Wyznaczanie zabezpieczenia kwantylowego w modelu zmienności

Paweł Kliber∗
Wyznaczanie zabezpieczenia kwantylowego
opcji w modelu zmienności stochastycznej
metodą programowania dynamicznego∗∗
1. Wstęp
Jednym z najważniejszych zadań nowoczesnej matematyki finansowej jest
problem zabezpieczania instrumentów pochodnych. Aby dostrzec wagę tego
zagadnienia rozważmy instytucję emitującą instrument pochodny, np. opcję
na akcję. Jeśli opcja nie zostania wykonana, to dochód z jej emisji stanowi
zysk emitenta. Jeśli jednak opcję opłaci się wykonać, to emitent może ponieść
bardzo dużą stratę. W przeciwieństwie, na przykład, do zakładu ubezpieczeniowego, emitent opcji nie może zdywersyfikować ryzyka — jeśli opcję opłaca
się wykonać, to wykonają ją wszyscy jej posiadacze. Jedynym sposobem, w
jaki emitent może ograniczać ryzyko jest zabezpieczenie opcji, tj. stworzenie
portfela złożonego z akcji i ewentualnie innych instrumentów finansowych,
którego wartość w momencie wykonania jest zbliżona do wypłat opcji.
∗
Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Katedra Ekonomii Matematycznej, Po-
znań, Al. Niepodległości 10, tel. (0-61)8543744, fax (061)8543932, e-mail: [email protected].
∗∗
Artykuł ten przedstawia niektóre wyniki uzyskane w pracy [24].
1
Klasyczną metodą zabezpieczenia instrumentu pochodnego jest delta-hedging, czyli metoda wynikająca z modelu Blacka-Scholesa (zob. [6]). Delta-hedging jest metodą opartą na replikacji, tj. na budowie portfela inwestycji,
które wartość w momencie wykonania jest równa wypłacie opcji. Metody
oparte na replikacji można stosować tylko wtedy, gdy rynek finansowy jest
zupełny, czyli gdy na rynku istnieje tyle instrumentów finansowych ile jest
niezależnych źródeł ryzyka (patrz. np. [2], [8], [12], [21]). Wiele jednak wskazuje, że prawdziwe rynki nie są zupełne. W szczególności, modele rynku, które
uwzględniają takie cechy procesów cen akcji, jak zmieniający się współczynnik zmienności, możliwość gwałtownych skoków cen (diffusion-jump models),
czy rozkłady różne od normalnego, nie są modelami zupełnymi. Jeśli modele
te dobrze opisują cenę akcji, to należy szukać innych niż replikacja metod
zabezpieczenia opcji.
W artykule [14] H. Föllmer i P. Laukert zaproponowali następujący sposób zabezpieczania instrumentu pochodnego: inwestor powinien najpierw
ustalić prawdopodobieństwo, że zabezpieczenie skończy się sukcesem, a następnie wyznaczyć najtańszy portfel, który zabezpiecza instrument z ustalonym prawdopodobieństwem. Inwestor może także wybrać inną drogę postępowania: najpierw ustalić, jaką sumę może poświęcić na zabezpieczenie
instrumentu pochodnego, a następnie wśród wszystkich portfeli, których wartość nie przekracza tej sumy, wybrać portfel, który z największym prawdopodobieństwem zabezpiecza instrument pochodny. Autorzy nazwali tak wyznaczony portfel „zabezpieczeniem kwantylowym”. W tym samym artykule
H. Föllmer i P. Laukert wyznaczyli strategie zabezpieczenia kwantylowego
dla opcji kupna i sprzedaży w modelu Blacka-Scholesa oraz pokazali analogię
między zadaniami zabezpieczenia kwantylowego, a klasyczną teorią testowania hipotez statystycznych Neymana i Pearsona.
Po ukazaniu się artykułu [14] pojawiło się kilka prac dotyczących zabezpieczenia kwantylowego. W większości były to prace o charakterze teoretycznym i matematycznym. Na ogół, w pracach tych rozważano problem istnienia
2
rozwiązań zadania zabezpieczenia kwantylowego w różnych modelach rynku,
a nie wyznaczanie tych rozwiązań. Rozwiązania, jakie można znaleźć w różnych pracach, dotyczą przede wszystkim modeli zupełnych. Jeżeli pojawiają
się próby rozwiązywania zadań zabezpieczenia kwantylowego w modelach niezupełnych, to są one nieprzydatne w zastosowaniach praktycznych. Na przykład, w artykule [14] rozważono tylko jeden model niezupełny. W modelu
tym horyzont czasu jest podzielony na dwie części przez ustalony moment t0
— część przez t0 i część po t0 . W obu częściach horyzontu zmienność ceny
akcji (tj. odchylenie standardowe chwilowej stopy zwrotu akcji) jest stała,
a w chwili t0 zmienność zmienia się w sposób losowy. Jak łatwo zauważyć,
ten model jest bardzo uproszczoną wersją modelu zmienności stochastycznej
i nie nadaje się do zastosowania praktycznego. W literaturze brak jest także
badań empirycznych. Nikt do tej pory nie próbował wyznaczać zabezpieczeń
kwantylowych dla opcji, którymi handluje się na rynku, ani nie próbował
sprawdzać jakości tych zabezpieczeń.
W artykule [16] pokazano istnienie rozwiązań zadań zabezpieczenia kwantylowego w modelach rynku, które uwzględniają koszty transakcji. Istnienie
tych rozwiązań wynika z pewnych ogólniejszych twierdzeń. Autor nie zajmował się wyznaczaniem rozwiązań rozważanych zadań. Tym samym problemem co Guasoni zajęto się także w arykule [3]. Jednak Guasoniego interesowały modele z czasem ciągłym, a Barana — modele z czasem dyskretnym.
