EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Arkusz zawiera informacje
prawnie chronione do momentu
rozpoczęcia egzaminu.
MMA
2016
UZUPEŁNIA ZDAJĄCY
KOD
PESEL
dyskalkulia
miejsce
na naklejkę
dysleksja
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
DATA: 3
czerwca 2016 r.
GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:00
CZAS PRACY: 170 minut
LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50
Instrukcja dla zdającego
1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 21 stron (zadania 1–33).
Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego
egzamin.
2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym.
3. Odpowiedzi do zadań zamkniętych (1–25) zaznacz na karcie odpowiedzi,
w części karty przeznaczonej dla zdającego. Zamaluj pola do tego
przeznaczone. Błędne zaznaczenie otocz kółkiem
i zaznacz właściwe.
4. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń
w rozwiązaniu zadania otwartego (26–33) może spowodować, że za to
rozwiązanie nie otrzymasz pełnej liczby punktów.
5. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub
atramentem.
6. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl.
7. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane.
8. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki,
a także z kalkulatora prostego.
9. Na tej stronie oraz na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL
i przyklej naklejkę z kodem.
10. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora.
MMA-P1_1P-163
Układ graficzny
© CKE 2015
MMA
2016
W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
Zadanie 1. (0–1)
7 6 ⋅ 67
Liczba
jest równa
426
A. 4236
B.
427
D. 1
C. 6
Zadanie 2. (0–1)
Cenę pewnego towaru podwyższono o 20% , a następnie nową cenę tego towaru
podwyższono o 30% . Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną
im jedną podwyżką
A. o 50%
B. o 56%
C. o 60%
D. o 66%
Zadanie 3. (0–1)
Liczba
A.
6
3
3 3 jest równa
3
B.
4
3
C.
3
3
D.
3
Zadanie 4. (0–1)
Różnica 500012 − 499992 jest równa
A. 2 000 000
B.
200 000
C. 20 000
D. 4
Zadanie 5. (0–1)
Najmniejsza wartość wyrażenia ( x − y )( x + y ) dla x, y ∈ {2,3, 4} jest równa
A. 2
B. −24
D. −12
C. 0
Zadanie 6. (0–1)
Wartość wyrażenia log 3
3
2
+ log 3 jest równa
2
9
A. −1
B.
−2
C. log3
Zadanie 7. (0–1)
Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania
5
11
D. log3
31
18
( x − 8) ( x 2 − 4 )( x 2 + 16 ) = 0 ,
wybrano
największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa
A. 12
B. 10
C. 6
Strona 2 z 21
D. 4
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
MMA_1P
Strona 3 z 21
Zadanie 8. (0–1)
Rozwiązaniem równania
A.
( − ∞ , −2 )
x−7
= 5 , gdzie x ≠ 0 , jest liczba należąca do przedziału
x
B. −2, −1)
C. −1, 0 )
D. ( 0, + ∞ )
Zadanie 9. (0–1)
Funkcja f określona jest wzorem f ( x ) =
(
)
2 x3
x4 + 1
dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy liczba
f − 2 jest równa
A. −
8
5
B.
−
4 2
3
C. −
4 2
5
D. −
4
3
Zadanie 10. (0–1)
Dana jest funkcja kwadratowa f ( x ) = −2 ( x + 5 )( x − 11) . Wskaż maksymalny przedział,
w którym funkcja f jest rosnąca.
A.
( −∞,3
B.
( −∞,5
C.
( −∞,11
D.
6, +∞ )
Zadanie 11. (0–1)
Ciąg ( an ) jest określony wzorem an = 6 ( n − 16 ) dla n ≥ 1 . Suma dziesięciu początkowych
wyrazów tego ciągu jest równa
A. −54
B.
−126
C. −630
D. −270
Zadanie 12. (0–1)
Dany jest ciąg geometryczny ( an ) , w którym a1 = 72 i a4 = 9 . Iloraz q tego ciągu jest równy
A. q =
1
2
B.
q=
1
6
C. q =
1
4
D. q =
1
8
Zadanie 13. (0–1)
Dany jest trapez ABCD, w którym przekątna AC jest prostopadła do ramienia BC,
AD = DC oraz ABC = 50° (zobacz rysunek).
D
β
C
50°
A
Stąd wynika, że
A. β = 100°
B
B.
β = 120°
C. β = 110°
Strona 4 z 21
D. β = 130°
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
MMA_1P
Strona 5 z 21
Zadanie 14. (0–1)
Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów
α i β są odpowiednio równe
D
36°
A
36°
O
C
α
β
B
A. α = 36°, β = 72°
B. α = 54°, β = 72°
C. α = 36°, β = 108°
D. α = 72°, β = 72°
Zadanie 15. (0–1)
Słoń waży 5 ton, a waga mrówki jest równa 0,5 grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?
A. 106
B. 107
C. 10
D. 108
Zadanie 16. (0–1)
Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość 20 . Kąt zawarty między ramionami
tego trójkąta ma miarę 150° . Pole tego trójkąta jest równe
A. 100
B.
Zadanie 17. (0–1)
Prosta określona wzorem
i B = (1, 4 ) . Wynika stąd, że
A. a = −
1
2
B.
