Zapisz jako PDF

Spis treści
1 Drzewa
1.1 Drzewa binarne
1.1.1 Zadanie
1.1.2 Drzewo BST (Binary Search Tree)
1.1.2.1 Zadanie 1
1.1.2.2 Zadanie 2
1.1.2.3 Zadanie 3
1.1.2.4 Usuwanie węzła w drzewie BST
1.1.2.5 Zadanie 4
1.1.2.6 Równoważenie drzwa (zadanie domowe)
2 obiegi drzew
Drzewa
Przypomnij sobie krótki wstęp do teorii grafów przedstawiony na początku semestru.
Drzewo jest strukturą składającą się z węzłów i krawędzi.
Przykład drzewa.
Węzłem wyróżnionym jest korzeń drzewa (na rysunku Figure 1 korzeniem jest węzeł o wartości 2).
W drzewie nie występują cykle, czyli ścieżki zaczynające się i kończące na tym samym wierzchołku
bez powtórzeń krawędzi. Drzewa są też spójne, co oznacza, że między dowolną parą wierzchołków
istnieje ścieżka. Stopniem wierzchołka nazywamy liczbę krawędzi z niego wychodzących. W
drzewach wprowadza się następujące pojęcia:
liść — węzeł o stopniu równym jeden, co oznacza, że liście są węzłami połączonymi tylko ze
swoim rodzicem. Na rysunku Figure 1 liśćmi są węzły o wartościach 9, 3, 4, 5, 11.
Synowie — węzły połączone z danym i leżące poniżej. Na rysunku Figure 1 synami są wszystkie
węzły oprócz węzła o wartości 2, który jest korzeniem drzewa (ang. root).
Ścieżka — ciąg krawędzi łączących dwa wierzchołki. Od węzła 4 do węzła 5 mamy następującą
ścieżkę — krawędź 4-8, krawędź 8-2, krawędź 2-7, krawędź 7-6, krawędź 6-5.
Poziom wierzchołka — odległość wierzchołka od korzenia. Przykładowo wierzchołek 6 ma
poziom 3.
Wysokość drzewa — maksymalny poziom drzewa. Wysokość drzewa na rysunku Figure 1 to 4.
Stopień wierzchołka — liczba krawędzi z nim sąsiadujących. Na rysunku Figure 1 węzeł o
kluczu 2 ma stopień 3.
Stopień drzewa — maksymalny stopień wierzchołka. Drzewo przedstawione na rysunku Figure
2 ma stopień 2.
Węzeł wewnętrzny — węzeł nie będący liściem — na rysunku Figure 1 węzłami wewnętrznymi
są węzły o kluczach 6,7,2, i 8.
drzewo można formalnie zdefiniować rekurencyjnie jako drzewo puste lub korzeń z listą drzew
Przykład drzewa.
Drzewa binarne
Drzewo binarne jest drzewem, w którym stopień każdego wierzchołka (liczba połączeń danego
wierzchołka) nie jest wyższy niż 3. Drzewo takie przedstawione jest na rysunku Figure 3. Drzewo
takie można wygodnie reprezentować w tablicy — jeżeli nadamy wierzchołkowi i-ty element tablicy,
jego lewy syn będzie miał indeks 2i+1, a prawy 2i+2 w przypadku języków, w których wektory
numerowane są od zera.
Przykład drzewa binarnego
Reprezentacja drzewa binarnego przedstawionego na rysunku Figure 3, postaci tablicy jest
następująca:
indeks klucz
0
2
1
7
2
5
3
2
4
6
5
6
9
7
8
9
5
10
11
12
13
14
4
15
Zadanie
<korzen litera="d">
<lewy litera="b">
<lewy litera="a">
</lewy>
<prawy litera="c">
</prawy>
</lewy>
<prawy litera="f">
<lewy litera="e">
</lewy>
<prawy litera="g">
</prawy>
</prawy>
</korzen>
Napisz funkcję zapisująca drzewo binarne do tablicy (albo listy) zw porządku prefiksowym (do
tablicy/listy wpisz artybut/y). Przetestuj swój program na powyższym drzewie.
W ramach zabawy spróbuj także zapisać drzewo w porządku infiksowym i postfiksowym.
Drzewo BST (Binary Search Tree)
Tutaj można obejrzeć symulację działania drzewa BST, jak również różnego innego rodzaju
drzewiastych struktur danych.
Drzewo BST (wyszukiwania binarnego) ma następującą własność — dla każdego węzła wszystkie
wartości znajdujące się w poddrzewie którego korzeniem jest jego prawy syn mają wartości większe
niż on, a w poddrzewie którego korzeniem jest lewy syn mniejsze (albo na odwrót, ważna jest
konsekwencja implementacji). Struktura ta jest bardzo pomocna przy wyszukiwaniu.
Załóżmy, że chcemy znaleźć liczbę k. Jeśli k ma wartość większą niż klucz korzenia to rekurencyjnie
szukamy w lewym poddrzewie, jeśli mniejszą to w prawym, jeśli równą to znaleźliśmy. Algorytm ten
przedstawiony jest na rys. Figure 7.