M. Baran pokazał istnienie rozwiązań zadań zabezpieczenia kwantylowego
dla modeli rynku z czasem dyskretnym, uwzględniających koszty transakcji.
Podobnie jak Guasoni, nie zajmował się wyznaczaniem rozwiązań tych zadań.
Próby wyznaczania rozwiązań zadania zabezpieczenia kwantylowego podjęto w artykułach [27] oraz [23]. W artykule [23] rozwiązano te zadania dla
pewnej wersji modelu skoków i dyfuzji. W modelu opisanym w tym artykule założono, że na rynku istnieją dwie akcje, a ich dynamikę cen opisują
3
następujące stochastyczne równania różniczkowe:
dS1 =µ1 S1 dt + σ1 S1 dW + η1 S1 dN,
dS2 =µ2 S2 dt + σ1 S2 dW + η1 S2 dN,
gdzie W jest procesem Wienera (ruchem Browna, zob. np. [19]), a N —
procesem Poissona (zob. np. [22]). Stałe µi , σi oraz ηi to parametry modelu.
Przy takiej dynamice cen współczynnik korelacji stóp zwrotu tych akcji wynosi 1. Jest oczywiście nieprawdopodobne, aby taka sytuacja miała miejsce
na rzeczywistym rynku. Jednak tylko dzięki przyjęciu tego założenia autorzy
mogli wyznaczyć zabezpieczenie kwantylowe dla instrumentów pochodnych
wystawionych na te akcje.
W artykule [27] podjęto udaną próbę wyprowadzenia postaci analitycznej
zabezpieczenia kwantylowego w modelu niezupełnym. Autor rozważa zabezpieczenie ryzykownej obligacji bezkuponowej. W artykule zakłada się, że rynek, przed pojawieniem się rozważanej obligacji, był zupełny. Niezupełność
rynku bierze się stąd, że nie ma możliwości zabezpieczenia ryzyka związanego z tym, że wystawca obligacji nie wywiąże się ze swoich płatności. Autor
zakłada, że to ryzyko zależy od pewnej zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym. Dla takiego modelu autor wyprowadza wzory analityczne na
zabezpieczenie kwantylowe — wzory te zależą jednak od pewnych wielkości
nieobserwowalnych i trudnych do oszacowania. Wprowadzając dodatkowe założenia (przyjmując model Jarrowa-Turnbulla przedstawiony w artykule [20])
autor wyprowadza wzory analityczne oraz podaje wyniki obliczeń przeprowadzonych numerycznie dla przykładowych danych.
Podsumowując dotychczasowe rozważania literaturowe dotyczące zabezpieczeń kwantylowych, można zauważyć, że:
1. brak jest metod wyznaczania strategii zabezpieczenia kwantylowego dla
realistycznych modeli rynku finansowego, a zwłaszcza dla modeli niezupełnych,
2. brak jest analizy, czy zabezpieczenie kwantylowe dla modeli niezupeł4
nych można zastosować praktycznie. Wiadomo, że zadania zabezpieczenia
kwantylowego mają rozwiązania w szerokiej klasie modeli. Nie znana jest
jednak postać analityczna tych rozwiązań i nie wiadomo, czy zadania te
można rozwiązać numerycznie w rozsądnym czasie. Jest to ważne pytanie,
ponieważ obliczenia dotyczące zabezpieczeń instrumentów pochodnych
mogą być bardzo skomplikowane. Zdarza się czasami, że znane są teoretyczne własności pewnych rozwiązań, ale numeryczne ich wyznaczenie
jest niemożliwe1 ,
3. brak jest badań empirycznych dotyczących zabezpieczeń kwantylowych
— sprawdzenia jakości tych zabezpieczeń dla notowanych na rynkach instrumentów pochodnych.
Celem tego artykułu jest próba uzupełnienia niektórych z luk w tej dziedzinie badań. W szczególności, interesuje mnie odpowiedź na pytanie, czy
metodę zabezpieczenia kwantylowego można zastosować praktycznie do zabezpieczenia opcji na akcję, przy założeniu, że cenę akcji opisuje model zmienności stochastycznej (stochastic volatility). Pokazuję, że rozwiązanie zadań
zabezpieczenia kwantylowego można otrzymać metodą programowania dynamicznego — rozwiązując numerycznie równania Bellmana na drzewie wielomianowym przybliżającym proces ruchów cen akcji.
2. Model zmienności stochastycznej i estymacja jego
parametrów
Aby wyznaczyć zabezpieczenie instrumentu pochodnego należy najpierw
przyjąć pewien model rynku finansowego. Model taki powinien opisywać ruchy wszystkich instrumentów finansowych, od których może zależeć cena instrumentu pochodnego. Ponieważ celem tej pracy jest wyznaczenie zabezpieczenia opcji na akcję, więc w modelu wystarczy uwzględnić dwa instrumenty
finansowe: akcję, na którą opcja jest wystawiona oraz instrument pozbawiony
ryzyka. Co do tego drugiego instrumentu, oznaczmy przez Bt cenę obligacji
5
pozbawionej ryzyka w chwili t. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że w
chwili początkowej B0 = 1. Przyjmujemy, że cena obligacji rośnie ze stałą
stopą procentową wolną od ryzyka r, tj., że2
Bt = ert .
(1)
Co do akcji, przyjmujemy, że jej cena zmienia się zgodnie z modelem zmienności stochastycznej.
