Notacja, cd.:

Wykład 10
Analiza wariancji (ANOVA)
• Sposób analizy danych, gdy porównujemy więcej niż
dwie populacje/zabiegi.
• Omówimy ANOV-ę w najprostszej postaci.
• Te same podstawowe założenia/ograniczenia, co przy
teście Studenta:
W każdej populacji badana cecha ma rozkład normalny
Obserwacje są niezależne i losowe
Testujemy hipotezy o średnich w populacjach: µI
• Dodatkowe założenie – standardowe odchylenia
badanej cechy w badanych populacjach są sobie
równe (podobne) – użyjemy uśrednionego SE
Dlaczego nie stosujemy wielu
testów Studenta?
• Wielokrotne porównania: prawdopodo-bieństwo
błędu pierwszego rodzaju (odrzucenia
prawdziwej hipotezy zerowej) byłoby trudne do
kontrolowania.
• Estymacja błędu standardowego: ANOVA
wykorzystuje informację zawartą we wszystkich
obserwacjach: zwykle daje większą precyzję
obliczenia/mniejsze SE niż indywidualne testy
Studenta dla par.
• ANOVA automatycznie porównuje konfiguracje
populacji większe niż pary.
• Uwaga: ANOVA może być stosowana także
wtedy, gdy próby nie są niezależne, np. w
zrandomizowanym układzie blokowym (zasada
podobna do testu Studenta dla par). Tutaj
jednak omówimy tylko układy zrandomizowane
zupełne (=jednoblokowe).
• Cel: Testujemy hipotezy postaci:
H0: µ1 = µ2 = µ3 = … = µk
HA: nie wszystkie średnie są równe
Notacja: k = 3 zabiegi (grupy)
Zabieg 1
Zabieg 2
Zabieg 3
1
48
40
39
2
39
48
30
3
42
44
32
4
43
średnia
43
44
34
SS
42
32
46
35
• Trzy kategorie:
– wewnątrz grup,
– pomiędzy grupami,
– łącznie.
Notacja, cd.:
k : # grup (prób, zabiegów), tutaj k =
• W każdej - trzy wartości: SS, df, MS.
SS
wewnątrz
pomiędzy
łącznie
df
MS
n1, n2, n3, …, nk : rozmiary grup
(# obserwacji)
n1 =
n3 =
y1 , y2, … yk = średnie w
grupach
y1=
y3=
= całkowita średnia
y(wszystkich
obserwacji)
y=
, n2 =
,y2 =
,
,
440
= 40
11
n* = całkowita liczba obserwacji n* =
1
• Używamy i do indeksowania grup a j do
indeksowania obserwacji w każdej grupie,
np: yij .
• ∑ = ∑ oznacza sumę ``wewnątrz grupy’’:
j
• Uwzględniające wszystkie grupy
*
∑
i=1
∗
np.
∑y
y1 =
y1 =
1j
n1
k
n∗ = ∑ ni
( 48 + 39 + 42 + 43)
4
y
nie jest średnią z k średnich!
Można ją obliczyć jako
•
= (n1y1 + n2y2 + …+n3y3) / n*
y
; tutaj
n* =
∗
∑∑ y
ij
y=
n
y=
• UWAGA: Gdy rozmiary prób nie są równe
∑
oznacza sumę po grupach:
∗
(172 + 132 + 136 )
= 40
11
Wewnątrz grup: wypełniamy
drugi rząd w tabeli
Suma kwadratów wewnątrz grup (SSW):
Liczymy SS dla każdej grupy
SS1 = ∑ ( y1 j − y1 ) (SS2, SS3 , itd.)
2
SS1 = .....
SS2 = … = 32, SS3 = … = 46
• SSW
= SS∗1+SS2+…+SSk
∗
∑ SS = ∑∑ ( y
i
ij
− yi ) , tutaj SSW =....
2
• Stopnie swobody wewnątrz grup:
dfw = n* - k, tutaj dfw =...
• Średnia suma kwadratów wewnątrz grup:
MSW = SSW / dfw , tutaj MSW =...
MSW to uśredniona wariancja, np.(wykład 6):
s
2
c
S S1 + S S 2
=
n1 + n 2 − 2
• Uśrednione odchylenie standardowe
MSW , tutaj sc =...
sc =
Pomiędzy grupami: wypełniamy
pierwszy rząd tabeli
• Porównujemy średnie grupowe do całkowitej z wagą daną przez rozmiar grupy.
• Suma kwadratów pomiędzy grupami
(SSB)
∑n ( y
∗
SSB =
i
i
−y
)
2
Tutaj SSB =....
2
• Stopnie swobody pomiędzy grupami (dfb)
dfb = k – 1,
tutaj dfb = ...
• Średnia suma kwadratów pomiędzy grupami
(MSB)
MSB = SSB/dfb, tutaj MSB =...
Całkowite: wypełniamy trzeci rząd
tabeli
• Całkowita suma kwadratów (SST):
∑∑ ( y
∗
SST=
ij
−y
)
2
SST=82+12+22+…+82+52=348
• Uwaga: SST = SSW+SSB, tu 348 = 120 + 228
Zwykle nie trzeba liczyć SST z definicji!
