Seria 7

PF1 zima 2016-17 ćwiczenia grupa R-4 – seria 7
1. Znaleźć wartość ciśnienia grawitacyjnego, panującego w
odległości r0 od środka Ziemi, zakładając że Ziemia jest
jednorodną kulą o gęstości  = 5,5·103 kg/m3 i promieniu
R =6,4·106 m. Ile wynosi wartość ciśnienia w środku Ziemi p0?
Wsk. Obliczyć ciśnienie dp, wywierane w odległości r przez
warstwę kulistą o promieniu r i grubości dr na powierzchnię kuli
znajdującej się bezpośrednio pod warstwą, 4πr2, a następnie
zsumować wkłady ciśnień od r0 do R; ponieważ liczymy ciśnienie,
sumujemy elementarne wkłady od ciśnień, a nie od sił (tj. ciężarów).
2
Odp. pr0    2 G R 2  r02 p0 ≈ 170 GPa.
3
2. Zakładając, że w pewnym momencie Ziemia zatrzymałaby się w swoim ruchu dookoła
Słońca, obliczyć, z jaką prędkością 0 zderzyłaby się ze Słońcem. Dana jest stała
grawitacyjna G = 6,67·10-11 Nm2kg−2, odległość Ziemi od Słońca R = 150 mln km,
promień Słońca RS = 6,9·108 m. Masy Ziemi i Słońca wynoszą odpowiednio
MZ ≈ 6·1024 kg i MS ≈ 2·1030 kg.
Odp.b.proste
3. Jak długą linę stalową można zawiesić nad powierzchnią Ziemi, aby się nie zerwała pod
własnym ciężarem? Granicę wytrzymałości liny stalowej na zerwanie przyjąć równe
Tkr1 = 200 MPa (tj. 200 MN/m2 - odnosi się to do jednostkowej powierzchni przekroju
poprzecznego liny). Gęstość stali S = 7,8·103 kg/m3. Zaniedbać wpływ ruchu obrotowego
Ziemi. Dane są: stała grawitacyjna G = 6,67·10-11 Nm2kg−2, średnia gęstość Ziemi
Z = 5,5·103 kg/m3, promień Ziemi R = 6,4·103 km. Jaką maksymalną długość miałaby
lina z niezdefektowanych nanorurek węglowych? CNT=2,6·103 kg/m3, Tkr2 = 50 GPa.
Odp Dla liny stalowej ℎ =
− 1 , a dla liny z nanorurek węglowych

ℎ
=

− 1 , gdzie
=
.
4. Wzdłuż całej długości średnicy Ziemi wydrążono tunel. W chwili t=0 do tunelu
upuszczono kamyk. Znajdź zależność położenia i prędkości kamyka w funkcji czasu. Jaki
czas jest potrzebny na przebycie całej średnicy Ziemi? Jaka jest prędkość kamyka w
środku Ziemi? Zaniedbać siły oporu i siły bezwładności. Dane: G=6,67·10-11 [SI], średnia
gęstość Ziemi z = 5,5·103 kg/m3, promień Ziemi R=6,4·106m.
Odp.
=
cos
, oraz
periodycznego tego obiektu wynosi
= − sin
=
=
, gdzie
. Okres ruchu
≈ 5060 s. Czas przebycia tunelu w jedną
stronę wynosi = 2530 s. Prędkość w środku Ziemi
=
= 7,94·103 m/s.
5. Przez Ziemię wydrążono tunel w odległości =
od średnicy (R –promień Ziemi). W
chwili t=0 do tunelu upuszczono kamyk. Znajdź zależność położenia i prędkości kamyka
w funkcji czasu. Jaki czas jest potrzebny na przebycie całej długości tunelu? Jaka jest
prędkość kamyka w środku długości tunelu? Zaniedbać siły oporu i siły bezwładności.
Dane: G=6,67·10-11 [SI], średnia gęstość Ziemi =5,5·103 kg/m3, promień Ziemi
R=6,4·106m.
Odp. bardzo podobnie jak w zad. 4
6. We wnętrzu jednorodnej kuli o gęstości ρ i promieniu R1 znajduje
się puste, kuliste wydrążenie o promieniu R2. Środek wydrążenia
jest odległy o d od środka kuli ( R2  d  R1 ). Znaleźć natężenie i
potencjał pola grawitacyjnego na zewnątrz kuli (dla r  R1 ) na linii
PF1 zima 2016-17 ćwiczenia grupa R-4 – seria 7
łączącej środek kuli ze środkiem wydrążenia, w zależności od odległości r od środka kuli.
Rozważyć zarówno punkty wspomnianej linii, znajdujące się po tej samej stronie co
wydrążenie, jak i po stronie przeciwnej (patrz rysunek).
Odp. B.proste
7. Pocisk balistyczny wzniósł się na maksymalną wysokość
hmax =185 km i spadł w odległości z = 480 km od miejsca startu.
Obliczyć półosie a i b eliptycznego toru tego pocisku i porównać je z
promieniem Ziemi R ≈ 6371km.
z
hmax
R  hmax
Odp. a 
; gdzie  
oraz  0 
. Po
1
R 1  cos  0   hmax
2R
podstawieniu odpowiednich danych liczbowych otrzymuje się: a = 3340 km, b = 670 km.
Środek Ziemi znajdował się w jednym z ognisk elipsy
8. Planetoida krąży po orbicie eliptycznej dookoła Słońca. Jej prędkości w punktach
leżących na dłuższej osi elipsy w aphelium i perihelium wynoszą odpowiednio v a i v p .
Ile wynosi prędkość planetoidy w punktach leżących na krótszej osi elipsy?
Odp. v b  v av p .
9. Znaleźć zależność między okresem T obiegu satelity po orbicie eliptycznej dookoła Ziemi
a wartością dłuższej półosi elipsy a (III prawo Keplera).
a3 a3
Odp. 12  22 dla dowolnych planet
T1 T2
10. Pewien obiekt kosmiczny ma w nieskończonej odległości od gwiazdy o masie M prędkość
v0 skierowaną tak, że gdyby nie oddziaływania grawitacyjne, minąłby gwiazdę w
odległości d0. Znaleźć odległość w punkcie największego zbliżenia obiektu do gwiazdy dA
oraz prędkość obiektu w tym punkcie vA. Dana jest stała grawitacyjna G.
Odp. d A 
d 0 vo3
1 
2
2
4 2 