Model zmienności stochastycznej (oznaczany SV od angielskiej nazwy stochastic volatility) zakłada istnienie dwóch, niezależnych od siebie źródeł losowości3 . Jedno z nich wpływa na stopę zwrotu akcji, a drugie — na parametr
zmienności ceny akcji. Oznaczmy przez St cenę akcji w momencie t. Przez xt
oznaczmy stopę zwrotu akcji w momencie t, tj.
xt =
St − St−1
.
St−1
(2)
Zakładamy, że stopa zwrotu akcji w chwili t wynosi:
xt = µ + σt εt ,
(3)
gdzie (εt ) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie, zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej wariancji. Współczynnik
zmienności σt w równaniu (3) jest procesem stochastycznym takim, że ln σt2
tworzy proces autoregresji AR(l). Przyjmujemy dalej, że l = 1, czyli że ln σt2
jest procesem AR(1), który można opisać równaniem
2
ln σt2 = a0 + a1 ln σt−1
+ cδt ,
(4)
gdzie a0 , a1 i c są parametrami, zaś (δt ) to ciąg niezależnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie, zerowej wartości oczekiwanej i jednostkowej
wariancji. Zakładamy też, że ciągi (εt ) i (δt ) są niezależne.
Zmienne losowe (εt ) i (δt ) są zdefiniowane na pewnej przestrzeni probabilistycznej4 (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem zdarzeń elementarnych, F to
σ-algebra możliwych zdarzeń, a P to prawdopodobieństwo. Zbiór zdarzeń
6
elementarnych Ω nazywamy także zbiorem (możliwych) stanów świata. Informacje, które inwestor posiada w różnych momentach czasu opisuje filtracja
F = {Ft }Tt=0 . Zakładamy, że jest to filtracja generowana przez procesy St i
σt , a zatem przyjmujemy, że inwestor nie posiada innych informacji niż te,
które może uzyskać obserwując ceny akcji St oraz zmienność cen akcji σt .
Aby zastosować model należy oszacować parametru µ, a0 , a1 i c na podstawie obserwowanych cen akcji. Parametr µ można estymować jako średnią
z próby stóp zwrotu akcji. Aby dokonać estymacji parametrów a0 , a1 i c należy najpierw estymować wartości σt na podstawie obserwacji stóp zwrotu.
Najprostszym estymatorem jest σ̂t2 = (xt − µ)2 . Jest to estymator nieobciążony, jednak jego wariancja może być bardzo wysoka. Aby zmniejszyć wariancję estymacji stosuje się średnie kroczące lub wygładzanie wykładnicze.
W dalszych badaniach zastosowano następujący estymator zmienności:
σ̂t2
m−1
1 X
=
(xt−k − µ)2 ,
m k=0
Przy czym zamiast µ zastosowano ocenę tej wielkości, czyli średnią z próby.
Przeprowadzone symulacje pokazują, że przyjęcie m = 10, czyli estymacja
na podstawie dziesięciookresowej średniej kroczącej, daje dobre wyniki. Parametry a0 , a1 i c szacujemy następnie metodą najmniejszych kwadratów,
na podstawie równania regresji liniowej (3). Jako próbę, na podstawie której obliczamy parametry regresji, bierzemy logarytmy obliczonych wcześniej
wartości σ̂t2 .
3. Zabezpieczenie kwantylowe
Zakładamy, że na akcję został wystawiony instrument pochodny, którego
wypłaty oznaczymy przez H. Na przykład, jeżeli instrumentem pochodnym
jest europejska opcja kupna o cenie wykonania K i terminie wykonania T ,
to jej wypłaty wynoszą
H = (ST − K)+ = max {ST − K, 0} .
7
Osoba lub instytucja emitująca instrument pochodny zobowiązuje się zatem
do wypłacenie pewnej kwoty, której wysokość zależy od tego, jaka będzie
przyszła cena akcji. Zakładamy, że emitent instrumentu pochodnego pragnie
uniknąć zbyt dużych strat. Innymi słowy, chce on zabezpieczyć instrument
pochodny.
Problem zabezpieczenia instrumentu pochodnego polega na zbudowaniu takiej strategii inwestycyjnej której wartość najlepiej przybliża wypłaty
zabezpieczanego instrumentu pochodnego. Matematycznie, strategię inwestycyjną opisujemy za pomocą prognozowalnego procesu stochastycznego
θt = (θt0 , θt1 ) (zob. np. [19] lub [31]). Gdzie θt1 oznacza liczbę akcji t, a θt0
liczbę obligacji wolnych od ryzyka, które znajdują się w portfelu w chwili t.
Wartość strategii w chwili t wynosi
Vt (θ) = Bt θt0 + St θt1 .
Żądamy także, aby strategia była samofinansująca, tj. aby inwestor wykładał pieniądze jedynie w okresie początkowym, a w następnych momentach
nie dokładał ani nie zabierał pieniędzy ze strategii. Jeżeli horyzont czasu
jest dyskretny, to warunek samofinansowania strategii możemy wyrazić za
pomocą równania5
0
1
Bt θt−1
+ St θt−1
= Bt θt0 + St θt1 .
1
0
), zakuPowyższe równanie mówi, że inwestor sprzedając portfel (θt−1
, θt−1
piony w chwili t − 1, ma dostateczną ilość pieniędzy, aby kupić w chwili t
nowy portfel (θt0 , θt1 ).
W niektórych przypadkach problem zabezpieczenia instrumentu pochodnego ma jednoznaczne, najlepsze rozwiązanie. Niekiedy udaje się zbudować
portfel, którego wartość w momencie końcowym jest dokładnie równa wartości zabezpieczanego instrumentu pochodnego. Strategię θ taką, że
VT (θ) = H.