Tablica ANOV-y (ponownie)
SS
• Całkowita liczba stopni swobody (dft)
dft = n* – 1 , tutaj
dft =
df
MS
Between
• Uwaga: dft = dfb+dfw , tutaj
10 = 2 + 8
Within
puste
Total
Ta tabela będzie dostępna na
kolokwium i egzaminie:
SS
df
MS
SSB=
dfb = k – 1
SSB/dfb
dfw = n* – k
SSW/dfw
Test F (Fishera)
• Założenia (jak w ANOV-ie):
Pomiędzy
∑n (y
∗
i
Wewnątrz
−y
i
)
SSW=
∗
∗
∑ SS = ∑∑ ( y
i
Całkowite
2
ij
− yi )
SST=
2
• Dane dla k ≥ 2 populacji/zabiegów są
niezależne
• Dane w każdej populacji mają rozkład
normalny ze średnią µi (dla populacji I), oraz z
tym samym odchyleniem standardowym σ
dft = n* – 1
∑∑ ( y
∗
ij
−y
)
2
3
•
Testujemy
H0: µ1 = µ2 = µ3 = … = µk
(wszystkie średnie są sobie równe)
przeciwko
HA: nie wszystkie średnie są sobie równe
•
HA jest niekierunkowa, ale obszar odrzuceń
będzie jednostronny (duże dodatnie wartości
statystyki)
•
Kroki:
Obliczenie tabeli ANOV-y
Testowanie
Jak opisać F test
Zdefinować wszystkie µ
H0 podać za pomocą wzoru i słownie
HA tylko słownie
Statystyka testowa Fs = MSB/MSW
Przy H0, Fs ma rozkład F Snedecora ze
stopniami swobody (dfb, dfw)
• Na slajdach podane są wartości krytyczne z
książki D.S. Moore i G. P. McCabe
„Introduction to the Practice of Statistics”
• „numerator df” = dfb, „denominator df” = dfw.
•
•
•
•
•
4
• Odrzucamy H0 , gdy zaobserwowane
Fs > Fkrytyczne
• Przykładowy wniosek: „Na poziomie
istotności α (nie) mamy przesłanki, aby
twierdzić, że grupy różnią się poziomem
badanej cechy.”
• H0: µ1 = µ2 = µ3 ; średni poziom
serotoniny nie zależy od dawki Paxilu
• HA: średni poziom serotoniny nie jest
ten sam we wszystkich grupach (albo
średni poziom serotoniny zależy od
dawki Paxilu).
• Zastosujemy F-Test
• Fs = MSB / MSW przy H0 ma rozkład...
•
•
•
•
Testujemy na poziomie α = 0.05.
Wartość krytyczna F.05 = ...
.
Obserwujemy Fs =...
Wniosek:...
• Przykład: Losową próbę 15 zdrowych
mężczyzn podzielono losowo na 3 grupy
składające się z 5 mężczyzn. Przez tydzień
otrzymywali oni lekarstwo Paxil w dawkach 0,
20 i 40 mg dziennie. Po tym czasie zmierzono
im poziom serotoniny.
• Czy Paxil wpływa na poziom serotoniny u
zdrowych, młodych mężczyzn ?
Niech µ1 będzie średnim poziomem serotoniny
u mężczyzn przyjmujących 0 mg Paxilu.
Niech µ2 będzie średnim poziomem serotoniny
u mężczyzn przyjmujących 20 mg Paxilu.
Niech µ3 będzie średnim poziomem serotoniny
u mężczyzn przyjmujących 40 mg Paxilu.
Dawka
0mg
20mg
40mg
48,62
49,85
58,60
72,52
68,59
78,28
n
srednia
64,22
62,81
62,51
5
57,60
66,72
80,12
68,44
5
69,28
82,77
76,53
72,33 suma
5
75,70
SS(w)
SS(b)
235,87
492,64
249,31
15,36
Tablica ANOV-y
Between
Within
Total
SS
df
119,29
334,03
15
67,53
604,47
842,02
MS
Na jakiej zasadzie to działa ?
Dla przypomnienia:
• Statystyka testu Studenta ma w liczniku
różnicę między średnimi (y1-y2)
• Tę dzielimy przez miarę rozrzutu tej
różnicy (SEy1-y2 )
• Jeżeli (y1-y2) jest duże w porównaniu do
błędu standardowego, to statystyka testu
Studenta jest duża i odrzucamy H0.
5
Dla testu F:
• W liczniku mamy „uśredniony kwadrat
różnicy między średnimi” (MSB)
• W mianowniku mamy oszacowanie
zróżnicowania w obserwacji (MSW)
• Jeżeli MSB jest duże w porównaniu do
MSW, to statystyka testu F jest duża i
odrzucamy H0.
• Test F jest analogiczny do testu Studenta.
Umożliwia jednoczesne porównanie
dowolnej liczby średnich.
• Test F można stosować również, gdy mamy
tylko dwie próby. Wtedy:
Statystyka testu F dla dwóch prób jest równa
kwadratowi statystyki Studenta (przy (U)SE).
Decyzje i p-wartości są dokładnie takie same
dla obu testów.
6