docMatematyka Dyskretna
download 
Reklamacja Transkrypt
Matematyka Dyskretna
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Kombinatoryka 1.1 Cia̧gi Zastanówmy siȩ, ile cia̧gów długości można utworzyć z elementów zbioru zawieraja̧cego symboli. Jeżeli zbiór symboli zawiera dwa elementy: to można utworzyć dwa cia̧gi długości jeden: cztery cia̧gi długości dwa: Aby uzyskać cia̧gi długości trzy, postȩpujemy w nastȩpuja̧cy sposób: bierzemy cztery cia̧gi długości dwa i najpierw do każdego z nich dopisujemy na pocza̧tku . Otrzymujemy w ten sposób komplet: Zauważmy, że sa̧ to wszystkie cia̧gi długości trzy z pierwsza̧ litera̧ . Potem do tych samych czterech cia̧gów długości dwa dopisujemy na pocza̧tku symbol i otrzymujemy komplet: Komplety te sa̧ rozła̧czne i oba zawieraja̧ różne cia̧gi. Razem tworza̧ zbiór wszystkich cia̧gów długości trzy: Postȩpuja̧c podobnie, możemy otrzymać szesnaście cia̧gów długości cztery. 3 4 Rozdział 1. Kombinatoryka o elementach ze zbioru wynosi . Twierdzenie 1.1 Liczba cia̧gów długości Dowód przez indukcjȩ. Jak już pokazano, sa̧ dwa cia̧gi długości jeden. Załóżmy teraz, że liczba cia̧gów długości wynosi i zauważmy, że wszystkich cia̧gów długości jest dwa razy wiȩcej. Jest cia̧gów z pierwszym elementem i cia̧gów z pierwszym elementem . Razem mamy cia̧gów długości . Jeżeli zbiór symboli zawiera elementów, to powtarzaja̧c powyższe rozumowanie, możemy siȩ przekonać, że istnieje cia̧gów długości jeden, cia̧gów długości dwa i ogólnie cia̧gów długości jest razy wiȩcej niż cia̧gów długości . Zachodzi zatem twierdzenie. o elementach ze zbioru -elementowego wy- Twierdzenie 1.2 Liczba cia̧gów długości nosi . 1.2 Funkcje Policzmy teraz, ile jest funkcji ze zbioru w zbiór . Przypuśćmy, że zbiór zawiera elementów: Każda̧ funkcjȩ z w można przedstawić jako cia̧g Cia̧g ten jest długości , a jego elementy sa̧ wziȩte ze zbioru . Zauważmy, że każdej funkcji odpowiada jeden cia̧g, i na odwrót, każdy cia̧g opisuje funkcjȩ. Mianowicie funkcjȩ, która dla każdego ! przypisuje wartość jedna̧ ". ! Przykład 1.3 Jeżeli składa siȩ z czterech elementów: # a %$ '&( składa siȩ z trzech elementów: )# to cia̧g '$( opisuje funkcjȩ stała̧ (która w całej swojej dziedzinie przyjmuje wartość ), a cia̧g %$ %$ opisuje funkcjȩ , która przyjmuje nastȩpuja̧ce wartości: * $ $ & $ 1.3. Cia̧gi bez powtórzeń 5 Z powyższego wynika, że funkcji ze zbioru w zbiór jest tyle samo co cia̧gów długości z elementami ze zbioru . Udowodniliśmy wiȩc poniższe twierdzenie. Twierdzenie 1.4 Jeżeli zbiór zawiera elementów, a zbiór liczba funkcji ze zbioru w zbiór wynosi . zawiera elementów, to 1.3 Cia̧gi bez powtórzeń Policzmy teraz, ile jest cia̧gów bez powtórzeń, czyli cia̧gów różnowartościowych. Jeżeli elementy bierzemy ze zbioru trzyelementowego %$ to możemy utworzyć trzy cia̧gi jednoelementowe: $ sześć różnowartościowych cia̧gów dwuelementowych: %$ '$ $ $ oraz sześć cia̧gów trójelementowych: '$ '$ '$ '$ $ $ Nie ma, oczywiście, dłuższych cia̧gów różnowartościowych utworzonych z elementów zbioru '$( . Twierdzenie 1.5 Jeżeli elementy wybieramy ze zbioru -elementowego , to liczba cia̧gów -elementowych bez powtórzeń, które można wybrać z tego zbioru, wynosi: W tym wyrażeniu mamy iloczyn na . * kolejnych liczb, poczynaja̧c od , a kończa̧c Dowód. Jeżeli budujemy cia̧g bez powtórzeń, to na pierwszy element cia̧gu możemy wybrać każdy z elementów zbioru , na druga̧ pozycjȩ w cia̧gu możemy wybrać już tylko jeden z elementów (wszystkie poza tym, który został wybrany na pierwszy element cia̧gu) i tak dalej, na każda̧ kolejna̧ pozycjȩ mamy o jeden element do wyboru mniej. , to: , co jest zgodne z tym, że Zauważmy, że jeżeli w takim przypadku nie można utworzyć żadnego -elementowego cia̧gu bez powtórzeń z elementami ze zbioru . 