OPRACOWANIE I PREZENTACJA WYNIKÓW POMIARÓW

1
OPRACOWANIE I PREZENTACJA WYNIKÓW POMIARÓW
Opracowanie danych pomiarowych ma na celu wstępne przygotowanie danych do
analizy i prezentacji. Mogą to być proste działania, takie jak: zaokrąglanie liczb,
sortowanie danych, normalizacja, odrzucanie anomalnych wyników, łączenie dwóch lub
większej liczby niezależnych pomiarów pojedynczej wielkości fizycznej. Bardziej
zaawansowana obróbka może polegać na wyznaczaniu zależności funkcyjnej pomiędzy
mierzonymi wielkościami, uśrednianiu danych pomiarowych, kompresji danych.
Zobrazowanie danych pomiarowych w formie graficznej ułatwia ich percepcję przez
człowieka. Zobrazowanie przybiera postać różnorodnych wykresów dwu- i
trójwymiarowych, wykonanych często z użyciem kolorów. W trakcie prezentacji
publicznych stosowana jest też animacja, polegająca na dynamicznym generowaniu
wykresów na ekranie.
Obróbka i zobrazowanie danych pomiarowych mogą być obecnie realizowane za
pomocą wygodnych narzędzi komputerowych o bardzo dużych możliwościach
obliczeniowych i graficznych. Złożone algorytmy numeryczne stają się dostępne i łatwe
w użyciu, nawet bez dogłębnej znajomości aparatu matematycznego. W niniejszym
rozdziale zawarto przykłady zastosowania do obróbki danych pomiarowych,
popularnego w wielu środowiskach akademickich na świecie, programu Matlab firmy
The MathWorks.
1. Podstawowe zasady przedstawiania wyników pomiarów
Jako regułę podawania wyników pomiarów zaleca się stosowanie konwencji
ustalającej związek pomiędzy niedokładnością pomiaru a formą zapisu jego wyniku,
uwzględniającą liczbę cyfr znaczących.
Cyframi znaczącymi przyjęto nazywać wszystkie cyfry liczby, poczynając od
pierwszej cyfry niezerowej znajdującej się na pozycji najwyższego rzędu dziesiętnego.
Liczba 0.00307 ma trzy cyfry znaczące: 3, 0 i 7; liczba 0.003070 ma cztery cyfry
znaczące: 3, 0, 7 i 0. Zaleca się zapisywać liczby w postaci wykładniczej, w której
mantysa zawiera tylko cyfry znaczące. Tak więc liczbę 0.00307 należy zapisać jako
3. 07 ⋅10−3 , liczbę 0.003070 zaś jako 3. 070 ⋅10−3 . Ostatnia cyfra znacząca w każdym
wyniku powinna być tego samego rzędu (stać na tym samym miejscu dziesiętnym) co
błąd pomiaru. Na przykład wynik pomiaru 8.135 V z czterema cyframi znaczącymi
wskazuje, że dokładność pomiaru jest rzędu mV. Jeżeli pomiar był wykonywany z
dokładnością 10 mV, wynik powinien być podany w postaci 8.14 V, to znaczy powinien
mieć tylko trzy cyfry znaczące. Należy przy tym stosować obowiązujące reguły
zaokrąglania liczb:
• Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza niż 5, to liczba zaokrąglona pozostaje
bez zmian.
• Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa niż 5, to do ostatniej cyfry liczby
zaokrąglonej dodaje się 1.
2
• Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr równa się 5 i między pozostałymi odrzuconymi
cyframi znajdują się cyfry niezerowe, to do ostatniej cyfry liczby zaokrąglonej dodaje
się 1.
• Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr równa się 5 i wszystkie pozostałe odrzucone cyfry
są zerami, to ostatnia cyfra liczby zaokrąglonej:
- pozostaje bez zmian, gdy jest parzysta;
- zostaje zwiększona o 1, gdy jest nieparzysta.
2. Zasady postępowania matematycznego przy opracowywaniu wyników
pomiarów
Przy opracowywaniu wyników pomiarów obowiązują następujące zasady
postępowania:
a) Obliczenia powinny być przeprowadzane na danych (wynikach pomiarów)
podawanych z ich największą dokładnością.
b) Wszystkie obliczenia przeprowadzane na danych: mnożenie, dzielenie,
potęgowanie itd. należy wykonywać do co najmniej dwóch cyfr znaczących więcej niż
zawierały pierwotne dane. Nie należy wykonywać zaokrągleń, dopóki nie uzyska się
ostatecznego wyniku obliczeń.
c) Przy mnożeniu i dzieleniu wynik należy podawać z taką samą liczbą cyfr
znaczących, jaką zawiera wynik pomiaru o najmniejszej liczbie cyfr znaczących wzięty
do obliczeń.
Można zaobserwować tendencję do łamania zasady (c) przy stosowaniu do obliczeń
kalkulatora. Rozważmy przykład niewłaściwego użycia kalkulatora do określenia
rezystancji na podstawie cyfrowych pomiarów napięcia i prądu:
R=
U
814
. V
=
= 3.493562232 kΩ .
I
2.33mA
W przykładzie tym podano wynik obliczenia rezystancji zawierający 10 cyfr
znaczących (to znaczy z dokładnością do µΩ !), podczas gdy wielkości pośrednie mają
tylko trzy cyfry znaczące. Jedynym rozsądnym sposobem jest użycie w odpowiedzi tej
samej liczby cyfr znaczących jaka występuje w wynikach pomiarów pośrednich. Zatem
obliczenia należy przedstawić następująco
R=
U
814
. V
=
= 3.49 kΩ
I
2.33mA
Rezystancja została podana z taką samą precyzją, z jaką zmierzono napięcie i prąd.
3. Wyznaczanie zależności funkcyjnej pomiędzy mierzonymi wielkościami
metodą najmniejszych kwadratów
W praktyce inżynierskiej często występuje typ eksperymentu polegający na
pomiarze wielu wartości dwóch różnych wielkości fizycznych w celu zbadania
matematycznej formuły opisującej związek pomiędzy tymi wielkościami. Jednym z
3
częstych przypadków jest ten, w którym oczekiwana relacja jest liniowa i punkty
pomiarowe powinny układać się na prostej. Stajemy wtedy przed zagadnieniem
znalezienia linii prostej y = A + Bx , która jest najlepiej dopasowana do wyników
pomiarów. Jest to równoważne znalezieniu najlepszego przybliżenia stałych A i B
opartego na danych: ( x1, y1 ),...,( x N , yN ) , gdzie N - liczba punktów pomiarowych.
Zestawiając razem wyniki pomiarów możemy skonstruować nadokreślony układ N
równań o dwóch niewiadomych A i B, który w zapisie macierzowym ma postać
y ≅ Xa
1 x1 
 y1 
1 x 
y 
2
2 
,
y =  , X = 
M M 
 M 


