fizyka jądrowa

Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
1
Wykład 30
Fizyka jądrowa.
Dla chemika, jądro atomowe jest ładunkiem punktowym, w którym zawarta jest prawie cała masa
atomu. Jądro atomowe odgrywa istotną rolę w budowie atomów i cząsteczek chemicznych.
Stwierdzono, że składa się ono z protonów i neutronów, których oddziaływania grają istotną rolę w
codziennym życiu, jak również w historii i budowie wszechświata. Rozszczepienie bardzo ciężkich
jąder takich jak uran jest obecnie istotnym źródłem energii, podczas gdy synteza termojądrowa
bardzo lekkich jąder jest źródłem energii powstającej w gwiazdach włączając w to Słońce i możliwe,
ze jest sposobem na otrzymanie w przyszłości bardzo wydajnych źródeł energii.
30.1 Własności jąder atomowych.
Jądro atomu zawiera dwa rodzaje cząsteczek: protony i neutrony, które w przybliżeniu mają tę
samą masę (neutron jest o 0,2% masywniejszy od protonu). Proton posiada ładunek +e, a neutron nie
ma ładunku. Liczba protonów Z jest liczbą atomową atomu, jest to jednocześnie ilość elektronów w
atomie. Liczba neutronów N jest w przybliżeniu równa Z dla lekkich jąder i jest narastająco większa
od Z dla cięższych jąder. Całkowita ilość nukleonów (protonów i neutronów) A = N + Z nazywa się
liczbą masową. Dwa lub więcej jąder posiadających tę samą liczbę Z, ale różną liczbę N i A
nazywają się izotopami. Określone jądro zapisuje się stosując symbol chemiczny plus indeks górny
równy A (1H – wodór, 2H + deuteron zawierający proton i neutron, 3H – tryton zawierający proton i
dwa neutrony).
Wewnątrz jądra atomowego nukleony podlegają działaniu silnych sił przyciągających o strony
swoich sąsiadów. Oddziaływania te nazywają się oddziaływaniami silnymi i są znacznie większe
niż siły elektrostatycznego odpychania między protonami. Silne oddziaływania występujące między
dwoma neutronami, dwoma protonami i neutronem i protonem są w przybliżeniu takie same. Dwa
protony podlegają oczywiście siłom odpychania z powodu jednoimiennych ładunków, które to siły
próbują osłabić oddziaływanie silne w jądrze. Siły jądrowe maleją gwałtownie wraz z odległością i
można je zaniedbać kiedy nukleony znajdują się w odległości większej niż kilka fm (fm –
femtometr = 10-15m, lub inna nazwa 1 fermi).
Rozmiar i kształt jąder.
Rozmiary i kształt jąder można badać poprzez bombardowanie ich cząstkami o wysokiej energii i
obserwowaniu ich rozproszenia. Można w tym celu używać na przykład neutronów lub elektronów.
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
2
Szereg doświadczeń wskazuje, że jądra mają kształt sfer, których promienie można opisać w
przybliżeniu zależnością:
𝐑 = 𝐑 𝟎 𝐀𝟏/𝟑
30.1
Promień jądra.
gdzie R0 jest równe około 1,5fm. Z faktu, że promień jądra jest proporcjonalny do A1/3 wynika, że
objętość jądra jest proporcjonalna do A. Ponieważ masa jądra atomowego jest również
proporcjonalna do A, to gęstość jąder jest w przybliżeniu taka sama. Jest to analogia do kropli
cieczy, której gęstość również nie zależy od jej rozmiarów. Model kroplowy jąder atomowych
sprawdza się z powodzeniem w opisie szeregu ich własności i w szczególności dobrze tłumaczy
zjawisko rozszczepienia jąder.
Liczby N i Z.
Dla lekkich jąder największą stabilność mają te jądra, w
których ilość protonów i neutronów jest jednakowa 𝑁 ≈ 𝑍. Dla
cięższych jąder niestabilność spowodowana odpychaniem
kulombowskim protonów jest mniejsza, gdy ilość neutronów
przewyższa liczbę protonów. Widać to na przykładzie stabilnych
izotopów pierwiastków: dla
Z = 20, dla
dla
238
92𝑈,
56
26 𝐹𝑒 ,
16
8𝑂 ,
N = 8, Z = 8, dla
N = 30, Z = 26, dla
207
82 𝑃𝑏,
40
20 𝐶𝑎 ,
N = 20,
N = 125, Z = 82,
N = 146, Z = 92. (Liczbę atomową często umieszcza
się jako indeks dolny przed symbolem pierwiastka).
Rysunek 30.1 przedstawia wykres N w funkcji Z dla znanych
stabilnych jąder. Krzywa pokrywa się z prostą dla lekkich jąder.
Rysunek 30.1
Można zrozumieć dążenie
do tego aby n i z były
równe poprzez rozważenie
A
nukleonów
jednowymiarowej
w
studni
potencjału. Rysunek 30.2
przedstawia
energetyczne
poziomy
dla
ośmiu
Rysunek 30.2
neutronów i dla czterech
neutronów i czterech protonów. Z powodu zakazu Pauliego tylko dwie identyczne cząstki (z
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
3
przeciwnymi spinami) mogą być w tym samym stanie. Ponieważ proton i neutron nie są identyczne,
można je umieścić po dwa w każdym stanie, tak jak pokazane jest na rysunku 30.2b. W ten sposób
całkowita energia czterech neutronów i czterech protonów jest mniejsza niż ośmiu neutronów (lub
ośmiu protonów) jak widać na rysunku 30.2a. Kiedy uwzględni się energia kulombowskiego
odpychania, która jest proporcjonalna do Z2, to sytuacja ulega zmianie. Dla dużej liczby A i Z
energia całkowita może zwiększyć się mniej poprzez dodanie dwu neutronów niż poprzez dodanie
jednego neutronu i jednego protonu, ponieważ energia elektrostatycznego odpychania dodaje się w
ostatnim przypadku. To tłumaczy dlaczego N > Z dla ciężkich jąder.
Masa i energia wiązania jąder.
Masa jądra jest mniejsza niż masa jego składników o ΔE/c2, gdzie ΔE jest energią wiązania. Kiedy
dwa lub więcej nukleonów łączy się, aby stworzyć jądro, całkowita masa zmniejsza się i energia
wydziela się na zewnątrz. Odwrotnie, rozdzielić jądro na składniki należy dostarczyć energii do
układu, aby wywołać zwiększenie się masy spoczynkowej.
Masy atomowe i jądrowe są często wyrażane w jednostkach masy atomowej (u), zdefiniowanej
jako jedna dwunasta masy neutralnego atomu 126𝐶 . Energia spoczynkowa jednostki masy atomowej
wynosi:
1𝑢 𝑐 2 = 931,5𝑀𝑒𝑉
30.2
Rozważmy na przykład 42𝐻𝑒, który składa się z dwu protonów i dwu neutronów. Masę atomu
można zmierzyć dokładnie za pomocą spektroskopu masowego. Masa 42𝐻𝑒 wynosi 4,002603u. Masa
jednego 11𝐻 jest równa 1,007825u. Suma mas dwu atomów 11𝐻 plus dwu neutronów jest równa
2(1,007825u) + 2(1,008665u) = 4,03298u jest większa niż masa 42𝐻𝑒 o 0,030377u. Na podstawie tej
różnicy z równania 30.2 możemy znaleźć energię wiązania jądra helu:
0,030377𝑢 𝑐 2 = 0,030377𝑢 𝑐 2 ∙
931,5𝑀𝑒𝑉/𝑐 2
= 28,30𝑀𝑒𝑉
1𝑢
Tak więc, całkowita energia wiązania 42𝐻𝑒 jest równa 28,3MeV. Ogólnie energię wiązania atomu
o masie MA zawierającego Z protonów i N neutronów można znaleźć obliczając różnicę między
masą jego składowych i masą jądra i mnożąc przez c2:
𝐄𝐰 = 𝐙𝐌𝐇 + 𝐍𝐌𝐧 − 𝐌𝐀 𝐜 𝟐
30.3
Całkowita energia wiązania.
gdzie MH jest masą atomu 11𝐻 , a mn jest masą neutronu. Zwróćmy uwagę, że masa Z elektronów
w ZMH redukuje się z Z elektronami w MA. W tabeli 1 podane są masa neutronu i masa paru
wybranych izotopów.
