IDENTYFIKACJA RÓWNAŃ DYNAMIKI SILNIKA PRĄDU STAŁEGO

ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ
ROK XLV NR 3 (158) 2004
Jan Idzikowski
Marek Zellma
IDENTYFIKACJA RÓWNAŃ DYNAMIKI
SILNIKA PRĄDU STAŁEGO
STRESZCZENIE
W artykule przedstawiono możliwości zastosowania bazowych funkcji sklejanych służących identyfikacji równań silnika elektrycznego. Do opisu przebiegów zastosowano bazowe funkcje sklejane stopnia trzeciego.
WSTĘP
W celu dokonania analizy właściwości dynamicznych zachodzących w układach napędowych z zastosowaniem maszyn elektrycznych oraz ich optymalnego
działania niezbędne są modele matematyczne dogodne dla elektronicznej techniki
obliczeniowej. Podstawą analizy stanów nieustalonych silników prądu stałego są
następujące równania różniczkowe:
−
równanie obwodu wzbudzenia
Rw iw (t ) + Lw
−
d iw (t )
= U w ( t );
dt
równanie obwodu twornika
k eiw (t )ω( t ) + Rt it ( t ) + Lt
−
(1)
d it ( t )
= U t (t );
dt
(2)
równanie równowagi mechanicznej
J
dω(t )
+ M o (t ) = k m iw (t )it (t ) ,
dt
(3)
35
Jan Idzikowski, Marek Zellma
gdzie: iw (t )
– prąd wzbudzenia;
U w (t ) – napięcie wzbudzenia;
Rw , Lw – rezystancja i indukcyjność uzwojenia stojana;
it ( t )
– prąd twornika;
U t (t ) – napięcie twornika;
ω(t )
– prędkość kątowa twornika;
Rt , Lt – rezystancja i indukcyjność twornika;
ke
– indukcyjność wzajemna stojan-wirnik;
M o (t ) – moment mechaniczny silnika;
km
J – moment bezwładności układu mechanicznego;
– indukcyjność rotacji.
Powyższe równania wyprowadzono, przyjmując szereg założeń upraszczających. Opis stanów przejściowych i parametrów konkretnej maszyny wymaga
określenia współczynników występujących w jej równaniach. W artykule tym
przedstawimy algorytm identyfikacji układu sterowania obejmujący:
−
opis przebiegów i w , u w , i t , u t , ω(t ), M 0 (t ) w postaci funkcji regresji;
−
−
dobór optymalnych współczynników równań (1 – 3);
weryfikację modelu.
APROKSYMACJA SYGNAŁÓW ZA POMOCĄ BAZOWYCH FUNKCJI
SKLEJANYCH STOPNIA TRZECIEGO
W oparciu o dane pomiarowe
~
~
~
~
u~w ,k = u~w ( t k ), iw ,k = iw (t k ), u~t ,k = u~t ( t k ), it ,k = it ( t k );
~
~
n~ = n~( t ), M = M ( t ), k ∈ 0, n
k
k
k
k
1
wyznaczymy funkcje regresji
ˆ (t )
Uˆ W (t ), iˆw (t ), Uˆ t (t ), iˆt (t ), Mˆ o (t ), ω
36
(4)
Zeszyty Naukowe AMW
Identyfikacja równań dynamiki silnika prądu stałego
opisujące przebiegi rzeczywiste U W (t ), i w (t ), U t (t ), it (t ), M o (t ), ω(t ) silnika prądu
stałego.
Funkcje (4) przedstawimy w postaci kombinacji liniowych
uˆ w =
N +1
∑
i = −1
αi Φ i (t ), iˆw =
N +1
∑
i = −1
N +1
N +1
i = −1
i = −1
β i Φ i (t ),
uˆ t = ∑ γ i Φ i (t ), iˆt = ∑ δi Φ i (t ), (5)
ˆ =
ω
N +1
∑
i = −1
N +1
λ i Φ i (t ), M̂ 0 = ∑ ηi Φi (t );
i = −1
α i , βi , γ i , δ i , λ i , ηi ∈ R, i ∈ − 1, N + 1
bazowych funkcji sklejanych stopnia trzeciego
⎧0
⎪ f (t )
⎪ 1
1 ⎪ f 2 (t )
Φ i (t ) =
⎨
3! h 4 ⎪ f 3 (t )
⎪ f 4 (t )
⎪
⎩0
dla t ≤ t0 + (i − 2)h
dla t0 + (i − 2)h ≤ t ≤ t0 + (i − 1)h
dla t0 + (i − 1)h ≤ t ≤ t0 + ih
dla t0 + ih ≤ t ≤ t0 + (i + 1)h
, i ∈ − 1, N + 1, ( 2)
dla t0 + (i + 1)h ≤ t ≤ t0 + (i + 2)h
dla t ≥ t0 + (i + 2)h
gdzie:
f 1 ( t ) = τ 3 , τ = t − ( t 0 + (i − 2 ) h ) ;
f 2 (t ) = h 3 + 3h 2τ + 3hτ 2 − 3τ 3 ,
τ = t − (t 0 + (i − 1)h );
f 3 (t ) = h 3 + 3h 2τ + 3hτ 2 − 3τ 3 ,
τ = t0 + (i + 1)h − t;
f 1 ( t ) = τ 3 , τ = t 0 + (i + 2) h − t .