5
:
8
nazywamy strategią replikującą instrument pochodny H. Możliwość replikacji leży u podstaw większości modeli wyceny instrumentów pochodnych.
Na przykład w modelu Blacka-Scholesa, w którym zakłada się, że cena
akcji jest geometrycznym ruchem Browna, takim portfelem jest strategia
delta-hedgingowa (zob. np. [6] lub [30], roz.6). Cena instrumentu pochodnego
powinna wówczas być równa początkowej wartości strategii zabezpieczającej.
Klasę rynków, w których dla każdego instrumentu pochodnego można znaleźć
portfel całkowicie go zabezpieczający, nazywamy rynkami zupełnymi.
Wiele wskazuje na to, że prawdziwe rynki finansowe nie są zupełne. Badania empiryczne wskazują bowiem, że występują na nich takie zjawiska,
jak zmienność stochastyczna, czy „skoki” cen akcji. Oznacza to, że na rynku
istnieją pewne źródła losowości, których nie można zabezpieczyć za pomocą
instrumentów finansowych6 . Jednym z najważniejszych problemów nowoczesnej matematyki finansowej jest zadanie wyceny i zabezpieczania instrumentów pochodnych na rynkach niezupełnych.
Model zmienności stochastycznej, przedstawiony w poprzednim punkcie,
jest modelem rynku niezupełnego. Oznacza to, że na ogół nie istnieje portfel całkowicie zabezpieczający instrument pochodny. Należy zatem wskazać
jakieś kryterium, według którego będziemy oceniali jakość zabezpieczenia.
W tym artykule posłużymy się zabezpieczeniem kwantylowe. Podstawowy pomysł podejścia kwantylowego polega na dopuszczeniu tego, że instrument nie
zostanie dobrze zabezpieczony przy jednoczesnej kontroli prawdopodobieństwa takiego zdarzenia. Możliwe są tu dwa podejścia. W pierwszym z nich,
inwestor stara się maksymalizować prawdopodobieństwo zabezpieczenia instrumentu, przy zadanym koszcie początkowym strategii zabezpieczającej.
W drugim — inwestor próbuje zminimalizować koszt strategii zabezpieczającej przy zadanym prawdopodobieństwie zabezpieczenia instrumentu.
Zabezpieczenie kwantylowe jest zatem dynamiczną wersją wartości narażonej na ryzyko (ang. value at risk, VAR). Wartość narażona na ryzyko to
największa strata, jaką może ponieść inwestor przy ustalonym prawdopodo9
bieństwie. Na przykład, jeżeli wartość VAR przy prawdopodobieństwie 0,99
wynosi 100 tys. zł, to oznacza to, że z prawdopodobieństwem 0,01 strata
inwestora może przekroczyć 100 tys. zł. Zarządzanie portfelem w oparciu o
wartość narażoną na ryzyko polega na utrzymywaniu VAR na odpowiednio
niskim poziomie, jednak w taki sposób, aby było możliwe osiąganie zysków.
Zawsze bowiem istnieje wybór między większym zyskiem i większym ryzykiem, a mniejszym zyskiem i mniejszym ryzykiem. VAR umożliwia pomiar
ryzyka, kwantyfikując zmienne decyzyjne. Podobnie, w zabezpieczeniu kwantylowym jedną ze zmiennych decyzyjnych jest prawdopodobieństwo poniesienia straty przez inwestora.
Zdarzenie polegające na tym, że za pomocą strategii inwestycyjnej zabezpieczono instrument, czyli że końcowa wartość strategii pozwoliła na pokrycie
wypłat związanych z instrumentem, nazwiemy sukcesem, a zdarzenie polegające na tym, że za pomocą wybranej strategii nie zabezpieczono instrumentu
nazwiemy porażką. Inaczej mówiąc, dla pewnej strategii inwestycyjnej θ sukcesem jest zdarzenie {VT (θ) > H}, a porażką jest zdarzenie {VT (θ) < H},
gdzie H jest zabezpieczanym instrumentem pochodnym. W metodzie kwantylowej przyjmujemy, że strategie inwestycyjne są oceniane według dwóch
kryteriów — kosztu strategii zabezpieczającej i prawdopodobieństwa sukcesu. Prawdopodobieństwo sukcesu dowolnej strategii θ, przy zabezpieczaniu
instrumentu pochodnego H, dane jest wzorem:
P (VT (θ) > H) ,
(5)
co inaczej można zapisać jako E 1{VT (θ)>H} . Wadą tego kryterium jest to, że
w przypadku porażki nie uwzględnia się wielkości poniesionej przez inwestora
straty. Dlatego lepiej (5) zastąpić przez kryterium oczekiwanego współczynnika sukcesu, który definiujemy następująco: Współczynnikiem sukcesu strategii θ przy zabezpieczeniu instrumentu pochodnego H nazywamy zmienną
losową:
ϕ(θ, H) = 1{VT (θ)>H} +
10
VT (θ)
1{VT (θ)<H} .
H
(6)
Oczekiwanym współczynnikiem sukcesu jest
VT (θ)
E [ϕ (θ, H)] = P (VT (θ) > H) + E
1{VT (θ)<H} .
H
(7)
Współczynnik sukcesu mierzy stopień, w jakim udało się zabezpieczyć instrument pochodny. Dla zdarzeń elementarnych (możliwych stanów świata),
w których ϕ = 1, instrument jest zabezpieczony całkowicie, tzn. końcowa
wartość strategii jest większa niż wypłaty związane z instrumentem. W stanach, w których wartość tego współczynnika jest mniejsza od 1, instrument
jest zabezpieczony częściowo. Na przykład, jeśli ϕ = 0,5, to wartość końcowa
strategii jest równa połowie wypłat związanych z instrumentem.