Przykład 1.
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
4
Znajdź energię wiązania ostatniego neutronu w 4𝐻𝑒.
Analiza zadania. Energią wiązania jest c2 razy różnica
3
𝐻𝑒 plus neutron i
4
𝐻𝑒. Odpowiednie
masy możemy znaleźć z tabeli.
1. Dodaj masę neutronu do 3𝐻𝑒:
2. Odejmij masę
4
𝐻𝑒 :
𝑚 3𝐻𝑒 + 𝑚𝑛 = 3,016030𝑢 + 1,008665𝑢 = 4,024695𝑢
𝑚 3𝐻𝑒 + 𝑚𝑛 − 𝑚 4𝐻𝑒 = 4,024695𝑢 − 4,002603 = 0,022092𝑢
3. Oblicz energię wiązania: 𝐸𝑤 = ∆𝑚 𝑐 2 = 0,022092𝑢 𝑐 2 ∙
931,5𝑀𝑒𝑉 /𝑐 2
1𝑢
= 20,58𝑀𝑒
TABELA 1
Masy atomowe neutronu i wybranych izotopów.
Masa
Pierwiastek
Symbol
n
Z
atomowa
0
1,008 665
H
1
1,007 825
H lub D
1
2,014 102
1
3,016 050
3,016 030
Neutron
1
Wodór
Deuter
2
Tryt
3
H lub T
3
He
2
4
He
2
Lit
6
3
4,002 603
Bor
10
B
5
10,012 939
Węgiel
12
C
6
12,000 000
13
6
13003 354
14
C
6
14,003 242
13
N
7
13,005 738
14
N
7
14,003 074
Tlen
16
O
8
15,994 915
Żelazo
56
Fe
26
55,939 395
Srebro
107
Ag
47
106,905 094
Złoto
197
Au
79
196,966 541
Ołów
208
Pb
82
207,976 650
Polon
212
Po
84
211,989 629
Rad
226
Ra
88
222,017 531
Uran
238
U
92
238,048 608
Pluton
242
Pu
94
242,058 725
Hel
Li
C
Azot
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
5
Rysunek 30.3 przedstawia energię wiązania przypadającą na jeden nukleon E w/A w funkcji A.
Średnia
wartość
wynosi
około
8,3MeV. Płaska część krzywej dla Ew/A
A > 50 pokazuje, że Ew jest
proporcjonalna z grubsza do A. To
wskazuje, że istnieje stan nasycenia
sił jądrowych w jądrze, tzn. każdy
nukleon jest przyciągany tylko
przez najbliższych sąsiadów. Taka
sytuacja prowadzi również do tego,
że gęstość jądra jest stała co zgadza
się z pomiarami promienia jąder.
Jeżeli, na przykład nie byłoby
nasycenia
i
każdy
nukleon
Rysunek 30.3
związany byłby z pozostałymi, to każdy nukleon przyciągałby
A – 1 sąsiadów i byłoby A(A - 1)
wiązań. Całkowita energia wiązania, która jest miarą energii potrzebnej do rozerwania wszystkich
tych wiązań byłaby proporcjonalna do A(A - 1) i Ew/A nie byłoby w przybliżeniu stałe. Ostry
wzrost krzywej dla małych A jest spowodowany zwiększającą się ilością najbliższych sąsiadów i
tym samym większą ilością wiązań. Stopniowe opadanie krzywej dla dużych wartości A powstaje w
wyniku kulombowskiego odpychania protonów, które zwiększa się jak Z2 i zmniejsza tym samym
energię wiązania na jeden nukleon. W rezultacie dla bardzo dużych A odpychanie Kulombowskie
staje się tak duże, że jądra posiadające A większe niż 300 stają się niestabilne i ulegają
spontanicznemu rozszczepieniu.
30.2 Promieniotwórczość naturalna.
Wiele jąder jest promieniotwórczych, co oznacza, że rozpadają się one na inne jądra i emitują
cząstki takie jak fotony, elektrony, neutrony, lub cząstki α. Określenia rozpad α, rozpad β, rozpad γ
pojawiły się zanim było wiadomo, że cząstkami α są jądra 4He, cząstkami β albo elektrony (β-), lub
pozytony (β+) (cząstka identyczna jak z elektronem, posiadająca ładunek +e) i promieniowanie γ to
promieniowanie elektromagnetyczne (fotony). Szybkość rozpadu nie jest stała w czasie, a zmienia
się ekspotencjalnie. Ta ekspotencjalna zależność od czasu jest charakterystyczna dla wszystkich
rodzajów promieniotwórczości naturalnej i odzwierciedla fakt, że pojedynczy akt rozpadu jest
procesem statystycznym.
Niech N jest ilością jąder promieniotwórczych po pewnym czasie t. Jeżeli rozpad pojedynczego
jądra jest procesem przypadkowym, to możemy oczekiwać, że ilość jąder rozpadająca się w czasie dt
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
6
będzie proporcjonalna do dt i do N. Z powodu tych rozpadów ilość jąder radioaktywnych będzie
maleć. Zmiana N może być w związku z tym zapisana jako
𝑑𝑁 = −𝜆𝑁𝑑𝑡
30.4
gdzie λ jest stała proporcjonalności zwaną stałą rozpadu. Aby rozwiązać równanie 30.4
rozdzielmy najpierw zmienne:
𝑑𝑁
𝑁
= −𝜆𝑑𝑡
Po scałkowaniu otrzymamy:
𝑙𝑛𝑁 = −𝜆𝑡 + 𝐶
30.5
gdzie C jest stałą całkowania. Przekształcając dalej mamy:
𝑁 = 𝑒 −𝜆𝑡 +𝐶 = 𝑒 𝐶 𝑒 −𝜆𝑡
lub
𝐍 = 𝐍𝟎 𝐞−𝛌𝐭
30.6
Prawo rozpadu promieniotwórczego.
gdzie 𝑁0 = 𝑒 𝐶 jest ilością jąder w chwili t = 0. Ilość rozpadów na sekundę nazywa się szybkością
rozpadu promieniotwórczego R:
𝐝𝐍
𝐑 = − 𝐝𝐭 = 𝛌𝐍 = 𝛌𝐍𝟎 𝐞−𝛌𝐭 = 𝐑 𝟎 𝐞−𝛌𝐭
30.7
Szybkość rozpadu.
gdzie
𝐑 𝟎 = 𝛌𝐍𝟎
30.8
jest szybkością rozpadu w chwili t = 0. Szybkość rozpadu jest ilością mierzoną doświadczalnie.
Średni czas życia τ jest odwrotnością stałej rozpadu:
𝟏
𝛕=𝛌
30.9
Średni czas życia τ.
