton). Pokazane zostało,
jakie parametry opisuja˛ detektory oraz kolimatory wykorzystywane do badań pacjentów i jak ważne jest ich poznanie, by powstałe w wyniku badań diagnostycznych obrazy charakteryzowały si˛e
najwyższa˛ jakościa.˛
Przeprowadzone pomiary przy użyciu źródeł punktowych 99m T c pozwoliły na zbadanie charakterystyki szybkości zliczeń detektora. Przy małej szybkości zliczeń zaobserwowana została liniowa
charakterystyka. Z tej charakterystyki dwudziestoprocentowy spadek mierzonej szybkości zliczeń
w stosunku do oczekiwanej został zaobserowany dla oczekiwanej wynoszacej
˛ 174 tysiace
˛ zliczeń
na sekund˛e, w wybranym protokole akwizycji danych. Zaobserowano również „nasycanie si˛e” detektora (układ nie rejestrował wi˛ecej niż 200 tysi˛ecy zliczeń na sekund˛e) oraz spadek szybkości
zliczeń dla jeszcze wi˛ekszego nat˛eżenia promieniowania padajacego
˛
na detektor. Przeprowadzone
pomiary pozwoliły na wyznaczenie czasu martwego układu, ktory wyniósł około 1, 15 µs. Analiza charakterystyki szybkości zliczeń została również przeprowadzona lokalnie - w wybranych
obszarach detektora. Rezultatem tej analizy jest fakt, że lokalna charakterystyka szybkości zliczeń
zależy od tego, czy niejednorodne nat˛eżenie promieniowania pada na różne obszary detektora.
Ponadto, pomiary źródeł punktowych pozwoliły potwierdzić przewidywanie teoretyczne, że dla
dalekich odległości źródła od detektora, otrzymywane obrazy sa˛ w bardzo dobrym przybliżeniu
jednorodne.
Pomiary przy użyciu źródeł liniowych 99m T c pozwoliły na zbadanie charakterystyki kolimatora. Sprowadzało si˛e to przede wszystkim do zmierzenia funkcji odpowiedzi na źródło punktowe
PSRF. Zaobserwowano zgodny z teoria˛ liniowy wzrost szerokości połówkowej tej funkcji w miar˛e wzrostu odległości źródło-detektor. W wyniku przeprowadzonych analiz okazało si˛e, że oba
detektory nie różnia˛ si˛e mi˛edzy soba˛ i maja˛ identyczne własne (niezależne od kolimatora) zdolności rozdzielcze (w zakresie bł˛edów pomiaru) wynoszace
˛ niecałe 6 mm. Zaobserwowana została
również niewielka różnica, wynoszaca
˛ 3%, w szerokości funkcji odpowiedzi kolimatora na źródło
dla dwóch prospopadłych wzgl˛edem siebie ustawień źródła x oraz y. Zdolność rozdzielcza układu
(szerokość połówkowa F W HMcol ) dla odległości źródła od detektora 10 cm wyniosła 7, 6 mm.
Ponadto wyniki pozwoliły na wyznaczenie kata
˛ granicznego αg , pod jakimi moga˛ padać fotony na
gamma kamer˛e, by przejść przez otwory kolimatora. Kat
˛ ten wyniósł około 5, 2◦ .
55
W zmierzonych projekcjach zaobserwowano wyst˛epowanie charakterystycznego efektu penetracji
ścian kolimatora. Procentowy udział tego efektu w całym obrazie został określony dla trzech odległości źródła od gamma kamery. Okazało si˛e, że maksymalny jego wkład do otrzymanych obrazów
wynosi około 2 procent, wi˛ec efekt ten jest bardzo niewielki. W przypadku odległości źródła od
detektora typowej dla odległości pacjenta w trakcie badań diagnostycznych, czyli 20 cm, wkład
ten wyniósł około 0,5%. Dla odległości 72 cm, gdzie efekt ten był najwi˛ekszy, wyniósł on około 2, 2%. Ponadto, w celu obserwowania zjawiska penetracji ścian kolimatora, zmierzone zostało
punktowe źródło jodowe - tabletka zawierajaca
˛ promieniotwórczy izotop 131 I, który charakteryzuje si˛e znacznie wyższa˛ energia˛ promieniowania niż zakres stosowalności użytego do pomiarów
kolimatora niskoenergetycznego o wysokiej rozdzielczości typu LEHR. Pomiary te pozwoliły na
zaobserwowanie i wyznaczenie kształtu otworów kolimatora, które nie były wcześniej znane. Okazało si˛e że prawdopodobnie maja˛ one kształt rombu o katach
˛
wynoszacych
˛
odpowiednio α ≈ 74◦
i β ≈ 106◦ . Tego typu kształt otworów kolimatora jest nietypowy, gdyż zdecydowanie najpopularniejszy jest układ hekasgonalny.