Załóżmy, że przebieg rzeczywisty y , którym może być U w (t ), iw (t ),
U t (t ), it (t ), M o (t ), ω(t ) opisany jest funkcją y (t ) . Ponadto zakładamy, że dla
każdego t zmienna losowa y (t ) ma rozkład normalny ze średnią ŷ .
3 (158) 2004
37
Jan Idzikowski, Marek Zellma
Niech ΔN , gdzie N < n − 3 , będzie układem punktów
ti = t + ih, h :=
'
0
[
tn' − t0'
N
' i ∈ 0, N
]
dzielących przedział t0' , t n' 1 = [t 0 , t N ] na N podprzedziałów
Δ n : t0 < K < t N .
Uzupełnimy podział Δ N punktami
t − i := t 0 − ih, t n + i := t 0 + ih , i ∈ 1,2 .
Dalej wyznaczymy funkcję
yˆ = c−1Φ −1 (t ) + c0 Φ 0 (t ) + L + c N Φ N (t ) + c N +1Φ N +1 (t ) ,
taką że dla każdego ustalonego ti ∈ 0, n zmienna losowa yi ma rozkład normalny
ze średnią
yˆ i = c−1Φ −1 (ti ) + c0 Φ 0 (ti ) + L + c N Φ N (ti ) + c N +1Φ N +1 (ti )
i odchyleniem standardowym σ , gdzie ci ∈ R, i ∈ − 1, N + 1 . Ponadto zakładamy, że zmienne y i są zmiennymi niezależnymi.
Optymalne współczynniki ci0 , i ∈ − 1, N + 1 wyznaczymy metodą największej wiarogodności.
Zagadnienie doboru optymalnych współczynników ci0 , i ∈ − 1, N + 1
sprowadza się do rozwiązania równania macierzowego:
BC = G,
(6)
⎡n
⎤
B = ⎢∑ Φ i (t k' )Φ j (t k' )⎥
;
k =0
⎣
⎦
N
N
(
+
3
)
(
+
3
)
x
gdzie:
n
C = [c ]
; G =[ ~
y Φ (t ' ) ]
i ( N + 3 ) x1
∑
k =0
k
i
k
( N + 3 ) x1
;
i, j ∈ − 1, N + 1 .
Macierz B jest macierzą wstęgową 7-diagonalną.
38
Zeszyty Naukowe AMW
Identyfikacja równań dynamiki silnika prądu stałego
Niech
n
λi =
∑ Φ (t
'
k
)Φ i +1 ( t k' ) ,
i ∈ − 1, N + 1;
ϑi =
∑ Φ (t
'
k
)Φ i +1 ( t k' ) ,
i ∈ − 1, N ;
ηi =
∑ Φ (t
'
k
)Φ i +1 ( t k' ) , i ∈ − 1, N − 1 ;
ςi =
∑ Φ (t
'
k
)Φ i +1 ( t k' ) , i ∈ − 1, N − 2 ;
gi =
∑ ~y (t
)Φ i +1 ( t k' ) ,
k =0
n
k =0
n
k =0
n
k =0
n
k =0
i
i
i
i
'
k
i ∈ − 1, N + 1 .
Rozwiązanie C równania (6) można wyznaczyć rekurencyjnie wg wzorów:
z i = g i − zi −1 pi −1 − zi − 2 qi − 2 − zi − 3 ri − 3 , i ∈ − 1, k + 1;
ci =
zi
− ci + 3 ri − ci + 2 qi − ci +1 pi , i ∈ k + 1,−1 ,
wi
gdzie:
wi = λ i − wi −1 + pi2−1 − wi − 2 qi2− 2 − wi − 3 ri 2− 3 ;
1
pi =
(ϑi − wi −1 pi −1qi −1 − wi − 2 qi − 2 ri − 2 ) ;
wi
1
qi =
( ηi − wi −1 pi −1ri −1 );
wi
ςi
ri =
;
wi
i ∈ − 1, N + 1 ; pi − 2 = 0 ; qi = 0 dla i ∈ − 3,−2 ; ri = 0 dla i ∈ − 4,−2 ;
ς i = 0 dla i ∈ N − 1, N + 1 ; ηi = 0 dla i ∈ N , N + 1 ; ϑ N +1 = 0 .
