Analiza wytrzymałościowa konstrukcji Metodą

Analiza wytrzymałościowa konstrukcji Metodą

FEM
Finite Element Method
czyli modelowanie
Metodą Elementów Skończonych
(MES)
Opracował: Zbigniew Rudnicki
MODEL
Model to uproszczona reprezentacja rzeczywistego obiektu – w
naszym przypadku: konstrukcji mechanicznej lub jej części.
Model nie reprezentuje wszystkich cech oryginału a jedynie te,
które jego twórca (inżynier) uzna za najbardziej istotne,
dlatego pamiętaj:
1. Ty poniesiesz odpowiedzialność za dobór właściwego lub
niewłaściwego modelu
2. Wszelkie wyniki uzyskane z modelu są przybliżone i mogą być
obarczone błędem
3. Żaden model nie pozwoli uzyskać pełnej wiedzy o obiekcie
1
Modele Matematyczne
Model matematyczny używa języka matematyki
(stałych, zmiennych, wyrażeń, równań, nierówności)
do opisu działania oryginału.
Modele matematyczne mogą być m.in. klasyfikowane na:
1) ANALITYCZNE i NUMERYCZNE
2) LINIOWE (np.: odkształcenia sprężyste) i NIELINIOWE
3) DETERMINISTYCZNE i PROBABILISTYCZNE
(stochastyczne)
4) STATYCZNE (brak zależności od czasu, równania algebraiczne)
i DYNAMICZNE (reprezentowane przez równania rózniczkowe).
5) O parametrach SKUPIONYCH lub ROZŁOŻONYCH
(zmieniających się w przestrzeni – wymagają one równań
różniczkowych cząstkowych)
Uproszczenia w modelowaniu
Jeśli jest to dopuszczalne to zamiast zaawansowanych modeli:
• nieliniowych (z charakterystykami krzywoliniowymi)
• dynamicznych (zależnych od czasu)
• z rozłożonymi parametrami (zmieniającymi się w przestrzeni)
staramy się stosować modele prostsze:
• liniowe (w określonym zakresie zmienności)
• statyczne (w stanie równowagi lub przy założeniu b. wolnych
zmian)
• ze stałymi parametrami
To ty – inżynier - decydujesz i ponosisz
odpowiedzialność w kwestii: CZY TAKIE
UPROSZCZENIA SĄ DOPUSZCZALNE I W
JAKIM ZAKRESIE ?
2
Modele analityczne i numeryczne
Modele analityczne:
- obliczanie od razu dokładnych wartości zmiennych
przy pomocy podanych wzorów (procedura liniowa)
Modele numeryczne:
- wyznaczanie przybliżonych wartości zmiennych
metodą kolejnych przybliżeń (procedury iteracyjne)
Analiza Numeryczna
- rozwiązywanie ciągłych problemów matematycznych
środkami matematyki dyskretnej (np.: wyznaczanie
poszczególnych punktów linii ciągłych).
Metody numeryczne są bardzo przydatne ponieważ dla
większości rzeczywistych problemów albo brak
metod analitycznych albo są one zbyt złożone
3
Metoda Elementów Skończonych
Jest jedną z metod numerycznego (a więc
przybliżonego) rozwiązywania problemów
opisywanych dużymi układami równań
różniczkowych.
Są to przeważnie problemy w których występują
pola wektorowe na przykład:
• pola sił, naprężeń, odkształceń, przyspieszeń
- w układach mechanicznych,
• pola elektromagnetyczne
• pola gradientów temperatur i przepływu ciepła,
• pola ciśnień i przepływów - w mechanice płynów
Zarys historii FEM czyli MES
MES opracowano w latach 50-tych XX wieku dla analizy
konstrukcji w przemyśle lotniczym.
Ważne nazwiska to:
Richard Courant - niemiecki i amerykański matematyk
pochodzący z rodziny żydowskiej wywodzącej się z Polski opracował teoretyczne podstawy stosowanych już od
pewnego czasu metod inżynierskich
Prof. Olgierd Cecil Zienkiewicz z Uniwersytetu Walijskiego
(syn Polaka) - główny popularyzator MES
Metoda zaczęła być coraz powszechniej stosowana wraz z
rozwojem komputerów.
