Ciąg geometryczny

Transkrypt

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny – poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/)
1. Liczby 2 − 3; ; 2 + 3 w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz .
http://www.zadania.info/d49/205770
2. Nieskończony ciąg geometryczny
jest określony wzorem
=7∙3
, dla
≥ 1. Oblicz iloraz
tego ciągu.
=3∙7
, dla
tego ciągu.
= −6 ∙
, dla
tego ciągu.
5. Suma
początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
wyraża się wzorem
=1−
dla
≥ 1. Oblicz
pierwszy wyraz ciągu i jego iloraz.
= 4,
6. Wyznacz cztery początkowe wyrazy ciągu geometrycznego, jeśli:
= 10.
7. Iloraz ciągu geometrycznego
równy jest 3, a suma odwrotności wyrazu pierwszego i drugiego wynosi 18.
a) Oblicz pierwszy wyraz ciągu
.
b) Podaj wzór na wyraz ogólny ciągu
.
o wyrazach dodatnich każdy wyraz począwszy od trzeciego, jest sumą
8. W nieskończonym ciągu geometrycznym
dwóch poprzednich wyrazów. Oblicz iloraz tego ciągu.
9. Pierwszy wyraz niemonotonicznego ciągu geometrycznego
.
a) Oblicz iloraz ciągu
b) Oblicz ósmy wyraz ciągu
.
c) Suma kilku początkowych wyrazów ciągu
jest równy 48 i jest o 36 większy od wyrazu trzeciego.
jest równa 32
. Oblicz, ile wyrazów zsumowano.
!
10. Sprawdź, czy ciąg o wyrazach 2, 6, 18, 36 jest geometryczny.
11. Długości boków trójkąta "#$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie . Wykaż, że miary kątów trójkąta zbudowanego z odcinków o długościach równych długościom wysokości trójkąta "#$ są równe miarom kątów
trójkąta "#$.
12. Wykaż, że liczby
√ &
13. Oblicz
(
−
)
*
+(
!
,
& √
!
,
√ &
'
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
− ' + . Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
14. Wymiary prostopadłościanu o objętości + = 8 cm3 i polu powierzchni całkowitej - = 28 cm2 tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz długości krawędzi bryły.
15. Długości krawędzi prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny. Objętość bryły jest równa 27, a suma długości jej
krawędzi jest równa 13. Znajdź długość najkrótszej krawędzi prostopadłościanu.
16. Iloczyn początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem . = 2 . Oblicz pierwszy wyraz tego
ciągu i jego iloraz.
17. Wyznacz wszystkie wartości / ∈ 1, dla których pierwiastki wielomianu 2 3 = 3 − 83 + 12 3 − / są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.
18. Iloczyn drugiego i czwartego wyrazu ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich jest równy 9. Oblicz iloczyn pięciu
początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
19. W skończonym ciągu geometrycznym
wyraz pierwszy jest równy 3, a wyraz ostatni 768. Wiedząc, że suma
wszystkich wyrazów wynosi 1533, oblicz iloraz tego ciągu.
20. W skończonym ciągu geometrycznym
wyraz pierwszy jest równy 2, a wyraz ostatni 39 366. Wiedząc, że suma
wszystkich wyrazów wynosi 59 048, oblicz iloraz tego ciągu.
21. Uzasadnij, że ciąg określony wzorem
=
jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz iloraz tego ciągu.
22. Ciąg
≥ 1 jest ciągiem geometrycznym o ilorazie
, dla
23. Dany jest rosnący ciąg geometryczny
domo, że 3 + 9 = 35.
dla
= √2. Oblicz wartość wyrażenia
≥ 1, w którym
= 3,
= 14,
45 4 4 46 47
.
48 4 4 46 4 47
= 9. Oblicz 3 oraz 9, jeżeli wia-
24. Jaką liczbą musi być 3, aby liczby 6, 3, 54 tworzyły ciąg geometryczny.
25. Oblicz sumę
'
pierwszych 4 wyrazów ciągu geometrycznego
= −3 i ilorazie
, o pierwszym wyrazie
= 4,
26. Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów rosnącego ciągu geometrycznego, w którym
27. Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
, w którym
= 2,
'
= 4.
= 16.
= 54.
28. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego wiedząc, że trzeci wyraz jest równy 18, a szósty 486.
29. Ciąg 36,12√6, 24, … jest ciągiem geometrycznym.
a) Oblicz iloraz tego ciągu.
b) Zapisz −ty wyraz tego ciągu w postaci
.
c) Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu.
30. W ciągu geometrycznym
