Złote reguły akumulacji w N-kapitałowym modelu wzrostu

Transkrypt

Paweł DYKAS*
Anna SULIMA*
Tomasz TOKARSKI*
Złote reguły akumulacji w N-kapitałowym
modelu wzrostu gospodarczego
Wprowadzenie
Celem prezentowanego opracowania jest próba wyznaczenia złotych reguł
akumulacji kapitału Phelpsa [1961] na gruncie N-kapitałowego modelu wzrostu
gospodarczego. Analizy te prowadzone są przy makroekonomicznej funkcji
produkcji jednorodnej dowolnego stopnia X > 0. Oznacza to, iż przy X = 1
rozważana w opracowaniu makroekonomiczna funkcja produkcji charakteryzuje się stałymi efektami skali (jak ma to miejsce w neoklasycznych modelach
wzrostu gospodarczego typu Solowa [1956], Mankiwa, Romera, Weila [1992]
lub Nonnemana, Vanhoudta [1996]), zaś przy X < 1 (X > 1) występują malejące (rosnące) efekty skali procesu produkcyjnego. Oznacza to, iż wówczas
w gospodarce dowolne, z-krotne, przy z > 1, zwiększenie nakładów wszystkich
czynników produkcji prowadzi do mniej (więcej) niż z-krotnego wzrostu strumienia wytworzonego produktu (szerzej na ten temat por. Tokarski [2008]).
Struktura prezentowanego opracowania przedstawia się następująco. Na
początku scharakteryzowane są założenia analizowanego w pracy modelu
N‑kapitałowego wzrostu gospodarczego. Znajduje się tu również dowód tego,
iż rozważany w pracy model wzrostu charakteryzuje się asymptotyczną stabilnością w pewnym otoczeniu punktu stacjonarnego układu równań ruchu
analizowanego modelu wzrostu gospodarczego. Następnie rozważanie są
kwestie dotyczące położenia długookresowych ścieżek wzrostu podstawowych
zmiennych makroekonomicznych występujących w rozważanym modelu wzrostu gospodarczego w warunkach długookresowej równowagi owego modelu
wzrostu, oraz wyznaczone są złote reguły akumulacji kapitału na gruncie
N-kapitałowego modelu wzrostu gospodarczego w warunkach występowania
efektów skali procesu produkcyjnego. Opracowanie kończy podsumowanie prowadzonych w pracy rozważań i ważniejsze wynikające z nich wnioski.
*
P. Dykas i A. Sulima są studentami ekonomii i matematyki a T. Tokarski – pracownikiem
Instytutu Ekonomii i Zarządzania Uniwersytetu Jagiellońskiego oraz Wyższej Szkoły Handlowej
im. B. Markowskiego w Kielcach, Wydział Zamiejscowy w Tarnobrzegu. Artykuł wpłynął do
redakcji we wrześniu 2008 r.
Autorzy pragną podziękować dwóm anonimowym recenzentom oraz Redaktorowi dr. Tadeuszowi Smudze z Gospodarki Narodowej za uwagi do wstępnej wersji prezentowanego opracowania.
48
GOSPODARKA NARODOWA Nr 11-12/2008
Założenia i równowaga modelu
W prowadzonych dalej rozważaniach przyjmowane będą następujące założenia dotyczące funkcjonowania gospodarki:
1. Proces produkcyjny opisany jest przez rozszerzoną funkcję produkcji Cobba‑Douglasa daną wzorem:
6t d 60; + 3h Y (t) =
% _ K j ] t g ia
N
j=1
j
$ ] E ] t g gH (1)
gdzie Y jest strumieniem wytworzonego w gospodarce produktu; N to liczba
wykorzystanych w procesie produkcyjnym zasobów kapitału; Kj-nakłady j‑tego
rodzaju kapitału (dla każdego j = 1, 2, …, N); E-nakłady efektywnej pracy
(będące iloczynem zasobu wiedzy A, którego przyrost ma charakter egzogenicznego postępu technicznego w sensie Harroda, i liczby pracujących L); aj to
elastyczności wytworzonego produktu względem nakładów j-tego rodzaju kapitału (dla każdego j = 1, 2, …, N), zaś Q jest elastycznością produkcji względem
nakładów efektywnej pracy. Zakłada się również, że dla każdego j = 1, 2, …, N
N
aj Î (0;1), Q Î (0;1) oraz
/ a j d ^0; 1h .
j=1
Kolejne nakłady kapitału K1, K2, …, KN w analizowanym modelu wzrostu
gospodarczego można utożsamiać z różnymi, substytucyjnymi w stosunku do
siebie, rodzajami kapitału rzeczowego, różnymi rodzajami kapitału ludzkiego
(wynikającego z istnienia w każdej gospodarce grup pracujących o różnym
poziomie kwalifikacji) oraz z różnymi zasobami wiedzy naukowej-technicznej
wykorzystywanymi w procesie produkcyjnym.
Korzystając z twierdzenia Eulera o funkcji jednorodnej można pokazać,
N
że funkcja produkcji (1) jest jednorodna stopnia Ξ =
/ aj + Θ
względem
j=1
kolejnych nakładów kapitału K1, K2, …, KN i jednostek efektywnej pracy E.
Prezentowany tu model wzrostu gospodarczego jest rozszerzeniem modelu rozważanego w pracy
Nonnemana, Vanhoudta [1996] oraz w rozdziale 2 książki Tokarskiego [2008]. Alternatywny
model N-kapitałowego wzrostu gospodarczego, oparty na zasadzie maksimum Pontriagina,
przedstawiony jest w artykule Tokarskiego [2007]. Model ten nawiązuje również do modelu
zaproponowanego w pracy Tokarskiego [2001, punkt 1.4] oraz do ekonometrycznych modeli
wzrostu gospodarki polskiej, których konstrukcja i oszacowania parametrów scharakteryzowanego są w monografiach Welfe [2001, 2007].
O wszystkich występujących dalej zmiennych makroekonomicznych implicite przyjmowane jest
dalej założenie, że są różniczkowalne względem czasu t Î [0; +¥). Zapis xo(t) / xo / dx/dt
oznaczał będzie pochodną zmiennej x po czasie t, czyli ekonomicznie rzecz biorąc, przyrost
wartości owej zmiennej w momencie t Î [0; +¥).
Przez postęp techniczny w sensie Harroda rozumie się ten rodzaj postępu technicznego, który
bezpośrednio potęguje produktywność nakładów pracy L. Egzogeniczny postęp techniczny
w analizowanej tu gospodarce może być efektem nauki przez doświadczenie (learning by
doing).
49
Paweł Dykas, Anna Sulima, Tomasz Tokarski, Złote reguły akumulacji w N-kapitałowym...
N
Oznacza to, że jeśli wyrażenie
/ aj + Θ
jest większe (mniejsze) od jedności,
j=1
to rozszerzona funkcja produkcji Cobba-Douglasa charakteryzuje się rosnącymi
N
(malejącymi) efektami skali, zaś przy
/ aj + Θ = 1
występują stałe efekty
j=1
N
skali procesu produkcyjnego. Co więcej, przy
/ a j + Θ = 1 analizowany tu
j=1
model wzrostu gospodarczego sprowadza się do neoklasycznego modelu wzrostu
Nonnemana, Vanhoudta [1996].
2. Przyrosty każdego z zasobów kapitału Ko j stanowią różnicę pomiędzy inwestycjami sjY w owe zasoby a ich deprecjacją dj Kj, czyli:
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
Ko j (t) = s j Y (t) - d j K j (t) (2)
gdzie sj (dla każdego j = 1, 2, …, N) to stopa inwestycji w j-ty zasób kapitału,
zaś dj jest stopą deprecjacji owego zasobu. O stopach sj oraz dj zakłada się, że
N
6j = 1, 2, f, N
s j, d j d (0; 1) oraz
/ s j d (0; 1) i mają one charakter zmien-
j=1
nych egzogenicznych.