4
Istota MES
Kontinuum przestrzenne (np. konstrukcja) jest zastępowane
zbiorem małych elementów, połączonych wzajemnie
węzłami.
Im większa zmienność i wymagana dokładność tym
mniejsze powinny być elementy i tym ich więcej
Jednak wzrost liczby elementów zwiększa bardzo liczbę
równań.
Liczba równań to iloczyn =
liczba elementów * liczba węzłów w każdym elemencie
* liczba stopni swobody w każdym węźle
Przykład:
5
Kilka typów elementów skończonych
• jednowymiarowe
• dwuwymiarowe
(powłokowe)
• trójwymiarowe
(bryłowe)
Rzeczywiste elementy konstrukcji
i ich modele MES (FEM)
• belka
• płytka
6
Programy
Zestawy programów komputerowych dla metody
elementów skończonych składają się zazwyczaj z
trzech części:
• preprocesora - do definiowania geometrii oraz
własności modelu MES
• procesora nazywanego też solverem wykonującego obliczenia (na macierzach),
• postprocesora, służącego do graficznej prezentacji
i analizy uzyskanych wyników.
Profesjonalne programy FEM
Istnieje bardzo wiele drogich profesjonalnych
pakietów FEM. Do bardziej znanych
należą:
• ANSYS
• ABAQUS
• FEMAP + NASTRAN
• COSMOS
• i wiele innych
7
Tanie lub darmowe programy FEM
Istnieją darmowe "wersje treningowe" (czasem zwane
"demo") a nawet wersje pełne. Wiele z nich można
pobrać z Internetu, patrz:
(http://www.bookcase.com/library/software/win9x.undef.
engineering.html) np.:
• prosty i łatwy w użyciu program shareware do obliczania
ram o nazwie ANALYSIS
• bardzo dobry (choć trudniejszy) AMSES FRAME-2D
W laboratorium WIMiR AGH:
- jest FEMAP współpracujący z NE/NASTRAN
Uwaga: istnieje wiele programów o nazwie Nastran
(z konkursu NASA), ten jest z firmy Noran Engineering (NE)
FEMAP to preprocesor i postprocesor:
• preprocesor - bo tworzy się w nim model MES,
• gotowy model trzeba przesłać go do solvera czyli „procesora”- na
przykład NE/NASTRAN’a, celem rozwiązania
układu tysięcy równań,
• wyniki z NE/Nastran’a wracają do FEMAP’a - tym razem jako
postprocesora, który pozwala je prezentować i analizować na
różne sposoby - wyświetla wykresy, warstwice, animacje, ...
8
Rozważane modele MES
W ramach niniejszych zajęć uwzględniane są jedynie
modele konstrukcji mechanicznych, które są:
• statyczne - a więc w stanach równowagi, bez
uwzględniania przebiegów czasowych,
• liniowe - czyli w zakresie odkształceń sprężystych
proporcjonalnych do naprężeń,
• przyjmujące założenie jednorodności materiałów,
a więc niezależności stałych materiałowych od
współrzędnych przestrzennych (stałe skupione).
Z.Rudnicki
17
Etapy modelowania FEM (modele statyczne liniowe)
1) Zdefiniowanie własności materiałowych - MATERIAL
(wartość modułu Young’a i współczynnika Poisson’a)
2) Zbudowanie modelu geometrycznego - GEOMETRY
3) Wybór rodzaju elementów skończonych - PROPERTY
(np.: belka, płyta, kostka)
4) Podział geometrii na wybrane elementy - MESH = siatka
5) Zdefiniowanie więzów (umocowania) - CONSTRAINTS
6) Zdefiniowanie obciążeń (siły, momenty, ..) - LOADS
7) Wykonanie obliczeń (rozwiązanie układu równań) - SOLVE
8) Wizualizacja i analiza wyników - POSTPROCESSING
9
Przykład - zginanie belki
(o jednym końcu zamurowanym a drugim obciążonym)
Z.Rudnicki
19
Zginanie belki c.d. Krok 1: MATERIAL - definiujemy materiał:
Możemy kliknąć LOAD
i wybrać materiał z
biblioteki, ale jego
moduł Younga jest tam
podany w jednostkach
PSI czyli funt na cal
kwadratowy
Z.Rudnicki
20
10
UWAGA !!!
