{N(t),t ≥ 0} wszędzie oznacza proces Poissona o inte

Proces Poissona
Jeśli nie jest wyraźnie powiedziane, że jest inaczej, {N (t), t ≥ 0} wszędzie
oznacza proces Poissona o intensywności λ. Pozostałe oznaczenia też takie
jak na wykładzie i w skrypcie.
1. Udowodnić MPWL dla procesu Poissona:
lim
t→∞
N (t)
= λ prawie na pewno.
t
Wskazówka: Z kursu rachunku prawdopodobieństwa wiadomo, że MPWL
zachodzi dla ciągu czasów Wi , czyli limn→∞ Tn /n = . . . (???)
2. Udowodnić CTG dla procesu Poissona:
N (t) − λt
√
= N (0, λ) według rozkładu.
t→∞
t
lim
Wskazówka: Obliczyć funkcję tworzącą momenty.
3. Znaleźć rozkład warunkowy T1 dla T2 = t.
4. Ogólniej, znaleźć rozkład warunkowy wektora (T1 , . . . , Tn ) dla Tn+1 = t.
5. Niech U1 , . . . , Un będą iid o rozkładzie jednostajnym U (0, t), zaś U1:n ≤
U2:n ≤ · · · ≤ Un:n oznacza statystyki pozycyjne. Znaleźć rozkład wektora (U1:n , U2:n , . . . , Un:n ). Porównać z zadaniem poprzednim.
6. Załóżmy, że t > 0 jest ustalone i nielosowe. Wiadomo, jaki ma rozkład
TN (t)+1 − t, czyli czas oczekiwania na najbliższe „zdarzenie” po momencie t. Trochę trudniej obliczyć rozkład t−TN (t) , czyli czas od ostatniego
„zdarzenia” przed momentem t.
(a) Obliczyć E(TN (t)+1 − t) (odpowiedź jest oczywista!)
(b) Obliczyć E(t − TN (t) ) (odpowiedź nie jest oczywista!)
Wskazówka: Uwarunkować: najpierw obliczyć E(t − Tn |N (t) = n).
Uwaga: Przyjmujemy tutaj, że T0 = 0. W rezultacie, jeśli przed T nie
było ani jednego „zdarzenia”, to sztucznie przyjmujemy że momentem
ostatniego zdarzenia było 0.
1