Zasada zachowania pędu

Zasada zachowania pędu
Zasada zachowania pędu
Układ izolowany
Układem izolowanym nazwiemy układ, w którym każde ciało może w dowolny sposób oddziaływać z
innymi elementami układu, ale brak jest oddziaływań ze światem zewnętrznym.
Z III zasady dynamiki siły z którymi działają na siebie ciała i
Suma sił działających ciało :
Suma sił działających na cały układ:
Wynika z tąd, że całkowita siła działająca na układ izolowany
związane są relacją:
Korzystając z II zasady dynamiki możemy powiązać zmiany pędu każdego ciała układu z sumą
działających na nie sił:
Prawo ruchu dla całego układu:
Skoro dla układu izolowanego całkowita siła znika to wektor całkowitego pędu musi pozostawać
stały
Dla dowolnego układu izolowanego, suma pędów wszystkich elementów układu pozostaje stała
(zakładamy, że jest to izolowany układ inercjalny).
Oddziaływanie dwóch ciał
Przed "rozpadem"
Po "rozpadzie",
Układ dwóch ciał o masach
i
(w pokazie były to wózki na torze powietrznym: rysunek obok)
"rozpada się" pod wpływem sił wewnętrznych.
Jeśli na początku wszystkie obiekty spoczywają
to i po "rozpadzie" suma pędów musi być równa 0.
Dla dwóch ciał (przyjmując, że prędkości
Co prowadzi do związku:
Zderzenie całkowicie niesprężyste
)
Przed zdrzeniem
Po zderzeniu
Zderzeniem całkowicie niesprężystym nazywamy zderzenie, w wyniku którego po zderzeniu ciała
pozostają trwale złączone (poruszają się jak jedno ciało). W naszym doświadczeniu zczepiają się dwa
wózki na torze powietrznym.
Przyjmijmy, że jedno ciało na początku spoczywa, a drugie uderza w nie z zadaną prędkością
początkową (patrz rysunek obok).
Pęd początkowy:
Pęd końcowy:
Zasada zachowania pędu stanowi, że pęd nie może ulec zmianie (działają tylko siły wewnętrzne,
między ciałami):
Możemy z tego wyznaczyć prędkość ciał po zderzeniu:
Ruch ciał o zmiennej masie
Rozważmy ruch ciała o zmiennej masie. Może to być rakieta, której masa w wyniku spalania paliwa (i
wyrzucania gazów przez dysze silników rakietowych maleje). W ogólnym przypadku masa może
zależeć od położenia, prędkości i czasu:
Rozważmy ruch rakiety. Przyjmijmy, że w jakiejś chwili czasu od ciała o masie
poruszającego się z prędkością odłącza się element
poruszający się z prędkością
Przyjmujemy, że
ponieważ masa rakiety maleje.
.
Z zasady zachowania pędu:
Z czego możemy wyznaczyć zmianę pędu rakiety:
Działającą na rakietę siłę odrzutu (siła ciągu rakiety) możemy wyznaczyć z II zasady dynamiki:
Przy czym siła ta jest przeciwnie skierowana do kierunku wylotu gazów (
maleje (
), gdyż masa rakiety
)
Wzór Ciołkowskiego
Równanie ruch ciała pod wpływem siły odrzutu możemy więc zapisać w postaci:
Zaniedbując wpływ sił zewnętrznych (np. pola grawitacyjnego) mamy:
Wprowadzając funkcję
określającą zależność prędkości od masy rakiety i korzystając ze wzoru
na pochodną funkcji złożonej:
Otrzymujemy:
Całkując stronami:
Otrzymaliśmy wzór Ciołkowskiego uzależniający prędkość końcową rakiety od zmiany masy.
Rakieta jednostopniowa
Przyjmijmy, że rakieta o masie
ma wynieść satelitę o masie
Możliwa do uzyskania prędkość końcowa:
, zużywając paliwo o masie
.
gdzie
to stosunek masy paliwa do masy rakiety. Zaniedbaliśmy przy tym masę satelity
(nowoczesna elektronika jest lekka):
.
Aby uzyskać II prędkość kosmiczną
potrzebujemy:
(np. lot na Księżyc) przy silniku rakietowym o
Jest to teoretycznie możliwe do uzyskania, praktycznie jednak niewykonalne (?) i nieopłacalne !...