3. Jednostki efektywnej pracy E rosną według egzogenicznej stopy m > 0, która
jest sumą stopy egzogenicznego postępu technicznego w sensie Harroda
(równej g > 0) oraz stopy wzrostu liczny pracujących (n > 0). Dlatego też:
6t d 60; + 3h Eo (t) /E (t) = n = g + n (3)
Z równań (1) i (2) wynika, że przyrost każdego z zasobów kapitału można
zapisać wzorem:
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
Ko j (t) = s j
N
% _ K m (t)ia
m
m=1
^ E (t) hΘ - d j K j (t)
a stąd:
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
Ko j (t) + d j K j (t) = s j
N
% _ K m (t)ia
m
m=1
^ E (t) hΘ
lub:
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
G j (t) + d j = s j _ K j (t) ia j - 1
N
% _ K m (t)ia
m
m = 1, m ! j
^ E (t) hΘ
(4)
50
gdzie G j / Ko j /K j to stopa wzrostu j-tego zasobu kapitału (dla każdego
j = 1, 2, …, N). Ponieważ przy K1, K2, …, KN, E > 0 prawe strony równań (4) są dodatnie, zatem 6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N : G j (t) > - d j .
Płynie stąd wniosek, że przestrzeń fazową P Ì Â N analizowanego układu równań różniczkowych można zdefiniować następująco:
P = # _ G1, G2, f, G N i d 0 N : 6i = 1, 2, f, N Gi > - di - . Logarytmując stronami i różniczkując względem czasu t Î [0; +¥) powyższe równania uzyskuje
się związki:
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
N
+
/
m = 1, m ! j
fa
m
Go j (t)
Ko j (t)
=- _1 - a j i K (t) +
G j (t) + d j
j
N
o
Kom (t)
Eo (t)
p + Θ E (t) = - _1 - a i G (t) +
/
a
G
(
t
)
+
Θ
_
i
j
j
m
m
K m (t)
E (t)
E (t)
m = 1, m ! j
lub po uwzględnieniu zależności (3):
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
= Θn - _1 - a j i G j (t) +
Go j (t)
=
G j (t) + d j
N
_ am G m (t) i
m = 1, m ! j
/
(5)
Układ złożony z równań różniczkowych (5) stanowi układ równań ruchu
w analizowanym tu modelu wzrostu gospodarczego. Układ ów posiada punkt
stacjonarny _ G1*, G *2, f, G *N i d P przy Go1 = Go2 = f = Go N = 0. Punkt stacjonarny _ G1*, G *2, f, G *N i d P jest rozwiązaniem następującego układu równań:
R
VR V
R V
S1 - a1 - a2 g - aN WS G1 W
S1W
S - a1 1 - a2 g - aN WS G2 W
S1W
S h
W S h W = Θn S W h
j
h
S
WS W
ShW
S1W
a
a
g
1
a
G
S
1
2
N WS N W
T X
T
XT X
(6)
Układ równań (6) można rozwiązać wykorzystując np. twierdzenie Cramera.
Kolejne wyznaczniki Cramera owego układu równań dane są wzorami:
R
V
S1 - a1 - a2 g - aN W
N
S - a1 1 - a2 g - aN W
W =S
= 1 - / a j > 0
(7)
W
h j h W
j=1
S h
S - a1 - a2 g 1 - aN W
T
X
51
oraz:
6j = 1, 2, f, N W j =
1 - a1
- a1
h
- a1
=
- a1
- a1
h
- a1
- a2
1 - a2
h
- a2
- a2
- a2
h
- a2
g
g
j
g
g
g
j
g
-aj - 1
-aj - 1
h
1 - aj - 1
-aj - 1
-aj - 1
h
-aj - 1
Θn
Θn
h
Θn
Θn
Θn
h
Θn
-aj + 1
-aj + 1
h
-aj + 1
-aj + 1
1 - aj + 1
h
-aj + 1
g
g
j
g
g
g
j
g
- aN
- aN
h
(8)
- aN
= Θn > 0
- aN
- aN
h
1 - aN
Z równań (7-8) płynie wniosek, że stopy wzrostu j-tego zasobu kapitału
(dla j = 1, 2, …, N) w punkcie stacjonarnym układu równań różniczkowych (5)
można zapisać następująco:
6j = 1, 2, f, N
Wj
G *j = W =
Θn
N
-1
/ am
(9)
m=1
Dokonując podstawienia Riccatiego postaci (por. np. [Krysicki, Włodarski,
1993, s. 264-265]):
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
1
G j (t) + d j = v (t) j
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
Go j (t) =-
(10a)
a stąd:
voj (t)
(10b)
1
d am d v (t) - dm n n H v j (t)
m
m = 1, m ! j
(11)
_ v j (t) i
2
układ równań różniczkowych (5) można zapisać następująco:
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
voj (t) = _1 - a j i - > } j +
N
/
gdzie:
6j = 1, 2, f, N
} j = Θn + _1 - a j i d j (12)
Ponieważ układ równań różniczkowych (11) jest tożsamościowy do układu (5), zatem punkt stacjonarny owego układu równań _ v1*, v *2, f, v *N i, zgodnie
z równaniami (9) i (10a), określają związki:
52
6j = 1, 2, f, N
v *j =
1
=
G *j + d
Θn
1
N
1-
/ am
=
+ dj
1
G* + d j
(13)
m=1
Układ równań różniczkowych (11) można również zapisać następująco:
6j = 1, 2, f, N
voj (t) = f j _ v1 ] t g, v2 ] t g, f, v N ] t g i =
= _1 - a j i - > } j +
N
/
m = 1, m ! j
c am c v1 - dm m m H v j (t)
(14)
m
Różniczkując funkcje ¦j (z równań (14)) względem vj oraz vm okazuje się, że:
6j = 1, 2, f, N
N
2f j
c am c v1 - dm m m /
=- } j 2v j
m
m = 1, m ! j
(15a)
i:
6j, m = 1, 2, f, N, m ! j
2f j
vj
= am 2 2v m
vm
(15b)
Z równań (15ab) wynika, że macierz Jacobiego układu równań (14) w punkcie
stacjonarnym _ v1*, v *2, f, v *N i, po uwzględnieniu związku (13), dana jest wzorem:
J _ v1*, v *2, f, v *N i =
R
V
* + d i2
* + d i2
N
_
_
G
G
S
W
N
2
a2
f aN
S- }1 - G * / a j
W
*+d
*+d
G
G
1
1
j=2
S
W
2
S
* + d i2 W
N
_ G * + d1i
_
G
N
S
W
- }2 - G * / a j f aN
(16)
= S a1 G * + d
G * + d2 W
2
j = 1, j ! 2
S
W
h
h
j
h
S
W
2
2
N-1
_ G * + d1i
_ G * + d2 i
S
W
a2 *
f - }N - G * / a j W
S a1 G * + d
G
+
d
S
N
N
j=1 W
T
X
Z twierdzenia Grobmana–Hartmana wynika, że punkt stacjonarny
_ G1*, G *2, f, G *N i d P analizowanego tu układu równań różniczkowych charakteryzował się będzie asymptotyczną stabilnością wtedy, i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu zlinearyzowany układ równań będzie asymptotycznie stabilny, tzn.