Każdą strategię można ocenić według dwóch kryteriów — jej kosztu początkowego oraz oczekiwanego współczynnika sukcesu. Zadanie poszukiwania
najlepszej strategii jest zatem zadaniem wielokryterialnym. Zadania takie
nie mają na ogół jednego rozwiązanie, najlepszego ze względu na wszystkie
kryteria. W takim przypadku ogranicza się do rozwiązań optymalnych w
sensie Pareto, czyli takich, dla których nie można polepszyć jednego kryterium nie pogarszając jednocześnie drugiego. Strategie optymalne w sensie
Pareto można otrzymać rozwiązując jedno z dwóch opisanych dalej zadań.
Pierwszym z nich jest maksymalizacja oczekiwanego współczynnika sukcesu
przy zadanym koszcie początkowym:
max E [ϕ(θ, H)] ,
(8)
V0 (θ) 6 v0 ,
(9)
θ∈Θa
pod warunkiem, że
gdzie v0 jest ustalonym kosztem początkowym strategii.
Drugim zadaniem jest minimalizacja kosztu strategii, przy ustalonym poziomie współczynnika sukcesu, 1 − ε:
min V0 (θ),
θ∈Θa
11
(10)
pod warunkiem, że
E [ϕ(θ, H)] > 1 − ε.
(11)
Każde rozwiązanie zadania (8)–(9) lub (10)–(11) jest rozwiązaniem optymalnym w sensie Pareto względem dwóch kryteriów: minimalizacji kosztu strategii i maksymalizacji oczekiwanego współczynnika zabezpieczenia instrumentu
pochodnego.
4. Metoda wyznaczania zabezpieczenia
H. Föllmer i P. Laukert w artykule [14] zaproponowali sposób rozwiązania zadań zabezpieczenia kwantylowego (8)–(9) i (10)–(10) oparty na lemacie Neymana-Pearsona. Pokazali, że zadania zabezpieczenia kwantylowego
można sprowadzić do pewnych zadań poszukiwania najmocniejszego testu
hipotez statystycznych. Gdy model jest zupełny, otrzymuje się układ hipotez
prostych. W takim wypadku rozwiązanie otrzymujemy z lematu Neymana-Pearsona. Autorzy tej metody w tym samym artykule pokazali także, jak
można ją zastosować dla rynku niezupełnego. Wówczas zadania (8)–(9) i
(10)–(10) można sprowadzić do testowania pewnego układu hipotez złożonych. Sprowadzając model do wersji dyskretnej (tj. zakładając, że w każdym momencie stopa zwrotu ceny akcji może przyjmować jedynie skończoną
liczbę wartości) otrzymujemy w ten sposób pewne zadania programowania
liniowego, które można rozwiązać standardowymi metodami, np. korzystając
z algorytmów sympleksowych.
Na rynku niezupełnym metoda ta jest jednak zbyt skomplikowana obliczeniowo, by można ją było zastosować praktycznie. Rozmiar otrzymywanych
zadań programowania liniowego rośnie wykładniczo wraz z długością horyzontu czasu. Na przykład, jeśli założymy, że w każdym momencie czasu stopa
zwrotu ceny akcji może przyjąć tylko trzy wartości, to dla horyzontu czasu
długości T otrzymujemy zadania programowania liniowego z 3T zmiennymi
12
i 22
T −1
ograniczeniami. W większości zastosowań (np. gdy chcemy zabezpie-
czyć opcję o dziewięciomiesięcznym terminie wykonania) jest to zadanie zbyt
duże, by je rozwiązać numerycznie7
Metoda, którą proponujemy tutaj polega na wykorzystaniu programowania dynamicznego. Jak można zauważyć, zadanie (8)–(9) ma postać zadania
sterowania optymalnego procesami Markowa. Rozwiązanie możemy zatem
wyznaczyć korzystając z zasady Bellmana. Oznaczmy przez Ft (s, v) maksymalny oczekiwany współczynnik sukcesu, jaki może osiągnąć inwestor, który
w chwili t posiada majątek v, przy czym cena akcji w tym okresie wynosi
s. Oczywiście, F0 (S0 , V0 ) oznacza maksymalną wartość funkcji celu w zadaniu (8)–(9). Zgodnie z zasadą Bellmana optymalne rozwiązanie zadania
winno spełniać następujące równanie (nazywane równaniem Bellmana, zob.
np. [26], roz. 4, [13], roz. 4.):
Ft (s, v) = max E [Ft+1 (St+1 , Vt+1 (θ)) | St ] ,
(12)
θ∈Θ(t,v)
gdzie zbiór Θ(t, v) jest zbiorem strategii samofinansujących, które w chwili t
mają wartość równą v, St+1 oznacza możliwe ceny akcji w chwili t + 1, zaś
Vt+1 (θ) jest wartością wybranej strategii θ w chwili t + 1. W momencie T
wartość FT (s, v) jest równa współczynnikowi sukcesu, zdefiniowanemu równaniem (6). Strategia θ, która maksymalizuje wartość po lewej stronie tego
równania stanowi część optymalnej strategii inwestora w chwili t w sytuacji,
gdy cena akcji wynosi s, a inwestor posiada majątek v. Rozwiązując równania (12) dla coraz wcześniejszych momentów t otrzymamy ostatecznie F0 ,
która opisuje optymalną wartość funkcji celu, możliwą do osiągnięcia przez
inwestora rozpoczynającego zabezpieczanie instrumentu pochodnego w chwili
t = 0. Korzystając z warunku samofinansowania i z tego, że wartość strategii
θ w chwili t powinna wynosić v równanie (12) można zapisać w postaci:
1
1
|
S
Ft (s, v) = max
E
F
t .
t+1 St+1 , θt St+1 + (1 + r) v − sθt
1
θt
7
.
