Wykład 4

WYKLAD 4: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R3
Definicja 1 Przestrzenia, R3 nazywamy zbiór uporzadkowanych
trójek (x, y, z),
,
czyli
R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}
Przestrzeń R3 interpretujemy jako zbiór punktów P (x, y, z).
Definicja 2 Wektorem zaczepionym o poczatku
w punkcie P1 i końcu P2
,
−−→
(symb. P1 P2 ) nazywamy uporzadkowan
a, pare, punktów (P1 , P2 ). Każdy wek,
tor posiada cztery cechy: dlugość, kierunek, zwrot i punkt zaczepienia. Dlugość
wektora wyraźa sie, wzorem:
q
−−→
|P1 P2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
−
Przez wektor swobodny →
u rozumiemy zbiór wszystkich wektorów (zaczepionych w różnych punktach) które maja, ten sam kierunek, zwrot oraz
−
dlugość co wektor →
u.
Dzialania na wektorach
−
−
−
Niech →
u = (x, y, z); →
u1 = (x1 , y1 , z1 ); →
u2 = (x2 , y2 , z2 ); α ∈ R
Wtedy
→
−
−
u1 + →
u2 = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 );
→
−
→
−
u1 − u2 = (x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 );
−
α→
u = (αx, αy, αz)
1
Rysunek
−
−
Definicja 3 Rzutem wektora →
a na oś s nazywamy wektor →
as o poczatku
i
,
→
−
końcu bed
acymi
rzutami
na
t
e
oś
odpowiednio
pocz
atku
i
końca
wektora
a
.
,
, ,
,
2
Wlasności dzialań:
−
−
−
−
1. przemienność →
u +→
v =→
v +→
u
→
−
−
−
−
−
−
2. laczność
u + (→
v +→
w ) = (→
u +→
v)+→
w
,
−
−
−
3. istnienie elementu neutralnego dodawania →
u +→
o =→
u
→ =→
−
−
4. istnienie elementu przeciwnego wzgledem
dodawania →
u + (−
−u)
o
,
−
−
5. 1 →
u =→
u
−
−
6. (αβ)→
u = α(β →
u)
−
−
−
7. (α + β)→
u = α→
u + β→
u
−
−
−
−
8. α(→
u +→
v ) = α→
u + α→
v
Definicja 4 Kombinacja, liniowa, wektorów ui , i = 1, 2, ..., n nazywamy wektor:
n
X
−
−
−
→n
λi →
ui = λ1 →
u1 + λ2 →
u2 + ... + λn −
u
i=1
Definicja 5 Wektory ui , i = 1, 2, ..., n nazywamy liniowo niezależnymi, jeżeli
nie istnieje ich nietrywialna kombinacja liniowa równa zeru, czyli
n
X
−
−
λi →
ui = →
o ⇒ ∀i=1,...,n λi = 0
i=1
Wektory, które nie sa, liniowa niezależne, nazywamy liniowo zależnymi.
Definicja 6 Baza, przestrzeni wektorowej nazywamy każdy maksymalny zbiór
wektorów liniowo niezależnych.
Uwaga. Każdy wektor z danej przestrzeni wektorowej można przedstawić
w postaci kombinacji liniowej wektorów bazowych.
Przyklady:
3
→
−
−
Definicja 7 Dwa wektory →
a i b sa, wspólliniowe (równolegle, liniowo zależne),
gdy istnieje prosta w której sa, zawarte.
→
− −
−
Definicja 8 Trzy wektory →
a, b i→
c sa, wspólplaszczyznowe (liniowo zależne),
gdy istnieje plaszczyzna w której sa, zawarte.
Iloczyn skalarny
Definicja 9
d→
→
−
→
−
−
→
−
−
−
a ◦ b = |→
a || b | cos (→
a, b)
→
−
→
−
→
−
−
−
−
−
−
Jeżeli →
a 6= →
o i b =
6 →
o i→
a ◦ b = 0, to →
a ⊥ b.
Inne wlasności:
4
→
−
→
− −
−
1. przemienność →
a ◦ b = b ◦→
a
2. rozdz. dodawania wzg. iloczynu skalarnego:
→
− −
→
− − →
→
−
−
a ◦( b +→
c)=→
a ◦ b +→
a ◦ −c
→
−
→
−
−
−
3. laczność
(λ→
a ) ◦ b = λ(→
a ◦ b)
,
−
−
−
4. →
a ◦→
a = |→
a |2
→
−
−
Iloczyn skalarny wektorów →
a = [ax , ay , az ], b = [bx , by , bz ] obliczamy
nastepuj
aco:
,
,
→
−
→
−
a ◦ b = ax b x + ay b y + az b z
Zadania.
Iloczyn wektorowy
5
→
−
→
−
−
−
Definicja 10 Iloczynem wektorowym →
a × b wektorów →
a i b nazywamy
wektor o nastepuj
acych
wlasnościach:
,
,
→
−
→
−
→
−
−
−
−
(→
a × b)⊥→
a,
(→
a × b)⊥ b
d→
→
−
→
−
−
−
−
−
|→
a × b | = |→
a || b | sin (→
a, b)
i o zwrocie zgodnym z orientacja, przestrzeni.
Wlasności:
→
− −
→
−
−
1. nieprzemienność b × →
a = −(→
a × b)
→
− −
−
−
2. rozdz. dodawania wzg. iloczynu wektorowego →
a ×(b +→
c)=→
a ×
→
− →
−
→
−
b + a × c
→
−
→
−
−
−
3. laczność
(λ→
a ) × b = λ(→
a × b)
,
→
−
→
−
−
−
−
4. →
a × b =→
o ⇐⇒ →
a k b
dla
6
→
−
→
−
−
a , b 6= →
o
→
−
−
Iloczyn wektorowy wektorów →
a = [ax , ay , az ], b = [bx , by , bz ] obliczamy
nastepuj
aco:
,
,
i j k →
−
→
−
a × b = ax ay az bx by b z Dowód:
Zadanie.
7
Iloczyn mieszany
→
−−
→
−
−
−
−c
Definicja 11 →
a b→
c = (→
a × b )◦→
Niech:
→
−
a = [ax , ay , az ],
→
−
b = [bx , by , bz ],
→
−c = [cx , cy , cz ] .
Wtedy iloczyn mieszany obliczamy ze wzoru:
ax ay az →
−
→
−
−c = bx by bz a b→
cx cy cz Interpretacja geometryczna:
Zadanie.
8
Równanie plaszczyzny
I sposób
→
−
−
Niech →
a = [ax , ay , az ], b = [bx , by , bz ], - ustalone dwa wektory (swobodne), P0 (x0 , y0 , z0 ) -dowolny punkt.
Równanie ogólne Ax + By + Cz + D = 0 plaszczyzny π wyznaczymy z
warunku:
x − x0 y − y0 z − z0
ax
ay
az
bx
by
bz
II sposób”
9
=0
Zadanie.
Równanie prostej w przestrzeni
−
Niech →
v = [vx , vy , vz ]- dowolny wektor (swobodny) w przestrzeni i P0 (x0 , y0 , z0 )
- dowolny punkt.
10
Równanie parametryczne prostej przechodzacej
przez punkt P0 i równoleglej
,
→
−
do wektora v :



x = vx t + x0
y = vy t + y0


z = vz t + z0
11
t∈R