gdy część rzeczywista (Re l) każdej z wartości własnych l macierzy Jacobiego
(16) będzie ujemna (za [Ombach, 1999, s. 219-221]). Wartości własne l są zaś
rozwiązaniami następującego równania:
Ju = J _ v1*, v *2, f, v *N i - mI N = 0 (17)
53
gdzie IN jest macierzą jednostkową o wymiarach N × N. Wyznacznik Ju , zgodnie z równaniami (16-17), można zapisać następująco:
R
2
N
_ G * + d2 i
S
a2
S- }1 - m - G * / a j
G * + d1
j=2
S
2
S
N
_ G * + d1i
*
S
/
a
}
m
G
aj
u
1 G* + d
2
J =S
2
j = 1, j ! 2
S
h
h
S
2
2
*
*
_ G + d1i
_ G + d2 i
S
a1 *
a2 *
S
G + dN
G + dN
S
T
V
W
W
W
2
W
_ G * + dN i
W
aN
G * + d2
W
W
h
W
N-1
W
*
- }N - m - G / a j W
j=1 W
X
_ G * + dN i
aN
G * + d1
2
f
f
j
f
a stąd:
- c1
N
v*
2
Ju = % a a j ` G * + d j j k $ 2
h
j=1
v *N
v1*
- c2
h
v *N
f v1*
f v *2
j h
f - cN
(18)
gdzie:
N
} j + m + G*
6j = 1, 2, f, N c j =
aj `
/ am
m = 1, m ! j
2
djj
(19)
G* +
Związek (18) zapisać można również wzorem:
Ju =
c1
v1*
1
f
1
1
N
1
j=1
h
c2
f
v *2
h j
1
1
% a a j ` G * + d j j2 v *j k $
-
- z1 1
1 - z2
2
= % a a j ` G * + d j j v *j k $
h h
j=1
1
1
N
h
c
f - *N
vN
=
(20)
f 1
f 1
j h
f - zN
gdzie:
6j = 1, 2, f, N
zj =
cj
> 0
v *j
(21)
54
1
(dla każdego j = 1, 2, …, N) wyznaczv *j
nik (20) sprowadza się do zależności:
Uwzględniając to, że G * + d j =
-1
0
0
1
N a
N-1
j
u
h
h
%
%
J =
_ z j + 1i $
* $
j=1 vj
j=1
zN + 1 zN + 1
z1 + 1 z2 + 1
f
f
h
0
0
h
f - _ zN + 1i f1 -
N-1 z
/
j=1
+1
p
zj + 1
N
czyli:
Ju = ]- 1g N $
Ponieważ ]- 1g N $
aj
* $
j=1 vj
N
%
% _ z j + 1i $ f1 - /
1
p
z
+1
j=1 j
N
N
j=1
aj
N
* = ]- 1g $
v
j=1 j
N
%
(22)
N
% ` a j ` G * + d j j j ! 0, zatem wyznacz-
j=1
nik (22) równy będzie 0 wtedy, i tylko wtedy, gdy:
% _ z j + 1i $ f1 - /
1
p = 0.
z
+1
j
j=1
N
N
j=1
Płynie stąd wniosek, że wartości własne l macierzy Jacobiego (17) są rozwiązaniami następujących równań:
7j = 1, 2, f, N
z j + 1 = 0
(23)
oraz:
N
1-
/
1
= 0
z
+1
j=1 j
(24)
Ze związków (21) wynika, że równania (23) spełnione będą wtedy, i tylko
wtedy, gdy:
7j = 1, 2, f, N
c j + v *j
=0
v *j
a stąd:
7j = 1, 2, f, N c j + v *j = 0
55
czyli (po uwzględnieniu podstawień (13) oraz (19)):
N
} j + m + G*
7j = 1, 2, f, N
aj `
=
m = 1, m ! j
2
djj
G* +
N
} j + m + G*
/ am
+
1
=
G* + d j
/ am + a j ` G * + d j j
m = 1, m ! j
a j `G* + d j j
2
=0
co implikuje:
7j = 1, 2, f, N
m =- f } j + G *
/ am + a j ` G * + d j j p < 0.
N
(25)
m = 1, m ! j
Ze związku (25) wynika, że wartości własne analizowanej macierzy
Jacobiego, które spełniają równania (23), są ujemne.
cj
Ponieważ 6j = 1, 2, f, N z j = * , zatem równanie (24) można również
vj
zapisać następująco:
N
O=0
j = 1K
O
+
1
*
Kv
O
j
L
P
N
1-
J
/ K cj 1
a stąd oraz z równań (13), (19) i (12) wynika, że:
J
N
a j `G* + d j j
K
O=
1- / K
N
O
j=1
*
KK } j + m + G / am + a j d j OO
m=1
L
P
N
*+d
N J
a
G
j`
jj
K
O=0
= 1- / K
N
O
j=1
KK Θn + _1 - a j i d j + m + G * / am + a j d j OO
m=1
L
P
N
Θn
co, wraz z tym, że G * =
N
1-
1
(dla j = 1, 2, …, N),
v *j
j=1
implikuje równanie:
N
/ aj
oraz G * + d j =
/
j=1
f
a j `G* + d j j
G* + d j + m
p = 1. (26)
56
Ponieważ l jest liczbą zespoloną, więc można ją zapisać jako l = a + bi,
gdzie i = - 1, zaś a, b Î Â. Wówczas równanie (26) wygląda następująco:
N
/
j=1
f
a j `G* + d j j
G* +
/ f a j `G* + d j j
d j + a + bi
j=1
`
N
1
e a j ` G * + d j j G * + d + a + bi o =
j
j=1
/
G* + d j + a
N
=
p=
G* +
dj + aj + b
2
p2
N
/
j=1
*
f a j `G + d j j
`
G* +
bi
2
p=1
dj + aj + b2
z czego wynika, że:
N
-
/
j=1
*
f a j `G + d j j
N
bi
i
*
2
2
p =- b / f a j ` G + d j j *
p=0
*
2
`G + d j + a j + b
`G + d j + a j + b2
j=1
ale:
N
/
j=1
*
f a j `G + d j j
`
G* +
i
2
p>0
dj + aj + b2
więc b = 0. Oznacza to, że wszystkie wartości własne l są rzeczywiste.
Równanie (26) możemy więc zapisać następująco:
N
1-
/
j=1
f
a j `G* + d j j
G* + d j + a
p = 0
(27)
gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą. Pokażemy teraz, że liczby a, które
spełniają równanie (27), są liczbami ujemnymi. W tym celu przeprowadzimy
dowód nie wprost. Przypuśćmy, że a ³ 0. Z tego, że:
G* + d j
#1
G* + d j + a
wynika, iż:
N
1=
/
j=1
f
a j `G* + d j j
G* + d j + a
p = a1
G * + d1
G * + d1
+
f
+
a
N G * + d + a # a1 + f + aN
G * + d1 + a
1
N
co prowadzi do sprzeczności, bo
/ a j < 1.
j=1
Płynie stąd wniosek, że ponieważ wszystkie wartości własne macierzy Ju są
ujemne, więc z twierdzenia Grobmana-Hartmana wynika, że punkt stacjonarny
układu równań różniczkowych (11) jest asymptotycznie stabilny. Oznacza to, że
57
istnieje pewne otoczenie Á Ì P punktu stacjonarnego _ G1*, G *2, f, G *N i d P takie,
że jeśli w momencie t = 0 stopy wzrostu kolejnych zasobów kapitału wychodzą
z pewnej struktury _ G10, G 02, f, G 0N i d1, to (najpóźniej przy t ® + ¥) dotrą one
do punktu stacjonarnego _ G1*, G *2, f, G *N i opisanego przez równanie (9). Dlatego
też w długim okresie stopy wzrostu Go j / Ko j /K j (dla każdego j = 1, 2, …, N)
Θn
.
dążą wówczas do wielkości równych
N
1 - / am
m=1
Logarytmując stronami i różniczkując względem czasu t Î [0; +¥) równanie (1) okazuje się, że zachodzi związek:
Yo(t)
6t d 60; + 3@ GY (t) / Y (t) =
N
/
j=1
faj
Ko j (t)
Eo (t)
p
K j (t) + Θ E (t) Y (t) =
N
/
j=1
Eo (t)
_ a j G j ] t g i + Θ E (t)
gdzie GY / Yo/Y to stopa wzrostu strumienia produktu Y. Ponieważ na mocy
równania (3), w każdym momencie t Î [0; +¥) zachodzi: Ė(t)/E(t) = m, zatem
powyższe równanie można zapisać następująco:
6t d 60; + 3@ Gc (t) = Θn +
W
warunkach
Wj
G *j = W =
Θn
N
1-
/ am
długookresowej
N
/
j=1
_ a j G j ] t g i .
równowagi
(28)
" j = 1, 2, …, N
, zatem zgodnie z równaniem (28) długookresową stopę
m=1
wzrostu produktu, G Y* , można zapisać następująco:
6t d 60; + 3@ G Y* = Θn +
= Θn +
Θn
N
1-
N
/
j=1
N
` a j G *j j = Θn + G *
Θn
/ aj =
/ aj j = 1
N
1-
j=1
/ aj
= G*
N
/ aj =
j=1
(29)
j=1
Z równań (9) i (29) płyną następujące wnioski natury ekonomicznej:
• Długookresowe stopy wzrostu produkcji i każdego z analizowanych w pracy
zasobów kapitału zależne są od elastyczności funkcji produkcji a1, a2, …, aN
i Q oraz od stopy wzrostu jednostek efektywnej pracy m = g + n.