GM

G
M

v
d
;
v



0 0
A

vo2 
 GM  G 2 M 2  v04 d 02
11. Kometa zbliża się z nieskończoności do Słońca. Jej prędkość w nieskończoności wynosi
0. Ile musi wynosić minimalna odległość między początkowym prostoliniowym torem
komety a Słońcem, aby pod wpływem sił grawitacji kąt odchylenia trajektorii komety od
kierunku początkowego wynosił /2? Dana stała grawitacyjna G i masa Słońca M.
 GM 
GM

 . Stąd d 0  2 .
Odp.    2 arctan 
2
2
0
 d 0 0 
12. Satelita został wystrzelony z powierzchni Księżyca z (nieznaną) prędkością v0 pod kątem
=/6 do pionu, a następnie osiągnął maksymalną odległość (od środka Księżyca) równą
dmax=5R/2, gdzie R - promień Księżyca. Oblicz wartość prędkości v0. Dane:
=5,4·103 kg·m-3 – gęstość Księżyca, R=1740 km, G=6,67·10-11 [SI] – stała grawitacyjna.
Odp. v0  5GM 4 R
13. Wykaż, że prędkość obiektu poruszającego się po orbicie eliptycznej wokół gwiazdy o
2 1
masie M spełnia warunek: v  GM    , gdzie a – długa półoś elipsy, r - odległość
r a
obiektu od gwiazdy
PF1 zima 2016-17 ćwiczenia grupa R-4 – seria 7
14. Wartości minimalne i maksymalne prędkości pewnej planety krążącej wokół Słońca
wynoszą, odpowiednio vmin=29,2 km/s i vmax=30 km/s . Oblicz wartość mimośrodu  tej
orbity. Jaka to planeta?
v
 v min
Odp.   max
v max  v min
15. Wartości maksymalne i minimalne prędkości w ruchu satelity Ziemi po orbicie eliptycznej
wynoszą odpowiednio vmax i vmin, a okres obiegu równa się T. Oblicz długość długiej
półosi tej elipsy a.
T
Odp. a 
v max  v min
2
Ruch pod wpływem sił centralnych
16. Kulka o masie m, przywiązana do nieważkiej i
nierozciągliwej nici porusza się po gładkiej,
poziomej płaszczyźnie. Drugi koniec nici wciągany
jest ze stałą prędkością u do otworu, wykonanego w
płaszczyźnie. Wyznaczyć ruch kulki (we
współrzędnych biegunowych) i wartość siły
naciągu nici N, jeżeli wiadomo, że w chwili początkowej nić jest wyprostowana,
odległość między kulką i otworem wynosi r0, a prędkość kątowa ω0.
Odp. r t   r0  ut ;  t  
0 r02
r0  ut 2
;  t  
0 r02 
m02 r04
1
1

  ; N r  
u  r0  ut r0 
r0  ut 3
17. *Po gładkim, poziomym stole krąży kulka o masie m,
połączona nicią przechodzącą przez otwór w stole z
ciężarkiem o masie M. W chwili początkowej
odległość kulki od środka otworu wynosiła r0, a
prędkość kulki była skierowana prostopadle do nici i
wynosiła v0; nić była napięta. Układ umieszczony jest
w ziemskim polu grawitacyjnym. Wykazać, że kulka
m wykonuje drgania radialne między dwoma punktami zwrotnymi r1, r2 (tj. że zbliża się i
oddala od otworu, jednocześnie obiegając otwór, podobnie jak ciało poruszające się po
elipsie pod wpływem siły grawitacji).
Wsk. Skorzystać z zasady zachowania energii dla układu kulka – masa M. Punkty zwrotne
(maksymalną i minimalną odległość od otworu) należy wyznaczyć z warunku zerowania
się prędkości radialnej kulki r .
Odp.: r1  r0 ; r2 

mv 02  1 mv02
1 mv 02


 2r0  .

4 Mg
4 Mg  4 Mg