W praktyce budujemy rakiety wielostopniowe.
Rakieta dwustopniowa
Rakietę dzielimy na dwa człony o masach
Całkowite masy rakiety i paliwa:
i
, w których znajduje się paliwo o masie
i
.
Prędkość końcową liczymy stosując dwukrotnie wzór Ciołkowskiego (najpierw dla pierwszego, potem
dla drugiego członu rakiety):
W przybliżeniu
to do zależności:
(pierwszy człon dużo większy od drugiego) i
Aby uzyskać II prędkość kosmiczną
rakietowego o współczynniku:
przy
potrzebujemy silnika
prowadzi
Dla
(dla obu członów) można wystrzelić w kosmos
(przy optymalnym wyborze
).
Rakieta wielostopniowa
Rakieta składa się z wielu członów. W każdym z nich stosunek masy paliwa do "obudowy" wynosi
W granicy wielu bardzo małych członów:
Co po odcałkowaniu sprowadza się do wzoru na prędkość końcową:
Aby uzyskać II prędkość kosmiczną dla satelity o masie
zbudować rakietę o masie
przy silniku o
musimy
Przy rakiecie jednoczłonowej, przy tych samych
Dla rakiety dwuczłonowej potrzebaby
i
1600 kg,
potrzebaby 228'000 kg paliwa !!!
16'000 kg
Zasada zachowania momentu pędu
Siły centralne
Jeśli układ ciał (lub pojedyńcze ciało) działa jakaś siła zewnętrzna
zmieniać:
to pęd układu musi się
const.
Siły które działają na układ często są siłami centralnymi - działają w kierunku ustalonego źródła siły.
Jeśli położenie źródła przyjmiemy za środek układu współrzędnych to możemy wtedy zapisać:
Przykład:
siła grawitacyjna
siła kulombowska
siła spężysta
Czy można coś "uratować" z zasady zachowania pędu ?...
Moment pędu
Zdefiniujmy dla punktu materialnego możemy zdefiniować moment pędu względem O
Moment pędu zależy od wyboru początku układu!
Uwzględniając klasyczne wyrażenie na pęd (
) otrzymujemy:
Wartość momentu pędu:
wektorem położenia.
gdzie
jest kątem między wektorem prędkości i
W przypadku ruchu po płaszczyźnie przechodzącej przez początek układu
Wektor prędkości radialnej jest równoległy do wektora położenia więc ich iloczyn wektorowy znika.
Wektor momentu pędu będzie prostopadły do płaszczyzny ruchu a jego wartość
gdzie kąt
opisuje położenie ciała w płaszczyźnie ruchu.
Przypadkiem szczególnym jest ruch po okręgu, czyli =const
Wtedy możemy zdefiniować Moment bezwładności
a moment pędu możemy przedstawić w ogólnej postaci
Moment siły
Jeśli na ciało działa siła to możemy zdefiniować jej moment względem początku układu O
Rozważmy zmiany momentu pędu w czasie:
Otrzymaliśmy równanie ruchu, które mówi nam, że zmiana momentu pędu musi być wynikiem
działania momentu siły:
W przypadku, gdy na układ nie działają zewnętrzne momenty siły całkowity moment pędu jest
zachowany:
Cząstka swobodna
Dla cząstki swobodnej moment pędu względem dowolnego punktu 0 pozostaje stały:
gdzie
jest (jak poprzednio) kątem między wektorem prędkości i wektorem położenia, zaś
nazywamy parametrem zderzenia. Jest to odległość najmniejszego zbliżenia ciała do O.
Siła centralna
Dla dowolnej siły centralnej, moment siły (względem źródła):
Moment siły znika, tak więc moment pędu, liczony względem źródła siły centralnej pozostaje stały.
= const
Prędkość polowa
Prędkość polowa mówi nam jakie pole wektor wodzący punktu zakreśla w jednostce czasu (
)
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta i przybliżenia małych kątów:
Tym samym prędkość polową możemy wyrazić prez moment pędu:
II prawo Keplera
W przypadku sił centralnych moment siły znika i moment pędu jest zachowany. Tym samym
prędkość polowa musi być stała.
W ruchu pod działaniem sił centralnych prędkość polowa jest stała.