IDENTYFIKACJA PARAMETRÓW SILNIKA
Optymalne współczynniki Rw , Lw , Rt , Lt , k e , k m równań (1 – 3) wyznaczmy
poprzez minimalizację błędów równań (wskaźników identyfikacji):
3 (158) 2004
39
Jan Idzikowski, Marek Zellma
diˆ (t )
J( Rw , Lw ) =|| Rwiˆw (t ) + Lw w − uˆw (t ) ||=
dt
t n1
∫ [ R iˆ (t ) + L
w w
w
t0
diˆw (t )
− uˆw (t )]2 dt ;
dt
d iˆ (t )
J( Rt , Lt ) =|| Rt iˆt (t ) + Lt t − k e iˆw (t )ω̂(t ) − uˆ t ||=
dt
t n1
d iˆt (t )
ˆ
[
R
i
(
t
)
+
L
− k e iˆw (t )ω̂(t ) − uˆ t ]2 dt ;
t
∫t t t
dt
0
J ( J , k m ) =|| J
dωˆ (t )
− k m iˆt (t ) iˆw (t ) − Mˆ o (t ) ||
dt
,
gdzie ||⋅ || jest normą indukowaną przez iloczyn skalarny (⋅ | ⋅) w przestrzeni Hilberta
L2 ([t 0 , t n1 ], R1 ) , której elementami są funkcje x = x(t ), y = y (t ) , [t0 , t n1 ] → R 1 ,
a iloczyn skalarny i norma mają odpowiednio postać:
tn
( x | y ) := ∫ x (t ) y (t )dt , || x ||:=
t0
tn1
∫ [ x(t )] dt .
2
t0
Zagadnienie doboru optymalnych parametrów zostało rozwiązane za pomocą twierdzenia o rzucie ortogonalnym [1]:
TWIERDZENIE.
Niech H 0 będzie domkniętą podprzestrzenią liniową prze-
strzeni Hilberta H . Wówczas każdemu elementowi x ∈ H odpowiada jeden i tylko
jeden element h0 ∈ H 0 , taki że || x − h0 ||≤|| x − h || dla wszystkich h ∈ H 0 . Ponadto
h0 ∈ H 0 minimalizuje wyrażenie || x − h || wtedy i tylko wtedy, gdy element x − h0
jest ortogonalny do H 0 .
Element h0 nazywamy rzutem ortogonalnym elementu x na podprzestrzeń H 0 .
Wyznaczenie współczynników równań (1 – 3) sprowadza się do rozwiązania układów równań liniowych:
tn
tn
⎧ 0 tn
0
'
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
⎪ Rw ∫ iw (t )iw (t )dt + Lw ∫ iw (t )iw (t )dt = ∫ uˆ w (t )iˆw (t )dt
⎪ t0
t0
t0
;
⎨ tn
tn
tn
⎪ R 0 iˆ (t )iˆ ' (t )dt + L0 iˆ ' (t )iˆ ' (t )dt = uˆ (t )iˆ ' (t )dt
w∫ w
w
∫ w w
⎪ w t∫ w w
t0
t0
⎩ 0
40
(7)
Zeszyty Naukowe AMW
Identyfikacja równań dynamiki silnika prądu stałego
tn
tn
tn
⎧ 0 tn
0 ˆ'
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ (t )it (t )dt = ∫ uˆ t (t )iˆt (t )dt
⎪ Rt ∫ it (t )it (t )dt + Lt ∫ it (t )it (t )dt − k e ∫ iw (t )ω
t0
t0
t0
⎪ t0
tn
tn
tn
⎪ 0 tn
'
0 ˆ'
'
'
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
R
i
t
i
t
dt
L
i
t
i
t
dt
k
i
t
t
i
t
dt
uˆ t (t )iˆti (t )dt
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+
−
ω
=
⎪ t∫ t t
t ∫ t
t
e∫ w
t
∫
⎪ t0
t0
t0
t0
; (8)
⎨
tn
tn
tn
⎪ R 0 iˆ (t )iˆ (t )ω
ˆ (t )dt + L0t ∫ iˆt' (t )iˆw (t )ω
ˆ (t )dt − k e ∫ iˆw2 (t )ω
ˆ 2 (t )dt =
t ∫ t
w
⎪
t0
t0
t0
⎪
tn
⎪
ˆ (t )dt
= ∫ uˆt (t )iˆw (t )ω
⎪
t0
⎩
tn
tn
tn
⎧
'
'
'
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ 't (t )dt
ω
ω
−
ω
=
J
(
t
)
