Page 1 5. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej: iloraz

5. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej: iloraz różnicowy, pochodna funkcji w
punkcie, interpretacja geometryczna pochodnej, własności pochodnej, twierdzenie Lagrange’a,
pochodne wyższych rzędów, reguła de L’Hospitala.
f ( x0 )  lim
h 0
Wzór funkcji
f ( x0  h)  f ( x0 )
h
Pochodna
funkcji
Uwagi
dla
dla
c  f ( x)  c  f ( x)
 f ( x)  g ( x) 
f ( x)  g ( x)
 f ( x)  g ( x) 
f ( x)  g ( x)

 f ( x) 
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)


 
 f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) 
g 2 ( x)
 g ( x) 
 f g ( x)  f g ( x) g ( x)

Zadanie 1. Oblicz z definicji pochodne funkcji:
a)
b)
Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, oblicz pochodną funkcji f w punkcie
, gdy:
c)
d)
e)
f)
Zadanie 2. Oblicz pochodne funkcji korzystając z wzorów.
a)
f ( x)  x 2  sin x
f ( x) 
j) f ( x) 
x 1
3x  2
k) f ( x) 
x 2  sin x
x2
x 2  8 x5
4
b)
x3
2
3
c) f ( x)  2 x  x  x
1 2 3
f ( x)  2  3  9
x
x
x
d)
5
3
e) f ( x)  3x  5x  1


f) f ( x)  x  x  x 2  34 x

l) f ( x)  3x5  x

7
m) f ( x)  3x 2  x  2
n) f ( x)  sin 2 x

o) f ( x)  sin x 2
g) f ( x)  x  cos x
p) f ( x)  sin 3x 4  5x3  2 x  1
h) f ( x)  x 2  sin x
q)


i) f ( x)  x  x  x 2  34 x

Twierdzenie de L’Hospitala. Jeżeli funkcje
oraz
f ( x)  sin 3 x  x 2
są określone w otoczeniu punktu
albo
granica ilorazu pochodnych
oraz
i
i
oraz istnieje
(właściwa lub niewłaściwa) to istnieje także granica
.
Twierdzenie jest również prawdziwe dla granic, gdy x dąży do
.
Zadanie 5. Oblicz granice:
a)
c)
b)
d)
Twierdzenie Lagrange’a Jeżeli funkcja
to istnieje punkt
taki, że
jest ciągła w przedziale
i istnieje
dla
,
Wartość
interpretujemy jako średnią szybkość zmian wartości
w przedziale
Zadanie 3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:
a)
b)
f ( x)  3 x 5  5 x 3  1
Pochodne wyższych rzędów
Zadanie 4. Znaleźć pochodne drugiego, trzeciego i czwartego rzędu dla funkcji:
a)
f ( x)  x 2  sin x
b)
f ( x) 
c)
f ( x)  3 x 5  x
x 1
3x  2


7