 
1 x N 
y N 
gdzie:
(3.1)
 A
a= 
 B
Równania (3.1) stanowią układ sprzeczny. Sprzeczność tych równań może być
spowodowana albo niedoskonałością teorii zakładającej liniową zależność, albo błędami
pomiarów, albo łącznie jednym i drugim. Możemy jednak przypuszczać, że ilościowe
poprawki do teorii i do wyników pomiarów są niewielkie, i spróbować - jeżeli nie
dokładnie, to przynajmniej w przybliżeniu - opisać wynik eksperymentu za pomocą
zależności liniowej. Do znalezienia tej zależności przydatna jest metoda najmniejszych
kwadratów. W dalszym ciągu zajmiemy się tylko rachunkową stroną teorii metody
najmniejszych kwadratów, pomijając całkowicie jej stronę probabilistyczną.
Zastosujemy przy tym wygodny i krótki rachunek macierzowy.
Metoda najmniejszych kwadratów w rozpatrywanym przypadku polega na
znalezieniu takich wartości parametrów A i B, dla których norma wektora residualnego
r = y − Xa
(3.2)
jest możliwie mała
r = y − Xa → minimum .
(3.3)
Warunek (3.3) jest równoważny warunkowi
ε= r
2
= r Tr =
N
∑ (( y − Xa) i ) 2 → minimum ,
(3.4)
i =1
który wyraża sumę kwadratów błędów poszczególnych równań układu (stąd nazwa
metody). Wielkość ε jest skalarem i jest funkcją wektora parametrów a
ε (a ) = ( y − Xa ) T ( y − Xa ) = y T y + a T X T Xa − 2y T Xa
(3.5)
4
W celu znalezienia wektora a$ minimalizującego ε(a) różniczkujemy (3.5) względem a i
przyrównujemy pochodną do zera. Zgodnie z regułami różniczkowania, dla formy
kwadratowej oraz dla iloczynu skalarnego wektorów, mamy
δε
(a$ ) = 2 X T Xa$ − 2 X T y = 0
δa
(3.6)
XT Xa = XT y
(3.7)
czyli
Jest to tzw. równanie normalne. Jego rozwiązanie daje najlepsze przybliżenie stałych A
i B. Zauważmy, że macierz tego równania X T X jest kwadratowa; jeżeli więc
det( X T X) ≠ 0 , to poszukiwany wektor parametrów a$ wyraża się wzorem
a$ = ( X T X) −1 X T y
(3.8)
Szukana prosta to y = A + Bx .
Przedstawiona analityczna metoda znajdywania linii prostej, która najlepiej pasuje
do szeregu punktów doświadczalnych, nazywana jest też metodą regresji liniowej. O
znalezionej prostej mówi się, że jest dopasowana metodą najmniejszych kwadratów lub
że jest prostą regresji zmiennych y i x (rys. 3.1).
a)
b)
y
y
( x i ,y i )
y i − ( A + Bx i ) {
x
x
Rys. 1. Ilustracja metody najmniejszych kwadratów: a) Jeżeli dwie zmienne są związane relacją
liniową i nie byłoby błędów pomiarów, to wszystkie punkty doświadczalne ( x i , yi ) leżałyby
dokładnie na prostej y = A + Bx ; b) Błędy pomiarów powodują, że punkty są rozrzucone.
Szukamy linii prostej, która najlepiej pasuje do szeregu punktów doświadczalnych.
Przykład
Za pomocą metody najmniejszych kwadratów znajdź prostą y = A + Bx , która
najlepiej pasuje do czterech punktów pomiarowych: (1,12), (2,13), (3,18), (4,19).
Rozwiązanie
Konstruujemy wektor y oraz macierz X
5
1
12
1
13
y=  X=
1
18

