Trójkąt Pascala

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
6
3
6
10
15
21
28
36
45
55
4
1
1
4
10
1
5
1
Trójkąt Pascala
8
10
2
3
5
7
9
1
35
56
84
120
165
20
35
70
126
210
330
15
21
56
126
252
462
6
462
7
28
84
210
1
8
36
120
330
1
1
9
45
165
1
10
55
1
11
1
Blaise Pascal
• (1623-1662) francuski filozof,
matematyk i fizyk;
• badał prawdopodobieństwo,
próżnię i ciśnienie
atmosferyczne;
●
●
wynalazł m. in.: pierwszą
maszynę liczącą „Pascalinę”
oraz TRÓJKĄT PASCALA;
od jego nazwiska wywodzi się
nazwa jednostki ciśnienia (Pa) i
język programowania Pascal.
W matematyce zdarzają się
trójkąty zbudowane z... liczb.
Przykładem jest trójkąt Pascala,
utworzony z liczb naturalnych
zgodnie z następującymi
regułami:
Zasady budowy trójkąta Pascala
w najwyższym wierszu wpisujemy
jedynkę,
w drugim wierszu od góry – dwie jedynki,
w trzecim wierszu kolejno 1, 2, 1,
w każdym następnym wierszu o jedną liczbę
więcej, niż w poprzednim; na lewym i prawym
skraju jedynki, a na każdym innym miejscu –
liczbę, która jest sumą dwóch liczb widniejących
w poprzednim wierszu bezpośrednio nad nią.
Oto pierwszych pięć wierszy trójkąta
Pascala:
1
1
1
1
6
1
5
1
4
15
3
10
1
2
6
20
1
3
10
1
4
15
1
5
1
6
1
1
(jedynka na samej górze liczy się jako rząd 0)
Przykład użycia trójkąta Pascala:
3
(a + b ) = 1 ⋅ a + 3 ⋅ a b + 3 ⋅ ab + 1 ⋅ b
3
2
2
3
To wynika z tego, że w trzecim rzędzie Trójkąta Pascala są
kolejno liczby 1, 3, 3, 1.
A teraz zadanie z zastosowaniem trójkąta Pascala:
Wykonaj potęgowanie:
4
=
5
=
(a + b )
(x + y )
Dla ułatwienia przypominam jak wygląda Trójkąt
Pascala
1
1
1
1
6
1
5
1
4
15
3
10
1
2
6
20
1
3
10
1
4
15
1
5
1
6
1
1
A oto prawidłowe rozwiązanie przykładu
pierwszego
(a + b )
4
=
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
Tak samo rozwiązałeś??? BRAWO!!! ☺
A oto prawidłowe rozwiązanie przykładu drugiego
(x + y )
5
= x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5
Tym razem też rozwiązałeś prawidłowo??? BRAWO!!! ☺
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ ☺