Drzewo BST wypisane infixowo daje ciąg uporządkowany.
class Wezel(object):
def __init__(self, klucz):
self.lewySyn = None
self.prawySyn = None
self.klucz = klucz
Figure 4: Inicjalizowanie klasy węzeł.
class Wezel(object):
...
def sprawdz(self, klucz, rodzic=None):
if klucz > self.klucz:
if self.lewySyn is None:
return None, None
return self.lewySyn.sprawdz(klucz, self)
elif klucz < self.klucz:
if self.prawySyn is None:
return None, None
return self.prawySyn.sprawdz(klucz, self)
else:
return self, rodzic
Figure 5: Sprawdzenie czy wartość jest w drzewie BST.
class Wezel(object):
def wstaw(self, klucz):
if klucz < self.klucz:
if self.lewySyn is None:
self.lewySyn = Wezel(klucz)
else:
self.lewySyn.wstaw(klucz)
else:
if self.prawySyn is None:
self.prawySyn = Wezel(klucz)
else:
self.prawySyn.wstaw(klucz)
Figure 6: Wstawianie do drzewa BST.
def przeszukaj_drzewo_binarne(wezel, klucz):
if wezel is None:
return None # nie znaleziono klucza
if klucz < wezel.klucz:
return przeszukaj_drzewo_binarne(wezel.lewySyn, klucz)
elif klucz > wezel.klucz:
return przeszukaj_drzewo_binarne(wezel.prawySyn, klucz)
else: # gdy szukany klucz jest rowny kluczowi danego wezla
return wezel.klucz
Figure 7: Przeszukiwanie drzewa binarnego.
Zadanie 1
Algorytmy i fragmenty struktur danych opisane na przedstawione na rysunkach Figure 4, Figure 6,
Figure 5, Figure 7 złoż w klasę Wezel. Sprawdź, czy wszystkie metody są poprawnie zapisane.
Dopisz do klasy Wezel metodę wypisującą drzewo.
Zadanie 2
Do klasy Wezel dodaj metodę wypisującą liczbę synów danego węzła.
Zadanie 3
Porównanie dwóch drzew powinno zachodzić rekurencyjnie. Jeżeli natrafi na jeden różny węzeł w
dwóch drzewach powinno zwracać False. Różny węzeł może znaczyć także brakujący liść. Jak
argument powinien być przekazywany korzeń drugiego drzewa. Do klasy Wezel dodaj taką metodę.
Usuwanie węzła w drzewie BST
Usuwanięcie węzła może wymagać reorganizacji struktury drzewa w celu zachowania własności
BST. Należy rozważyć trzy przypadki
usuwany węzeł nie ma synów (jest liściem): usunięcie przebiega bez reorganizacji drzewa,
wskaźnik do węzła w jego ojcu zastępowany jest wskaźnikiem do węzła pustego
usuwany węzeł ma jednego syna: dany węzeł usuwamy, a jego syna podstawiamy w miejsce
usuniętego węzła
usuwany węzeł ma dwóch synów: po jego usunięciu wstawiamy w jego miejsce węzeł, który
jest jego następnikiem lub poprzednikiem (do wyboru albo implementacja z następnikiem albo
z poprzednikiem). Następnik i poprzednik to odpowiednio najbardziej lewy węzeł w prawym
podrzewie, lub najbardziej prawy węzeł węzeł w prawym poddrzewie.
else:
rodzic = wezel
nastepnik = wezel.prawySyn
while nastepnik.lewySyn:
rodzic = nastepnik
nastepnik = nastepnik.lewySyn
wezel.klucz = nastepnik.klucz
if rodzic.lewySyn == nastepnik:
rodzic.lewySyn = nastepnik.prawySyn
else:
rodzic.prawySyn = nastepnik.prawySyn
Zadanie 4
Dodaj do klasy metodę usuwającą węzeł o zadanym kluczy z drzewa BST.
Równoważenie drzwa (zadanie domowe)
Przeczytaj artykuł opisujący algorytm równoważenia drzewa DSW. Napisz własną implementację
tego algorytmu w Pythonie, używając klasy Wezel.
obiegi drzew
możliwe są następujące obiegi drzew i kolejności odwiedzania:
prefixowyLP - my, lewy syn, prawy syn
prefixowyPL - my, prawy syn, lewy syn
infixowyLP - lewy syn, my, prawy syn
infixowyPL - prawy syn, my, lewy syn
postfixowyLP - lewy syn, prawy syn, my
postfixowyPL - prawy syn, lewy syn, my
obiegi te są powiązane ciekawymi twierdzeniami:
prefixowyLP = postfixowyPL^{-1}
prefixowyPL = postfixowyLP^{-1}
infoxowyLP = infixowyPL^{-1}
Materiały zostały przygotowane na postawie m.in. Binary Search Tree library na blogu Laurenta Luce'a