 
1
19
1
2
3

4
Korzystając ze wzoru (3.8) dostajemy rozwiązanie układu równań (3.1) w sensie
najmniejszych kwadratów
A   9 
a= = .
 B  2.6
Szukana prosta to y = 9 + 2.6 x .
Obliczenia według wzoru (3.8) najwygodniej przeprowadzić za pomocą programu
Matlab. Rozwiązanie zadania polega na wpisaniu do okna poleceń Matlaba tylko trzech
linijek kodu:
X=[1 1; 1 2; 1 3; 1 4]
y= [12 13 18 19]’
a=X\y
W ostatnim wierszu użyto operatora lewostronnego dzielenia macierzy, który jest
zalecanym w Matlabie sposobem rozwiązywania układów równań liniowych. Program
bada wstępnie strukturę macierzy współczynników układu, a następnie wybiera i
realizuje najlepszy dla analizowanego przypadku algorytm rozwiązania.
4. Dopasowanie wielomianu
Omówiony w poprzednim punkcie przykład należy do najbardziej podstawowej,
a zarazem najprostszej metody aproksymacji zależności pomiędzy seriami danych x i y.
Jeżeli poszukiwana zależność nie jest liniowa, to można ją często do takiej postaci
sprowadzić poprzez odpowiednią zamianę zmiennych. Na przykład: jeśli punkty
układają się w przybliżeniu wzdłuż paraboli y = A + Bz 2 , to podstawienie z 2 = x
pozwala przedstawić zależność w postaci liniowej y = A + Bx ; gdy oczekiwana
zależność
ma
postać
z = A exp(−B / T ),
(z > 0, A > 0, T ≠ 0) ,
podstawienia
ln z = y i 1 / T = x dają y = C − Bx , gdzie ln A = C .
W pewnych sytuacjach korzystne jest użycie funkcji innych rodzajów, na przykład
wielomianów. Rozpatrzmy zadanie dopasowania do wyników pomiarów wielomianu
postaci:
W ( x ) = a r x r + a r −1 x r −1 + ... + a 1 x + a 0 .
(3.9)
Mając dane wektory wyników serii pomiarów x i y wyznaczamy macierz X.
Poszukujemy wektora współczynników wielomianu a
6
 x 1r
 r
x
X= 2
L
 r
 x N
x 1r −1 L 1

x r2−1 L 1
,
L L 1

x rN−1 L 1
 ar 
a 
a =  r −1 .
L


 a0 
(3.10)
Iloczyn Xa daje wektor kolumnowy, którego elementy są wartościami wielomianu dla
poszczególnych danych xi. Szukamy takiego wektora a, aby Xa było jak najbliższe
wektorowi wyników pomiarów y. Błąd tego przybliżenia wynosi:
ε=
1
Xa − y
N
2
=
1
( Xa − y ) T ( Xa − y ) .
N
(3.11)
Dla uzyskania poszukiwanych współczynników wielomianu należy zminimalizować ten
błąd. Zadanie to jest identyczne z przedstawionym wcześniej zadaniem regresji liniowej,
stąd może być łatwo rozwiązane w środowisku MATLAB za pomocą operatora
lewostronnego dzielenia
a = X\y
(3.12)
Omówioną metodę aproksymacji za pomocą wielomianów automatyzuje funkcja polyfit,
której wywołanie ma postać:
a=polyfit(x,y,r).
Znajduje ona współczynniki wielomianu stopnia r przybliżającego najlepiej, w sensie
najmniejszych kwadratów, zależność między serią danych x oraz y.
Przykład
Dane są wyniki pomiarów wielkości y wykonane w sześciu kolejnych momentach
czasu t: t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3], y = [0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40].
Zakładając, że zależność pomiędzy wielkością mierzoną y, a czasem może być
modelowana za pomocą wielomianu
y = a 0 + a1t + a 2 t 2
wyznaczyć współczynniki a 0 , a 1 , a 2 .
Dysponujemy sześcioma równaniami z trzema niewiadomymi:
(3.13)
7
1