6 Rozdział 1. Kombinatoryka 1.4 Permutacje Permutacje to cia̧gi bez powtórzeń długości , wybierane ze zbioru -elementowego. Na przykład, mamy dwie permutacje dwuelementowe: oraz sześć permutacji trzyelementowych: '$ ' $ %$ %$ $ $ Zgodnie z twierdzeniem ?? liczba permutacji w zbiorze -elementowym wynosi: Dodatkowo przyjmujemy w nastȩpuja̧cy sposób: ! " . Mamy wi˛ec czyli jest równa . Funkcja silnia określona jest dla $ $ Wartości funkcji silnia szybko rosna̧, na przykład: $ & &$$ $ & * & Dla przybliżonego obliczania silni korzysta siȩ ze wzoru Stirlinga: (1.1) Dla każdego zachodza̧ również nastȩpuja̧ce oszacowania: !# " (1.2) Dowody wzoru Stirlinga oraz powyższych oszacowań wychodza̧ poza zakres tego podrȩcznika. Czasami używa siȩ innej definicji permutacji. Mianowicie permutacja -elementowa to dowolna funkcja różnowartościowa ze zbioru na ten sam zbiór. Na oznaczenie permutacji używa siȩ zapisu: $ Przykład 1.6 Permutacja: $ & $ &% & $'% jest funkcja̧, która przyjmuje nastȩpuja̧ce wartości: $ & & $ 1.5. Podzbiory 7 Dwie permutacje -elementowe można składać tak, jak składa siȩ funkcje. Złożenie i określone jest wzorem: permutacji Na przykład: $ & $ & $ $ $ % $ $ & &'% & $ & $ % Zbiór wszystkich permutacji na zbiorze z działaniem złożenia ma nastȩpuja̧ce własności: Złożenie permutacji jest ła̧czne. To znaczy, dla każdych trzech permutacji , , : Wśród permutacji istnieje identyczność ! , czyli permutacja, która każdemu z . Identyczność jest elementem neutralnym dziedziny przypisuje wartość ! składania permutacji, ponieważ dla każdej permutacji : ! Dla każdej permutacji spełniaja̧ca warunek: ! istnieje permutacja odwrotna (funkcja odwrotna) ! , Powyższe zależności oznaczaja̧, że zbiór wszystkich permutacji na zbiorze działaniem składania permutacji stanowi grupȩ. 1.5 z Podzbiory Policzmy teraz, ile podzbiorów ma skończony zbiór -elementowy. Jeżeli zbiór składa siȩ z trzech elementów: to możemy łatwo wypisać wszystkie jego podzbiory: Tych podzbiorów jest osiem. Każdy zbiór trzyelementowy posiada osiem podzbiorów, ponieważ nie ma znaczenia, jak nazywaja̧ siȩ elementy zbioru. Zbiór pusty ma tylko jeden podzbiór: zbiór pusty. Jeżeli zbiór zawiera jeden element , to ma dwa podzbiory: 8 Rozdział 1. Kombinatoryka a jeżeli zbiór zawiera dwa elementy , to ma cztery podzbiory: Rozważmy teraz ogólnie podzbiory zbioru '$ %$ jest zwia̧zana jego funkcja charakterystyczna, określona nastȩpuja̧cym wzorem: ! ! ! Dziedzina̧ funkcji jest zbiór , a przeciwdziedzina̧ zbiór . Zauważmy, Z każdym podzbiorem że każdemu podzbiorowi odpowiada jedna funkcja charakterystyczna, i na odwrót, jeżeli weźmiemy dowolna̧ funkcjȩ: to wyznacza ona zbiór: ! ! funkcja charakterystyczna zbioru '$ jest opisana Przykład 1.7 Dla przez cia̧g , a cia̧g opisuje funkcjȩ charakterystyczna̧ zbioru: %$ '&( . Z powyższych rozważań wynika, że liczba podzbiorów zbioru -elementowego jest rów na liczbie funkcji ze zbioru w zbiór . Czyli na podstawie twierdzenia ?? mamy twierdzenie poniższe. Twierdzenie 1.8 Każdy zbiór -elementowy ma podzbiorów. 