Badanie przebiegu zmienności funkcji

Badanie przebiegu zmienności funkcji
Zadanie
Zbadaj przebieg zmienności funkcji f : R → R zadanej wzorem
f (x) =
x+1
,
x2 + x + 1
a następnie naszkicuj wykres funkcji g(m) wyrażającej liczbę rozwiązań równania |f (x)| = m w zależności od wartości parametru m ∈ R.
Rozwiązanie
Dziedziną funkcji f jest zbiór Df = R, ponieważ x2 + x + 1 = 0 nie ma
rozwiązań rzeczywistych. Funkcja f nie jest ani parzysta, ani nieparzysta,
−x+1
1−x
ani okresowa: f (−x) = (−x)
2 −x+1 = x2 −x+1 .
Równanie f (x) = 0 ma rozwiązanie x = −1, zaś f (0) = 1, czyli wykres
funkcji f ma punkty wspólne z osiami układu współrzędnych: (−1, 0), (0, 1).
Granice funkcji na końcach przedziałów, z których składa się dziedzina:
(?) lim f (x) = lim x2x+1
+x+1 = 0.
x→±∞
x→±∞
Funkcja ma więc asymptotę poziomą y = 0 w ±∞.
Funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna na swojej dziedzinie.
1·(x2 +x+1)−(x+1)(2x+1)
d
= x2x+1
= (x−x(x+2)
2 +x+1)2 .
+x+1 dx =
(x2 +x+1)2
0
f (x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = −2, czyli są to jedyne punkty krytyczne.
f 0 (x)
Dalej:
2
2 > 0, zatem f 0 (x) > 0 ⇔
> 0 ⇔ (x−x(x+2)
2 +x+1)2 > 0, ale (x + x + 1)
−x(x + 2) > 0 ⇔ x ∈ (−2, 0).
f 0 (x)
Funkcja f jest więc rosnąca dla x ∈ (−2, 0), malejąca dla x ∈ (−∞, −2)∪
(0, ∞), w punkcie x = −2 przyjmuje lokalne minimum (f (−2) = − 31 ), a w
punkcie x = 0 ma lokalne maksimum (f (0) = 1). Korzystając z (?) wnioskujemy, że są to ekstrema globalne.
Druga pochodna funkcji:
d
−x2 −2x d
= (x−x(x+2)
2 +x+1)2 dx = (x2 +x+1)2 dx =
(−x2 −2x)0 ·(x2 +x+1)2 −(−(x2 +2x))·((x2 +x+1)2 )0
(x2 +x+1)4
3 +3x2 −1)
(−2x−2)(x2 +x+1)2 +(x2 +2x)·2·(x2 +x+1)(2x+1)
(x2 +x+1)(2x3 +6x2 −2)
=
= 2(x
(x2 +x+1)4
(x2 +x+1)4
(x2 +x+1)3
f 00 (x)
=
f 00 (x) = 0 ⇔
2(x3 +3x2 −1)
(x2 +x+1)3
= 0 ⇔ x3 + 3x2 − 1 = 0.
1
Znajdźmy więc pierwiastki równania x3 + 3x2 − 1 = 0. (??)
Sprowadźmy je do postaci kanonicznej, stosując podstawienie y = x + 1.
Otrzymaliśmy równanie 3-go stopnia w postaci kanonicznej: y 3 − 3y + 1 = 0.
Dokonajmy kolejnego podstawienia y = z + z1 . Otrzymujemy:
z 3 + 1 + z13 = 0
(z 3 )2 + z 3 + 1 = 0
Widzimy, że jest to równanie kwadratowe od z 3 , więc łatwo jest je roz2
wiązać: z 3 = e± 3 πi .
−8
−4
−2
2
4
8
Otrzymując zbiór rozwiązań: z ∈ {e 9 πi , e 9 πi , e 9 πi , e 9 πi , e 9 πi , e 9 πi }
Korzystamy z wcześniejszych podstawień, aby obliczyć x.
a
a
Mamy x = y − 1 = z + z1 − 1 = e 9 πi + e− 9 πi − 1 = 2 cos a9 π − 1 = xa , gdzie
a ∈ {−8, −4, −2, 2, 4, 8}.
Zauważmy ponadto, że x−a = xa .
Otrzymujemy zatem zbiór rozwiązań dla x:
x ∈ {2 cos 29 π − 1, 2 cos 49 π − 1, 2 cos 89 π − 1}
x3 = 2 cos 29 π − 1 ≈ 0.532
x2 = 2 cos 49 π − 1 ≈ −0.653
x1 = 2 cos 89 π − 1 ≈ −2.879
Korzystając z twierdzenia, że każdy wielomian stopnia n > 0 ma n pierwiastków wnioskuję, że zbiór {x1 , x2 , x3 } jest zbiorem wszystkich rozwiązań
wielomianu (??), zatem jego elementy są punktami przegięcia funkcji f .
Przechodzę do dalszego badania drugiej pochodnej:
3 +3x2 −1)
2
00
> 0 ⇔ 2(x
(x2 +x+1)3 > 0, ale ∀x∈R x + x + 1 > 0, zatem f (x) > 0 ⇔
2(x3 + 3x2 − 1) > 0 ⇔ x3 + 3x2 − 1 > 0 ⇔ (x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) > 0.
f 00 (x)
Funkcja f jest więc wypukła dla x ∈ (x1 , x2 ) ∪ (x3 , ∞), a wklęsła dla
x ∈ (−∞, x1 ) ∪ (x2 , x3 ).
Przechodzę do narysowania tabeli przebiegu zmienności funkcji f :
2
x
−∞
f 0 (x)
f 00 (x)
f (x)
x
f 0 (x)
f 00 (x)
f (x)
0
(−∞, x1 )
−
−
malejąca
wklęsła
(−1, x2 )
+
+
rosnąca
wypukła
x2
+
0
≈
0.449
x1
−
0
≈
−0.293
(x1 , −2)
−
+
malejąca
wypukła
(x2 , 0)
+
−
rosnąca
wklęsła
0
0
−
1
−2
0
+
− 13
(0, x3 )
−
−
malejąca
wklęsła
(−2, −1)
+
+
rosnąca
wypukła
x3
−
0
≈
0.844
−1
+
+
0
(x3 , ∞)
−
+
malejąca
wypukła
∞
Zbiór wartości funkcji f : f [R] = [− 31 , 1].
(Uwaga dodatkowa: Funkcja f nie jest różnowartościowa i nie jest ”na”.)
Szkic wykresu funkcji f :
3
0
Określmy teraz liczbę rozwiązań równania |f (x)| = m, w zależności
od parametru rzeczywistego m. W tym celu sporządźmy wykresy funkcji:
y = |f (x)| oraz y = m i przeanalizujmy.
Z wykresu odczytujemy, że mamy 0 rozwiązań dla m ∈ (−∞, 0) ∪ (1, ∞), 1
rozwiązanie dla m ∈ {0, 1}, 2 rozwiązania dla m ∈ ( 13 , 1), 3 rozwiązania dla
m = 31 i 4 rozwiązania dla m ∈ (0, 13 ).
Funkcja g(m) wyraża się więc wzorem:

0





 1
g(m) =
2



3



4
dla
dla
dla
dla
dla
m ∈ (−∞, 0) ∪ (1, ∞)
m ∈ {0, 1}
m ∈ ( 31 , 1)
m = 31
m ∈ (0, 31 )
Wykres funkcji g(m):
4