Nierówność trójkąta

Joanna Jaszuńska, Poznajemy Olimpiadę Matematyczną Gimnazjalistów
1
Nierówność trójkąta
Nierówność trójkąta
1. Wewnątrz czworokąta wypukłego znajdź punkt, którego suma odległości od wierzchołków jest najmniejsza.
2. (5/9/KM SEM) Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejne boki mają długości:
48, 49, 51, 52. Wykaż, że suma długości przekątnych tego czworokąta jest większa
od 100.
3. (5/III/VI OMG) Wewnątrz koła o promieniu 1 znajdują się punkty A1 , A2 , . . . , A100 .
Udowodnij, że na brzegu tego koła istnieje taki punkt P , dla którego P A1 + P A2 +
. . . + P A100 ­ 100.
4. (4/I/II OMG) W trójkącie √
ABC punkt M jest środkiem boku AB oraz ]ACB =
◦
120 . Udowodnij, że CM ­ 63 AB.
Łamane — uogólniona nierówność trójkąta
5. Udowodnij uogólnienie nierówności trójkąta: dowolna łamana o końcach A i B
jest dłuższa od odcinka AB lub jest równa AB, jeśli pokrywa się z tym odcinkiem.
6. (5/I/VII OMG) W pięciokącie wypukłym ABCDE kąty przy wierzchołkach B i D
są proste. Wykaż, że obwód trójkąta ACE jest nie mniejszy od 2BD.
7. Odległość z Petersburga do Moskwy wynosi 660 km. Z Petersburga do miasta
Likowo jest 310 km, z Likowa do Klinu jest 200 km, zaś z Klinu do Moskwy jest
150 km. Jaka jest odległość z Likowa do Moskwy?
8. W czworokącie ABCD kąt BAD jest prosty oraz AB = AD. Udowodnij, że
BC + CD + DB ­ 2AC.
Zastosowania w zadaniach przestrzennych
9. (5/II/II OMG) Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS, w którym ]ASB =
]BSC = ]CSA = 20◦ . Wykaż, że obwód trójkąta ABC jest nie mniejszy od długości każdej z krawędzi AS, BS i CS.
10. (6/I/V OMG) Czworościan foremny o krawędzi 1 przecięto płaszczyzną tak, że
w przekroju otrzymano czworokąt. Jaki jest najmniejszy możliwy obwód tego czworokąta? Odpowiedź uzasadnij.
11. Na przeciwległych wierzchołkach sześciennego pudła o krawędzi 1 siedzą pająk i mucha. Pająk chce przejść najkrótszą możliwą drogą po powierzchni pudła
do wierzchołka, w którym jest mucha. Jak długą drogę musi pokonać? Którędy
powinien iść? Ile ma do wyboru różnych najkrótszych dróg?
12. (matex 2011) Dany jest graniastosłup prosty czworokątny o podstawach ABCD,
KLM N i o krawędziach bocznych AK, BL, CM, DN . Dane są długości krawędzi
podstawy: AB = 11, BC = 4, CD = 9, DA = 7. Po powierzchni tego graniastosłupa
poprowadzone zostały dwie drogi z punktu A do punktu M . Pierwsza to najkrótsza
droga spośród dróg przecinających krawędź BL, druga to najkrótsza droga spośród
dróg przecinających krawędź DN . Która z tych dwóch dróg jest krótsza?
Joanna Jaszuńska, Poznajemy Olimpiadę Matematyczną Gimnazjalistów
2
Można zbudować trójkąt
13. Wysokości trójkąta ABC, poprowadzone z wierzchołków A, B, C mają długości
odpowiednio hA , hB , hC .
(a) Wykaż, że z odcinków o długościach h1A , h1B , h1C można zbudować trójkąt.
(b) Wykaż, że trójkąt zbudowany w punkcie (a) jest podobny do trójkąta ABC.
(c) Czy z odcinków o długościach hA , hB , hC zawsze można zbudować trójkąt?
(d) Udowodnij, że z odcinków o długościach h12 , h12 , h12 można zbudować trójkąt
A
B
C
wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt ABC jest ostrokątny.
14. Punkt P leży wewnątrz trójkąta równobocznego ABC.
(a) Wykaż, że z odcinków o długościach P A, P B, P C można zbudować trójkąt.
(b) Wyznacz miary jego kątów, znając ]BP C = α, ]CP A = β, ]AP B = γ.
15. (8/I/X OM) Bokami trójkąta są środkowe innego trójkąta.
(a) Oblicz stosunek pól obu trójkątów.
(b) Czy ze środkowych dowolnego trójkąta można zbudować trójkąt?
16. (7/7/KM SEM) Wykaż, że w każdym czworościanie istnieją takie trzy krawędzie
wychodzące z jednego wierzchołka, z których można zbudować trójkąt.
17. Wykaż, że w każdym pięciokącie wypukłym istnieją takie trzy różne przekątne,
z których można zbudować trójkąt.
18. (2/II/LVIII OM) Dany jest pięciokąt wypukły ABCDE, w którym BC = CD,
DE = EA, ]BCD = ]DEA = 90◦ .
(a) Wykaż, że z odcinków o długościach AC, CE, EB można zbudować trójkąt.
(b) Wyznacz miary jego kątów, znając miarę α kąta ACE i miarę β kąta BEC.
19. (matex 2010) Dany jest prostopadłościan ABCDEF GH o podstawie ABCD
i krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Punkt S jest środkiem krawędzi EH.
Udowodnij, że z odcinków o długościach AG, CH, 2AS można zbudować trójkąt.
20. Przeciwległe krawędzie czworościanu mają długości odpowiednio a i a0 , b i b0
oraz c i c0 . Wykaż, że z odcinków o długościach aa0 , bb0 , cc0 można zbudować trójkąt.
21. Dany jest trójkąt ABC. Czy z odcinków o długościach równych dwusiecznym
jego kątów zawsze można zbudować trójkąt?
√
√ √
22. Wykaż, że z odcinków o długościach 5, 13 i 26 można zbudować trójkąt
i wyznacz jego pole.
√
√
2 + c2 + d2 + 2bc,
b
a2 + c2 + d2 + 2ad,
23.
Wykaż,
że
z
odcinków
o
długościach
√
1
2
2
a + b można zbudować trójkąt i że jego pole jest równe 2 (ab + ac + bd).
Zastosowania w dowodzeniu nierówności
W poniższych zadaniach a, b, c, d są dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi.
√
√
√
√
24. Wykaż, że a2 + b2 + b2 + c2 + c2 + a2 ­ 2(a + b + c).
√
√
√
√
25. Wykaż, że a2 + 2b2 + b2 + 2c2 + c2 + 2a2 ­ 3(a + b + c).
√
√
√
26. Wykaż, że a2 + b2 + 2c2 + b2 + c2 + 2a2 + c2 + a2 + 2b2 ­ 2(a + b + c).
Zadania o dowodzeniu nierówności można znaleźć w moim artykule w piśmie Delta w styczniu 2012
(www.deltami.edu.pl).
Rozwiązania większości zadań z OMG i z Koła Matematycznego SEM można znaleźć na stronie www.omg.edu.pl.