1.6 Podzbiory -elementowe Zastanówmy siȩ teraz nad podzbiorami określonej mocy. Mówimy, że zbiór jest mocy , jeżeli zawiera elementów. Dla zbioru czteroelementowego %$ & mamy jeden podzbiór pusty (zeroelementowy), cztery podzbiory jednoelementowe: $ &( sześć podzbiorów dwuelementowych: % $ & % $ & $ ' &( 1.6. Podzbiory -elementowe cztery podzbiory trzyelementowe: '$( ' $ '&( i jeden podzbiór czteroelementowy: &( 9 ' $ & '$ '&( Liczbȩ podzbiorów -elementowych zbioru -elementowego oznacza siȩ przez $ % Jest to tak zwany symbol Newtona. Inaczej, jest równe liczbie sposobów na jakie można wybrać elementów ze zbioru elementowego. Właśnie pokazaliśmy, że: $ & % $ & % Z definicji wynika, że jeżeli , to $ % $ & $ & % $ $ & $ % & & $ . Zachodza̧ dwa wzory: & $ % (1.3) % % $ % (1.4) % Wzór (??) bierze siȩ z prostej obserwacji, że wybranie elementów, które należa̧ do elementów, które do nie należa̧. podzbioru , jest równoważne wybraniu Aby uzasadnić równość (??), rozważmy -elementowe podzbiory zbioru Policzmy osobno te podzbiory, które zawieraja̧ element , i osobno te, które go nie zawieraja̧. Podzbiorów nie zawieraja̧cych jest , bo wszystkie elementów trze ba wybrać ze zbioru . Podzbiorów zawieraja̧cych jest , bo elementów trzeba wybrać ze zbioru . Razem wszystkich -elementowych pod zbiorów zbioru jest . Korzystaja̧c z równości (??), możemy obliczać symbole Newtona rekurencyjnie. Naj pierw mamy , ponieważ jest jeden zeroelementowy (pusty) podzbiór zbioru zeroelementowego (pustego). Jeżeli mamy policzone symbole Newtona dla , to możemy już liczyć, ile jest podzbiorów zbioru -elementowego. Zaczynamy od oraz , a nastȩpnie korzystamy z równania (??). Metodȩ tȩ ilustruje tak zwany trójka̧t Pascala: 1 1 1 1 1 1 1 3 4 5 6 1 2 6 10 15 1 3 1 4 10 20 1 5 15 1 6 1 10 Rozdział 1. Kombinatoryka ) znajduja̧ siȩ symbole Newtona: W -tym wierszu (wiersze numerowane sa̧ od $ $ $ % % % $ % Na skraju znajduja̧ siȩ jedynki, ponieważ . -ty element w -tym wierszu dla jest suma̧ dwóch elementów stoja̧cych bezpośrednio nad nim: $ % Jeżeli $ % $ % , to symbol Newtona można też obliczyć ze wzoru: $ * % lub $ % (1.5) (1.6) Oto uzasadnienie wzoru (??): Aby wybrać podzbiór -elementowy ze zbioru , wybieramy -elementowy cia̧g bez powtórzeń i bierzemy do podzbioru elementy tego cia̧gu ignoruja̧c ich kolejność. Ponieważ każdemu -elementowemu podzbiorowi odpo wiada cia̧gów o tych samych elementach, wiȩc podzbiorów jest razy mniej niż -elementowych cia̧gów bez powtórzeń. Wzór (??) wynika teraz z twierdzenia ??, a wzór (??) bezpośrednio ze wzoru (??). Wzór (??) pozwala wyprowadzić oszacowania na wartość symbolu Newtona, dla : $ % * " $ $ % * % ! Ponieważ, jak łatwo sprawdzić " dla każdego . Korzystaja̧c wyprowadzonej ze wzoru Stirlinga (??), otrzymujemy górne z nierówności ograniczenie: $ % 1.7 Dwumian Newtona Symbole Newtona wystȩpuja̧ w znanym twierdzeniu Newtona. Twierdzenie 1.9 (dwumian Newtona) Dla każdej liczby rzeczywistej oraz liczby całkowitej zachodzi: $ % 1.7. Dwumian Newtona 11 Pierwszy dowód. jest wielomianem stopnia . Policzmy współczynnik tego wielomianu stoja̧cy przy ' . Rozważmy iloczyn: razy Przy rozwijaniu tego wyrażenia wybieramy z każdego czynnika lub , potem wymnażamy wybrane elementy i sumujemy tak utworzone iloczyny. W iloczynie otrzymamy wtedy, gdy wybierzemy razy oraz wybierzemy razy. Można to zrobić na sposobów, tak wiȩc współczynnik przy wynosi . Drugi dowód przez indukcjȩ. Wzór jest oczywisty dla prawdziwy dla . Mamy: $ % . Załóżmy teraz, że jest Współczynnik przy ' po prawej stronie wynosi: $ % $ % , a drugi od iloczynu: . Ze Pierwszy składnik pochodzi od iloczynu: wzoru (??) wynika, że współczynnik przy wynosi . Jeżeli do wzoru Newtona podstawimy , a potem pomnożymy obie strony przez , to otrzymamy inna̧ znana̧ wersjȩ wzoru Newtona. Wniosek 1.10 Dla dowolnych liczb rzeczywistych i i dowolnej liczby całkowitej : $ Jeżeli podstawimy % do wzoru z twierdzenia ??, to otrzymamy: $ % co potwierdza jeszcze raz, że wszystkich podzbiorów zbioru -elementowego jest . Zobaczymy teraz, że wśród wszystkich podzbiorów zbioru jest tyle samo podzbiorów mocy parzystej (o parzystej liczbie elementów) i podzbiorów mocy nieparzystej (o nieparzystej liczbie elementów). Twierdzenie 1.11 Dla każdego zbioru zawieraja̧cego elementów, liczba podzbiorów parzystej mocy jest równa liczbie podzbiorów nieparzystej mocy. 12 Rozdział 1. Kombinatoryka Pierwszy dowód. Jeżeli podstawimy do wzoru Newtona, to otrzymamy: $ % Zauważmy, że w sumie po prawej stronie z plusem wystȩpuja̧ symbole Newtona dla parzystych , a z minusem — dla nieparzystych . Tak wiȩc z plusem mamy liczbȩ podzbiorów parzystej mocy, a z minusem liczbȩ podzbiorów nieparzystej mocy. Z powyższego wzoru wynika, że podzbiorów parzystej mocy jest tyle samo co podzbiorów mocy nieparzystej. Drugi dowód. Rozważmy funkcjȩ , która każdemu podzbiorowi przyporza̧dkuje podzbiór czyli różnicȩ symetryczna̧ zbioru i zbioru jednoelementowego . Zauważmy, że funkcja ła̧czy podzbiory w pary, ponieważ jeżeli , to . Rzeczywi i * . Jeżeli natomiast nie zawiera ście, jeżeli zawiera , to ) , to ) i również * . Pozostaje zauważyć, że z pary zbiorów i jeden jest mocy parzystej i jeden nieparzystej. 1.8 Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada szyfladkowa Dirichleta w najprostszej postaci mówi, że jeżeli mamy kul i chcemy je rozmieścić w szufladach, to w przynajmniej jednej szufladzie musi znaleźć si˛e wi˛ecej niż jedna kula. Zasada ta jest intuicyjnie bardzo prosta, ale jest cz˛esto używana. W nieco ogólniejszej postaci brzmi ona nast˛epujaco: ˛ Twierdzenie 1.12 (Zasada szufladkowa Dirichleta) Jeżeli zbiór podzielimy na podzbiorów, to przynajmniej jeden z tych podzbiorów ma lub wi˛ecej elementów. Dowód Nie wprost. Przypuśćmy, że każdy z podzbiorów ma mniej niż elemen elementów; sprzeczność. tów. Wtedy cały zbiór ma mniej niż 1.9 Zasada sumy W najprostszej postaci zasada sumy, mówi że moc sumy dwóch zbiorów i jest równa 1.10. Zasada wła̧czania i wyła̧czania 13 Wyobraźmy sobie, że obliczaja̧c prawa̧ stronȩ tej równości liczymy po kolei elementy zbioru i dla każdego elementu dodajemy do ogólnej sumy, nastȩpnie liczymy ele menty zbiorów i dla każdego dodajemy , a na końcu liczymy elementy przekroju i dla każdego dodajemy . Zastanówmy siȩ teraz jaki jest udział poszczególnych elementów w tak powstałej sumie. Jeżeli jakiś element wystȩpuje tylko w lub tylko w , to jego udział wynosi 1. Ale także, jeżeli należy do obu zbiorów i to jego udział wynosi . Dlatego na końcu wynik bȩdzie równy liczbie elementów, które należa̧ do jednego lub drugiego zbioru. Przykład 1.13 Policzmy ile spośród liczb od 1 do 30 jest podzielnych przez 2 lub 3. Niech oznacza zbiór liczb z tego przedziału podzielnych przez 2, a zbiór liczb podzielnych . Mamy przez 3. Liczby podzielne przez 2 lub 3 tworza̧ zbiór oraz zawiera liczby podzielne przez 2 i 3, czyli podzielne przez 6. Ze wzoru na sumȩ otrzymujemy: Podobnie możemy uzasadnić wzór na sumȩ trzech zbiorów: Jeżeli zastosujemy podobne liczenie, to udział elementów, które należa̧ tylko do jednego zbioru, wynosi 1, tych, które należa̧ do dwóch (ale nie do trzech naraz), wynosi * * , a tych, które należa̧ do wszystkich trzech zbiorów, . Przykład 1.14 Policzmy ile spośród liczb od 1 do 30 jest podzielnych przez 2, 3, lub 5. Niech oznacza zbiór liczb podzielnych przez 2, zbiór liczb podzielnych przez 3, a podzielnych przez 5. Mamy , , , , . Ze wzoru na sumȩ otrzymujemy: $ , , $ * Jak widać, tylko osiem liczb mniejszych od 30 nie jest podzielnych przez 2, 3 lub 5; sa̧ to: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. W nastȩpnym podrozdziale pokażemy jak można obliczyć sumy dowolnej skończonej klasy zbiorów. 