• Stąd, że:
2G *
=
2n
Θ
N
1-
/ aj
j=1
>0
58
płynie wniosek, iż im wyższa jest stopa wzrostu jednostek efektywnej pracy
m, tym wyższe są długookresowe stopy wzrostu produktu G Y* = G * i kolejnych zasobów kapitału G *j = G * (dla każdego j = 1, 2, …, N).
• Ponieważ:
6j d 1, 2, f, N
2G *
=
2a j
Θn
f1 -
2
/ am p
N
>0
m=1
więc im wyższe są elastyczności funkcji produkcji (1) względem nakładów
j-tego czynnika kapitałowego (dla każdego j = 1, 2, …, N), tym wyższe są
długookresowe stopy wzrostu owych czynników kapitału i stopa wzrostu
strumienia produktu.
• Różniczkując równania (9) i (29) względem Q okazuje się, iż:
2G *
=
2Θ
n
N
1-
/ aj
>0
j=1
co oznacza, że wysokiej elastyczności Q produkcji Y względem nakładów
efektywnej pracy E odpowiadają wysokie stopy wzrostu rozważanych tu
zmiennych makroekonomicznych.
• Z dwóch ostatnich wniosków wynika, iż im wyższy jest stopień jednorod
N
ności
/ aj + Θ
makroekonomicznej funkcji produkcji (1), tym wyższe są
j=1
długookresowe stopy wzrostu wyróżnionych w analizowanym tu modelu
wzrostu zasobów kapitału i strumienia produktu.
Oznaczmy też przez y, k1, k2, …, kN dane wzorami:
6t d 60; + 3h
y ] t g / Y ] t g /L ] t g
oraz:
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
k j ] t g / K j ] t g /L ] t g
strumień wydajności pracy (y) oraz nakłady j-tego zasobu kapitału na pracującego (kj dla każdego j = 1, 2, …, N). Z powyższych tożsamości wynika, że:
yo(t)
Yo(t)
Lo (t)
Lo (t)
6t d 60; + 3@ g y (t) / y (y) = Y (t) - L (t) = GY (t) - L (t)
i:
6t d 60; + 3@ 6j = 1, 2, f, N
koj (t)
Ko j (t)
Lo (t)
Lo (t)
g j (t) / k (t) = K (t) - L (t) = G j (t) - L (t)
i
j
59
gdzie gy jest stopą wzrostu wydajności pracy, zaś gj (dla każdego j = 1, 2, …, N)
to stopa wzrostu j-tego zasobu kapitału na pracującego. Uwzględniając to,
że (zgodnie z założeniem 3 analizowanego modelu wzrostu gospodarczego)
Lo (t) /L (t) powyższe równania można zapisać następująco:
6t d 60; + 3h g y (t) = GY (t) - n
oraz:
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
g j (t) = G j (t) - n
Stąd zaś oraz ze związków (3), (9) i (29) płynie wniosek, że w długim
okresie zachodzi zależność:
g *y = g1* = g *2 = f = g *N = G * - n =
Θ ^g + nh
N
1-
/ aj
-n
j=1
lub:
g *y = g1* = g *2 = f = g *N =
Θg + f Θ +
/ a j - 1p n
N
j=1
N
1-
/ aj
= g* (30)
j=1
Z równania (30) płyną następujące wnioski natury ekonomicznej (por. też
[Tokarski, 2007 i 2008, rozdział 2]):
• Ponieważ:
2g *y
2g *N
2g1* 2g *2
=
=
=f=
=
2Θ
2Θ
2Θ
2Θ
g+n
N
1-
/ aj
>0
j=1
zatem wysokiej elastyczności Q wytworzonego produktu Y względem nakładów efektywnej pracy E odpowiadają wysokie stopy wzrostu analizowanych
tu zmiennych makroekonomicznych przypadających na jednego pracującego.
• Co więcej, przy Θ >
f1 - Θ -
/ ajpn
N
j=1
wysokim elastycznościom aj makrog
ekonomicznej funkcji produkcji względem nakładów j-tego zasobu kapitału Kj
(dla każdego j = 1, 2, …, N) towarzyszą wysokie stopy wzrostu y, k1, k2, …, kN
w długim okresie. Dzieje się tak dlatego, że:
60
6j = 1, 2, f, N
W przypadku, w którym Θ <
6j = 1, 2, f, N
2g *y
2g *N
2g1* 2g *2
=
=
=f=
=
2a j
2a j
2a j
2a j
f1 - Θ g
/ ajpn
Θg + f Θ +
f1 -
/ a j - 1p n
N
j=1
2
/ ajp
N
>0
j=1
N
j=1
zachodzi związek:
2g *y
2g *N
2g1* 2g *2
=
=
=f=
=
2a j
2a j
2a j
2a j
Θg + f Θ +
f1 -
/ a j - 1p n
N
j=1
2
/ ajp
N
<0
j=1
i wysokie elastyczności aj (dla j = 1, 2, …, N) prowadzą do niskich długookre-
f1 - Θ -
/ ajpn
N
j=1
sowych stóp wzrostu y, k1, k2, …, kN. Natomiast przy Θ >
g
rozważane tu pochodne cząstkowe równe są 0 i elastyczności te nie oddzia-
łują na g *y = g1* = g *2 = f = g *N =
Θg + f Θ +
1-
/ a j - 1p n
N
j=1
N
/ aj
.
j=1
• Różniczkując równanie (30) względem stopy harrodiańskiego postępu technicznego g okazuje się, iż:
2g *y
2g *N
2g1* 2g *2
=
=
=f=
=
2g
2g
2g
2g
Θ
N
1-
/ aj
>0
j=1
co implikuje, że wysoka stopa egzogenicznego postępu technicznego w sensie
Harroda przekłada się na wysoką stopę wzrostu wydajności pracy i wysokie
stopy wzrostu kolejnych nakładów kapitału na pracującego w długim okresie.
• Stąd, że:
N
2g *y
2g *N
2g1* 2g *2
=
=
=f=
=
2n
2n
2n
2n
Θ+
/ aj - 1
j=1
N
1-
/ aj
j=1
61
płyną dwa następujące wnioski. Po pierwsze, jeśli w gospodarce wystę-
pują stałe efekty skali, czyli Θ +
N
/ a j = 1,
to pochodne cząstkowe
j=1
2g *y
2g *N
2g1* 2g *2
równe są 0 i stopy wzrostu wydajności
=
=
=f=
2n
2n
2n
2n
pracy i kolejnych nakładów kapitału na pracującego, podobnie jak ma to miejsce
w neoklasycznych modelach wzrostu gospodarczego Solowa [1956], Mankiwa,
Romera, Weila [1992] i Nonnemana, Vanhoudta [1996], są niezależne od stopy
wzrostu liczby pracujących. Po drugie, jeśli zaś występują rosnące (malejące)
efekty skali, co ma miejsce wówczas, gdy Θ +
/ a j > 1 f Θ + / a j < 1p,
N
N
j=1
j=1
2g *y
2g *N
2g1* 2g *2
to pochodne
są dodatnie (ujemne), co
=
=
=f=
2n
2n
2n
2n
implikuje, że wysoka stopa wzrostu liczby pracujących, podobnie jak w modelach prezentowanych w pracach Tokarskiego [2003 i 2008], prowadzi do
wysokich (niskich) stóp wzrostu podstawowych zmiennych makroekonomicznych na pracującego.