Po czasie równym średniemu czasowi życia ilość jąder promieniotwórczych i szybkość rozpadu
zmaleją e razy (dlaczego?), czyli do około 37% swojej początkowej wartości. Czas połowicznego
zaniku t1/2 jest zdefiniowany jako czas potrzebny do tego aby ilość jąder promieniotwórczych
zmalała do połowy swojego stanu początkowego. Podstawiając t = t1/2 i N = N0/2 z równania 30.6
otrzymamy:
𝑁0
2
i po przekształceniach
= N0 e−λt 1/2
30.10
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
t1/2 =
7
ln 2
λ
=
0,693
λ
= 0,693τ
30.11
Czas połowicznego zaniku t1/2.
Rysunek 30.4 przedstawia wykres N od t. Jeżeli pomnożymy
liczby na osi N prze λ wykres będzie przedstawiał R od t. Po
każdym czasie równym czasowi połowicznego zaniku ilość jąder,
które się nie rozpadły, zmniejszy się o połowę swojej poprzedniej
wartości Na przykład jeżeli początkowo szybkość zaniku wynosi
R0, to po czasie t1/2 wyniesie
1
2
𝑅0 , po 2 t1/2
1
2
1
∙ 2 𝑅0 itd. Po n
czasach połowicznego zaniku:
𝑅=
1 𝑛
2
𝑅0
30.12
Czas połowicznego dla różnych jąder zmienia się od bardzo
Rysunek 30.4
małych (mniejszych niż 1μs) do bardzo dużych (rzędu 1016 lat).
Przykład 2.
Źródło promieniotwórcze posiada czas połowicznego rozpadu 1min. W chwili t = 0 zostało
umieszczone w pobliżu detektora i stwierdzono, że szybkość zliczeń (ilość rozpadów na jednostkę
czasu) wynosi 2000zliczeń/s. Znajdź szybkość zliczeń po 1min, 2min, 3min i 10min.
Analiza zadania. Szybkość zliczeń maleje o połowę po każdej minucie.
Rozwiązanie.
1
1 2000 𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧
1. Po jednej minucie oczywiście:
𝑅1 = 2 𝑅0 = 2
2. Po t = 2min połowa po 1min.:
𝑅2 = 2 𝑅1 = 2
3. Po t = 3min połowa po 2min.:
𝑅2 = 2 𝑅2 = 2
1
1
𝑠
1 1000 𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧
𝑠
1 500𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧
= 1000𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧/𝑠
= 500𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧/𝑠
= 250𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧/𝑠
𝑠
4. Po t = 10min szybkość zliczeń będzie
(1/2)10 razy mniejsza:
𝑅2 =
1 10
2
𝑅02 =
1 2
2
2000 𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧
𝑠
≈ 2𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧/𝑠
Przykład 3.
Jeżeli wydajność rejestracji w przykładzie 2 wynosi 20% to, (a) ile jest jąder promieniotwórczych w
chwili t = 0, (b) po czasie t = 1min, (c) ile jąder rozpadnie się w ciągu pierwszej minuty?
Analiza zadania. Wydajność zależy od prawdopodobieństwa, że cząstka powstająca w rozpadzie
dotrze do detektora i detektor dokona zliczenia. Jeżeli wydajność detektora wynosi 20%, to szybkość
rozpadu musi być 5 razy większa od szybkości zliczania.
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
8
𝑅 = 𝜆𝑁
(a) 1. Związek między ilością jąder promieniotwórczych,
a szybkością rozpadu:
0,693
2. Stała rozpadu:
𝜆=
3. Szybkość rozpadu:
𝑅0 = 5 ∙
4. Liczba początkowa jąder:
𝑁0 =
𝑅0
𝜆
𝑡 1/2
0,693
= 1𝑚𝑖𝑛
2000 𝑧𝑙𝑖𝑐𝑧
10 −4
𝑠
= 104 𝑠 −1
𝑠 −1
= 0,693 𝑚𝑖𝑛 −1 = 8,66 ∙ 105
1
(b) Po czasie t = 1min = t1/2 :
𝑁1 = 2 8,66 ∙ 105 = 4,33 ∙ 105
(c) Ilość jąder, które się rozpadły
∆𝑁 = 𝑁0 − 𝑁1 = 4,33 ∙ 105
w pierwszej minucie:
W układzie SI jednostką szybkości rozpadu promieniotwórczego jest Becqerel (Bq), który
zdefiniowany jest jako ilość rozpadów na sekundę:
1Bq = 1rozpad/s
30.13
Historyczną jednostką jest kiur (Ci), która zdefiniowana jest jako:
𝟏𝐂𝐢 = 𝟑, 𝟕 ∙ 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝐫𝐨𝐳𝐩 𝐬 = 𝟑, 𝟕 ∙ 𝟏𝟎𝟏𝟎𝐁𝐪
30.14
Jeden curie jest szybkością promieniowania jaka jest emitowana z 1g radu. Ponieważ jest to duża
jednostka często stosuje się podjednostki milicurie (mCi) i mikrocurie (μCi).
Rozpad beta.
Rozpad beta występuje w jądrach, które mają zbyt dużo, albo zbyt mało neutronów w celu
zapewnienia stabilności. W rozpadzie β, A pozostaje stałe podczas gdy Z zwiększa się o 1 (rozpad
β-1), lub zmniejsza się o 1 (rozpad β+1).
Najprostszym przykładem rozpadu β jest rozpad swobodnego neutronu na proton plus elektron
(Okres połowicznego rozpadu neutronu wynosi 10.8min). Energia
rozpadu wynosi 0,782MeV i jest to różnica między energią
spoczynkową neutronu, a energią spoczynkową protonu i elektronu.
Bardziej ogólnie w rozpadzie β-1 jądro o liczbie masowej A i liczbie
porządkowej Z rozpada się na jądro, w porównaniu do jądra
macierzystego, o liczbie masowej A i liczbie atomowej Z’ = Z + 1 z
jednoczesną emisją elektronu. Jeżeli energia rozpadu byłaby dzielona
Rysunek 30.5
tylko między jądro i elektron i elektron, to energia elektronu byłaby całkowicie określona przez
zasadę zachowania energii i pędu. Jednak doświadczalnie obserwuje się w rozpadzie β-1 elektrony
emitowane w przedziale energii, które zmieniają się od zera do pewnej maksymalnej wartości.
Typowe widmo energetyczne elektronów ilustruje rysunek 30.5.
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
9
Aby wyjaśnić brak zachowania energii w rozpadzie β W. Pauli 1930 roku zasugerował emisję
trzeciej cząstki, którą nazwał neutrino. Ponieważ zmierzone maksimum energii emitowanych
elektronów jest równe całkowitej dostępnej energii w rozpadzie, to energia spoczynkowa i masa
spoczynkowa muszą być równe zeru (Obecnie przyjmuje się, że masa neutrina jest bardzo mała, ale
różna od zera). W 1948 pomiar pędów emitowanych elektronów i odrzucanych jąder pokazał, że
neutrino jest potrzebne jest do zachowania pędu w rozpadzie β. Po raz pierwszy neutrino zostało
zaobserwowane doświadczalnie w 1957 roku. Obecnie wiadomo, że istnieją co najmniej trzy
neutrina, jedno związane z elektronami (νe), jedno (νμ) związane z mionami i jedno, (ντ) nie
zarejestrowane jeszcze doświadczalnie, związane nowo odkrytą cząstką elementarną tau
τ. Co
więcej, każde neutrino ma swoją antycząstkę, zapisywane jako 𝜈𝑒 , 𝜈𝜇 , 𝜈𝜏 . To właśnie antyneutrino
jest emitowane w rozpadzie neutronu:
𝑛 → 𝑝 + 𝛽 − + 𝜈𝑒
30.15
W rozpadzie β+ proton ulega zamianie na neutron czemu towarzyszy emisja pozytonu (i neutrina).