1.10 Zasada wła̧czania i wyła̧czania Zacznijmy od przykładu. W grupie 100 studentów 45 uprawia koszykówkȩ, 53 pływanie, a 28 jedno i drugie. Pytanie: ilu studentów nie uprawia ani koszykówki, ani pływania? Zadanie to można rozwia̧zać „na palcach”. & studentów uprawia tylko $ koszykówkȩ, a studentów uprawia tylko pływanie. Zatem 14 Rozdział 1. Kombinatoryka Rysunek 1.1: Diagram Venna pływanie 25 28 30 17 koszykówka studentów uprawia jeden z dwóch sportów, a $ nie uprawia ani koszykówki, ani pływania. Na rysunku 1.1 zilustrowano ten przykład. Jest to tak zwany diagram Venna . Przypuśćmy teraz, że sa̧ także studenci graja̧cy w szachy. Graja̧cych w szachy jest 55. Takich, którzy graja̧ w koszykówkȩ i szachy, jest 32, takich, którzy graja̧ w szachy i pływaja̧, jest 35, a takich, którzy uprawiaja̧ wszystkie trzy sporty, jest 20. To zadanie też można rozwia̧zać za pomoca̧ diagramu Venna (rysunek 1.2). Na przykład, 8 studentów uprawia koszykówkȩ i pływanie, ale nie gra w szachy, a 22 studentów nie uprawia żadnego sportu. Zasada wła̧czania i wyła̧czania pozwala rozwia̧zywać tego typu zadania bez diagramów Venna. Niech bȩdzie naszym uniwersum, jego podzbiorami. Dla każdego 1.10. Zasada wła̧czania i wyła̧czania 15 Rysunek 1.2: Diagram Venna pływanie 22 10 15 8 20 5 8 12 szachy koszykówka podzbioru zbioru indeksów definiujemy zbiór: " " przyjmujemy przy tym W naszym przykładzie to zbiór wszystkich studentów, to uprawiaja̧cy koszykówkȩ, — szachy: — pływanie, a to uprawiaja̧cy koszykówkȩ i pływanie, to uprawiaja̧cy koszykówkȩ i szachy, to uprawiaja̧cy pływanie i szachy, to uprawiaja̧cy wszystkie trzy sporty. 16 Rozdział 1. Kombinatoryka Twierdzenie 1.15 (zasada wła̧czania i wyła̧czania) Liczba elementów uniwersum re nie należa̧ do żadnego podzbioru " , wynosi: , któ- Sumujemy tutaj po wszystkich podzbiorach zbioru (1.7) . Dowód. Podobnie jak w poprzednim podrozdziale, żeby obliczyć sumȩ (??), ele liczymy do sumy , i dla każdego elementu dodajemy menty poszczególnych zbiorów ( , gdy jest parzyste, lub , gdy jest nieparzyste). Udział pojedynczego elementu w tak utwirzonej sumie wynosi czyli jest równy sumie współczynników dla tych podzbiorów których . " , dla Jeżeli nie należy do żadnego z podzbiorów , to jest liczony tylko raz, w zbiorze , i jego udział w sumie (??) wynosi 1. Przypuśćmy teraz, że należy do jakiś podzbiorów i niech ! " czyli to indeksy tych podzbiorów, które zawieraja̧ . Zauważmy teraz, że wtedy i tylko wtedy, gdy . Rzeczywiście " " wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli gdy . Tak wiȩc udział elementu w sumie (??) " , dla każdego ! wynosi: Jest to suma po wszystkich podzbiorach zbioru . Uporza̧dkujmy teraz składniki tej sumy według mocy podzbiorów i niech . Mamy " podzbiorów mocy ! , wiȩc: $ " ! % " Przedostatnia równość wynika ze wzoru Newtona. Tak wiȩc wkłady elementów, które nie należa̧ do żadnego " , wynosza̧ po 1, a wkłady tych elementów, które należa̧ do jakiegoś " , wynosza̧ po 0. A zatem suma (??) zlicza elementy nie należa̧ce do żadnego " . Stosuja̧c zasadȩ wła̧czania i wyła̧czania do przykładu ze studentami możemy teraz policzyć studentów, którzy nie uprawiaja̧ żadnego sportu: & $ $ $ 1.11. Przestawienia Aby policzyć moc sumy zbiorów " " " " ! " możemy wykorzystać wzór (??), przy założeniu, że Twierdzenie 1.16 17 " . Mamy wtedy 1.11 Przestawienia Przestawieniem bȩdziemy nazywać permutacjȩ bez punktu stałego, czyli taka̧ permutacjȩ, w której żaden element nie stoi na swoim miejscu. Wykorzystamy teraz zasadȩ wła̧czania i