Położenie długookresowych ścieżek wzrostu gospodarczego
Dzieląc funkcję produkcji (1) przez liczbę pracujących L(t) = L0 ent (gdzie
L0 > 0 jest liczbą pracujących w momencie t = 0) okazuje się, że zachodzi
związek:
% _ K j ] t g ia
N
6t d 60; + 3h
Y (t)
y (t) / L (t) =
j
j=1
L (t)
$ ] E ] t g gΘ
% _ K j ] t g ia
N
=
j
j=1
$ _ A0 L 0 e ^ g + n h t i
Θ
L 0 e nt
przy czym A0 > 0 jest zasobem wiedzy w momencie t = 0. Powyższą zależność
można również zapisać następująco:
] L ] t g gΘ + j =/ 1 a j - 1
N
6t d 60; + 3h
y (t) =
A 0Θ e Θgt
t exp f f Θg + f Θ +
=A
% _ k j ] t g ia
N
j=1
/ a j - 1p n p t p % _ k j ] t g i
N
N
j=1
j=1
j
=
(31)
aj
N
/ aj - 1
t = A Θ _ L iΘ + j =
gdzie: A
> 0.
1
0
0
Ponieważ dla każdego j = 1, 2, …, N zachodzi kj º Kj/L, zatem (po zróżniczkowaniu tych tożsamości względem czasu t Î [0; + ¥)) dochodzi się do
równań:
62
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N koj ] t g =
Ko j ] t g L ] t g - K j ] t g Lo ] t g
Ko j ] t g
o] g
]t gL t
=
=
k
2
j
L] t g
L] t g
]L] t gg
a stąd i z założenia 3 wynika, że:
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
koj ] t g =
Ko j ] t g
- nk j ] t g L] t g
(32)
Stawiając do równań (32) związki (2) uzyskuje się równania różniczkowe
dane wzorami:
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
koj ] t g = s j y (t) - _ d j + n i k j (t)
lub po uwzględnieniu zależności (31):
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
t exp f f Θg + f Θ +
koj ] t g = s j A
/ a j - 1p n p t p % _ k j (t)ia
N
N
j=1
j=1
j
+ _ d j + n i k j (t)
a stąd, po podstawieniu tożsamości g j / koj /k j (dla każdego j = 1, 2, …, N)
i równania (30):
t exp f g * $ t f1 g j (t) = s j A
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
$ _ k j (t) i
aj - 1
N
_ k m (t) i
m = 1.m ! j
%
am
/ am p p $
N
m=1
- _d j + ni
(33)
Zdefiniujmy teraz przez:
*
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N ktj (t) = e- g t k j (t) =
J
N
N
K Θg + f Θ + / a - 1p n O
m
K
O
m=1
= exp Kt O $ k j (t)
N
K
O
1 - / am
K
O
m
=
1
L
P
(34a)
oraz:
6t d 60; + 3h
J
N
N
K Θg + f Θ + / a - 1p n O
j
K
O
j=1
*
yt(t) = e- g t y (t) = exp Kt O $ y (t) (34b)
N
K
O
1 - / aj
K
O
j=1
L
P
63
zmienne sztuczne, których wartości są funkcyjnie związane z położeniem
ścieżek wzrostu (odpowiednio) j-tego zasobu kapitału na pracującego kj (dla
j = 1, 2, …, N) oraz wydajności pracy y. Należy to rozumieć w ten sposób, iż im
wyższe wartości przyjmują owe zmienne sztuczne, tym wyżej położone są ścieżki
wzrostu analizowanych w opracowaniu zmiennych makroekonomicznych.
Równania (34a) zapisać można również jako:
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
*
k j (t) = e g t ktj (t)
lub po zlogarytmowaniu stronami i zróżniczkowaniu względem czasu
t Î [0; +¥):
o
koj (t)
ktj (t)
*
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N g j (t) / k (t) = g - t (35)
k j (t)
j
Ponieważ, jak to pokazano punkcie 2 opracowania, w długim okresie (czyli
przy t ® +¥) gj ® g* (dla j = 1, 2, …, N), więc stąd i z równania (35) wynika,
że:
6j = 1, 2, f, N
lim ktj (t) = kt*j > 0 (36)
t "+3
gdzie wartości zmiennych sztucznych kt*j zależne są od wartości zmiennych
egzogenicznych w rozważanym tu modelu wzrostu gospodarczego, zaś wysokie
wartości owych zmiennych tożsame są w wysokim położeniem długookresowych
ścieżek wzrostu kolejnych zasobów kapitału na pracującego.
Z zależności (33) i (34a) wynika, że związek (33) można zapisać następująco:
6t d 60; + 3h 6j = 1, 2, f, N
t ` kt (t) j
g j (t) = s j A
j
% _ ktm (t)ia
N
aj - 1
m
m = 1, m ! j
- _ d j + n i (37)
W tego, że przy t ® +¥ gj (t) ® g* oraz ktj (t) " kt*j (dla każdego j = 1, 2, …, N)
płynie wniosek, iż przy t ® +¥ równania (37) sprowadzają się do związków:
6j = 1, 2, f, N
t ` kt* ja j - 1
g* = s j A
j
% _ kt*m ia
N
m
m = 1, m ! j
- _d j + ni (38)
które implikują równania:
6j = 1, 2, f, N
` kt*j j
1 - aj
% _ kt*m i- a
N
m
m = 1, m ! j
=
t
sjA
n + dj
g* +
t ` kt* ja j - 1
Ponieważ przy k1, k2,…,kN > 0 dla każdego j = 1, 2, …, N zachodzi: s j A
j
zatem z równania (38) wynika, iż każdego j = 1, 2, …, N spełniona jest
% _ kt*m ia
N
m
> 0,
m = 1, m ! j
zależność: g* + n + dj > 0.
64
lub:
^1 - a1h ln _ kt1* i - a2 ln _ kt*2 i - f - aN ln _ kt*N i = ln _i1i b
- a1 ln _ kt1* i + ^1 - a2 h ln _ kt*2 i - f - aN ln _ kt*N i = ln _i2 i b
_
`
h
b
- a1 ln _ kt1* i - a2 ln _ kt*2 i - f + _1 - aN i ln _ kt*N i = ln _iN i b
a
(39)
gdzie:
6j = 1, 2, f, N i j =
t
sjA
> 0
g* + n + d j
(40)
Odejmując do pierwszego, drugiego, …, (N – 1)-szego równania układu
równań (39) równanie N-te okazuje się, iż:
6j = 1, 2, f, N - 1 ln ` kt*j j = ln _ kt*N i + ln f
ij
p
iN (41)
N-te równanie układu równań (39) można również zapisać następująco:
_1 - aN i ln _ kt*N i -
N-1
/
j=1
a a j ln ` kt*j j k = ln _iN i
a stąd oraz z równań (41) wynika, iż:
_1 - aN i ln _ kt*N i -
N-1
/
j=1
f a j f ln _ kt*N i + ln f
ij
p p p = ln _iN i
iN
czyli:
f1 -
/ a j p ln _ kt*N i = f1 - / a j p ln _iN i + /
N
N-1
N-1
j=1
j=1
j=1
` a j ln _i j i j
lub:
ln _ kt*N i =
f1 -
N-1
N-1
j=1
j=1
/ a j p ln _iN i + /
` a j ln _i j i j
N
1-
/ aj
(42)
j-1
Wstawiając związek (42) do zależności (41) dochodzi się do równania:
6j = 1, 2, f, N - 1 ln ` kt*j j =
f1 -
N-1
N-1
/ am p ln _iN i + / _ am ln _im i i
m=1
m=1
N
1-
/ am
m-1
+ ln f
ij
p
iN
65
lub:
6j = 1, 2, f, N - 1 ln ` kt*j j =
f1 -
/ am p ln _i j i +
N
m = 1, m ! j
N
/ _ am ln _im i i
m = 1, m ! j
N
/ am
1-
m=1
a stąd i ze związku (42) płynie wniosek, że:
6j = 1, 2, f, N
ln ` kt*j j =
f1 -
/ am p ln _i j i +
N
m = 1, m ! j
N
/ _ am ln _im i i
m = 1, m ! j
N
1-
/ am
m=1
lub po uwzględnieniu związku (40):
=
6j = 1, 2, f, N ln ` kt*j j =
t
N
N
t
s A
/ am p ln f g * + jn + d p + / f am ln f g * +s mn A+ d p p
f1 j
m
m = 1, m ! j
m = 1, m ! j
N
1-
/ am
m=1
czyli, po uwzględnieniu zależności (30):
=
6j = 1, 2, f, N ln ` kt*j j =
t
N
N
t
s A
/ am p ln f g * + jn + d p + / f am ln f g * +s mn A+ d p p
f1 j
m
m = 1, m ! j
m = 1, m ! j
N
1-
(43)
/ am
m=1
Z równania (43) wyciągnąć można następujące wnioski:
• Położenie długookresowej ścieżki wzrostu k *j każdego z analizowanych
w opracowaniu zasobów kapitału na pracującego zależne jest m.in. od
stopy inwestycji sj i stopy deprecjacji dj owego zasobu kapitału oraz od
stóp inwestycji sm i stóp deprecjacji dm pozostałych zasobów kapitału.