Swobodny proton nie może ulec rozpadowi na neutron z powodu zasady zachowania energii (masa
spoczynkowa neutronu plus pozytonu jest większa niż masa protonu ), jednak ponieważ energia
wiązania ma wpływ, to taki rozpad możliwy jest wewnątrz jądra. Typowy rozpad β + można zapisać
np.:
13
7𝑁
→
13
6𝐶
+ 𝛽 + + 𝜈𝑒
30.16
Elektrony i pozytony emitowane w rozpadach β nie istnieją wewnątrz jądra atomowego. Tworzą
się one w procesie rozpadu, tak samo jak powstają fotony w trakcie przejścia atomu z wyższego na
niższy stan energetyczny.
14
Ważnym przykładem rozpadu β jest rozpad
C, który jest używany do datowania węglem
radioaktywnym:
14
𝐶 → + 14 𝑁 + 𝛽 − + 𝜈𝑒
Okres połowicznego okresu dla
14
30.17
C wynosi 5730 lat. Promieniotwórczy węgiel
14
C powstaje w
górnych warstwach atmosfery i wywoływany jest promieniowanie kosmiczne. Chemiczne zachowanie
węgla 14C jest takie samo jak zwykłego węgla 12C. Na przykład, atomy z tymi jądrami tworzą z tlenem
cząsteczki CO2. Ponieważ żywe organizmy cały czas wymieniają CO2 z atmosferą, to stosunek
14
C do
C w żywych organizmach pozostaje stały i wynosi on około 1,3 ∙ 10−12 . Po śmierci organizmu
12
przestaje być absorbowany z atmosfery i stosunek
14
C do 12C cały czas maleje z powodu rozpadu
14
C
14
C.
Ilość rozpadów 14C na minutę i na jeden gram węgla w żywym organizmie można łatwo policzyć znając
okres połowicznego rozpadu i ilość 14C w jednym gramie węgla. Otrzymujemy, że w żywym organizmie
zachodzi około 15,0 rozpadów na minutę, na gram. Korzystając z tego wyniku i mierząc ilość rozpadów
na minutę, na gram w martwej próbce kości, drzewa, czy innego przedmiotu zawierającego węgiel,
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
10
możemy określić wiek próbki. Na przykład, jeżeli zmierzymy szybkość rozpadów 7,5 na minutę, na
gram, to stwierdzimy, że próbka ma 5730lat.
Przykład 4.
Kość zawierająca 200g węgla wykazuje szybkość rozpadu β równą 400rozp./min. Ile lat liczy
kość?
Analiza zadania. Najpierw z grubsza oceńmy wiek kości. Jeżeli kość pochodziła by z żywego
organizmu, to oczekiwalibyśmy, że szybkość rozpadu wynosi (15rozp./min∙g)(200g) =
3000rozp./min. Ponieważ 400/3000 jest z grubsza równe 1/8, to znaczy, że próbka musi mieć około
trzech okresów połowicznego rozpadu, czyli 3(5730)lat = 17190lat. Znajdźmy jednak dokładniejszy
wiek kości.
1 𝑛
𝑅𝑛 =
1. Zapisz szybkość rozpadu Rn po n
2
𝑅0
okresach t1/2 od początkowej
szybkości R0:
2. Oblicz R0 dla 200g:
𝑅0 = 15𝑟𝑜𝑧𝑝/𝑚𝑖𝑛 ∙ 𝑔 200𝑔 = 3000𝑟𝑜𝑧𝑝/𝑚𝑖𝑛
3. Podstawmy Rn do wzory z 1.:
𝑅𝑛 =
1 𝑛
4. Obliczmy n:
2
1 𝑛
2
3000𝑟𝑜𝑧𝑝/𝑚𝑖𝑛 = 400𝑟𝑜𝑧𝑝/𝑚𝑖𝑛
400
= 3000
2𝑛 =
3000
400
= 7,5
𝑛𝑙𝑛2 = 𝑙𝑛7,5,
𝑛=
𝑙𝑛 7,5
𝑙𝑛 2
= 2,91
𝑡 = 𝑛𝑡1/2 = 2,91 5730𝑙𝑎𝑡 = 16700𝑙𝑎𝑡.
5. Wiek kości wynosi nt1/2:
Rozpad gamma.
W rozpadzie γ jądro będące w stanie wzbudzonym przechodzi do niższego stanu poprzez emisję
fotonu (kwantu γ). Jest to jądrowy odpowiednik spontanicznej emisji fotonu przez atom czy
cząsteczkę chemiczną. W przeciwieństwie do rozpadów α czy β jądro po rozpadzie pozostaje tym
samym jądrem. Ponieważ odległości między poziomami energetycznymi w jądrze są rzędu 1MeV
(dla porównania odległości te są rzędu 1eV), to długości fal emitowanych fotonów są rzędu 1pm
(1pm = 10-12m):
𝜆=
ℎ𝑐
𝐸
=
1240 𝑒𝑉 ∙𝑛𝑚
1𝑀𝑒𝑉
= 1,24𝑝𝑚
Średnie czasy życia dla rozpadów γ są często bardzo krótkie (rzędu 10-11s i mniejsze). Zwykle
obserwuje się je tylko dlatego, że towarzyszą im również rozpady α lub β. Na przykład, jeżeli jądro
macierzyste rozpada się poprzez rozpad β na jądro w stanie wzbudzonym, to jądro to przechodzi do
stanu podstawowego poprzez emisję kwantu γ. Stosunkowo mało źródeł promieniowania gamma
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
11
posiada czasy rozpadu rzędu godzin. Stany, w których jądro przebywa przez długi czas nazywają się
stanami metastabilnymi.
Rozpad alfa.
Wszystkie bardzo ciężkie jądra (Z > 83) są niestabilne pod względem rozpadu α, ponieważ masa
pierwotna radioaktywnego jądra jest większa od sumy mas produktów rozpadu – cząstki α i jądra po
rozpadzie.
Rozważmy rozpad 232Th (Z = 90) na 228Ra (Z = 88) i cząstkę α. Możemy to zapisać:
232
90𝑇ℎ
Masa atomu
232
→
228
88 𝑅𝑎
+𝛼 →
228
88 𝑅𝑎
+ 42𝐻𝑒
Th wynosi 232,038124u. Masa atomu po rozpadzie
Dodając do ostatniej masę
4
30.18
228
Ra wynosi 228,031139u.
He – 4,002603, otrzymujemy masę produktów rozpadu równą
232,033742u. Jest to mniej niż masa 232Th o 0,004382u, co po pomnożeniu przez 631,5MeV/c2, daje
4,08MeV/c2 nadwyżki masy spoczynkowej
Dlatego też, teoretycznie izotop
232
232
Th nad masą spoczynkową produktów rozpadu.
Th jest niestabilny na rozpad α. Taki rozpad, rzeczywiście ma
miejsce w przyrodzie i towarzyszy mu emisja cząstek α o energiach kinetycznych równych 4,08MeV.