wyła̧czania, do policzenia liczby przestawień w zbiorze -elementowym. Twierdzenie 1.17 Liczba przestawień (permutacji bez punktów stałych) w zbiorze elementowym wynosi: " " ! Dowód. Niech bȩdzie zbiorem wszystkich permutacji na zbiorze ,a " zbiorem permutacji, w których ! jest punktem stałym, to znaczy ! *! . Moc zbioru " wynosi: " ponieważ w zbiorze " sa̧ te permutacje, które permutuja̧ wszystkie oprócz ! -tego. Podobnie moc zbioru wynosi: " " elementów ! elementów, wszystkie oprócz tych, które należa̧ do . bo teraz w permutujemy Permutacje bez punktów stałych to te permutacje, które nie należa̧ do żadnego ze zbiorów " . Z zasady wła̧czania i wyła̧czania ich liczba wynosi: Pogrupujmy teraz składniki według mocy . Mamy " podzbiorów mocy ! . Dla zbiorów " ! , tak wiȩc liczba przestawień wynosi: każdego z nich składnik sumy wynosi $ " " ! % ! 18 Rozdział 1. Kombinatoryka Twierdzenie wynika teraz z równości: $ ! % ! ! 1.12 Generowanie obiektów kombinatorycznych W tym rozdziale zajmiemy siȩ algorytmami generujacymi ˛ (wypisuja̧cymi) obiekty kombinatoryczne. Przedstawione algorytmy bȩda̧ działaly według nastȩpuja̧cego schematu: Wypisujemy pierwszy obiekt. Powtarzamy, aż do napotkania ostatniego obiektu: Przetwarzamy bieża̧cy obiekt tak, aby otrzymać nastȩpny obiekt. Takie algorytmy maja̧ ta̧ zaletȩ, że nie wymagaja̧ dużo pamiȩci. Należy tylko pamiȩta ć jeden obiekt. Algorytmy generuja̧ce obiekty sa̧ używane w przypadku, gdy chcemy sprawdzi ć wszystkie obiekty danej klasy lub wtedy, gdy chcemy wylosować obiekt danej klasy. Przypuść my, na przykład, że chcemy wylosować jakiś 3 elementowy podzbiór zbioru . W tym celu losujemy liczbȩ naturalna̧ od 1 do $ , a nastȩpnie generujujemy podzbiory, aż do elementu . 1.12.1 Generowanie podzbiorów Zaczniemy od najprostszego przypadku wypisania wszystkich podzbiorów zbioru Algorytm wypisuja̧cy wszystkie podzbiory zbioru Pierwszy podzbiór: . by uzyskać nastȩpny po podzbiór: : ! Wskazujemy na najwiȩkszy element nie należa̧cy do , czyli Jeżeli takiego nie ma, to koniec algorytmu, zbiór jest ostatnim podzbio- rem. W przeciwnym przypadku dodajemy do i usuwamy z wszystkie elementy wiȩksze od . Przykład 1.18 Dla $ powyższy algorytm wypisze po kolei nastȩpuja̧ce zbiory: , $ , , '$ , , %$ , , '$( . 1.12. Generowanie obiektów kombinatorycznych 19 Zauważmy, że funkcje charakterystyczne wypisywanych podzbiorów, traktowane ja ko binarny zapis liczb, tworza̧ cia̧g kolejnych liczb od 0 do . Szukaja̧c nastȩpnego z kolei elemenetu algorytm postȩpuje podobnie jak algorytm zwiȩkszania o jeden liczby w systemie dwójkowym. 1.12.2 Generowanie -elementowych podzbiorów Algorytm generuja̧cy elementowe podzbiory zbioru : Pierwszy -podzbiór to . Przypuśćmy, że ostatnio wygenerowany podzbiór, to . Aby wygenerować nastȩpny podzbiór: znajdujemy najmniejsze takie ! , że " jeżeli " , to znaczy, że ) , gdzie ; i jest to ostatni wyge- nerowany podzbiór. , to zwiȩkszamy " o jeden, a elementy mniejsze od " zamiejeżeli " dla !. niamy na ! najmniejszych liczb, to znaczy Dla i & algorytm wypisze po kolei nastȩpuja̧ce podzbiory (podajemy je bez nawiasów i przecinków) $ & $ & $& $ & $ & $ & $& $ $ & & '$& Zauważmy,że najpierw wypisywane sa̧ 4-podzbiory niezawieraja̧ce 6: $ & $ & $ & $& a później 4-podzbiory zawieraja̧ce 6 $ & $& $ & $ $ & & '$& które otrzymywane sa̧ w ten sposób, że do kolejnych 3-podzbiorów zbioru dopisywana jest 6. Jest to ogólna zasada działania tego algorytmu: aby wypisać -podzbiory zbioru ! algorytm najpierw wypisuje podzbiory zbioru , a nastȩpnie podzbiory ! zawieraja̧ce element podzbiorów zbio! (sa̧ one otrzymywane