1
1

1
1

1
 y1 
t12 
y 
2
t2 
2
a
 0  
2


y
t3  
 ×  a1  =  3 
2
y
t4 
a   4 
2  2

y5 
t5 


t 62 
 y6 
t1
t2
t3
t4
t5
t6
Wyznaczamy macierz X
1
1

1
X=
1
1

1
0
0.30
0.80
1.10
1.60
2.30
0 
0.09
0.64

1.21 
2.56

5.29 
W wyniku rozwiązania układu równań
Xa = y
(3.14)
otrzymujemy wektor współczynników wielomianu
 0.5318 
a =  0.9191 
− 0.2387
Wielomian modelujący zależność pomiędzy wielkością mierzoną y i czasem ma postać
y = 0.5318 + 0.919 t − 0.2387 t 2 .
8
y
1 .5
1
0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
2 .5
t
Rys. 2. Przebieg funkcji aproksymującej na tle punktów pomiarowych
5. Sporządzanie wykresów zależności funkcyjnych pomiędzy mierzonymi
wielkościami
Wykonując wykresy ręcznie należy stosować papier milimetrowy. Nanosimy
najpierw układ współrzędnych wraz ze skalą liczbową na osiach. Stosunek długości obu
osi nie powinien przekraczać wartości 1:1.5. Aby wykres spełniał wymagania stawiane
inżynierskiej dokumentacji technicznej, musi być opisany symbolami użytych wielkości
i ich jednostek, powinien posiadać także podpis. Do opisu wykresów, a także rysunków
wykonanych komputerowo, zalecane jest pismo bezszeryfowe, na przykład czcionka
Ariel. Skala liczbowa na osiach wykresu (popularnie określana jako podziałka) powinna
być wykonywana tak, aby z wykresu można było dokonać odczytu z dokładnością
zbliżoną do dokładności pomiarów. Skalę można wykonać jako równomierną,
logarytmiczną, kwadratową itp. lub skalę mieszaną, np. lin-log . Najczęstszy przypadek
stanowi skala równomierna. Skala logarytmiczna jest przydatna do linearyzacji
wykresów obrazujących zależności funkcyjne typu y = x 2 (rys. 3a).
zlogarytmowaniu obu stron tego równania otrzymujemy zależność liniową
Po
log y = 2 log x .
Naniesienie wyników pomiarów na przygotowaną wcześniej skalę logarytmiczną (typu
log-log) zapewnia "automatyczną" linearyzację wykresu bez konieczności
logarytmowania (rys. 3b).
9
a)
4
b)
y
y
100
3
2
10
1
0
x
0
1
2
1
1
x
10
Rys. 3. Funkcja y = x2: a) we współrzędnych o skali liniowej,
b) we współrzędnych o skali logarytmicznej (log-log)
Do często spotykanych zależności funkcyjnych typu y = a x przydatna jest skala
logarytmiczno-liniowa (log-lin) bowiem po zlogarytmowaniu obu stron równania
otrzymujemy
log y = x log a .
Wykres log y względem x jest więc linią prostą o nachyleniu log a. Skala log-lin jest
nazywana często skalą półlogarytmiczną.
Punkty pomiarowe zaznacza się markerami o kształcie trójkąta, prostokąta, koła,
krzyża lub litery x. Poszczególne punkty pomiarowe łączy się możliwie zbliżoną do nich
linią ciągłą. Łączenie punktów linią łamaną stosowane jest wyjątkowo, np. dla wykresu
błędów miernika. Na jednym wykresie nie należy umieszczać charakterystyk o różnych
rzędnych i odciętych. W przypadku wykreślenia rodziny krzywych, należy wprowadzić
różne oznaczenia lub różne kolory dla każdej z krzywych. Oznaczenie granic błędu na
wykresach konstruowanych na podstawie pomiarów może być zrealizowane za pomocą
pionowych kresek, krzyżyków lub prostokątów błędów.
6. Zastosowanie grafiki komputerowej do wizualizacji danych
pomiarowych
Najwygodniejszym i dającym olbrzymie możliwości narzędziem do wizualizacji
danych pomiarowych są specjalizowane programy komputerowe. Należy do nich
wspomniany wcześniej program do obliczeń naukowo – technicznych Matlab. Program
ten posiada rozbudowane funkcje graficzne przeznaczone do tworzenia wykresów dwu-
10
i trójwymiarowych. Podstawę w Matlabie stanowi grafika wektorowa – tworzone obrazy