dane są iloraz
= − oraz suma
(
+
*
+ ⋯+
(
=
=> 88
∙ 85
?
. Oblicz
).
31. Dla jakich 3 ∈ 1\A2B, liczby 3 − 2 ; 3 − 4; 23 + 93 − 2 w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny? Dla
znalezionej wartości 3 wyznacz ciąg i jego iloraz.
'
'
32. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej , liczby >√3 + √2? ; 2 ; >√6 − 2?
trycznego.
są kolejnymi wyrazami ciągu geome-
pierwszy wyraz ciągu
jest równy , a suma jego pięciu początkowych wyrazów wynosi −605. Znajdź
oraz określ jego monotoniczność.
34. Iloczyn piątego i jedenastego wyrazu ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich jest równy 4. Oblicz iloczyn piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
35. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego
jest równy 6, a iloraz dziesiątego wyrazu i wyrazu szóstego równy jest 16.
Wiedząc że
nie jest monotoniczny znajdź:
a) Jego iloraz.
b) Jego piąty wyraz.
c) Wzór na wyraz ogólny ciągu.
36. Dany jest ciąg geometryczny, w którym
= 12 i
= 27.
a) Ile jest ciągów spełniających podane warunki? Odpowiedź uzasadnij.
b) Oblicz wyraz ! tego ciągu, który jest rosnący. Wynik podaj w postaci ułamka dziesiętnego.
37. Udowodnij, że w ciągu geometrycznym
równy F
∙
G
G.
o wyrazach dodatnich iloczyn / > 1 początkowych wyrazów ciągu jest
38. Wyznacz iloraz niezerowego ciągu geometrycznego, w którym suma 10 początkowych wyrazów jest 5 razy większa od
sumy pierwszych 5 wyrazów.
39. Wykaż, że jeżeli
jest ciągiem geometrycznym, to ciąg H
jest ciągiem geometrycznym.
40. Ciąg
jest ciągiem geometrycznym. Wykaz, że ciąg H
geometrycznym.
o wyrazie ogólnym określonym wzorem H = 5
określony wzorem H =
+
też
jest również ciągiem
41. Pierwszy wyraz i iloraz nieskończonego ciągu geometrycznego malejącego
33 − 133 + 4 = 0. Sprawdź czy prawdziwa jest nierówność + + ⋯ +
II
42. Liczby −3 ; −8; −3 w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz 3.
są różnymi pierwiastkami równania
< 6.
43. Iloczyn dziewięciu kolejnych początkowych wyrazów pewnego ciągu geometrycznego wynosi 512. Oblicz piąty wyraz
tego ciągu.
44. Liczby 64; 3; 4 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.
45. Oblicz 1 + 2 + 4 + ⋯ + 512 + 1024.
46. W ciągu geometrycznym
, którego żaden wyraz nie jest równy 0, suma pewnych dwóch kolejnych wyrazów jest
równa 0. Oblicz sumę 2008 początkowych wyrazów tego ciągu.
47. Udowodnij, że jeżeli liczby , H, K są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to
−H+K
+H+K =
+H +K .
jest wzór
=2
+4 .
jest równy >1 + √5?. Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej
warunek
I
=
=&488
.
&M
, gdzie
≥ 1 jest równy
≥ 1 prawdziwy
≠ 1, a suma 10 początkowych wyrazów tego ciągu spełnia
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
50. Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego
, wiedząc, że
= 28 i
=
= 3 . Oblicz sumę dziesięciu po-
czątkowych wyrazów tego ciągu.
51. Ciąg
określony jest wzorem
=2
+2 +2 & .
a) Oblicz pierwszy i trzeci wyraz tego ciągu.
b) Uzasadnij, korzystając z definicji ciągu geometrycznego, że ciąg
jest geometryczny.
52. Ciąg 4; ; H; K; N; 8 jest geometryczny. Oblicz , H, K i N.
53. Udowodnij że w ciągu geometrycznym o parzystej liczbie wyrazów stosunek sumy wyrazów stojących na miejscach parzystych do sumy wyrazów stojących na miejscach nieparzystych jest równy ilorazowi tego ciągu.
54. Trzywyrazowy ciąg geometryczny jest rosnący. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy −8, a iloraz pierwszego wyrazu przez trzeci wynosi 2 '. Wyznacz ten ciąg.
55. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość podstawy, krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa tworzą
ciąg geometryczny. Oblicz długość krawędzi podstawy graniastosłupa wiedząc, że jego objętość jest równa 108.

Ciąg geometryczny

Transkrypt

Podobne dokumenty

Nilfisk SCRUBTEC 130 E

Nilfisk MC 2C

Przyczepa na obrotnicy CMT PT 12-20 Rama Konstrukcja przyczepy

Oddajemy w Państwa ręce nowy portal Moje