Zestaw 11

ARKUSZ 11 – POZIOM PODSTAWOWY
Zadania zamknięte
1. W klasie liczącej 32 osoby liczba dziewcząt jest o 120% większa od liczby chłopców. Ilu
chłopców uczęszcza do tej klasy?
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
2. Ile liczb całkowitych należy do przedziału
A. 3
B. 5
C. 8
D. 10
√
3 2−16 ; 3 ?
2
3. Która z podanych liczb jest ujemna?
A. log√5 1
1
5
B. log√5
4. Ile wynosi wartość wyrażenia
√
A. 7 7
B.
√
√
D. log√5 5 5
C. log√5 125
21
4
x−3 · x3
x6
C.
dla x =
√ 15
7
√
7?
D.
1
7
5. Ile pierwiastków ma wielomian W (x) = (x2 − 7x − 1)(x3 − 4x)?
A. 5
B. 4
6. Wyrażenie
x2 −4
x2 −4x−12
A.
1
x+3
B.
C. 3
D. 2
(x 6= −2, x 6= 6) można zapisać w postaci:
x2
x2 −4x−3
7. Dany jest układ równań
C.
x+2
x+6
D.
x−2
x−6
x+y
=7
2
. Wskaż zdanie prawdziwe.
2x = 3 − 2y
A. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
B. Układ nie ma rozwiązań.
C. Rozwiązaniem układu jest para liczb o różnych znakach.
D. Rozwiązaniem układu jest para liczb o jednakowych znakach.
8. Sad o powierzchni 39 arów ma kształt prostokąta. Jeden z jego boków jest o 5 m dłuższy od
drugiego. Sad ogrodzono płotem. Jaka jest długość ogrodzenia?
A. 150 m
B. 200 m
C. 250 m
D. 300 m
9. Dana jest funkcja f (x) = −3(x + 1)(x − 5). Miejscami zerowymi funkcji g(x) = f (−x) są liczby:
A. −1 i 5
B. 1 i −5
C. 3, 1 i −5
D. 1 i 5
10. W pewnej korporacji taksówkowej opłata początkowa (za zajęcie miejsca w taksówce) wynosi 6 zł. Za każdy przejechany kilometr klient musi zapłacić 3 zł. Koszt k przejazdu n pełnych
kilometrów można przedstawić za pomocą zależności:
A. k = 3n
B. k = 3n − 6
C. k = 6n + 3
D. k = 3n + 6
11. Wykres funkcji y = ax przechodzi przez punkt P = (2, 2). Do wykresu tej funkcji należy
również punkt:
√
B. (8, 8)
C. (10, 64)
D. (−1, − 2)
A. (−4, 41 )
12. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y = ax2 + bx + c.
Które z podanych warunków są prawdziwe?
A. a > 0 i c > 0
B. a > 0 i c < 0
C. a < 0 i c < 0
D. a < 0 i c > 0
13. Dany jest ciąg an = n2 − 10n − 200. Wskaż zdanie prawdziwe.
A. Ciąg (an ) nie ma wyrazów dodatnich.
B. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy czwartemu wyrazowi.
C. Ciąg (an ) nie jest monotoniczny.
D. Ciąg (an ) jest malejący.
14. Suma czwartego i piątego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 6. Różnica
tego ciągu wynosi 5. Pierwszy wyraz tego ciągu to:
A. 0,5
B. −14,5
C. −13,5
D. −9,5
15. Liczby 2x, x − 4, 1 tworzą w podanej kolejności malejący ciąg geometryczny. Iloraz tego
ciągu jest równy:
A. 4
B.
1
4
C. 16
D. 21
16. Kąt α jest kątem ostrym pewnego trójkąta prostokątnego. Wówczas prawdziwa jest zależność:
C. sin2 α = 1 − cos2 α
A. sin α = 1 − cos α
D. sin2 α = 1 + cos2 α
B. sin α = 1 + cos α
17. Przekątne rombu mają długości 10 i 16. Miara kąta ostrego tego rombu to około:
A. 64◦
B. 77◦
C. 51◦
D. 32◦
18. Wysokość trapezu ma długość 7, a pole tego trapezu jest równe 50. Jaką długość ma
odcinek łączący środki ramion tego trapezu?
A.
100
7
B.
25
7
C. 25
D.
50
7
19. Punkt A = (−6, 19) przekształcamy symetrycznie względem punktu S = (13, 5). W ten sposób otrzymamy punkt o współrzędnych:
A. (3 21 , 7)
C. (6, −19)
B. (−25, 33)
D. (32, −9)
20. Ile punktów wspólnych z osiami układu współrzędnych ma okrąg o równaniu
(x − 3)2 + (y + 6)2 = 10?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
21. Ile liczb parzystych czterocyfrowych można utworzyć za pomocą cyfr: 0, 1, 2, 3? Cyfry
mogą się powtarzać.
A. 256
B. 96
C. 72
D. 48
22. Pewien ostrosłup prawidłowy ma 20 krawędzi. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa
wynosi 65 cm2 , zaś pole podstawy jest równe 20 cm2 . Jaka jest powierzchnia jednej ściany
bocznej tego ostrosłupa?
A. 4,5 cm2
B. 45 cm2
C. 2,25 cm2
D. 6,5 cm2
Zadania otwarte
23. (2 pkt) Rozwiąż równanie: 3x2 (2x + 7) = 4(2x + 7).
24. (2 pkt) Uzasadnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b, takich że a > b, zachodzi zwią√
√
zek: a b > b a.
25. (2 pkt) W pewnej szkole 40% wszystkich uczniów stanowią chłopcy, a wśród nich jest
21 blondynów. Ile dziewcząt uczy się w tej szkole, jeżeli wiadomo, że blondyni stanowią 12,5%
liczby wszystkich chłopców?
26. (2 pkt) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = −x2 + 4x − 7 w przedziale
√
h−1; 10i.
27. (2 pkt) Rozwiąż nierówność: x+1 ≤ 2.
3
28. (2 pkt) W trójkącie ABC wysokość poprowadzona z wierzchołka C ma długość 4 cm, a tangens kąta CAB jest równy 31 . Oblicz długość boku AC.
29. (2 pkt) Uzasadnij, że bez względu na wartość liczby m proste y = (m + 2)x − 7 oraz
x + (m + 2)y + 3m + 6 = 0 są do siebie prostopadłe.
30. (5 pkt) Liczby x, 1x , 1 to trzy pierwsze wyrazy rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz, ile
początkowych wyrazów tego ciągu należy dodać do siebie, by otrzymać liczbę 873.
31. (4 pkt) W drużynowym konkursie matematycznym bierze udział ośmiu uczniów
klasy III a. Dwóch z nich miało na semestr ocenę bardzo dobrą z matematyki, czworo – ocenę
dobrą, a pozostali – ocenę dostateczną. Do rozwiązania zadania z geometrii mają zostać wylosowani dwaj przedstawiciele drużyny. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:
A – obaj wylosowani uczniowie mieli co najmniej ocenę dobrą na semestr;
B – jeden z wylosowanych uczniów miał ocenę dobrą na semestr.
32. (5 pkt) Poniższy rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pole trójkąta
√
ACS jest równe 12 3.
a) Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
b) Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy. Wynik podaj z dokładnością do jednego stopnia.