przez dodawanie ! do ru ). ! W powyższym przykładzie wśrod podzbiorów zawieraja̧cych 6 najpierw mamy te, które sa̧ utworzone z 3-podzbiorów '$ & z dopisana̧ 6: $ $ & $ & $ & a po nich nastȩpuja̧ te, które sa̧ utworzone z 2-podzbiorów $ & & '$ & '$ (& , z dopisana̧ 5 i 6: 20 Rozdział 1. Kombinatoryka algorytm znalazł takie ! , że Dlatego, kiedy w bierza̧cym zbiorze " , to znaczy, że algorytm jest w trakcie wypisywania tych podzbiorów, któ " (wszystkie wiȩksze od " re zawieraja̧ ), plus jakiś ! -podzbiór zbioru " . Zbiór jest ostatnim podzbiorem, w którym wystȩpuja̧ " , oraz jakiś ! -podzbiór zbioru " , a nie wystȩpuje " . Według opisanej wyżej -podzbiór plus jakiś ! zasady teraz powinny nasta̧pić podzbiory, które zawieraja̧ " " " zbioru , plus elementy . Pierwszy z nich to podzbiór ! " " I taki element jest wypisywany po zbiorze . 1.12.3 Generowanie permutacji Algorytm generowania permutacji zbioru Pierwsza permutacja to " *! , dla Aby wypisać nastȩpna̧ po : . ! permutacjȩ: Znajdujemy najwiȩksze spełniaja̧ce warunek jeżeli takiego nie ma, to bierza̧ca permutacja jest ostatnia, jeżeli takie istnieje, to zamieniamy z najmniejszym takim, że . oraz , a nastȩpnie odwracamy porza̧dek elementów Alorytm wypisuje permutacje w porza̧dku rosna̧cym, jeżeli potraktujemy permutacje jako liczby zapisane z baza̧ , a liczby jako cyfry systemie. w tym Na przykład przypuśćmy, że bierza̧ca̧ permutacja̧ jest &$ . Algorytm znajduje i $ . Wtedy ta permutacja jest ostatnia̧ (najwiȩksza̧) permutacja̧ spośród per mutacji zaczynaja̧cych siȩ od &$ , bo od pozycji trzeciej mamy cia̧g maleja̧cy i jest to najwiȩkszy cia̧g jaki można utworzyć z elementów 1,2,5,6. Teraz powinny nasta̧pić permutacje zaczynaja̧ce siȩ od & (czwórki na pierwszym miejscu nie zmieniamy, a trójka na drugim miejscu powinna być zamieniona przez nastȩpna̧ spośrod liczb stoja̧cych za nia̧, czyli przez 5). Pierwsza̧ taka̧ permutacja̧ jest ta, w której pozostałe elementy rosna̧, czyli & $ . Przykład 1.19 Oto 10 pierwszych permutacji czteroelementowych $ & &$ $ & $ & & $ & $ $ & &$ $ & $ & & $ &$ 1.13 Zadania 1. Ile numerów rejestracyjnych samochodów można utworzyć, jeżeli każdy numer składa siȩ z trzech liter i czterech cyfr? Ile numerów rejestracyjnych można utworzyć, jeżeli bȩdziemy dodatkowo wymagać, aby każdy numer zaczynał siȩ od spółgłoski? 1.13. Zadania 21 2. Ile liczb trzycyfrowych zawiera cyfr˛e & lub ? 3. W grupie jest piȩć dziewcza̧t i piȩciu chłopców. Na ile sposobów można wybrać podgrupȩ składaja̧ca̧ siȩ z dwóch dziewcza̧t i dwóch chłopców? Na ile sposobów można utworzyć w tej grupie piȩć par, z jednym chłopcem i jedna̧ dziewczyna̧ w każdej parze? 4. Znana jest zabawka dla dzieci składaja̧ca siȩ z dwunastu sześciennych klocków z naklejonymi na ściankach fragmentami obrazków. Na ile sposobów można ułożyć te klocki w prostoka̧t (trzy rzȩdy po cztery klocki w rzȩdzie)? 5. Ile słów można utworzyć z liter słowa ULICA (litery nie moga̧ siȩ powtarzać)? 6. Udowodnij wzór: $ % $ % Wskazówka. Policz na dwa różne sposoby, ile -elementowych drużyn z kapitanem można utworzyć ze zbioru sportowców. 7. Udowodnij wzór: $ $ % % Wskazówka. Policz na dwa różne sposoby, ile -elementowych grup można utworzyć w klasie złożonej z chłopców i dziewcza̧t. 8. Udowodnij, że 9. Udowodnij, że: 10. Rozwiń wielomian i . $ jest najwiȩksze dla % . 11. Udowodnij, że $ " ! % " $ 12. Przedstaw wzór na sumȩ czterech zbiorów , , 13. Ile elementów zawiera różnica symetryczna ? 14. Wyznacz liczbȩ elementów $ , , oraz oraz i . , , że , wiedza̧c, . 15. Oblicz ile liczb mniejszych od 100 jest podzielnych przez 2, 3 lub 5. 