Egzamin pisemny z rachunku prawdopodobie«stwa rok 1997/1998

Egzamin pisemny z rachunku prawdopodobie«stwa
rok 1997/1998
egzaminator: Wo jciech Sªomczy«ski
przedmiot semestralny
I termin
zad.1.
A i B graj¡ w ko±ci standardow¡ kostk¡ sze±cienn¡. Gracz A rzuca dwukrotnie, za± B tylko raz. Gracz B wygrywa, gdy wyrzuci liczb¦ oczek jednocze±nie
mniejsz¡ od wi¦kszej z liczb wyrzuconych przez A i wi¦ksz¡ od mniejszej z tych
liczb. W przeciwnym wypadku wygrywa gracz A. Ile wynosi prawdopodobie«stwo
wygranej gracza B?
zad.2.
Przy okr¡gªym stole zasiadªo w sposób losowy trzech zyków, dwóch matematyków i jeden informatyk. Jaka jest oczekiwana liczba zyków siedz¡cych pomi¦dzy
matematykami po tej stronie stoªu, po której nie siedzi informatyk?
zad.3.
W urnie s¡ cztery kule. Ka»da z nich, z równym prawdopodobie«stwem,
mo»e mie¢ kolor czerwony lub zielony. Losuj¡c n razy (ze zwracaniem) kule z urny
wylosowali±my za ka»dym razem czerwon¡. Niech pk (n) oznacza prawdopodobie«stwo
(a posteriori), »e w urnie jest k kul czerwonych (k = 0, 1, 2, 3). Znajd¹ granic¦ ci¡gu
pk (n) przy n → ∞. (Laplace, 1783)
zad.4.
C i D graj¡ w ko±ci standardowymi kostkami sze±ciennymi. Ka»dy z nich
rzuca dwiema kostkami. Wygrywa ten z graczy, który wyrzuci wi¦ksz¡ liczb¦ oczek.
Zmienna losowa X przyjmuje warto±¢ 1 w przypadku wygranej gracza C , −1 w przypadku wygranej gracza D i 0 w przypadku remisu, za± zmienna losowa Y jest równa
sumie oczek na wszystkich czterech kostkach liczonej modulo 6. Oblicz warto±ci
oczekiwane zmiennych losowych X i Y oraz zbadaj ich niezale»no±¢.
zad.5.
Jak du»¡ liczb¦ posªów w parlamencie licz¡cym 460 osób musi dysponowa¢
koalicja, aby z prawdopodobie«stwem równym co najmniej:
a) 50%,
b) 95%,
c) 99%
uchwali¢ ustaw¦ je»eli wiadomo, »e: ka»dy z posªów myli si¦ przy naciskaniu przycisku do gªosowania z prawdopodobie«stwem równym 5%, posªowie opozycji nie myl¡
si¦ nigdy, zarówno posªowie opozycji, jak i koalicji s¡ zawsze obecni na posiedzeniach parlamentu, a do uchwalenia ustawy potrzebna jest (przy obecno±ci wszystkich
posªów) wi¦kszo±¢ 231 gªosów?
Pomocnicza tabela (p = 0, 95):
n
√np−231
np(1−p)
247 248 249 250 251 252 253 254 255 256
1, 07 1, 34 1, 61 1, 89 2, 16 2, 43 2, 70 2, 97 3, 23 3, 50
II termin
zad.1.
Mamy szachownic¦ o wymiarach 5 × 5. W prawym górnym polu szachownicy
znajduje si¦ mysz, w lewym dolnym polu kot. Mysz mo»e si¦ porusza¢ jedynie w
dóª lub w lewo (o jedno pole), za± kot jedynie w gór¦ lub w prawo (te» o jedno pole).
1
Gdy które± ze zwierz¡t ma mo»liwo±¢ wyboru jednego z dwóch posuni¦¢, dokonuje
go z prawdopodobie«stwem 12 . Zwierz¦ta wykonuj¡ ruchy jednocze±nie. Kot zjada
mysz, gdy stan¡ razem na jednym polu. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e mysz
zostanie po»arta?
zad.2.
Na ile sposobów mo»na podzieli¢ kwadrat [0, 10] × [0, 10] na dokªadnie 9
prostok¡tów, prostymi (poziomymi i pionowymi) zawieraj¡cymi niesko«czenie wiele
punktów o obu wspóªrz¦dnych caªkowitych?
zad.3.
Losujemy niezale»nie dwie liczby z odcinka [0, 1]. Je»eli mniejsza z nich jest
mniejsza ni» 41 , to z jakim prawdopodobie«stwem wi¦ksza z nich jest wi¦ksza ni» 43 .
zad.4.
Niech A, B , C b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach jednostajnych w przedziale [0, 1]. Znajd¹ g¦sto±ci zmiennych losowych
1
1
X = A, Y = (A + B), Z = (A + B + C).
2
3
Narysuj wykresy tych g¦sto±ci na wspólnym rysunku.
zad.5.
Generator rzeczywistych liczb losowych daje wyniki zgodne z rozkªadem
wykªadniczym o parametrze λ. Jakie powinno by¢ λ i ile trzeba wygenerowa¢ liczb,
aby z prawdopodobie«stwem 0, 9 ±rednia z tych liczb wynosiªa 1 z dokªadno±ci¡ 0, 01?
2