Lista 5 - IM PAN

ANALIZA FUNKCJONALNA I TOPOLOGIA
WPPT M
Lista 5
1. Sprawdzić, że operator B zadany na L2 (0, 1) wzorem Bf (t) =
tarny.
√
3tf (t3 ) jest uni-
2. Sprawdzić, że jeśli A oraz B są operatorami hermitowskimi to AB jest hermitowski
wtedy i tylko wtedy gdy AB = BA.
3. Na przestrzeni L2 (0, ∞) definiujemy operator A wzorem Af (x) = f (2x). Wyznaczyć A∗ oraz A−1 oraz obliczyć kAk.
4. Jeśli A jest operatorem hermitowskim to exp(A) jest operatorem dodatnim, a
exp(iA) unitarnym.
5. Sprawdzić, że operator A(x, y) = (5(x+y), 5x+10y) działajacy na R2 jest dodatni
oraz wyznaczyć A1/2 .
6. Dla T ∈ B(H), σ(T ∗ ) = σ(T ).
7. Jeśli A jest operatorem odwracalnym, to λ ∈ σ(A−1 ) wtedy i tylko wtedy gdy
λ−1 ∈ σ(A)
8. Niech A będzie operatorem zadanym na L2 (0, 1) wzorem
Af (x) = (2x2 + 3x + 4)f (x),
f ∈ L2 (0, 1).
Sprawdzić, że A jest hermitowski. Wyznaczyć kAk oraz σ(A).
9. Wyznaczyć rezolwentę i spektrum operatora Volterry V f (x) =
jącego na L2 (0, 1). Pokazać, że jest to operator zwarty.
Rx
0
f (t) dt działa-
10. Sprawdzić, że operator A zadany na `2 wzorem
x1 x2
A(x1 , x2 , . . .) = (0, , , . . .),
2 3
∗
jest zwarty. Wyznaczyć σ(A) oraz A .
11. Niech T : X → Y będzie ograniczonym operatorem pomiędzy przestrzeniami
Banacha X i Y . Definiujemy operator sprzężony T ∗ : Y ∗ → X ∗ wzorem T ∗ y ∗ =
y ∗ ◦T . Pokazać, że T ∗ jest ograniczony oraz kT k = kT ∗ k. Jaka jest relacja pomiędzy
σ(T ) oraz σ(T ∗ )?
12.
∗
13.
∗
Pokazać, że spektrum operatora: hermitowskiego, unitarnego, dodatniego, jako
podzbiór C jest zawarty odpowiednio w: R, {z : |z| = 1}, R­0 .
Niech H będzie ośrodkową, nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta a {ej }
ustaloną bazę ortonormalną. Operator T ∈ B(H) nazywamy operatorem HilbertaP
2
Schmidta jeśli ∞
1 kT ej k < ∞. Sprawdzić, że definicja nie zależy od wyboru
bazy, a następnie pokazać, że przestrzeń wszystkich operatorów HS z iloczynem
skalarnym
hT, SiHS =
∞
X
hT ej , Sej i,
1
jest również przestrzenią Hilberta.
Autor: Krzysztof Stempak