Regresja liniowa – klasyczna (metoda najmniejszych kwadratów)

Regresja liniowa – klasyczna
(metoda najmniejszych kwadratów)
Jeżeli pomiędzy dwiema wielkościami fizycznymi występuje zależność
liniowa (a niemal zawsze może tak być, wystarczy tylko odpowiednio dobrać
osie wykresu) regresja liniowa jest prostą metodą wyznaczenia parametrów
najlepiej dopasowanej prostej. Uzyskane parametry dopasowania mogą
następnie służyć do wyznaczenia szukanej wielkości fizycznej.
Parametry prostej określonej równaniem y = ax + b możemy wyznaczyć
przy użyciu wzorów:
∑
∑ ∑
̅
∑
(∑ )
̅
gdzie:
(∑
∑
)
– wartości doświadczalne;
n – liczba wykonanych pomiarów.
Błędy wyznaczonych wielkości a i b określone są wzorami:
√
[∑
(
∑
)[ ∑
√
∑ ]
(∑ ) ]
∑
W celu obliczenia parametrów regresji liniowej, można sporządzić
poniższą tabelę, co ułatwi obliczenia.
2
2
Lp.
x
y
xy
x
1
x1
y1
x1 y1
x1
2
x2
y2
x2 y2
x2
3
x3
y3
x3 y3
x3
xn
yn
xn yn
xn
yn
∑
∑
∑
∑
y
2
2
y1
2
2
y2
2
2
y3
…
n
Sumy
(∑
∑
2
2
)
∑
∑
Alternatywnym sposobem na obliczenie sum jest skorzystanie z
następujących równań:
∑
(∑ )
(
)
∑
∑
∑
∑
(
)(
)