6. Pojęcie funkcji. Podstawowe pojęcia dotyczące funkcji (obraz

6. Pojęcie funkcji. Podstawowe pojęcia dotyczące funkcji
(obraz, przeciwobraz, funkcja różnowartościowa, odwrotna,
złożenie funkcji).
1
Definicja funkcji
Definicja 1. Niech X, Y będą zbiorami niepustymi. Funkcją przekształcającą zbiór X w zbiór
Y nazywamy dowolny podzbiór f ⊂ X ×Y taki, że dla każdego x ∈ X istnieje dokładnie jeden y ∈ Y
dla którego (x, y) ∈ f . Wtedy piszemy f : X → Y . Funkcję nazywamy również przekształceniem
lub przyporządkowaniem.
Inaczej, relację f ⊂ X × Y nazywamy funkcją jeśli spełnia następujące warunki:
1. ∀x∈X ∃y∈Y
(x, y) ∈ f
2. ∀x∈X ∀y∈Y ∀z∈Z
(x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f =⇒ y = z
Definicja 2. Zbiór Df ⊂ X nazywamy dziedziną funkcji f , jeżeli spełnia warunek:
x ∈ Df
⇐⇒
∃y∈Y y = f (x)
Każdy element x ∈ X nazywamy argumentem funkcji f .
Dla danego argumentu x ∈ X jedyny element y ∈ Y taki, że (x, y) ∈ f nazywamy wartością
funkcji f w punkcie x i piszemy y = f (x).
Definicja 3. Zbiór f (X) ⊂ Y nazywamy zbiorem wartości funkcji f , jeżli spełnia warunek:
y ∈ f (X)
⇐⇒
∃x∈X y = f (x)
Definicja 4. Identycznością (tożsamością) zbioru X nazywamy funkcję f : X → X taką, że
dla każdego x ∈ X mamy f (x) = x i oznaczamy idx .
Definicja 5. Monotoniczność:
Niech X ⊂ R, X 6= ∅ oraz f : X → Y .
Mówimy, że funkcja f jest rosnąca, gdy dla dowolnych x, y ∈ X takich, że x <
f (x) < f (y).
Mówimy, że funkcja f jest malejąca, gdy dla dowolnych x, y ∈ X takich, że x <
f (x) > f (y).
Mówimy, że funkcja f jest nierosnąca, gdy dla dowolnych x, y ∈ X takich, że x <
f (x) ≥ f (y).
Mówimy, że funkcja f jest rosnąca, gdy dla dowolnych x, y ∈ X takich, że x <
f (x) ≤ f (y).
2
Obraz zbioru
Definicja 6. Niech f : X → Y . Jeżeli A ⊂ X, to zbiór:
f (A) = {y ∈ Y : ∃x∈A
nazywamy obrazem zbioru A.
1
y = f (x)}
y zachodzi
y zachodzi
y zachodzi
y zachodzi
Właśność 1. Niech f : X → Y, A ⊂ X, B ⊂ X.
1. Monotonoczność: A ⊂ B ⇒ f (A) ⊂ f (B)
2. f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)
3. f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)
Przykład na to, że równość nie zachodzi:
weźmy f (x) = x2 , A = {1}, B = {−1}. Wtedy:
A ∩ B = ∅ ⇒ f (A ∩ B) = ∅
f (A) = {1} ∧ f (B) = {1} ⇒ f (A) ∩ f (B) = {1}
czyli ∅ ⊂ {1}, ale równość nie zachodzi.
4. Jeżeli f jest różnowartościowa, to f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)
5. f (A)\f (B) ⊂ f (A\B)
Przykład na to, że równość nie zachodzi:
weźmy f (x) = x2 , A = {1}, B = {−1}. Wtedy:
f (A) = {1} ∧ f (B) = {1} ⇒ f (A)\f (B) = ∅
f (A\B) = {1}
czyli ∅ ⊂ {1}, ale równość nie zachodzi.
6. Jeżeli f jest różnowartościowa, to f (A)\f (B) = f (A\B)
3
Przeciwobraz zbioru
Definicja 7. Niech f : X → Y . Przeciwobrazem zbioru C ⊂ Y nazywamy zbiór:
f −1 (C) = {x ∈ X : f (x) ∈ C}.