13
(13)
Optymalna ilość akcji w portfelu w chwili t to θt1 , które maksymalizuje prawą
stronę równania (13). Optymalną ilość obligacji otrzymujemy korzystając z
warunku samofinansowania strategii:
θt0 =
v − sθt1
.
Bt
Numerycznie, równanie (13) rozwiązujemy dokonując symulacji za pomocą drzewa wielomianowego. Zakładamy, że w każdej chwili t możliwych jest
tylko skończenie wiele różnych cen akcji St i różnych wartości współczynnika
zmienności σt . Każdej kombinacji ceny akcji i współczynnika zmienności w
dowolnej chwili t odpowiada pewien węzeł drzewa wielomianowego. Z każdego węzła w momencie t < T można przejść do pewnych węzłów w chwili
t + 1, przy czym znamy prawdpodobieństwa takich przejść. W chwili t = 0
drzewo ma tylko jeden węzeł, w którym cena akcji i współczynnik zmienności
są równe wartością zaobserwowanym na rynku w momencie początkowym:
S0 i σ0 . Innymi słowy, przybliżamy proces cena akcji pewnym łańcuchem
Markowa (o zmiennych stanu St i σt ).
Rozważmy węzeł w momencie t < T , w którym cena akcji wynosi St ,
a współczynnik zmienności jest równy σt . Zakładamy, że w następnym momencie cena akcji może przyjąć jedną z dwóch wartości: St eγ lub St e−γ , gdzie
p
γ = µ2 + σt2 . Prawdopodobieństwo przejścia od rozważanego węzła do węzła z ceną St eγ wynosi
p1 =
1
µ
+p
,
2
2
µ + σt2
a prawdopodobieństwo przejścia do węzła z ceną St e−γ to 1 − p1 . Niezależnie
od tego, także współczynnik zmienności może przyjąć w następnym okresie
jedną z dwóch wartości, które obliczamy na podstawie równania (3). Przy
kalibracji stosujemy metodę naśladowania wartości oczekiwanej i wariancji
wynikających z równania (3) przez odpowiednie wartości procesu opisanego
za pomocą drzewa. Zakładamy zatem, że wartość ln σt2 może w następnym
14
momencie przyjąć wartość a1 ln σt2 + h lub a1 ln σt2 − h z prawdopodobieństwem, odpowiednio, p2 i 1 − p2 . Wymagamy przy tym, aby
2
E ln σt+1
| σt2 = a0 + a1 ln σt2
oraz
2
var ln σt+1
| σt2 = c2 .
Powyższe zależności nakładają dwa warunki na parametry h i p2 . Jak można
łatwo sprawdzić, warunki te są spełnione dla
h=
q
a20 + c2
oraz
p2 =
1
a0
.
+ p 2
2 2 a0 + c 2
W chwili t + 1 cena akcji oraz zmienność mogą przyjąć, niezależnie od siebie, dwie różne wartości. Zatem z każdego węzła w chwili t można przejąć do czterech różnych węzłów w chwili t + 1: (St eγ , σta1 eh ), (St eγ , σta1 e−h ),
(St e−γ , σta1 eh ), (St e−γ , σta1 e−h ), a prawdopodobieństwa przejść wynoszą p1 p2 ,
p1 (1 − p2 ), (1 − p1 )p2 oraz (1 − p1 )(1 − p2 ).
Po dokonaniu kalibracji modelu obliczamy optymalną strategię zabezpieczającą. Zaczynany od węzłów drzewa w okresie końcowym.
5. Zabezpieczenie kwantylowe w modelu zmiennej
stochastycznej – wyniki empiryczne
Aby przetestować wyznaczanie zabezpieczeń kwantylowych w różnych
modelach rynku, wybraliśmy sześć europejskich warrantów kupna na akcje
notowane na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie. Warranty te
były notowane na giełdzie w latach 2001-2002. Wystawcą warrantów był
BRE Bank lub Beskidzki Dom Maklerski. Tablica 1 zawiera podstawowe
informacje na temat wybranych instrumentów. Instrumenty, których symbol
kończy się literami BRE, zostały wyemitowane przez BRE Bank, a emitentem
15
instrumentów o symbolu kończącym się literami BDM był Beskidzki Dom
Maklerski. Warranty wyemitowane przez BRE Bank opiewają na 10 akcji,
podczas gdy na warrant, którego emitentem jest Beskidzki Dom Maklerski,
przypada jedna akcja. Aby obliczenia dla warrantów emitowanych przez te
instytucje były porównywalne, przyjmujemy dalej, że wszystkie warranty są
wystawione na jedną akcję. Oznacza to, że ceny i wypłaty warrantów emitowanych przez BRE Bank dzielimy przez 10.
5.1. Dane
[Miejsce na tabelę 1]
W tablicy 2 przedstawiamy cenę akcji, na którą wystawiony jest warrant,
w dniu pierwszego notowania warrantu (S0 ), a także szacowany współczynnik
zmienności akcji σ i cenę warrantu obliczoną zgodnie ze wzorem Blacka-Scholesa8 . Zgodnie z klasyczną teorią wyceny opcji jest to cena uruchomienia
strategii replikującej instrument (pod warunkiem, że portfel zabezpieczający
można zmieniać nieskończenie często) — zob. np. [4], [5], [11], [18], [30].