Ogólnie, jeżeli jądro emituje cząstkę α, to zarówno N jak i Z zmniejszają się o 2, a liczba A
zmniejsza się o 4. Jądro po rozpadzie jest często nadal promieniotwórcze i dalej rozpada się poprzez
emisję β, lub α lub obu cząstek. Jeżeli jądro macierzyste ma liczbę masową A, która jest równa 4 razy
liczba całkowita, to jądro po rozpadzie i wszystkie dalsze w łańcuchu będą miały liczby masowe
równe 4 razy liczba całkowita. Podobnie, jeżeli liczby masowe jąder pierwotnych są 4n + 1, gdzie n
jest liczbą całkowitą, to wszystkie jądra w łańcuchu promieniotwórczym będą miały liczby masowe
4n + 1, z n zmniejszającym się o jeden w każdym rozpadzie. Widzimy zatem, że istnieją cztery
możliwe łańcuchy promieniotwórcze w rozpadach α, zależnie od tego czy A jest równe 4n, 4n + 1, 4n
+ 2, 4n + 3, gdzie n jest liczbą całkowitą. Wszystkie te
łańcuchy oprócz jednego obserwuje się na Ziemi. Ciąg
4n + 1 nie jest obserwowany, ponieważ jego najdłużej
żyjącym składnikiem jest
237
Np, który ma okres
połowicznego zaniku równy 2 X 106 lat. Ponieważ jest
znacznie mniej niż wiek Ziemi, to seria ta zanikła.
Rysunek 30.6 pokazuje rodzinę toru, dla której A =
4n. Rozpoczyna się ona rozpadem
232
Th na
228
Ra. To
ostatnie jądro jest w części bogatszej w neutrony czyli
na lewo od krzywej stabilności (linia przerywana), w
związku z czym często rozpada się poprzez rozpad β- na
228
Ac i dalej na 228Th. Następnie mamy cztery rozpady α
Rysunek 30.6
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
12
do ołowiu i znów z części bogatszej w neutrony poprzez dwa rozpady β i jeden α lub jeden β i jeden
α do stabilnego izotopu 208Pb.
Energie cząstek α z rozpadów spontanicznych
zawierają się w przedziale od 4 do 7 MeV, a czas
Kulombowska energia
potencjalna
𝒌𝟐𝒆𝒁𝒆
=
𝒓
połowicznego rozpadu ich źródeł wynosi od 10-5s do
1010lat. Ogólnie, im mniejsza energia cząstki tym
dłuższy czas życia. Występowanie bardzo dużego
przedziału czasów połowicznego rozpadu zostało
wytłumaczone przez Gamowa w 1928 roku. Przyjął
on, że cząsteczka α najpierw powstaje wewnątrz jądra,
potencjalna
potencjalna
Rysunek 30.7
a następnie przechodzi przez kulombowską barierę
potencjalna
potencjału dzięki efektowi potencjału (Rysunek 30.7). Niewielki wzrost energii cząstki
α zmniejsza
względną wysokość bariery U – E, jak również jej szerokość. Ponieważ prawdopodobieństwo
głębokości wniknięcia w barierę jest czułe na wysokość i grubość bariery, to małe zwiększenie
energii cząstki prowadzi do dużego wzrostu prawdopodobieństwa przeniknięcia przez barierę, i tym
samym zmniejszenia średniego czasu życia jądra.
30.3 Reakcje jądrowe.
Informacje o jądrze zwykle otrzymuje się poprzez bombardowanie ich różnymi cząstkami i
obserwowanie rezultatów. Chociaż pierwsze eksperymenty tego typu posiadały ograniczenia z
powodu użycia tylko naturalnych źródeł promieniowania, to jednak dostarczyły wiele ważnych
odkryć. W 1932 roku J.D.Cockford i E.T.S.Walton przeprowadzili reakcję:
𝑝 + 73𝐿𝑖 → 42𝐻𝑒 + 42𝐻𝑒
stosując sztucznie przyspieszane protony. Mniej więcej w tym samym czasie został skonstruowany
generator Van de Graaffa, jak również powstał pierwszy cyklotron. Od tego czasu został dokonany
niebywały postęp w technologii przyspieszania i rejestracji cząstek i przebadano cały szereg różnych
reakcji jądrowych.
Kiedy cząstka uderza w jądro, to może zdarzyć się szereg różnych rzeczy. Uderzająca cząstka
może się zderzyć sprężyście lub niesprężyście, lub może być zaabsorbowana przez jądro i może być
wysłana inna cząstka lub cząstki. W zderzeniu niesprężystym jądro przechodzi w stan wzbudzony i
wysyła następnie kwant γ lub inną cząstkę.
Ilość energii wydzielona, lub zaabsorbowana w reakcji (w układzie odniesienia środka masy)
nazywa się energią reakcji Q. Wartość Q jest równa c2 razy różnica mas Kidy energia jest uwalniana
podczas reakcji, wtedy reakcja jest egzotermiczna. W reakcjach egzotermicznych całkowita masa
cząstek wchodzących w reakcję jest większa niż całkowita masa cząstek wyjściowych reakcji i Q jest
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
13
dodatnie. Jeżeli całkowita masa cząstek wejściowych jest mniejsza niż cząstek wychodzących, wtedy
potrzebna jest dodatkowa energia aby reakcja mogła zajść i taką reakcję nazywamy reakcją
endotermiczną. Wartość Q dla reakcji endotermicznej jest ujemna. Ogólnie, jeżeli Δm jest
przyrostem masy, to energia reakcji wynosi:
Q = − ∆m c 2
30.19
Energia reakcji.
Endotermiczna reakcja nie może zajść poniżej pewnej progowej reakcji. W laboratoryjnym
układzie odniesienia, w którym spoczywające cząstki są bombardowane przez nadlatujące cząstki,
energia progowa jest trochę większa niż 𝑄 , ponieważ produkty rozpadu muszą posiadać pewną
energię kinetyczną, aby była być spełniona zasada zachowania pędu.
Miarą efektywnych rozmiarów jądra dla konkretnej reakcji jądrowej jest przekrój poprzeczny σ.
Jeżeli I jest ilością zderzających się cząstek jednostce czasu (natężenie zderzeń), a R jest ilością
reakcji na jednostkę czasu, na jeden nukleon, to przekrój poprzeczny dany jest wzorem:
𝜎=
𝑅
30.20
𝐼
Przekrój poprzeczny ma wymiar powierzchni. Ponieważ przekroje poprzeczne są rzędu kwadratu
promieni jąder, to wygodną jednostką dla nich jest barn, który zdefiniowany jest jako:
1barn = 10-28m2.
30.21
Przekrój poprzeczny dla danej reakcji jądrowej jest funkcją energii. Dla reakcji endotermicznych jest
on równy zero poniżej pewnej energii progowej.
Przykład 5.
Znajdź energię reakcji dla 𝑝 + 73𝐿𝑖 → 42𝐻𝑒 + 42𝐻𝑒 i określ rodzaj reakcji.
Analiza zadania. Z tabeli 1. znajdziemy masy atomów i obliczymy różnicę mas cząstek
wychodzących i w chodzących do reakcji. Q jest dane wzorem 30.19.
1. Masy z tabeli 1.:
1
H = 1,007825u, 7Li = 7,016004u, 4He = 4,002603u
2. Suma mas początkowa:
mi = 1,007825u + 7,016004u = 8,0023829u
3. Suma mas końcowa:
mf = 2(4,002603u) = 8,005206u
4. Przyrost masy:
Δm = mf – mi = -0,018623u
5. Wartość energii reakcji:
Q = -(Δm)c2 = (+0,0018623u)c2 (931,5MeV/uc2)=
=17,35MeV.
Q jest dodatnie, czyli reakcja jest egzotermiczna.
Reakcje z udziałem neutronów.
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
14
Reakcje z udziałem neutronów są ważne dla zrozumienia działania reaktorów jądrowych.