• Stąd, że:
6j = 1, 2, f, N
2 a ln ` kt*j j k
2s j
N
1=
f1 -
/ am
m = 1, m ! j
N
/ am p s j
m=1
>0
66
wynika, że im wyższa jest stopa inwestycji sj w j-ty zasób kapitału (dla
j = 1, 2, …, N), tym wyższa jest wartość zmiennej sztucznej kt*j i wyżej położona jest długookresowa ścieżka wzrostu j-tego zasobu kapitału na pracującego.
• Ponieważ:
6j, m = 1, 2, f, N, m ! j
2 a ln ` kt*j j k
2s m
=
am
f1 -
/ am p s m
N
>0
m=1
więc wysokiej stopie inwestycji sm w m-ty zasób kapitału (dla m = 1, 2, …, N)
odpowiada wysokie położenie ścieżek wzrostu j-tego zasobu kapitału na
pracującego (dla j ¹ m).
• Im wyższa jest stopa deprecjacji j-tego zasobu kapitału (dla j = 1, 2, …, N)
tym niżej położona jest długookresowa ścieżka wzrostu owego kapitału na
pracującego. Wynika to stąd, iż:
6j = 1, 2, f, N
2 a ln ` kt*j j k
2d j
N
/ am
1=-
m = 1, m ! j
f1 -
/ am p `
N
g* +
m=1
n + djj
<0
• Wysokiej stopie deprecjacji m-tego zasobu kapitału (dla m = 1, 2, …, N;
m ¹ j) odpowiadają nisko położone długookresowe ścieżki wzrostu j-tego
zasobu kapitału na pracującego. Dzieje się tak dlatego, że:
6j, m = 1, 2, f, N, m ! j
2 a ln ` kt*j j k
2dm
=-
am
f1 -
/ am p ` g * + n + d j j
N
<0
m=1
J
N
N
K Θg + f Θ + / a - 1p n O
m
K
O
m=1
t O oraz
Dzieląc stronami równanie (31) przez exp K
N
K
O
1 - / am
K
O
m
=
1
L
P
uwzględniając związki (34ab) uzyskuje się:
J
N
N
K f Θg + f Θ + / a - 1p n p
O
j
N
K
O N
j=1
t exp KO % _ k j (t) ia j =
/
6t d 60; + 3h yt(t) = A
a
t
N
j
K
Oj=1
j=1
1 - / aj
K
O
j=1
L
P
67
J J
Na j
N
N
K
O
K f Θg + f Θ + / a - 1p n p O
m
N K
N
O
K
O
m=1
t % K exp Kt % ` kt (t) ja j
=A
t O $ k j (t)O = A
N
j
O
K
O
j = 1K
j=1
/
1
a
K
O
m
K
O
m=1
P
L L
P
lub:
th +
6t d 60; + 3h ln ^ yt(t) h = ln ^ A
N
/
j=1
a a j ln ` ktj (t) j k (44)
Ponieważ przy t ® +¥ ktj (t) " kt*j (dla każdego j = 1, 2, …, N), zatem – zgodnie z równaniem (44) – również yt(t) " yt*, gdzie:
th +
ln _ yt* i = ln ^ A
N
/
j=1
a a j ln ` kt*j j k
Stąd zaś oraz ze związku (43) wynika, iż zachodzi zależność:
J
N
t
N
N
t
sjA
s A
K
f * m
pp O
f
f
p
/
/
1
a
ln
+
a
ln
f
p
*
m
m
N K
g + n + dj
g + n + dm O
m = 1, m ! j
m = 1, m ! j
t h + / Ka
O
ln _ yt* i = ln ^ A
N
j
O
j = 1K
/
1
a
K
O
m
m
=
1
L
P
lub:
N
th +
ln _ yt* i = ln ^ A
/
j=1
f a j ln f
t
sjA
pp
n + dj
g* +
N
1-
/ aj
(45)
j=1
Z równania (45) płyną następujące wnioski:
• Wartość zmiennej sztucznej yt* i położenie długookresowej ścieżki wzrostu
wydajności pracy y w analizowanym tu modelu wzrostu gospodarczego
zależne są m.in. od stóp inwestycji sj oraz stóp deprecjacji dj (dla każdego
j = 1, 2, …, N).
• Stąd, iż:
6j = 1, 2, f, N
2 _ ln _ yt* i i
=
2s j
aj
f1 -
/ s jp
N
m=1
>0
68
oraz:
6j = 1, 2, f, N
2 _ ln _ yt* i i
=2d j
aj
f1 -
/ am p ` g * + n + d j j
N
<0
m=1
wyciągnąć można wniosek, że wysokim (niskim) stopom inwestycji sj (stopom deprecjacji dj) odpowiada wysoka wartość zmiennej yt* oraz wysokie
położenie długookresowej ścieżki wzrostu wydajności pracy y.
Złote reguły akumulacji
Na stronie 61 prezentowanego opracowania pokazano, że w analizowanym
tu modelu wzrostu gospodarczego (podobnie jak w neoklasycznych modelach
Solowa [1956], Mankiwa, Romera, Weila [1992] oraz Nonnemana, Vanhoudta
[1996]) długookresowe ścieżki wzrostu wydajności pracy i kolejnych zasobów
kapitałów na pracującego są tym wyżej położone, im wyższe są stopy inwestycji s1, s2, …, sN. Warto jednak zauważyć, że wysokie położenie ścieżek wzrostu wspomnianych uprzednio zmiennych makroekonomicznych nie musi być
tożsame z wysokim położeniem ścieżki wzrostu konsumpcji na pracującego.
Wynika to stąd, iż (zgodnie z przyjmowanymi w opracowaniu założeniami
str. 48) konsumpcję na pracującego można zapisać następująco:
6t d 60; + 3h C (t) = f1 -
/ s j p Y (t)
N
j=1
Dzieląc powyższe równanie przez liczbę pracujących L > 0 uzyskuje się
funkcję konsumpcji na pracującego c º C/L daną wzorem:
6t d 60; + 3h c (t) = f1 -
/ s j p y (t) (46)
j=1
6t d 60; + 3h ct(t) = f1 -
/ s j p yt(t) (47)
N
lub:
N
j=1
Im wyższe wartości przyjmują zmienne sztuczne ĉ w równaniu (47), tym
wyżej położona jest ścieżka wzrostu c (t) dana równaniem (46). W długim okresie przy t ® +¥, yt(t) " yt*, co (zgodnie ze związkami (45) oraz (47)) oznacza,
że ĉ (t) ® ĉ*, gdzie:
J
N
aj
K
O
N
t
sjA
1 - / am O
K
*
t
p m=1 O
ct = f1 - / s j p A % K f *
j=1
j = 1 g + n + dj
L
P
N
N
(48)
69
Z równań (47-48) wynika, że wzrost którejkolwiek, lub wszystkich, stóp
inwestycji prowadzi do wzrostu wartości yt* przy spadku udziału w konsumpcji
N
w produkcji 1 -
/ sj.