Użytkownik musi sam dbać o właściwe jednostki miar.
FEMAP nie pomoże.
Mianowicie:
• jeśli moduł Younga dla stali wynosi 29 000 000 to znaczy, że jest
on w jednostkach PSI - Pound per Square Inch (funt na cal
kwadratowy) - wtedy wymiary trzeba podawać w calach (inch)
a obciążenie w funtach (pound)
• jeśli natomiast chcemy używać milimetrów i newtonów to
moduł Younga trzeba podać w MPa czyli megapascalach
(dla stali w przybliżeniu 200 000)
Z.Rudnicki
21
Krok 2 GEOMETRY - definiowanie geometrii
Nasz model geometryczny powinien zgadzać się z
typami wybranych elementów skończonych.
Dlatego powinniśmy znać podstawowe typy
elementów oraz ich przeznaczenie i stany
naprężeń jakie można przy ich pomocy
analizować.
FEMAP pozwala importować modele geometryczne
utworzone w programach CAD lub budować
model geometryczny od podstaw, dając
narzędzia do tworzenia punktów, linii,
powierzchni i brył.
Komendy dotyczące tych elementów można
wybierać albo z menu Geometry czy z prawego
paska narzędzi albo z palety "Toolbox", którą
można wywołać z menu Tools
Z.Rudnicki
22
11
Krok 2 GEOMETRY - definiowanie geometrii c.d.
a) Definiujemy punkty końce belki z menu:
Geometry-Points
b) Auto- skaluje CTRL-A
Uwaga:
Zatwierdza OK.,
ale Femap powtarza
żądania więc kończymy
przez: CANCEL
Z.Rudnicki
23
Krok 2 GEOMETRY - definiowanie geometrii c.d..
c) Definiujemy odcinek linii z menu: Geometry- Curve - Line - Points,
na żądanie wskazania punktu początkowego (From Point) i końcowego (To Point)
klikamy myszką już zdefiniowane punkty:
Z.Rudnicki
24
12
Krok 3: PROPERTY - rodzaj elementów skończonych
Rodzaje elementów skończonych
(np.: belka, powłoka, bryła)
dobieramy zależnie od kształtów
badanego obiektu ale także
zależnie od stanu naprężeń jakim
badana konstrukcja jest
poddawana - np.: czy tylko
osiowe rozciągania i ściskanie,
czy zginanie itp
Każdy rodzaj elementów ma
bowiem określony zakres
zastosowań.
Na przykład element typu „ROD”
czyli pręt może być stosowany
gdy nie ma zginania i ścinania
a jedynie rozciąganie, ściskanie
i skręcanie
Z.Rudnicki
25
Krok 3: PROPERTY - rodzaj elementów skończonych c.d.
a) Wybieramy rodzaj
elementów skończonych
z menu:
Model -Property
- decydujemy się
na belkę - BEAM.
Wpisujemy nazwę np.:
„Belka1” w rubryce Title,
oraz wybieramy
zdefiniowany już materiał
w rubryce Material.
Z.Rudnicki
26
13
Krok 3: PROPERTY c.d. - Definiowanie przekroju belki
Wprawdzie belka to model
jednowymiarowy (kreska),
ale sztywność belki zależy od
kształtu i wymiarów jej
przekroju poprzecznego.
FEMAP pozwala wybrać jeden z
wielu możliwych kształtów
(np..: pręt, rura, płaskownik,
kątownik, ceownik,
dwuteownik, ....) oraz
zdefiniować jego rozmiary
Ważny jest kierunek osi Y, który
potem skoordynujemy z
pionem.
Z.Rudnicki
27
Krok 3: PROPERTY c.d. - Definiowanie przekroju belki
b) Dla naszej belki
wybierzemy przekrój
typu T,
wpisując wymiary
i ustawiając
odpowiednio
oś Y:
Z.Rudnicki
28
14
Krok 4 - MESH - podział na elementy
Model geometryczny (w naszym przypadku odcinek prostej)
zostanie automatycznie podzielony na elementy skończone
i łączące je węzły. Najpierw określamy domyślny rozmiar
elementu (Mesh - Mesh Contol - Default Size) równy 1 cal.