22 Rozdział 1. Kombinatoryka 16. Oblicz ile liczb mniejszych od 100 nie jest podzielnych przez 2, 3, 5 lub 7. Udowodnij, że wszystkie te liczby oprócz 1 sa̧ pierwsze. Ile jest liczb pierwszych mniejszych od 100? 17. Wypisz wszystkie podzbiory zbioru '$ & . 18. Wypisz wszystkie 2 elementowe podzbiory zbioru 19. Wypisz 14 kolejnych permutacji zbioru 456321. '$ '& . %$ '& poczynaja̧c od permutacji 20. Napisz programy realizuja̧ce opisane w tym rozdziale algorytmy generowania obiektów kombinatorycznych. 1.14 Problemy 1.14.1 Rozmieszczanie przedmiotów w pudełkach. Przypuśćmy, że mamy nierozróżnialnych kul. Udowodnij, że istnieje sposobów rożłożenia tych kul do $ % rozróżnialnych pudełek. kul w pudełkach może być przedstawione jako Wskazówka. Każde rozmieszczenia ciag ˛ zer i jedynek długosci , w którym wyst˛epuje dokładnie jedynek. Zera symbolizuja˛ kule a jedynki przegrody pomi˛edzy pudełkami. Na przykład ciag ˛ przedstawia rozłożenie pi˛eciu kul do czterech pudełek, w których pierwsze pudełko zawiera dwie kule, drugie jest puste, trzecie zawiera jedna˛ kule, a czwarte dwie kule. 1.14.2 Wybór przedmiotów rozróżnialnych typów Wyobraźmy sobie, że mamy przedmioty w różnych typach, że liczba przedmiotów każdego typu jest nieograniczona i że przedmioty jednego typu sa˛ nierozróżnialne. Zastanówmy si˛e na ile sposobów można wybrać przedmiotów spośród tych typów, przy założeniu, że dopuszczalne sa˛ powtórzenia typów. Pokaż, że można to zrobi ć na $ % sposobów. Na ile sposobów można wybrać 5 monet jeżeli mamy nieograniczone zapsy złotówek, dwuzłotówek i pi˛eciozłotówek? Wskazówka. Wybory przedmiotów typów sa˛ równoważne rozkładaniu nierozróżnialnych kul do szuflad. Włożenie kuli do ! -tej szuflady oznacza, że jest ona ! tego typu. 1.14. Problemy 23 1.14.3 Kombinacje z powtórzeniami -elementowe kombinacje z powtórzeniami ze zbioru -elementowego sa̧ to -elementowe wybory elementów zbioru -elementowego, w których elementy moga̧ siȩ powtarza ć i w których nie jest istotna kolejność wybieranych elementów. Na przykład, mamy czte ry trzyelementowe kombinacje z powtórzeniami ze zbioru dwuelementowego ; oto one: , , , . Udowodnij, że liczba -elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru elementowego wynosi $ % 1.14.4 Permutacje z powtórzeniami Przypuśćmy, że mamy przedmiotów różnych typów oraz, że przedmiotów typu ! jest " . Rozważmy ustawienia wszystkich tych przedmiotów w ciag. ˛ Przy tym dwa ustawienia sa˛ rozróżnialne tylko, jeżeli na jakiejś pozycji maja˛ przedmioty różnych typów. Pokaż, że takich rozróżnialnych ustawień jest Ile słów można utworzyć z liter słowa MATMA (litery M i A moga̧ wysta̧pić po dwa razy)? 1.14.5 Podziały uporzadkowane ˛ Mamy elementówy zbiór i liczby elementy zbioru można na takie, że . Pokaż, że " . Zakładamy przy podzbiorów , takich, że " sposoby podzielić na tym, że kolejność podzbiorów jest istotna. Na ile sposobów można rozdać 52 kartry na cztery osoby? 1.14.6 Permutacje bez punktów stałych Udowodnij, że liczba przestawień (permutacji bez punktów stałych) w zbiorze -elementowym jest równa zaokra̧gleniu liczby do najbliższej liczby naturalnej; jest podstawa̧ logarytmu naturalnego. Wskazówka. Skorzystaj z twierdzenia ??, z rozwiniȩcia: " " ! 24 Rozdział 1. Kombinatoryka oraz z oszacowania: " " ! * 1.14.7 Liczba surjekcji Udowodnij, że liczba surjekcji (funkcji na cała̧ przeciwdziedzinȩ) ze zbioru -elementowego na zbiór -elementowy wynosi: " " $ ! % ! Wskazówka. Skorzystaj z zasady wła̧czania i wyła̧czania dla zbioru wszystkich funkcji ze zbioru w zbiór . Zbiór " to funkcje, które nie maja̧ elementu ! w obrazie.
