7 Liniowa niezależność wektorów

Transkrypt

7 Liniowa niezależność wektorów
7
Liniowa niezależność wektorów
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F .
Definicja 7.1 Układ wektorów (vi )i∈I z przestrzeni V nazywamy układem
liniowo niezależnym, jeżeli jedyną kombinacją liniową układu (vi )i∈I równą
θ jest ta, której wszystkie współczynniki są równe 0, czyli gdy
!
∀(ai )i∈I
(LI)
X
ai · vi = θ =⇒ ∀i∈I ai = 0 ,
i∈I
gdzie ∀i∈I ai ∈ F oraz ]{i ∈ I ; ai 6= 0} < ∞.
Układem liniowo zależnym nazywamy taki, który nie jest liniowo niezależny.
W przypadku układu skończonego (v1 , . . . , vn ) warunek (LI) można zapisać w postaci
∀a1 ,...,an ∈F (a1 · v1 + . . . + an · vn = θ =⇒ a1 = . . . = an = 0) .
Stwierdzenie 7.2 Układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pozostałych wektorów
tego układu.
Dowód: ⇒) Jeżeli układ (vi )i∈I jest liniowo zależny, to istnieje taki
układ (ai )i∈I skalarów z ciała F , skończony podzbiór {i1 , . . . , in } ⊂ I oraz
takie k ∈ {1, . . . , n}, że ai = 0 dla i ∈ {i1 , . . . , in }, aik 6= 0 oraz
X
ai · vi = ai1 · vi1 + . . . + ain · vin = θ.
i∈I
Przekształcając otrzymujemy
−aik−1
−aik+1
−ain
−ai1
· vi1 + . . . +
· vik−1 +
· vik+1 + . . . +
· vin
aik
aik
aik
aik
X −ai
=
· vi
a
i
k
i∈I\{i }
vik =
k
czyli vik jest kombinacją liniową pozostałych wektorów układu.
⇐) Załóżmy, że dla pewnego k ∈ I wektor vk jest kombinacją liniową
pozostałych wektorów układu (vi )i∈I . Istnieją więc takie skalary ai ∈ F ,
i ∈ I \ {k}, że
X
vk =
ai · vi .
i∈I\{k}
Przyjmując ak = −1 6= 0 otrzymujemy stąd
X
ai · vi = θ
i∈I
1
i nie wszystkie skalary są równe 0. Zatem układ (vi )i∈I jest liniowo zależny.
Przykład 7.3 1◦ Układ (v) jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy
v 6= θ — wynika to ze stwierdzenia 5.4(1).
2◦ Układ zawierający wektor θ jest liniowo zależny.
Istotnie, jeżeli vk = θ dla pewnego k ∈ I to, kładąc ak = 1 oraz ai = 0
dla i 6= k, otrzymujemy
X
ai · vi =
i∈I
X
0 · vi + 1 · θ = θ,
i∈I\{k}
co wraz z ak = 1 6= 0 daje zależność układu (vi )i∈I .
3◦ Układ zawierający dwa wektory równe jest liniowo zależny.
Istotnie, wystarczy wybrać współczynniki 1, −1 ∈ F przy dwóch równych
wektorach i 0 przy pozostałych oraz skorzystać ze stwierdzenia 5.4.(2).
4◦ Dwa wektory u, v ∈ V są równoległe, co zapisujemy u k v, jeżeli któryś
z nich jest iloczynem drugiego przez skalar.
Układ (u, v) jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy u k v.
Istotnie, jeżeli układ jest liniowo zależny, to istnieją a, b ∈ F , nierówne
jednocześnie 0, spełniające warunek a·u+b·v = θ. Jeżeli a 6= 0, to u = −b
a ·v,
a więc u k v. Analogicznie dla b 6= 0.
Na odwrót, jeżeli istnieje c ∈ F takie, że u = c · v, to (−1) · u + c · v = θ
oraz −1 6= 0, skąd układ (u, v) jest liniowo zależny.
Przykład 7.4 1◦ W przestrzeni F n określmy wektory
ei = (0, . . . , 0, |{z}
1 , 0, . . . , 0),
i = 1, . . . , n
i
. Układ (e1 , . . . , en ) jest liniowo niezależny.
2◦ W przestrzeni F [x] układ (xn )n∈N∪{0} = (1, x, x2 , x3 , . . .) jest liniowo
niezależny.
3◦ W przestrzeni C([0, 2π]) układ (1, sin x, sin 2x, sin 3x, . . .) jest liniowo
niezależny.
Stwierdzenie 7.5
1. Podukład układu liniowo niezależnego jest układem liniowo niezależnym.
2. Nadukład układu liniowo zależnego jest układem liniowo zależnym.
3. Każdy układ liniowo zależny zawiera skończony podukład liniowo zależny.
Dowód:
2
1. Niech J ⊂ I. Podukład (vi )i∈J układu liniowo niezależnego (vi )i∈I jest
jest liniowo niezależny.
Istotnie, niech (ai )i∈J będzie takim układem skalarów z ciała F (prawie
P
wszystkich równych 0), że i∈J ai · vi = θ. Przyjmując ai = 0 dla
P
i ∈ I \ J otrzymujemy i∈I ai · vi = θ. Na mocy niezależności układu
(vi )i∈I otrzymujemy, że ai = 0 dla wszystkich i ∈ I, a więc także tych
ze zbioru J.
2. Niech J ⊃ I. Nadukład (vi )i∈J układu liniowo zależnego (vi )i∈I jest
jest liniowo zależny.
Istotnie, ze stwierdzenia 7.2 istnieje k ∈ I będzie takie, że vk jest
kombinacją liniową układu (vi )i∈I\{k} Uzupełniając tę kombinację do
kombinacji liniowej układu (vi )i∈J\{k} poprzez przyjęcie ai = 0 dla
i ∈ J \ I widzimy, że vk jest kombinacją liniową układu (vi )i∈J\{k} . Na
mocy stwiedzenia 7.2 układ (vi )i∈J jest więc liniowo zależny.
3. Jeżeli układ jest liniowo zależny, to jeden z jego wektorów można przedstawić w postaci kombinacji liniowej pozostałych. Budujemy podukład
danego układu biorąc ten ustalony wektor i tylko te z pozostałych, przy
których współczynniki z ciała F są różne od zera. Jest ich skończenie
wiele (definicja kombinacji liniowej), a tak otrzymany układ jest liniowo zależny, bo nadal jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową
pozostałych.
3

Podobne dokumenty