Przeprowadzone do tej pracy inżynierskiej pomiary moga˛ zostać wykorzystane w celu implementacji bezpośrednio w algorytmach rekonstrukcji obrazu. Wyznaczona zależność funkcji odpowiedzi kolimatora na źródło punktowe PSRF od odległości może zostać wykorzystana do określenia
elementów hij macierzy systemu H w równaniu (2.18), co w konsekwencji może si˛e przełożyć na
lepsza˛ jakość otrzymywanych w wyniku badań pacjentów obrazów.
Spis tabel
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Tabela z otrzymanym w wyniku dopasowania czasem martwym układu. . . . . . .
Średnie odchylenie wzgl˛edne rejestrowanego rozkładu szybkości zliczeń od jednorodności ∆m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabela dopasowania parametru własnej przestrzennej zdolności rozdzielczej detektora F W HMi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wyznaczony z pomiarów parametr p określajacy
˛ geometryczna˛ cz˛eść zależności
F W HMcol (d) i obliczony kat
˛ graniczny αg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wielkości szerokości połówkowych F W HMcol dla wybranych odleglości źródła
od detektora d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Porównanie efektu penetracji ścian kolimatora dla różnych odległości dla źródla
99m
T c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 37
. 42
. 45
. 48
. 49
. 51
Spis rysunków
1.1
1.2
1.3
Przykładowy obraz scyntygrafii kośćca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ideowy schemat działania skanera SPECT. [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ideowy schemat działania skanera PET. [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
Ilustracja zjawiska fotoelektrycznego. [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ilustracja efektu rozpraszania Comptona. [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
˛ promieniowania przez warstw˛e materiału. [7] . . . . .
Ilustracja przejścia wiazki
Zależność masowego współczynnika absorpcji od energii promieniowania dla ołowiu, wody i jodku sodu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wkłady poszczególnych efektów do masowego współczynnika absorpcji dla ołowiu, wody i jodku sodu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gamma kamera APEC Elscint SP4 znajdujaca
˛ si˛e w warszawskim Centrum Onkologii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ilustracja powstawania zjawiska scyntylacji w krysztale scyntylacyjnym. . . . . .
Przykładowe, zmierzone widmo energetyczne technetu Tc-99m. . . . . . . . . . .
Układ fotopowielaczy nad kryształem scyntylacyjnym. [1] . . . . . . . . . . . . .
Ideowy schemat działania gamma kamery. [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schematyczna ilustracja działania kolimatora. [1] . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trzy podstawowe układy otworów w kolimatorze. [1] . . . . . . . . . . . . . . .
Ideowy schemat wyznaczania funkcji odpowiedzi PSRF. [1] . . . . . . . . . . . .
Zależność funkcji odpowiedzi PSRF od odległości źródła od detektora. [1] . . . .
Efekt penetracji ścian kolimatora o heksagonalnym kształcie otworów. [1] . . . .
Projekcja równoległa przekroju f (x, y) pod katem
˛
ϕ. [1] . . . . . . . . . . . . .
Schematyczna ilustracja liniowego równania (2.18). [1] . . . . . . . . . . . . . .
Ogólny schemat iteracyjnych metod rekonstrukcji obrazu. [1] . . . . . . . . . . .
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
3.1
3.2
6
7
7
. 9
. 10
. 11
. 12
. 12
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
14
14
15
15
17
18
19
20
22
22
23
24
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
Skaner SPECT marki PHILIPS SkyLight w warszawskim Centrum Onkologii. . . .
Ideowy schemat pomiaru źródeł punktowych w celu określenia charakterystyki
szybkości zliczeń. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teoretyczna funkcja rozkładu szybkości zliczeń N (x, y; d) na płaszczyźnie detektora dla odległości d = 10 cm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modele czasu martwego układu zliczajacego.
˛
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wykresy charakterystyki szybkości zliczeń dla dwóch modeli czasu martwego. . . .
Ustawienie źródła liniowego - strzykawki z 99m T c, w trakcie wykonywania pomiarów.
Schemat pomiaru źródeł „walcowych” w przekroju poprzecznym do osi strzykawki.