Najbardziej prawdopodobną reakcją zderzenia neutronu posiadającego energię większą niż 1MeV z
jądrem jest jego rozproszenie. Jednak nawet jeżeli zderzenie jest sprężyste, to neutron traci część
energii ponieważ jądro uzyskuje energię odrzutu. Jeżeli neutron ulega szeregu zderzeń, to jego
energia maleje, aż do momentu kiedy stanie się rzędu energii ruchu termicznego kT, gdzie k jest stałą
Boltzmanna, a T jest temperaturą bezwzględną. (W temperaturze pokojowej wynosi ona około
0,025eV.) Wtedy neutron równie łatwo traci energię w wyniku pochłonięcia go przez jądro, jak i
sprężystego rozproszenia. Neutrony posiadające energię rzędu kT nazywają się neutronami
termicznymi.
W niskich energiach istnieje duże prawdopodobieństwo, że
neutron
zostanie
pochłonięty
z
jednoczesną
emisją
promieniowania γ ze wzbudzonego jądra. Rysunek 30.8
przedstawia przekrój poprzeczny dla neutronów w srebrze w
funkcji energii neutronów. Ostry skok na krzywej nazywa się
rezonansem. Poza rezonansem przekrój poprzeczny zmienia się
łagodnie wraz z energią, malejąc wraz ze wzrostem energii
grubsza jak 1/v, gdzie v jest prędkością neutronów. Można
Rysunek 30.8
wytłumaczyć tę zależność w następujący sposób: Rozważmy
neutron poruszający się z prędkością v w pobliżu jądra o średnicy 2R. Czas potrzebny na przejście
neutronu w okolicach jądra wynosi 2R/v. Tak więc przekrój poprzeczny na wychwyt neutronu jest
proporcjonalny do czasu jaki neutron spędza w sąsiedztwie jądra. Przerywana linia na rysunku 30.8
odzwierciedla tę zależność. W maksimum rezonansu wartość przekroju poprzecznego jest bardzo
duża (σ > 5000barn) w porównaniu z wartością tylko około 10barn zaraz za rezonansem. Wiele
pierwiastków wykazuje podobne rezonanse dla przekroju poprzecznego wychwytu neutronu.
30.4 Rozszczepienie i synteza jądrowa.
Rysunek 30.9 przedstawia wykres różnicy mas przypadającej na jeden nukleon (M – Zmp –
Nmn)/A w jednostkach MeV/c2 w funkcji A.
(Wielkość
∆𝑚 = 𝑍𝑚𝑝 + 𝑁𝑚𝑛 − 𝑀
nazywamy defektem masy).
Wykres ten jest po prostu negatywem wykresu energii wiązania z rysunku 30.3. Z rysunku 30.9
widzimy, że ta różnica mas spoczynkowych przypadająca na jeden nukleon zarówno dla bardzo
ciężkich jąder ( 𝐴 ≈ 200 ), jak i bardzo lekkich jąder ( 𝐴 ≤ 20) jest większa niż dla jąder średni
ciężkich. W rezultacie, gdy bardzo ciężkie jądro takie jak
235
U rozpada się na dwa lżejsze jądra
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
15
Różnica mas
na jeden
nukleon,
MeV/c2
Rysunek 30.9
wtedy uwalnia się energia. Proces taki nazywamy rozszczepieniem jądra. Jeżeli dwa lekkie jądra,
takie jak 2H i3H łączą się razem, tworząc jądro o większej masie również uwalnia się energia. Proces
taki nazywamy syntezą jądrową, lub reakcją termojądrową.
Zastosowanie rozszczepienia jąder i reakcji termojądrowej w broni nuklearnej wywarło duży
wpływ na nasze życie w ciągu ostatnich pięćdziesięciu lat. Pokojowe zastosowanie tych procesów w
reaktorach jądrowych odgrywa znaczną rolę w rozwoju źródeł energii i stwarza nadzieje na dalszy
ich rozwój w przyszłości.
Rozszczepienie.
Bardzo ciężkie jądra (Z > 92) mogą podlegać spontanicznemu rozszczepieniu. Rozpadają się one
na dwa jądra nawet wtedy, jeżeli nie podlegają żadnemu zewnętrznemu zakłóceniu. Możemy to
zrozumieć rozpatrując przez analogię naładowaną kroplę cieczy. Jeżeli kropla nie jest zbyt duża,
napięcie powierzchniowe jest w stanie zdominować siły kulombowskiego odpychania i utrzymać
krople w całości. Istnieje jednak pewien maksymalny rozmiar powyżej, którego kropla stanie się
niestabilna i samoistnie rozpadnie się na części. Spontaniczne rozszczepienie nakłada górną granicę
na rozmiary jąder i tym samym ogranicza ilość pierwiastków, które mogą istnieć stabilnie.
Niektóre ciężkie jądra, takie jak uran, pluton, mogą być sprowokowane do rozpadu poprzez
wychwyt neutronu. W rozszczepieniu
235
U, na przykład, jądro uranu ulega wzbudzeniu po dostaniu
się do niego neutronu, a to powoduje jego rozszczepienie na dwa jądra i szereg neutronów. Siły
kulombowskiego odpychania powodują, że fragmenty rozszczepienia uzyskują energię kinetyczną,
co ostatecznie przejawia się jako energia cieplna. Rozważmy ,na przykład, rozszczepienie jądra o
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
16
liczbie masowej A = 200 na dwa jądra o liczbie masowej A = 100. Ponieważ masa spoczynkowa dla
A = 200 jest około 1MeV na jeden nukleon większa od tej, która przypada dla A = 100, to nastąpi
uwolnienie około 200MeV w przypadku rozpadu jednego jądra. Jest to duża wartość energii. Dla
porównania, chemiczna reakcja spalania uwalnia tylko 4eV kiedy atom węgla łączy się z dwoma
atomami tlenu.
Przykład 6.
Oblicz ile energii w kilowatogodzinach zostałoby uwolnione z 1g
235
U, gdyby uległ
rozszczepieniu. Załóż, że w jednym akcie rozszczepienia uwalnia się 200MeV.
Analiza zadania. Musimy znaleźć ilość jąder uranu w 1g
235
U. Zrobimy to wiedząc, że liczba
Avogadro (𝑁𝐴 = 6,02 ∙ 1023 ) jąder znajduje się w 235g 235U.
1. Całkowita energia:
𝐸 = 𝑁𝐸𝑗 ą𝑑𝑟𝑜 = 𝑁(200𝑀𝑒𝑉/𝑗ą𝑑𝑟𝑜)
2. Obliczamy N:
𝑁=
3. Obliczamy całą energię:
𝐸=
6,02∙10 23 𝑗𝑎𝑑𝑒𝑟 /𝑚𝑜𝑙
235𝑔/𝑚𝑜𝑙
200∙10 6 𝑒𝑉
𝑗 ą𝑑𝑟𝑜
∙ 1𝑔 = 2,56 ∙ 1021 𝑗ą𝑑𝑒𝑟
∙ 2,56 ∙ 1021 =
1,6∙10 −19 𝐽
𝑗 ą𝑑𝑟𝑜
1ℎ
1𝑘𝑊
∙ 3600 𝑠 ∙ 1000 𝐽 /𝑠 =
= 2,28 ∙ 104 𝑘𝑊ℎ.
Rozszczepienie uranu zostało odkryte w 1939 roku przez
Hahna i Strassmanna, którzy stwierdzili (wykonując bardzo
dokładną analizę chemiczną), że jeżeli bombardować uran
neutronami to powstają pierwiastki o pośrednich masach
(takie jak bar i lantan). Odkrycie faktu, że w trakcie procesu
rozszczepienia powstaje kilka neutronów doprowadziło do
rozważań, czy nie można ich by użyć do dalszego procesu
rozszczepienia, tzn. wywołania reakcji łańcuchowej. Uran
235
U wychwytuje neuron przechodząc w wzbudzone jądro
236
U i następnie w 15% przypadków emituje promieniowanie
γ, w 85% przypadków ulega rozszczepieniu. Proces
rozszczepienia może być porównany, w pewnym stopniu, do
drgań kropli cieczy, jak jest pokazane na rysunku 30.10.