Z.Rudnicki
29
Krok 4 - MESH - podział na elementy c.d.
Następnie wybieramy z menu: Mesh - Geometry Curve i klikamy utworzoną już linię:
Z.Rudnicki
30
15
Krok 4 - MESH - podział na elementy c.d.
W następnym okienku wybieramy odpowiedni
PROPERTY (rodzaj elementów) z już zdefiniowanych,
i sprawdzamy czy zaznaczona jest opcja „Elements and
Nodes” rozkazująca generować elementy i węzły.
Z.Rudnicki
31
Krok 4 - MESH - podział na elementy c.d.
Pojawi się okno definiowania kierunku w jakim ma być
ustawiona oś Y przekroju porzecznego belki
Z.Rudnicki
32
16
Krok 4 - MESH - podział na elementy c.d.
Po ustaleniu i zatwierdzeniu kierunku ustawienia przekroju
belki pojawi się dokonany podział na elementy i węzły.
Obraz powiększono przyciskiem (+)
Z.Rudnicki
33
Oglądanie belki
Aby sprawdzić
poprawność
ustawienia belki
naciskamy klawisz
[F6] i wybieramy
opcje:
- Element
Orientation/Shape
oraz
- Show Cross Section
Z.Rudnicki
34
17
Oglądanie belki c.d.
Następnie
naciskamy
[F8] (lub
View Rotate) i
ustalamy
widok
Isometric.
Klikamy
przycisk z
symbolem
sześcianu
i ustalamy:
Rendered
Solid
Z.Rudnicki
35
Krok 5 - CONSTRAINTS - Więzy
Wracamy do poprzedniego widoku i chcemy utwierdzić
pierwszy węzeł (belka zamurowana w ścianie):
a) Model - Constraint - Nodal - klikamy węzeł 1
Z.Rudnicki
36
18
Krok 5 - CONSTRAINTS - Więzy c.d.
Po wybraniu węzła (lub węzłów) i zatwierdzeniu,
określamy jakie stopnie swobody (DOF = Degree
of Freedom) mają im być odebrane.
Dla utwierdzonego końca belki (Fixed) odbierane są
wszystkie stopnie swobody:
Z.Rudnicki
37
Krok 6 - LOADS - Obciążenia
Obciążenie węzła (drugiego końca belki): Load - Nodal określamy jako siłę Fy=-200 funtów:
Z.Rudnicki
38
19
Krok 7 - SOLVE - Obliczenia
Teraz już możemy model zapisać do pliku i wysłać do obliczeń do
Nastrana: File-Export-Analysis Model:
Z.Rudnicki
39
Krok 8 - Postprocessing - Wyniki
Po zakończeniu obliczeń (bez „Fatal errors”) wyniki wracają do FEMAP’a (lub
trzeba je zaimportować : File-Import-Analysis Results) a następnie nacisnąć
klawisz [F5] oraz przycisk „Deformed and Contour Data” i wybrać wyniki:
Z.Rudnicki
40
20
Krok 8 - Postprocessing - Wyniki c.d.
W oknie „Select Postprocessing Data” trzeba wybrać właściwy zbiór wyników czyli
Output Set.
W oknie tym możemy wybrać dwie wielkości wynikowe (Output Vectors),
• jedną, która będzie prezentowana w postaci deformacji (odkształceń) - Deformation
(na przykład Total translation - całkowite przemieszczenie lub T2 translation - czyli
w przemieszczenie kierunku Y)
• drugą prezentowaną przy pomocy kolorów (np. warstwic) - Contour.
Oczywiście wybieramy wielkości różne od zera !! - patrz Value
Wybór możemy poprzedzić wybraniem kategorii - Category:
•
•
•
•
•
•
•
Any Output - wszystkie
Displacement - przemieszczenia
Velocity/Accel - prędkości/przyspieszenia
Force - siły
Stress - naprężenia
Strain - odkształcenia
Temperature - temperatury
Z.Rudnicki
41
Krok 8 - Postprocessing - Wyniki c.d.
