Równanie kwadratowe z parametrem i warunek: pierwiastek

Równanie kwadratowe z parametrem i warunek: pierwiastek
równania należy do zadanego przedziału.
Dane jest równanie kwadratowe z parametrem „k”:
+
⋅
−
=0
Oraz warunek że pierwiastek tego równania należy
do przedziału <2,4> tzn.:
Niech
=2
2≤
=4
lub
Δ=
≤4 ∨ 2≤
≤4
otrzymamy warunki:
⇒ ( ) ≥0∧ ( )≤0∧ Δ> 0
⇒ ( ) ≤0∧ ( ) ≥0∧ Δ > 0
+4⋅
= 5⋅
Sprawdzam warunki
⇒Δ>0
:
∈
(2) = 4 + 2 ⋅
−
(4) = 16 + 4 ⋅
−
+ 2 + 4 ≥ 0 Δ = 4 + 16 = 20
=
−
−2 − 2√5
= 1 + √5
−2
=
− ^2
√Δ = 2√5
−2 + 2√5
= 1 − √5
−2
+ 4 + 16 ≤ 0 Δ = 16 + 64 = 80 √Δ = 4√5
=
−4 − 4√5
= 2 + 2√5
−2
=
−4 + 4√5
= 2 − 2√5
−2
Wniosek:
Sprawdzam warunki
(2) = 4 + 2 ⋅
−
−
:
(4) = 16 + 4 ⋅
+ 2 + 4 ≤ 0 Δ = 4 + 16 = 20
=
−2 − 2√5
= 1 + √5
−2
1−
−
=
5>
− ^2
√Δ = 2√5
−2 + 2√5
= 1 − √5
−2
+ 4 + 16 ≥ 0 Δ = 16 + 64 = 80 √Δ = 4√5
=
−4 − 4√5
= 2 + 2√5
−2
=
−4 + 4√5
= 2 − 2√5
−2
Wniosek:
Interpretacja graficzna warunków dla
Sprawdzę dla: k=-2 dla k= 4 i dla k=6
Na zakończenie należy dodać, że jeżeli parametr występuje we
współczynniku przy
= ( ) to należy oddzielnie rozpatrzeć
( ) < 0 oraz należy
warunek kiedy ( ) > 0
sprawdzić warunek gdy a(k)=0.
Aby nie sprawdzać dwóch warunków można zastosować iloczyn jak
poniżej:
( )⋅ ( )≥0∧ ( )⋅ ( ) ≤0
Lub
( )⋅ ( ) ≤0∧ ( )⋅ ( ) ≥0
Jeżeli mamy warunki na
takie, że np. oba są dodatnie lub
oba są ujemne należy wówczas zastosować wzory Viet’a .
Jeżeli jest powiedziane w zadaniu że oba pierwiastki należą do
zadanego przedziału to należy warunki zmodyfikować jak poniżej:
( )∗ ( )≥0∧ ( )⋅ ( )≥0∧
Gdzie:
=
( )⋅ ( )≤0
Te ostatnie warunki są raczej rzadko spotykane .
Zamiast sprawdzać połowę przedziału można sprawdzić rzędną
wierzchołka paraboli.