[Miejsce na tabelę 2]
5.2. Wyniki
W celu wyznaczenia zabezpieczenia kwantylowego wyznaczyliśmy parametry modelu zmienności stochastycznej dla każdej z badanych akcji. Parametry te zostały przedstawione w tabeli 3. Następnie dla każdego warrantu
rozwiązaliśmy, opisaną wyżej metodą programowania dynamicznego, zadanie wyznaczania zabezpieczenia kwantylowego. Przyjęliśmy, że współczynnik
sukcesu powinien wynosić 0,9, czyli wartość strategii zabezpieczającej powinna średnio w 90% pokrywać wypłaty związane z instrumentem.
Do oceny metod zabezpieczenia posłużyliśmy się metodą Monte Carlo 9 .
W naszym przypadku metoda ta polega na tym, że najpierw tworzymy losowo
9
Zobacz [15], roz. 5 lub [32].
16
wiele możliwych trajektorii cen akcji, a następnie dla każdej trajektorii wyznaczamy zabezpieczenie instrumentu pochodnego oraz wypłatę tego instrumentu. Na podstawie dużej próby możliwych trajektorii, wypłat instrumentu
przy tych trajektoriach oraz końcowych wartości majątku dla stosowanego
zabezpieczenia, można ocenić jakość zabezpieczenia.
W prowadzonych badaniach tworzyliśmy próby złożone z 10 000 losowych
trajektorii ceny akcji (S0i , S1i , . . . , STi ), gdzie 1 6 i 6 10 000. Dla trajektorii
i obliczymy wypłatę instrumentu H i = h(STi ) oraz majątek końcowy, jaki
otrzymamy dla tej trajektorii stosując badaną strategię V i . Do porównywania
jakości zabezpieczeń służą dwie wielkości. Po pierwsze: różnica (H i − V i )+ .
Im większa jest ta wielkość, tym więcej musi dopłacić emitent w chwili T , aby
wywiązać się z płatności związanych z zabezpieczanym instrumentem. Drugim kryterium jest współczynnik sukcesu, ϕi =
Vi
1 i i
H i {V 6H }
+ 1{V i >H i } , który
mówi, jaką część wypłat instrumentu udało się zabezpieczyć. Obliczymy wartości średnie i odchylenia standardowe ze wszystkich tych wskaźników liczone
po wszystkich wygenerowanych trajektoriach.
Trajektorie cen akcji tworzyliśmy metodą bootstrapową (zob. np. [9], roz. 8
lub [7]). Dysponując próbą empiryczną stóp zwrotu zabezpieczanej akcji losowaliśmy z tej puli próbkę o liczebności T : x̃1 , . . . , x̃T , przy czym prawdopodobieństwa wylosowania każdej obserwacji z puli są równe. Na podstawie
tak wygenerowanej próbki tworzymy trajektorię ceny akcji kładąc S0i = S0
oraz
i
(1 + x̃t ) ,
Sti = St−1
dla t = 1, . . . , T.
Powtarzamy tę procedurę 10 000 razy otrzymując w ten sposób próbę trajektorii do zastosowania w symulacjach Monte Carlo.
Metoda bootstrapowa zapewnia, że trajektorie stosowane w symulacjach
Monte Carlo są realistyczne. Przy dostatecznie dużej próbie rozkład stóp
zwrotu w symulowanych trajektoriach jest bowiem zbliżony do rzeczywistego
17
rozkładu stóp zwrotu akcji. Rozważania nt. jakości metod bootstrapowych
można znaleźć np. w: [7], roz. 2.6.
Tablica 4 przedstawia wyniki symulacji Monte Carlo. Wyniki dla strategii zabezpieczenia kwantylowego w modelu zmienności stochatycznej przedstawione są kolumnie „Badane”. Dla porównania zamieszczono także wyniki symulacji dla zabezpieczenia delta-hedgingowego w modelu Blacka-Scholesa (kolumny oznaczone „BS”)10 i zabezpieczenia kwantylowego w modelu
Blacka-Scholesa (kolumny oznaczone „KW”)11 . Symulacje dla wszystkich
trzech rodzajów strategii wykonano na tej samej próbie bootstrapowej i z tym
samym majątkiem początkowym, przy czym był to poziom majątku, który
pozwala na osiągniecie współczynnika sukcesu na poziomie 0,90 w modelu
zmienności stochastycznej. W tablicy podano dodatnie wielkości różnic między majątkiem końcowym, a wypłatą instrumentu oraz osiągnięte w symulacjach współczynniki sukcesu. Dla każdego instrumentu w pierwszym wierszu
podano średnią z 10 000 symulacji, a w drugim wierszu, w nawiasie, podano
odchylenie standardowe danego wskaźnika.
Aby sprawdzić, jakie znaczenie dla strategii zabezpieczającej ma trend
cen akcji przeprowadzono także drugą symulację, ze zmienionym trendem.
W tej symulacji zmodyfikowano próbę bootstrapową tak, aby średnia stopa
zwrotu akcji w próbie bootstrapowej była równa średniej z próby, na podstawie której szacowano model. Wyniki symulacji dla zmodyfikowanej próby
także znajdują się w tablicy 4.
10
Delta-hedging to strategia replikująca instrument pochodny, wynikająca z modelu
Blacka-Scholesa. Dla europejskiej opcji kupna strategia delta-hedgingu polega na utrzymywaniu portfela, w którym w każdej chwili t znajduje się Φ(d+ ) akcji, gdzie Φ jest
dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego, zaś d+ =
ln
St
K
2
+(r+ σ2 )(T −t)
√
.