C. 100 3
200
D. 100 2
y = ax + 1 jest symetralną odcinka AB, gdzie A = ( −3, 2 )
a=
1
2
C. a = −2
Strona 6 z 21
D. a = 2
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
MMA_1P
Strona 7 z 21
Zadanie 18. (0–1)
 y = − ax + 2a

Układ równań 
nie ma rozwiązań dla
b
y
x
2
=
−

3
A. a = −1 i b = −3
B.
a =1 i b = 3
C. a = 1 i b = −3
D. a = −1 i b = 3
Zadanie 19. (0–1)
Do pewnej liczby a dodano 54. Otrzymaną sumę podzielono przez 2. W wyniku tego
działania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby a. Zatem
A. a = 27
B.
a = 18
C. a = 24
D. a = 36
Zadanie 20. (0–1)
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD . Wszystkie
ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta ASC jest równa
A. 45°
B. 30°
C. 75°
D. 90°
Zadanie 21. (0–1)
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania
dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy
A. 0 ≤ p < 0, 25
B.
0, 25 ≤ p ≤ 0, 4
C. 0, 4 < p ≤ 0,5
D.
p > 0,5
Zadanie 22. (0–1)
Średnia arytmetyczna czterech liczb: x − 1 , 3x , 5x + 1 i 7x jest równa 72 . Wynika stąd, że
A.
x=9
B.
x = 10
C.
x = 17
Strona 8 z 21
D.
x = 18
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
MMA_1P
Strona 9 z 21
Zadanie 23. (0–1)
Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe k i l o równaniach y = ax + b oraz
y = mx + n . Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.
y
k : y = ax+b
1
0
x
1
l: y = mx+n
Zatem
A. a ⋅ m > 0 i b ⋅ n > 0
C. a ⋅ m < 0 i b ⋅ n > 0
B. a ⋅ m > 0 i b ⋅ n < 0
D. a ⋅ m < 0 i b ⋅ n < 0
Zadanie 24. (0–1)
Dane są dwie sumy algebraiczne 3x 3 − 2 x oraz −3x 2 − 2 . Iloczyn tych sum jest równy
A. −9 x 5 + 4 x
B. −9 x 6 + 6 x 3 − 6 x 2 + 4 x
C. −9 x 5 + 6 x 3 − 6 x 2 + 4 x
D. −9 x 6 + 4 x
Zadanie 25. (0–1)
Punkty D i E są środkami przyprostokątnych AC i BC trójkąta prostokątnego ABC. Punkty
F i G leżą na przeciwprostokątnej AB tak, że odcinki DF i EG są do niej prostopadłe (zobacz
rysunek). Pole trójkąta BGE jest równe 1, a pole trójkąta AFD jest równe 4.
B
G
E
C
F
A
D
Zatem pole trójkąta ABC jest równe
A.
12
B. 16
C. 18
Strona 10 z 21
D. 20
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
MMA_1P
Strona 11 z 21
Zadanie 26. (0–2)
Rozwiąż równanie
2x + 1 2x +1
, gdzie x ≠ −1 i x ≠ 0 .
=
x +1
2x
Odpowiedź: ................................................................................................................................... .
Strona 12 z 21
MMA_1P
Zadanie 27. (0–2)
Dane są proste o równaniach y = x + 2 oraz y = −3x + b , które przecinają się w punkcie
leżącym na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają
się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi Ox.
Odpowiedź:................................................................................................................................... .
MMA_1P
Strona 13 z 21
Zadanie 28. (0–2)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
x4 + y 4 + x2 + y 2 ≥ 2 x3 + y3 .
(
Strona 14 z 21
)
MMA_1P
Zadanie 29. (0–2)
Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD oraz wysokości AD. Dwusieczna
kąta ABC przecina ramię AD w punkcie E oraz dwusieczną kąta BCD w punkcie F (zobacz
rysunek).
C
D
E
F
B
A
Wykaż, że w czworokącie CDEF sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.
MMA_1P
Strona 15 z 21
Zadanie 30. (0–4)
W trójkącie ABC dane są długości boków AB = 15 i AC = 12 oraz cos α = 54 , gdzie
α = BAC . Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpowiednio D i E takie, że
BD = 2 AD i AE = 2 CE (zobacz rysunek).
C
E
A
Oblicz pole
a) trójkąta ADE.
b) czworokąta BCED.
α
D
Strona 16 z 21
B
MMA_1P
Odpowiedź:................................................................................................................................... .
MMA_1P
Strona 17 z 21
Zadanie 31. (0–5)
Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , w którym
a1 + a2 + a3 + a4 = 2016 oraz a5 + a6 + a7 + ... + a12 = 2016 . Oblicz pierwszy wyraz, różnicę
oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu (a n ) .
Odpowiedź: ................................................................................................................................... .
Strona 18 z 21
MMA_1P
Zadanie 32. (0–4)
Dany jest stożek o objętości 8π , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest
równy 3 : 8 . Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Odpowiedź:................................................................................................................................... .
MMA_1P
Strona 19 z 21
Zadanie 33. (0–4)
Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą
z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o 10%
większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o 10% mniejsza od
zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od
wtorkowego o 12 minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?
Odpowiedź: ................................................................................................................................... .
Strona 20 z 21
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
MMA_1P
Strona 21 z 21