B EGZAMIN PISEMNY Z ALGEBRY LINIOWEJ 1. Rozwiązać

Nazwisko i imię
Nr albumu
Kierunek studiów
Rok studiów
Data egzaminu
B
EGZAMIN PISEMNY Z ALGEBRY LINIOWEJ
1. Rozwiązać równanie kwadratowe x2 − (10 − 4j)x + 45 − 10j = 0.
2. W przestrzeni Euklidesa dane są wektory x, y, z, takie że xy = 10, xz = −2, yz = 3, ||x|| = 2, ||y|| = 4 i
||z|| = 5. Obliczyć: (a) x(y + z); (b) (x + 2y)z; (c) z(y − 10z); (d) 3(x − 2y)(z + x); (e) ||x + 3z||.
−1
3. Wyznaczyć wartości własne i wektory
własne macierzy A oraz utworzyć macierz P, taką że P AP jest
2 −3
macierzą diagonalną, gdy A =
.
−3 5
4. Dane jest przekształcenie liniowe T : R3 → R3 , takie że T (−1, 1, 1) = (1, 2, 3), T (1, −1, 1) = (3, 2, 1) i
T (1, 1, −1) = (1, 1, 1). Wyznaczyć T (x, y, z) dla (x, y, z) ∈ R3 . Następnie wyznaczyć T (1, 1, 1).
5. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego T : R3 → R3 względem bazy standardowej E = (e1 , e2 , e3 )
przestrzeni R3 , jeśli T (ai ) = bi dla i = 1, 2, 3, gdy a1 = (2, 0, 3), a2 = (4, 1, 5), a3 = (3, 1, 2), b1 = (1, 2, −1),
b2 = (4, 5, −2), b3 = (1, −1, 1).

x1 + x2 =



2x1 + x2 =
6. Znaleźć najlepsze rozwiązanie sprzecznego układu równań
3x1 + 2x2 =



x2 =
1,
5,
3,
1.
7. Wyznaczyć prostą y = ax + b, która najlepiej pasuje do punktów (1, 5), (2, 6), (3, 8), (4, 10), (5, 11).
7 6
8. Dana jest macierz A =
. (a) Wyznaczyć wielomian charakterystyczny ϕ(x) macierzy A. (b) Korzy−1 2
stając z równości ϕ(A) = 0, wyznaczyć A−1 . (c) Korzystając z reszty z dzielenia wielomianu ψ(x) = x7 − 2x4
przez ϕ(x), wyznaczyć A7 − 2A4 .