Jeżeli oscylacja są gwałtowne kropla rozszczepia się na dwie
części. Stosując model kroplowy Bohr i Wheeler obliczyli
energię krytyczną EC potrzebną aby
236
U uległ rozpadowi.
Wynosi ona 5,3MeV co jest mniej niż energia wzbudzenia
(6,4MeV) kiedy neutron zostaje pochłonięty przez jądro 235U.
Zatem powstałe jądro
236
U ma dostatecznie dużo energii aby
Rozszczepione
jądra
Rysunek 30.10
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
17
przejść proces rozszczepienia. Z drugiej strony energia
krytyczna
dla
239
rozszczepienia
5,9MeV.Wychwyt neutronu przez jądro
238
U
wynosi
U prowadzi do
energii wzbudzenia tylko 5,2MeV. Dlatego też, jeżeli
neutron zostaje pochłonięty przez
239
238
U i tworzy się jądro
U, to energia wzbudzenia nie jest na tyle duża aby
mogło zajść rozszczepienie jądra. W tym przypadku
wzbudzone jądro
239
U przechodzi w jądro neptunu
poprzez rozpad γ i β
239
Np
i następnie poprzez rozpad β
ponownie staje się jądrem 239U.
Jądra, które ulegają rozszczepieniu mogą rozpadać się
na dwa średniej masy jądra w różny sposób, jak to
pokazano
na
rysunku
30.11.
W
zależności
Liczba masowa A
od
Rysunek 30.11
rozszczepienia mogą powstawać przy tym 1, 2 lub 3
neutrony. Średnio powstaje ich około 2,5 w rozszczepieniu
235
U. Typowa postać reakcji
rozszczepienia wygląda następująco:
𝑛 + 235
92𝑈 →
141
56 𝐵𝑎
92
+ 36
𝐾𝑟 + 3𝑛
Reaktory jądrowe.
Aby utrzymać reakcję łańcuchową w reaktorze jądrowym co najmniej
emitowany w wyniku rozszczepienia
235
U musi być wychwyconym przez
jeden z neuronów
inne jądro
235
U i
spowodować jego rozszczepienie. Stała powielania k reaktora jest zdefiniowana jako średnia liczba
neutronów z każdego rozszczepienia, która spowoduje kolejne rozszczepienia. Maksymalną
wartością k jest 2,5, jednak w praktyce jest ona mniejsza z dwu przyczyn: (1) niektóre neutrony
mogą wydostać się z obszaru zawierającego materiał rozszczepieni owy i (2) część neutronów może
być wychwycona przez nierozszczepiające się jądra. Jeżeli k = 1, to reakcja rozszczepienia będzie
ulegać tylko podtrzymaniu. Jeżeli k jest mniejsze od 1, to reakcja wygaśnie. Jeżeli jednak k jest
znacząco większe od 1, to szybkość reakcji będzie wzrastać gwałtownie i reakcja rozprzestrzeni się
szybko. Przy projektowaniu bomby atomowej takie rozprzestrzenianie się jest jak najbardziej
pożądane. W reaktorach jądrowych wartość k musi być utrzymywana bardzo bliski wartości 1.
Ponieważ neutrony emitowane w reakcji rozszczepienia mają energie rzędu 1MeV, podczas gdy
szansa na to, że jądro 235U rozpadnie się na dwie części jest większa dla mniejszych energii, to
reakcja łańcuchowa będzie podtrzymywana tylko wtedy, gdy neutrony zostaną spowolnione zanim
wydostaną się poza rejon reaktora. Neutrony posiadające wysokie energie (1 lub 2MeV) tracą
gwałtownie swoją energię w wyniku zderzeń niesprężystych z 238U, który jest głównym składnikiem
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
18
naturalnego uranu. (Naturalny uran składa się w 99,3% z
rozszczepieniu -
235
238
U i tylko z 0,7% uranu ulegającemu
U.) Jeżeli tylko energia neutronów spada poniżej energii wzbudzenia jądra w
reaktorze (1MeV), wtedy dominującym procesem utraty energii staje się rozproszenie sprężyste, w
którym szybkie neurony zderzają się z cząstkami będącymi w spoczynku i przekazują im część
swojej energii kinetycznej. Takiego rodzaju przekazywanie energii jest efektywne, jeżeli masy
zderzających się cząstek są porównywalne. Neutron nie przekaże praktycznie żadnej energii jeżeli
zderzy się sprężyście z jądrem uranu. Takie zderzenie jest jak zderzenie piłeczki pingpongowej z
piłką do piłki nożnej. Piłeczka zostanie odbita od dużej piłki i tylko znikoma ilość energii zostanie
przekazana piłce futbolowej. Dlatego też w charakterze spowalniacza (moderatora), który
umieszczany jest rdzeniu reaktora używa się takich materiałów składających się z lekkich atomów
jak woda czy węgiel. Neutrony są spowalniane poprzez zderzenia sprężyste z jądrami moderatora aż
do momentu znalezienia się w równowadze termicznej z moderatorem. Z powodu stosunkowo
dużego przekroju poprzecznego na wychwyt neutronów przez jądra wodoru w wodzie reaktory
stosujące zwykłą wodę nie mogą łatwo osiągnąć 𝑘 ≈ 1, chyba że używają wzbogaconego uranu, w
którym zawartość
235
U wzrasta z 0,7% do 1 – 4%. Naturalny uran można użyć, jeżeli użyje się
ciężkiej wody (D2O) zamiast lekkiej wody (H2O). Pomimo tego, iż ciężka woda jest droga, to część
reaktorów stosuje ją jako moderator, aby uniknąć budowy drogich urządzeń do wzbogacania uranu.
Rysunek 30.12 przedstawia główne cechy reaktora używanego powszechnie w USA służącego do
wytwarzania energii elektrycznej. Produkty rozszczepienia w rdzeniu ogrzewają wodę do wysokiej
temperatury, która krąży w głównym obiegu zamkniętym. Woda ta, która służy również jako
spowalniacz, znajduje się pod wysokim ciśnieniem, aby zapobiec wrzeniu. Gorąca woda jest
wpompowywana jest do wymiennika cieplnego, gdzie ogrzewa wodę w drugim obiegu i zamienia ją
w
parę.
Para
ta
służy
do
napędu
Rysunek 30.12
turbin,
które
wytwarzają
energię
elektryczną.
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
19
Aby reaktor pracował bezpiecznie konieczne jest precyzyjne kontrolowanie stałej powielania k.
Używa się w tym celu zarówno naturalnych mechanizmów ujemnego sprzężenia zwrotnego, jak i
mechanicznych metod kontroli. Jeżeli k jest większe od 1 i szybkość reakcji wzrasta, wtedy
temperatura reaktora wzrasta. Jeżeli używa się wody jako moderatora, to jej gęstość maleje wraz ze
wzrostem temperatury i staje się mniej efektywnym spowalniaczem. Drugą ważną metodą kontroli
jest użycie kontrolnych prętów wykonanych na przykład z kadmu, który posiada bardzo duży
przekrój poprzeczny na wychwyt neutronów. W momencie włączenia reaktora pręty kadmowe są tak
głęboko wprowadzone do rdzenia, że k jest mniejsze od 1. Następnie pręty są powoli wyciągane, aż
k wzrośnie do 1. Jeżeli k staje się większe od 1 pręty są wprowadzane ponownie.