Właśność 2. Niech f : X → Y, C ⊂ Y, D ⊂ Y .
1. Monotonoczność: C ⊂ D ⇒ f −1 (C) ⊂ f −1 (D)
2. f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D)
3. f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D)
4. f −1 (C)\f −1 (D) = f −1 (C\D)
5. f −1 (Y \D) = X\f −1 (D)
4
Iniekcja, suriekcja, bijekcja
Definicja 8. Mówimy, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa (iniekcją), gdy dla każdego
x, y ∈ X, x 6= y zachodzi f (x) 6= f (y), czyli jeżeli funkcja różnym agrumentom przyporządkowuje
różne wartości.
W zapisie symbolicznym:
∀x,y∈X
x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y).
Mamy równoważnie:
f (x) = f (y) ⇐⇒ x = y
2
Przykład 1.
1. Funkcja liniowa f : R → R dana wzorem f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0.
2. Funkcja wykładnicza f : R → R+ dana wzorem f (x) = ax , gdzie a 6= 1, a > 0.
Definicja 9. Niech f : X → Y . Jeżeli zbiór wartości funkcji f jest równy zbiorowi Y , to mówimy,
że funkcja jest suriekcją ("na").
W zapisie symbolicznym:
∀y∈Y ∃x∈X
Przykład 2.
f (x) = y.
+
1. Funkcja logarytmiczna f : R → R dana wzorem f (x) = ln x.
2. Funkcja f : R → {1} dana wzorem f (x) = 1.
Definicja 10. Funkcję f nazywam bijekcją (wzajemnie jednoznaczną), gdy jest iniekcją i
suriekcją.
5
Złożenie funkcji
Definicja 11. Jeżeli f : X → Y oraz g : Z → W są funkcjami oraz f (X) ⊂ Z, to funkcję
h : X → W określoną wzorem h(x) = g(f (x)) dla x ∈ X nazywamy złożeniem (superpozycją)
funkcji f i g i oznaczamy g ◦ f . Wtedy funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję g zewnętrzną złożenia g ◦ f .
Właśność 3. Niech f : X → Y, g : Z → W, f (X) ⊂ Z.
1. Jeżeli f i g są funkcjami różnowartościowymi, to g ◦ f jest funkcją różnowartościową.
Istotnie:
∀x,y∈X x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y) =⇒ g(f (x)) 6= g(f (y)).
2. Jeżeli funkcje f : X → Y i g : Y → W są odwzorowaniami "na", to g ◦ f : X → W jest
odwzorowaniem "na".
3. Jeżeli funkcje f : X → Y i g : Y → W są wzajemnie jednoznaczne, to g ◦ f : X → W jest
wzajemnie jednoznaczne.
4. Jeżeli f i g są funkcjami rosnącymi (niemalejącymi), to g ◦ f jest funkcją rosnącą (niemalejącą).
Istonie. Niech f : (a, b) → (c, d), g : (c, d) → R będą funkcjami rosnącymi. Wtedy:
∀x,y∈(a,b) x < y =⇒ f (x) < f (y) =⇒ g(f (x)) < g(f (y)).
6
Funkcja odwrotna
Definicja 12. Mówimy, ze funkcja f : X → Y jest odwracalna, gdy istnieje funkcja g : Y → X
taka, że dla każdego (x, y) ∈ X × Y zachodzi
y = f (x) =⇒ x = g(y).
Wtedy funkcję g nazywamy odwrotną do f i oznaczamy f −1 .
Wprost z definicji mamy:
1. Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.
2. Funkcja f : X → Y jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja f −1 : Y → X
taka, że:
∀x∈X (f −1 ◦ f )(x) = x
∀y∈Y (f ◦ f −1 )(y) = y
Przykład 3. Znajdziemy funkcję odwrotną do funkcji f : R → R danej wzorem f (x) = 2x + 1.
Wyznaczmy x w zależności od y: y = 2x + 1 =⇒ x = 21 (y − 1). Zatem f −1 (x) = 12 (x − 1).
3