Idea obliczenia rozkładu S(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
4.2
Technetowe źródło punktowe 35 M Bq - zarejestrowane obrazy DICOM. . . . . . . 34
Technetowe źródło punktowe 21 M Bq - zarejestrowane obrazy DICOM. . . . . . . 35
3.3
25
27
28
30
30
31
32
32
58
SPIS RYSUNKÓW
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
Szybkość zliczeń na piksel w całym obszarze detektora (źródła 35 M Bq i 21 M Bq). 36
Zależność zmierzonej szybkości zliczeń od oczekiwanej dla źródeł punktowych 35 M Bq
oraz 21 M Bq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Zarejestrowane widma energetyczne punktowego źródła 99m T c (21 M Bq) dla trzech
odległości źródła od detektora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Zależność zmierzonej szybkości zliczeń od oczekiwanej w liniowym zakresie charakterystyki szybkości zliczeń (oba źródła). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Stosunek zmierzonej szybkości zliczeń do oczekiwanej w zależności oczekiwanej
szybkości zliczeń (oba źródła). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Teoretyczne funkcje zależności szybkości zliczeń od odległości dla źródła 21 M Bq. 39
Szybkość zliczeń na piksel w badanych obszarach detektora (źródło 35 M Bq). . . . 39
Szybkość zliczeń na piksel w badanych obszarach detektora (źródło 21 M Bq). . . . 40
Stosunek zmierzonej szybkości zliczeń do oczekiwanej dla badanych obszarów detektora (oba źródła). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Zależność χ2 dzielonego przez liczb˛e stopni swobody od odległości. . . . . . . . . 41
Ideowy schemat przeprowadzenia projekcji obrazu w wybranym kierunku. . . . . . 41
Średnie wzgl˛edne odchylenia ∆ w zależności od odległości źródła od detektora d. . 42
Projekcje obrazów DICOM oraz funkcji dopasowania (źródło 21 M Bq). . . . . . . 43
Technetowe źródło liniowe (199, 8 M Bq), ustawienie pionowe - otrzymane obrazy
DICOM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Technetowe źródło liniowe (199, 8 M Bq), ustawienie poziome - otrzymane obrazy
DICOM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Projekcje funkcji odpowiedzi oraz dopasowania na oś x. . . . . . . . . . . . . . . 46
Zależność szerokości połówkowych od odległości źródła od detektora (okno 140 keV ). 46
Zależność szerokości połówkowych od odległości źródła od detektora (DET1, suma
okien energetycznych). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Zależność szerokości połówkowych od odległości źródła od detektora (DET2, suma
okien energetycznych). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Zależność szerokości połówkowych od odległości źródła od detektora (oba detektory jednocześnie). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Przekrój poprzeczny przez funkcj˛e odpowiedzi na źródło punktowe PSRF. . . . . . 49
Efekt penetracji ścian kolimatora (źródło 99m T c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Porównanie efektu penetracji ścian kolimatora z gaussowska˛ funkcja˛ odpowiedzi. . 50
˛ zależność drogi fotonu w kolimatorze
Schemat wyprowadzenia funkcji określajacej
od odległości źródła od detektora i odległości od centralnego piku funkcji odpowiedzi na płaszczyźnie detektora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Efekt penetracji ścian kolimatora (źródło 131 I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Profil obrazu punktowego źródła jodowego dla odległości 72 cm ukazujacy
˛ efekt
penetracji ścian kolimatora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Schemat romboidalnego kształtu otworów kolimatora. . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bibliografia
[1] M. N. Wernick, J. N. Aarsvold, Emission Tomography - The Fundamentals of PET and
SPECT, Elsevier Academic Press, 2004.
[2] G. F. Knoll, Radiation Detection and Measurments, Second Edition, John Wiley & Sons,
1989.
[3] L. A. Shepp, Y. Vardi, Maximum Likelihood Reconstruction in Positron Emission Tomography, IEEE Trans. Medical Imaging 1 (2), s. 113-122, 1982.
[4] B. M. W. Tsui, H.-B. Hu, D. R. Gilland, G. T. Gullberg, Implementation of simultaneous attenuation and detector response correction in SPECT, IEEE Trans. Nucl. Sci. 35: s. 778–783,
1988.
[5] XCOM: Photon Cross Sections Database, NIST - Natinal Institute of Standards and Technology, http://physics.nist.gov/PhysRefData/XrayMassCoef/cover.html
[6] 5 Wojskowy Szpital Kliniczny we Wrocławiu, Zakład Medycyny Nuklearnej,
http://www.5wszk.com.pl/nucmed/nuklearna.htm
˛
w Przemyśle, Środowisku i Medycynie,
[7] J. Pluta, Wykłady z Metod i Technik Jadrowych
http://www.if.pw.edu.pl/ pluta/pl/dyd/mtj/wyklad/index.html
[8] Wikipedia - Wolna Encyklopedia, http://wikipedia.org