Mechaniczna kontrola szybkości reakcji nuklearnej w reaktorze przy użyciu prętów kontrolnych
jest możliwa tylko dlatego, iż część neutronów powstająca w wyniku rozszczepienia uranu jest
neutronami spowolnionymi. Czas potrzebny na spowolnienie neutronów od energii 1 – 2MeV do
poziomu energii termicznych a następnie pochłonięcie ich przez jądra uranu jest tylko rzędu
milisekund. Jeżeli wszystkie neutrony powstające w wyniku rozszczepienia byłyby szybkimi
neutronami, to znaczy, byłyby emitowane bezpośrednio w procesie rozszczepienia, wtedy żadna
kontrola mechaniczna nie byłaby skuteczna; reaktor uległby rozerwaniu zanim pręty kadmowe
zostałyby wprowadzone. Jednak około 0,65% wyemitowanych neutronów jest opóźniona w czasie o
średnio 14s. Elektrony te nie powstają w procesie samego rozszczepienia, ale są produktem rozpadu
lżejszych jąder po rozszczepieniu. Poniższy przykład demonstruje wpływ opóźnianych neutronów
na reakcję rozszczepienia.
Przykład 7.
Jeżeli średni czas generacji rozszczepienia (czas, w którym neutron wyemitowany w jednym akcie
rozszczepienia powoduje następne rozszczepienie) wynosi t1 = 1ms i stała powielania jest równa
1,001, to ile czasu potrzeba aby szybkość reakcji wzrosła dwukrotnie?.
Analiza zadania. Czas potrzebny na podwojenie szybkości reakcji jest to ilość rozpadów N
potrzebna do podwojenia razy czas generacji. Jeżeli k = 1,001 to szybkość reakcji po N rozpadach
wynosi 1,001N. Znajdziemy ilość rozpadów poprzez przyrównanie 1,001N do 2.
1. Obliczmy N:
1,001
𝑁
=2
𝑁𝑙𝑛1,001 = 𝑙𝑛2
𝑙𝑛 2
𝑁 = 𝑙𝑛 1,001 = 693
2. Mnożąc N przez czas generacji:
𝑡 = 𝑁𝑡1 = 693 ∙ 0,001𝑠 = 0,693𝑠
Uwaga. Nie jest to czas wystarczający na wsunięcie prętów kontrolnych.
Przykład 8.
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
20
Zakładając, że 0,65% wyemitowanych neutronów jest opóźnionych o 14s znajdź średni czas
generacji i czas podwojenia szybkości reakcji, jeżeli k = 1,001.
Analiza zadania. Czas podwojenia jest równy Ntśr, gdzie tśr jest średnim czasem między
rozpadami. Ponieważ 99,35% czasów generacji wynosi 0,001s, a 0,65% wynosi 14s, to średni czas
generacji jest równy:
1. Średni czas generacji:
tśr = 0,9935(0,001s) + 0,0065(14s) = 0,092s
2. Podwojenie nastąpi po
69s aktach, ponieważ k = 1,001
patrz poprzedni przykład.
t = Ntśr = 693(0,092s) = 63,8s.
Uwaga. Pomimo, iż liczba neutronów opóźnionych jest mniejsza niż 1%, to odgrywają one istotną
rolę w prędkości podwajania szybkości reakcji. Czas podwojenia 64s jest to całkowicie dostateczna
ilość czasu na mechaniczne wsunięcie prętów kontrolnych.
Synteza termojądrowa (Reakcja termojądrowa).
Podczas reakcji termojądrowej lekkie jądra takie jak deuteron (2H) lub tryton (3H) łączą się i
tworzą cięższe jądro. Typowa reakcja termojądrowa wygląda następująco:
2
1𝐻
+ 31𝐻 → 42𝐻𝑒 + 𝑛 + 17,6𝑀𝑒𝑉
Energia uwolniona w trakcie syntezy termojądrowej zależy od konkretnej reakcji. W przypadku
reakcji 2H + 3H wynosi ona 17,6MeV.Mimo, iż jest to mniej niż podczas reakcji rozszczepienia, to
jednak na jednostkę masy przypada większa energia: 17,6MeV/5nukleonów = 3,52MeV w
porównaniu z około 1MeV podczas rozszczepienia.
Produkcja energii powstającej w wyniku syntezy lekkich jąder jest bardzo obiecująca z powodu
względnej obfitości paliwa i warunków bezpieczeństwa. Niestety jak do tej pory nie opracowano w
pełni technologii syntezy, która nadawała by się do praktycznego zastosowania na szeroką skalę.
Zajmiemy się reakcją 2H + 3H; inne reakcje nastręczają podobne problemy.
Z powodu kulombowskiego odpychania między jądrami 2H i 3H potrzebne są ogromne energie
kinetyczne jąder, rzędu 1MeV, aby zbliżyć jądra na tyle do siebie, aby siły przyciągania jądrowego
stały się efektywne i spowodowały ich połączenie. Takie energie są osiągane w akceleratorach,
jednak ponieważ rozproszenie jąder podczas zderzenia jest znacznie bardziej prawdopodobne niż ich
synteza, to zderzanie z sobą jąder wymaga użycia większej energii niż otrzymało by się z w wyniku
syntezy. Aby uzyskać odpowiednio wysokie energie jąder musiały by być one nagrzewane do
temperatury na tyle wysokiej, aby synteza zachodziła w wyniku przypadkowych zderzeń
termicznych. Ponieważ dość znaczna ilość cząsteczek posiada energie większe niż średnia energia
3
kinetyczna ruchu cieplnego 2 𝑘𝑇, i ponieważ część jąder może przenikać przez barierę kulombowską
dzięki efektowi tunelowemu, to temperatura T, która odpowiada 𝑘𝑇 ≈ 10𝑘𝑒𝑉 była by już
Wykład z fizyki – Piotr Posmykiewicz
21
dostateczna, aby być pewnym, że dostateczna ilość jąder ulega syntezie, pod warunkiem, że gęstość
jąder jest dostatecznie duża. Temperatura, która odpowiada kT = 10keV jest rzędu 108K. Takie
temperatury występują wewnątrz gwiazd i tam reakcje termojądrowe dominują. W takich
temperaturach gaz składa się z dodatnich jonów i ujemnych elektronów i nazywa się plazmą.
Jednym z problemów powstającym podczas prób otrzymania kontrolowanej reakcji termojądrowej
jest utrzymanie plazmy na tyle długo, aby zdążyła zajść reakcja syntezy. Wewnątrz słońca plazma
jest utrzymywana przez ogromne pole grawitacyjne słońca. Na Ziemi, w laboratorium stworzenie
takich warunków napotyka na ogromne problemy. W 1957 roku Lawson pokazał, że musi być
spełnione następujące kryterium: nτ > 1020s∙jony/m3, (n – gęstość jąder, τ – czas utrzymywania
plazmy), aby efektywność reakcji termojądrowej była dostateczna. W celu otrzymania tak dużych
gęstości stosuje się urządzenia zwane tokamakami. Obecnie realizowany jest międzynarodowy
projekt badawczy ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) na wielką skalę,
budowy ogromnego tokamaka w Marsylii, który ma kosztować 10 miliardów €. Pierwszy zapłon
przewidywany jest na rok 2016. Według projektów ITER ma każdorazowo podtrzymywać reakcję
syntezy przez około 500 sekund, osiągając wydajność 500 MW.
.