W oknie prezentującym wyniki ważne są przełączniki umieszczone z
prawej strony linii u dołu ekranu - rys.8.3. - a mianowicie:
• Prop: - Property - wybór typu el. skończonych (jesli zdefiniowano
więcj niz jeden),
• Ld: - Loads - wybór konkretnego zbioru obciążeń ( - '' - ),
• Con: - Constraints - wybór zbioru więzów kinemat. ( - '' - ),
• Grp: - Group - wybór grupy (jesli jakieś zdefiniowano),
• Out: - Output set - wybór zbioru wyników (gdy jest wiecej niż jeden),
• Off - możliwość włączenia opcji: Interactively Query Nodes lub
Interactively Query Elements, która pozwoli wyświetlać wybrane już
(j.w.) wyniki dla węzłów (lub elementów) wskazywanych myszką tak
jak to pokazano na kolejnych rysunkach
Z.Rudnicki
42
21
Postprocessing c.d. - Wyświetlanie wyników dla
wskazanych węzłów lub elementów
Opcje „Interactively Query Nodes” lub „Interactively Query Elements”,
pozwolą wyświetlać wybrane już (j.w.) wyniki dla węzłów (lub
elementów) wskazywanych myszką.
Z.Rudnicki
43
Postprocessing c.d. - Wykres momentów gnących
Aby oglądać wykres momentów gnących trzeba wybrać:
Contour Style: Beam Diagram oraz wektor BEAM MOMENT A-Z PLANE 1
Z.Rudnicki
44
22
Postprocessing c.d. - Wykres naprężeń
Wykres naprężeń - też jako Beam Diagram - można uzyskać np.:
dla BEAM SA-MAX:
Z.Rudnicki
45
Postprocessing c.d. - Deformacje, naprężenia, wyniki liczbowe
Dla płytki możemy na przykład oglądać deformację oraz warstwice
(contour map) naprężeń głównych w płaszczyźnie XY, które
pokażą gdzie jest najsilniejsze rozciąganie oraz ściskanie.
Wyniki liczbowe można uzyskiwać komendami z menu LIST.
Z.Rudnicki
46
23
Przykłady
Z.Rudnicki
47
Kratownica
Musimy zdecydować czy węzły są przegubowe (TRUSS - kratownica z prętów) czy
połączone sztywno (FRAME - rama z belek spawanych).
Na szkicu ponumeruj węzły i sporządz tabelę ich współrzędnych.
Dla ramy - po zdefiniowaniu geometrii trzeba zdefiniować typy belek.
Po wygenerowaniu siatki wybierz z menu Tools - Check - Coincident Nodes
a następnie zaznacz pole Merge coincident nodes
Z.Rudnicki
48
24
Wizualizacja ugięcia kraty K3
Z.Rudnicki
49
Rys.18. Postać odkształcenia kraty po zerwaniu krzyżulca
Z.Rudnicki
50
25
Rys.12.
Rys.13
Przykładowe
wykresy momentów
gnących i sił
osiowych dla
kratownicy K3
Z.Rudnicki
Momenty gnące
51
Siły osiowe
Rys.20. Redystrybucja sił
wewnętrznych po
zerwaniu krzyżulca
przypodporowego
Z.Rudnicki
Siły poprzeczne
52
26
Przykład: model skrzydła samolotu
(elementy, węzły, więzy, obciążenia)
Skrzydło samolotu - wyniki analizy:
- deformacje (powiększone) i naprężenia Von Mises’a
27
Stany naprężeń
Modele MES - tak jak i inne modele - dają wyniki przybliżone i na
tyle prawdziwe na ile słuszne są założenia - w szczególności
dotyczące sposobu zamocowania i obciążenia. Skoro tak to w
wielu przypadkach nie opłaca się stosować elementów bryłowych
lecz przyjmuje się prostsze elementy - zależnie od kształtu i
stanu naprężeń. W szczególności wyróżnia się analizę:
• jednoosiowego stanu naprężeń (tylko rozciągania lub ściskania),
• zginania belek o różnych profilach (szyn, rur, płaskowników, ...),
• kratownic i ram płaskich,
• kratownic i ram przestrzennych,
• płaskiego stanu naprężeń i odkształceń,
• zginania elementów płaskich (płytek),
• powłok przestrzennych (np. zbiorników),
• brył trójwymiarowych.
28