To zaś może prowadzić do różnokierunkowych zmian
j=1
po stronie ĉ*. Dlatego też, zgodnie z ideą złotych reguły Phelpsa [1961], złotą
regułę akumulacji można zdefiniować jako taką strukturę stóp inwestycji
/ s j < 0 p,
N
(s1, s2, …, sN) (gdzie s1, s2, …, sN > 0 oraz
przy której gospodarka
j=1
wchodzi na najwyżej położoną długookresową ścieżkę konsumpcji na pracującego (por. też [Tokarski, 2005, punkt 5.2]). Dlatego też złotą regułą akumulacji
kapitału będzie taka struktura stóp inwestycji (s1, s2, …, sN), która maksymalizuje
zmienną sztuczną ĉ* daną równaniem (48).
Maksymalizacja ĉ* tożsama jest z maksymalizacją funkcji V (s1, s2, ..., sN)
danej wzorem:
N
V _ s1, s2, f, s N i = ln _ ct* _ s1, s2, f, s N i i = ln f1 -
/ s jp +
N
/
j=1
j=1
` a j ln _ s j i j
N
1-
/ aj
t (49)
+B
j=1
gdzie:
N
th +
t = ln ^ A
B
/
j=1
f a j ln f
g* +
t
A
pp
n + dj
N
1-
/ aj
j=1
Warunki konieczne maksymalizacji funkcji (49) określone są przez zależności:
6j = 1, 2, f, N
2V
=2s j
1
N
1-
/ sm
m=1
+
aj
f1 -
/ am p s j
N
= 0
(50)
m=1
zaś warunki dostateczne sprowadzają się do tego, iż hesjan funkcji V dany
wzorem:
R
V
2
22 V
22 V W
S 2V
f
2s1 2s2
2s1 2s N W
S 2s12
S 22 V
22 V
22 V W
S
W
f
2
2s2 2s N W (51)
H _ s1, s2, f, s N i = S 2s2 2s1
2s 2
h
j
h W
S h
S 22 V
22 V
22 V W
S2s 2s 2s 2s f 2s 2 W
S N
W
1
N
2
N
T
X
jest ujemnie określony w punkcie stacjonarnym funkcji V.
70
Warunki konieczne (50) maksymalizacji funkcji V można sprowadzić do
równości:
f1 -
6j = 1, 2, f, N
/ s m p s j = f1 - / s m p a j
N
N
m=1
m=1
co implikuje, że analizowany tu punkt stacjonarny określa równanie:
_ s1, s2, f, s N i = _ a1, a2, f, aN i (52)
Licząc drugie pochodne funkcji V okazuje się, że:
6j = 1, 2, f, N
J
N
aj
22 V
1
K
O
=+
2
N
N
2s 2j
K
O
2
f1 - / am p s j O
KK f1 - / s m p
O
m=1
m=1
L
P
oraz:
6j, m = 1, 2, f, N, m ! j
22 V
=2s j 2s m
1
f1 -
2
/ s pp
N
=
22 V
2s m 2s j
p=1
co oznacza, iż hesjan (51) można zapisać wzorem:
R
1
S- e 1 + a1 o
- 2
S
~2
~
~s12
S
a
1
1
S
- 2
- e 2 + 22 o
H _ s1, s2, f, s N i = S
~
~
~s 2
S
h
h
S
1
1
S
- 2
- 2
S
~
~
T
f
f
j
f
V
1
W
- 2
W
~
W
1
W
- 2
W
~
W
h
a W
1
- e 2 + N2 o W
~
~s N W
X
gdzie:
1
~=
N
1-
/ sj
>0
j=1
lub w punkcie stacjonarnym _ s1, s2, f, s N i = _ a1, a2, f, aN i:
R
V
1
1
S- a1 + ~
W
f
S
~2 a1
~2
~2 W
S
W
a +~
1
S - 12 - 2 2
f - 2 W
H _ a1, a2, f, aN i = S
~
~ a2
~
W
S
W
h
h
j
h
S
W
a
+
~
1
S - 12
W
- 2
f - N2
~
~
~ aN W
S
T
X
Hesjan (53) będzie ujemnie określony wtedy, i tylko wtedy, gdy:
]- 1g j m j > 0 6j = 1, 2, f, N
71
(53)
(54)
gdzie j-ty minor główny mj hesjanu (53) dany jest wzorem:
a1 + ~
1
- 2
~2 a1
~
a +~
1
- 2 - 22
~
~ a2
h
h
1
1
- 2
- 2
~
~
1
~2
1
f - 2
~
j
h
aj + ~
f- 2
~ aj
6j = 1, 2, f, N
mj =
-
f
Ponieważ minory mj można zapisać następująco:
a1
~
a2
~
h
1 0 f
6j = 1, 2, f, N
mj =
]- 1g j
j
~j
% am
0 1 f
hh j
j
/ am + ~
m=1
0 0 f
m=1
~
zatem zachodzą równości:
6j = 1, 2, f, N
mj =
]- 1g j f
/ am + ~ p
j
m=1
j
~j + 1
% am
m=1
Stąd zaś oraz z zależności (54) wynika, że:
(55)
72
6j = 1, 2, f, N
]- 1g j m j =
]- 1g2j f
/ am + ~ p
j
m=1
j
j
+
1
~
% am
>0
m=1
czyli hesjan (54) jest ujemnie określony w punkcie stacjonarnym funkcji V.
Oznacza to, iż punkt ów wyznacza złote reguły akumulacji kapitału w analizowanym tu modelu wzrostu gospodarczego. Płynie stąd wniosek, iż rozważana
w opracowaniu gospodarka, analogicznie jak gospodarka w modelu Solowa
lub Mankiwa-Romera-Weila, będzie wychodziła na najwyżej położoną ścieżkę
wzrostu konsumpcji na pracującego wtedy, i tylko wtedy, gdy stopy inwestycji
w kolejne zasoby kapitału (czyli sj) równe będą elastycznościom (aj) produkcji Y
względem nakładów j-tego nakładu kapitału Kj (dla każdego j = 1, 2, …, N).
Podsumowanie i wnioski
Prowadzone w pracy rozważania można podsumować następująco:
I. W analizowanym w pracy modelu wzrostu gospodarczego przyjmuje się
założenia, że (po pierwsze) proces produkcyjny opisany jest przez potęgową funkcję produkcji Cobba-Douglasa, w której do wytworzenia produktu
niezbędne jest N różnych nakładów kapitałowych oraz nakłady jednostek
efektywnej pracy, (po drugie) funkcja produkcji może charakteryzować się
zarówno malejącymi, jak i stałymi lub rosnącymi efektami skali, (po trzecie) przyrost każdego z zasobów kapitału jest różnicą pomiędzy inwestycjami w ów zasób a jego deprecjacją oraz (po czwarte) jednostki efektywnej
pracy rosną według egzogenicznej stopy wzrostu będącej sumą stopy egzogenicznego postępu technicznego w sensie Harroda i stopy wzrostu liczby
pracujących. Oznacza to, że analizowany w opracowaniu model wzrostu
gospodarczego jest rozszerzeniem modelu Nonnemana-Vanhoudta na przypadek gospodarki, w której mogą wystąpić (malejące lub rosnące) efekty
skali procesu produkcyjnego.
