Równanie kwadratowe z parametrem i warunek: pierwiastek
Transkrypt
Równanie kwadratowe z parametrem i warunek: pierwiastek
Równanie kwadratowe z parametrem i warunek: pierwiastek równania należy do zadanego przedziału. Dane jest równanie kwadratowe z parametrem „k”: + ⋅ − =0 Oraz warunek że pierwiastek tego równania należy do przedziału <2,4> tzn.: Niech =2 2≤ =4 lub Δ= ≤4 ∨ 2≤ ≤4 otrzymamy warunki: ⇒ ( ) ≥0∧ ( )≤0∧ Δ> 0 ⇒ ( ) ≤0∧ ( ) ≥0∧ Δ > 0 +4⋅ = 5⋅ Sprawdzam warunki ⇒Δ>0 : ∈ (2) = 4 + 2 ⋅ − (4) = 16 + 4 ⋅ − + 2 + 4 ≥ 0 Δ = 4 + 16 = 20 = − −2 − 2√5 = 1 + √5 −2 = − ^2 √Δ = 2√5 −2 + 2√5 = 1 − √5 −2 + 4 + 16 ≤ 0 Δ = 16 + 64 = 80 √Δ = 4√5 = −4 − 4√5 = 2 + 2√5 −2 = −4 + 4√5 = 2 − 2√5 −2 Wniosek: Sprawdzam warunki (2) = 4 + 2 ⋅ − − : (4) = 16 + 4 ⋅ + 2 + 4 ≤ 0 Δ = 4 + 16 = 20 = −2 − 2√5 = 1 + √5 −2 1− − = 5> − ^2 √Δ = 2√5 −2 + 2√5 = 1 − √5 −2 + 4 + 16 ≥ 0 Δ = 16 + 64 = 80 √Δ = 4√5 = −4 − 4√5 = 2 + 2√5 −2 = −4 + 4√5 = 2 − 2√5 −2 Wniosek: Interpretacja graficzna warunków dla Sprawdzę dla: k=-2 dla k= 4 i dla k=6 Na zakończenie należy dodać, że jeżeli parametr występuje we współczynniku przy = ( ) to należy oddzielnie rozpatrzeć ( ) < 0 oraz należy warunek kiedy ( ) > 0 sprawdzić warunek gdy a(k)=0. Aby nie sprawdzać dwóch warunków można zastosować iloczyn jak poniżej: ( )⋅ ( )≥0∧ ( )⋅ ( ) ≤0 Lub ( )⋅ ( ) ≤0∧ ( )⋅ ( ) ≥0 Jeżeli mamy warunki na takie, że np. oba są dodatnie lub oba są ujemne należy wówczas zastosować wzory Viet’a . Jeżeli jest powiedziane w zadaniu że oba pierwiastki należą do zadanego przedziału to należy warunki zmodyfikować jak poniżej: ( )∗ ( )≥0∧ ( )⋅ ( )≥0∧ Gdzie: = ( )⋅ ( )≤0 Te ostatnie warunki są raczej rzadko spotykane . Zamiast sprawdzać połowę przedziału można sprawdzić rzędną wierzchołka paraboli.