składają się z linii, punktów i wielokątów o określonych współrzędnych. Do operacji na
pojedynczych punktach rastra program oferuje zestaw funkcji grafiki rastrowej.
Użytkownik stosuje przeważnie tzw. funkcje wysokiego poziomu, które automatycznie
ustalają większość parametrów tworzonych rysunków. Dowolne kontrolowanie
szczegółów tworzonego rysunku umożliwiają funkcje niskiego poziomu,
wykorzystywane do obsługi obiektowego systemu graficznego.
Matlab umożliwia wykreślanie danych przechowywanych w wektorach – funkcja plot,
realizację wykresów w skali logarytmicznej – funkcja loglog, półlogarytmicznej –
funkcje semilogx, semilogy, sporządzanie wykresów w biegunowym układzie
współrzędnych – funkcja polar (rys. 4).
90
1
120
60
0.8
0.6
150
30
0.4
0.2
180
0
330
210
240
300
270
Rys. 4. Wykres w biegunowym układzie współrzędnych
Dane zawierające wartości zespolone można przedstawiać graficznie, wykorzystując
funkcje matematyczne wyodrębniające ich części rzeczywiste i urojone. Elementy
macierzy zespolonej można przedstawiać w postaci strzałek o wspólnym początku i grotach w punktach opisanych przez współrzędne kartezjańskie, podczas gdy wykres jest
rysowany
w
biegunowym
układzie
współrzędnych
(rys. 5.a).
90
1
10
120
60
0.8
8
6
0.6
150
30
4
0.4
2
0.2
180
0
0
-0.2
210
-0.4
330
-0.6
240
-0.8
300
270
-1
0
a)
5
10
15
b)
Rys. 5. Sposoby przedstawiania elementów macierzy zespolonej
20
11
Na innym rodzaju wykresu (rys. 5.b) elementy macierzy zespolonej są przedstawione w
postaci strzałek o początkach rozmieszczonych równomiernie na osi x; długości strzałek
są równe modułom elementów macierzy zespolonej, a kąty nachylenia strzałek – ich
argumentom.
Rysowanie wykresów trójwymiarowych umożliwia funkcja plot3, będąca
odpowiednikiem funkcji plot dla przestrzeni dwuwymiarowej. Wykres funkcji dwóch
zmiennych tworzy powierzchnię (rys. 6). Ponieważ wykreślając powierzchnię tworzymy
wykres trójwymiarowy na dwuwymiarowej płaszczyźnie, na wstępie należy
wygenerować specjalną siatkę, w tych węzłach, w których szukane są wartości funkcji
w osi z. Służy do tego funkcja meshgrid. W Matlabie mamy do dyspozycji szereg
funkcji realizujących różne warianty kolorowych wykresów trójwymiarowych, między
innymi z uwzględnieniem odbić światła, z mapą kolorów, łączeniem wykresów
powierzchniowych i poziomicowych. Możliwa jest też zmiana kierunku obserwacji
wykresu.
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
12
10
12
8
10
6
8
6
4
4
2
2
0
0
Rys. 6. Wykres powierzchniowy z siatką wygenerowaną za pomocą funkcji meshgrid
Dane dyskretne mogą być prezentowane za pomocą wykresów słupkowych,
kołowych, warstwowych (rys. 7. a, b, c). Dyskretny charakter danych można też
zaznaczyć stosując funkcję stem , która rysuje wykres odcinkowy (ang. stem – łodyga).
Dane są reprezentowane przez odcinki „wyrastające” z osi odciętych i zakończone
kółeczkami (rys. 7. d). Specjalnymi wykresami słupkowymi, wykorzystywanymi do
graficznego przedstawienia rozkładu liczebności elementów wektora są histogramy (rys.
7 e, f).
12
a)
b)
4
4%
9%
3
38%
2
17%
1
0
5
32%
10
c)
d)
25
1.5
1
20
0.5
15
0
10
-0.5
5
0
e)
-1
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-1.5
0
5
1
2
3
4
5
6
f)
90
4
120
60
3
2
150
30
1
180
0
330
210
240
300
270
Rys. 7. Sposoby prezentowania danych dyskretnych: a) wykres słupkowy, b) wykres kołowy, c)
wykres warstwowy, d) wykres odcinkowy, e) histogram w kartezjańskim układzie współrzędnych,
f) histogram w biegunowym układzie współrzędnych.