II. Z prowadzonych w części drugiej analiz wynika, że tak skonstruowany model
wzrostu gospodarczego posiada punkt stacjonarny ze względu na stopy
wzrostu rozważanych w modelu zasobów kapitału. Co więcej, ów punkt
stacjonarny charakteryzuje się asymptotyczną stabilnością, co implikuje, że
jeśli gospodarka wychodzi ze struktury stóp wzrostu analizowanych zasobów kapitału znajdującej się w pewnym otoczeniu punktu stacjonarnego,
to (najpóźniej przy t ® +¥) dążyć będzie do tegoż punktu stacjonarnego.
Dlatego też wyznaczony punkt stacjonarny traktować można jako strukturę
stóp wzrostu kolejnych zasobów kapitału w warunkach długookresowej
równowagi w rozważanym modelu wzrostu gospodarczego.
III.W warunkach długookresowej równowagi wszystkie zasoby kapitału oraz
strumień produktu rosną według tej samej stopy wzrostu, co jest analogiczne
73
do odpowiednich wniosków płynących z neoklasycznych modeli wzrostu
Solowa [1956], Mankiwa-Romera-Weila [1992], Nonnemana-Vanhoudta
[1996] czy też modeli prezentowanych w książce Tokarskiego [2008].
IV.Stopy wzrostu kolejnych zasobów kapitału na pracującego oraz stopa wzrostu wydajności pracy w prezentowanym w pracy modelu wzrostu gospodarczego zależne są (po pierwsze) od elastyczności funkcji produkcji Cobba‑Douglasa względem kolejnych nakładów kapitału i jednostek efektywnej
pracy, (po drugie) od stopy harrodiańskiego postępu technicznego oraz
(po trzecie) od stopy wzrostu liczby pracujących. Im wyższe są elastyczności makroekonomicznej funkcji produkcji a (tym samym) im wyższy jest
stopień jednorodności owej funkcji, tym wyższe są długookresowe stopy
wzrostu kolejnych zasobów kapitału na pracującego oraz stopa wzrostu
wydajności pracy. Podobnie rzecz się ma z oddziaływaniem stopy postępu
technicznego w sensie Harroda na wspomniane uprzednio stopy wzrostu
podstawowych zmiennych makroekonomicznych. Natomiast oddziaływanie
stopy wzrostu liczby pracujących, podobnie jak w modelach zaproponowanych w pracy Tokarskiego [2008], zależne jest od rodzaju występujących
w gospodarce efektów skali. W warunkach malejących (rosnących) efektów
skali wysokiej stopie wzrostu liczby pracujących ceteris paribus towarzyszą
niskie (wysokie) stopy wzrostu gospodarczego. Natomiast stałe efekty skali
procesu produkcyjnego powodują, że stopy wzrostu kolejnych nakładów
kapitału na pracującego i stopa wzrostu wydajności pracy są, podobnie jak
w neoklasycznych modelach wzrostu gospodarczego, niezależne od stopy
wzrostu liczby pracujących.
V. Co prawda długookresowe stopy wzrostu gospodarczego są niezależne od
stóp inwestycji w kolejne zasoby kapitału, ale położenie długookresowych
ścieżek wzrostu owych zasobów kapitału na pracującego oraz długookresowej ścieżki wzrostu wydajności pracy jest tym wyższe, im wyższe są stopy
inwestycji w analizowane zasoby kapitału. Należy jednak pamiętać, że nie
zawsze wysokie położenie ścieżki wzrostu wydajności pracy tożsame jest
z wysokim położeniem ścieżki wzrostu konsumpcji na pracującego. Dzieje
się tak dlatego, że konsumpcja na pracującego w skali całej gospodarki
stanowi różnicę pomiędzy wydajnością pracy a sumą inwestycji na pracującego. Dlatego też ciekawe, przynajmniej z teoretycznego punktu widzenia,
wydaje się wyznaczenie złotych reguł akumulacji Phelpsa rozumianych jako
taka struktura stóp inwestycji, w uwzględnione w modelu zasoby kapitału,
która wyprowadza gospodarkę na najwyżej położoną, długookresową ścieżkę
wzrostu konsumpcji na pracującego.
VI.Z analizy złotych reguł akumulacji kapitału na gruncie rozważanego w pracy
modelu wzrostu gospodarczego wynika, iż gospodarka wychodzi na najwyżej położoną, długookresową ścieżkę konsumpcji na pracującego wówczas,
gdy struktura stóp inwestycji w kolejne rozważane w opracowaniu zasoby
kapitału pokrywa się ze strukturą elastyczności funkcji produkcji Cobba‑Douglasa względem owych zasobów. Oznacza to, iż wyznaczona w pracy
złota reguła akumulacji kapitału stanowi uogólnienie złotej reguły Phelpsa
74
[1961] w modelach typu Solowa [1956] i Mankiwa-Romera-Weila [1992]
(por. też [Tokarski, 2008, rozdziały 1-2]). Reguła ta jest również niezależna
od rodzaju uzyskiwanych przez gospodarkę efektów skali procesu produkcyjnego.
Bibliografia
Krysicki W., Włodarski L., [1993], Analiza matematyczna w zadaniach, część II, Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa.
Mankiw N.G., Romer D., Weil D.N., [May 1992], A Contribution to the Empirics of Economic
Growth, „Quarterly Journal of Economics”.
Nonneman W., Vanhoudt P., [August 1996], A Further Augmentation of the Solow Model and the
Empirics of Economic Growth for the OECD Countries, „Quarterly Journal of Economics”.
Ombach J., [1999], Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo – Maple,
Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków.
Phleps E.S., [September 1961], The Golden Rule of Accumulation: A Fable for Growthmen,
„American Economic Review”.
Solow R.M., [February 1956], A Contribution to the Theory of Economic Growth, „Quarterly
Journal of Economics”.
Tokarski T., [2001], Modele wzrostu endogenicznego w W. Welfe [2001].
Tokarski T., [2003], Specyfikacja funkcji produkcji a równowaga długookresowego wzrostu gospodarczego, „Ekonomista” nr 3.
Tokarski T., [2005], Wybrane modele podażowych czynników wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo
Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków.
Tokarski T., [2007], Optymalne stopy inwestycji w N-kapitałowym modelu wzrostu gospodarczego,
„Gospodarka Narodowa” nr 9.
Tokarski T., [2008], Efekty skali a wzrost gospodarczy, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego,
Kraków.
Welfe W. (red.), [2001], Ekonometryczny model wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo Uniwersytetu
Łódzkiego, Łódź.
Welfe W. (red.), [2007], Gospodarka oparta na wiedzy, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne,
Warszawa.
THE GOLDEN RULES OF ACCUMULATION UNDER
THE N-CAPITAL ECONOMIC GROWTH MODEL
Summary
The paper aims to theoretically determine the golden rules of capital accumulation
– as defined by American economist Edmund S. Phelps – under the “N-capital” economic
growth model based on a uniform macroeconomic production function, X > 0.
With X = 1, the macroeconomic production function discussed in the paper is
characterized by constant scale effects (as in the case of neoclassical growth models
developed by Solow, Mankiw, Romer, Weil, Nonneman, and Vanhoudt), the authors say,
while with X < 1/X > 1 the scale effects of the production process decrease/increase.
75
The authors show that the growth model analyzed in the paper is characterized by
asymptotic stability in a certain environment. The authors also examine the long-run
growth paths of basic macroeconomic variables in the analyzed model and identify
the golden rules of capital accumulation under the N-capital growth model when the
production process leads to scale effects.
Keywords: golden rules of capital accumulation, Edmund S. Phelps, N-capital growth
model, production function

Złote reguły akumulacji w N-kapitałowym modelu wzrostu

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rozwiązywanie numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych

1. Modelowanie matematyczne w fizyce i chemii

Równania różniczkowe cząstkowe I

PROGRAM INNOWACJI PEDAGOGICZNEJ Z

POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza KARTA