(
t
)
dt
k
i
(
t
)
i
(
t
)
(
t
)
dt
Mˆ 0 (t )ω
⎪
t
t
m∫ t
w
t
∫
∫
⎪
t0
t0
t0
,
⎨ tn
tn
tn
'
2
⎪J ω
ˆ (t )iˆ (t )iˆ (t )dt − k m ∫ (iˆt (t )iˆw (t )) dt = ∫ Mˆ 0 (t )iˆt (t )iˆw (t )dt
⎪ t∫ t t w
t0
t0
⎩ 0
(9)
gdzie:
tn
tn
N +1 N +1
∫ iˆw (t )iˆw (t )dt = ∑
∑α
t0
ν= −1 μ = −1
tn
N +1 N +1
'
'
∫ iˆw (t )iˆw (t )dt = ∑
ν= −1 μ = −1
tn
N +1 N +1
ν
μ
∑α β d
ν=−1 μ=−1
t0
αμ d ;
∑α α d
t0
∫ uˆw (t)iˆw (t)dt = ∑
ν
00
νμ
11
νμ
00
ν μ νμ
;
N +1 N +1
'
∫ iˆw (t )iˆw (t )dt = ∑
∑α α d
t0
ν= −1 μ = −1
tn
N +1 N +1
01
νμ
;
01
ν μ νμ
;
ν
μ
;
'
∫ uˆw (t )iˆw (t)dt = ∑
t0
∑α β d
ν=−1 μ =−1
tN
00
dνμ
= ∫ Φν (t) Φμ (t)dt, ν, μ ∈ − 1, N + 1 ;
t0
tN
d
10
νμ
= ∫ Φ ν (t )Φ ′μ (t ) dt , ν, μ ∈ − 1, N + 1 .
t0
Współczynniki dν0μ0 , dν10μ można wyznaczyć w sposób analityczny. Wtedy
powyższe wzory nie zawierają całek oznaczonych. Ma to duże znaczenie w obliczeniach numerycznych. W ten sposób znacznie skraca się czas i zmniejsza błąd
obliczeń. Do opracowania algorytmu identyfikacji napisano program komputerowy
w języku Borland Pascal 7.0.
3 (158) 2004
41
Jan Idzikowski, Marek Zellma
PRZYKŁAD NUMERYCZNY
Dla przykładu numerycznego dokonano pomiarów wartości przebiegów
~ '
~
~
~(t ' ), M
u~w (t k' ), iw (t k' ), u~t (t k' ) , it (t k' ), ω
(t k ), k ∈ 0,n1
k
obcowzbudnego
silnika
prądu stałego sterowanego od strony wzbudzenia twornika. Zebrane wartości przedstawiono na rysunku 1.
Rys. 1. Pomiary rzeczywiste przebiegów
Do opisu przebiegów wykorzystano 30 funkcji sklejanych stopnia trzeciego.
W wyniku obliczeń otrzymano:
R w0 = 1.18 [Ω], L0w = 0.07 [ H ] , Rt0 = 0.048 [Ω], L0t = 0.00144 [ H ] ,
k e0 = 0.0001 [ H ], J 0 = 0.48 [kg ⋅ m 2 ] , k m0 = 0.0048 [ s].
42
Zeszyty Naukowe AMW
Identyfikacja równań dynamiki silnika prądu stałego
BIBLIOGRAFIA
[1]
Kołodziej W., Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN, Warszawa
1970.
[2]
Mańczak K., Metody identyfikacji wielowymiarowych obiektów sterowania,
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1979.
[3]
Rao C. R., Modele liniowe statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1982.
[4]
Stieczkin S., Subbotin J., Splines in mathematica, Science, Moscow 1976.
[5]
Załęska-Fornal A., Zellma M., Applications of Basic Splines to Identification
of Sailing Object Equations, „Zeszyty Naukowe” WSM (w druku).
[6]
Zawiałow J., Kwasow B., Splines methods, Science, Moscow 1980.
ABSTRACT
The paper presents possibilities of using base splice functions to identify equations of
a DC engine. Third degree base splice functions were used to describe the distributions.
Recenzent kmdr prof. dr hab. Franciszek Grabski
3 (158) 2004
43