σ T −t
Parametr
r oznacza stopę procentową wolną od ryzyka, T — moment wykonania opcji, a K —
cenę wykonania opcji. Więcej informacji o delta-hedgingu można znaleźć np. w rozdziale 6
książki: [30]. Cena Blacka-Scholesa i strategia replikująca nie zależą od trendu, z jakim cena
akcji rośnie lub maleje, jednak w zastosowaniu może się okazać, że powodzenie strategii
zależy od tego, jaki był trend.
11
Zobacz [14].
18
Jako że dla oceny jakości zabezpieczenia bardzo istotne jest to, jak duży
jest niedobór (tj. dodatnia różnica między wypłatami związanymi z zabezpieczanym instrumentem, a końcową wartością strategii zabezpieczającej) w najmniej sprzyjających przypadkach, więc obliczono także percentyle (rzędu 0,90
i 0,99) różnic między majątkiem końcowym, a wypłatą instrumentu. Wielkości te zostały obliczone na podstawie symulacji Monte Carlo. Znajdują się
w tablicy 5. I tak, na przykład, liczba 4,12 w trzecim wierszu i pierwszej
kolumnie tablicy oznacza, że w 90% przypadków różnica między wypłatami
związanymi z instrumentem AGOC055BDM, a majątkiem końcowym badanej
strategii nie przekracza 4,12 zł. W tablicy podano także wyniki dla symulacji
ze zmodyfikowaną próbą bootstrapową (z innym trendem).
6. Wnioski
Na podstawie przedstawionych wyników można stwierdzić, że w prawie
wszystkich przeprowadzonych symulacjach średnia różnica między wypłatami
związanymi z instrumentem, a końcową wartością strategii była, dla badanego zabezpieczenia, mniejsza niż dla zabezpieczenia kwantylowego w modelu Blacka-Scholesa (KW). W większości przypadków była także mniejsza
niż dla zabezpieczenia delta-hedgingowego w modelu Blacka-Scholesa (BS).
Najlepiej, ze względu na średnie różnice, udało się zabezpieczanie warrantów
na akcje Optimusa i Orbisu. Dla obu tych instrumentów średnia różnica dla
badanej strategii była znacznie mniejsza niż dla strategii BS i KW i to zarówno w symulacjach opartych na niezmodyfikowanej próbie bootstrapowej,
jak i w symulacjach z próbą ze zmodyfikowanym trendem.
Zabezpieczenie kwantylowe w modelu zmienności stochastycznej okazało
się bardzo dobre, jeżeli wziąć pod uwagę średni współczynnik sukcesu. Najmniejsza wartość tego wskaźnika wyniosła 0,7935 (dla warrantu na akcje
Prokomu, symulacja dla próby ze zmienionym trendem). W pozostałych przypadkach średnie wartości współczynnika sukcesu wynosiły najczęściej około
19
0,9. Największą wartość, równą 0,9893, osiągnięto dla warrantu na akcje
Optimusa (niezmodyfikowana próba bootstrapowa). Średnie współczynniki
sukcesu dla zabezpieczeń kwantylowych były na ogół dużo wyższe niż dla
zabezpieczeń BS i KW. Należy także zwrócić uwagę na dużą stabilność wyników, przy przejściu od niezmodyfikowanej próby bootstrapowej do próby ze
zmienionym trendem. Potwierdza to wniosek, że zabezpieczenia kwantylowe
w modelu zmienności stochastycznej były mało wrażliwe na zmianę trendu.
Wysokie percentyle różnic między wypłatami związanymi z instrumentem, a końcową wartością strategii przyjmują w niektórych przypadkach duże
wartości. O ile percentyle rzędu 0,9 dla badanej strategii są lepsze lub na takim samym poziomie, jak dla strategii BS i KW, to percentyle rzędu 0,99
są zazwyczaj większe. Bardzo dobre, według kryterium wysokich percentyli,
okazały się zabezpieczenia warrantów na akcje Optimusa, Orbisu i Orlenu.
Dla tych instrumentów percentyl rzędu 0,90 dla badanego zabezpieczenia ma
znacznie mniejszą wartość niż dla zabezpieczeń BS i KW. Co więcej — wysokie percentyle dla tych instrumentów nie zmieniają się znacznie przy zmianie
trendu. Warto zauważyć, że percentyle rzędu 0,90 dla wszystkich badanych
instrumentów są znacznie bardziej odporne na zmianę trendu ceny akcji niż
percentyle rzędu 0,99.
20
Literatura
[1] K. J. Arrow. The role of securities in the optimal allocation of risk-bearing.
Review of Economic Studies, 31:91–96, 1964.
[2] K. J. Arrow. Esseys in the theory of risk bearing. North-Holland, Amsterdam,
1970.
[3] M. Baran. Quantile hedging on markets with proportional transaction costs.
Applicationes Mathematicae, 30:193–208, 2003.
[4] N. H. Bingham, R. Kiesel. Risk-neutral valuation. Springer-Verlag, Nowy
Jork, 1998.
[5] T. Björk. Arbitrage theory in continous time. Oxford University Press,
Oxford, 1998.
[6] F. Black, M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities. Journal
of Political Economy, 81:637–654, 1973.
[7] A. C. Davison, D. V. Hinkley. Bootstrap methods and their application. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
[8] G. Debreu. Economics under uncertainty. Mathematical economics: twenty
papers of Gerard Debreu, strony 115–119. Cambrige University Press, Cambridge, 1983.
[9] C. Domański, K. Pruska. Nieklasyczne metody statystyczne. PWE, Warszawa,
2000.
[10] D. Duffie. Security markets: stochastic models. Academic Press, Boston, 1988.
[11] D. Duffie. Dynamic asset pricing theory. Princeton University Press, Princeton, 2001.
[12] J. R. Elliot, P. E. Kopp. Mathematics of financial markets. Springer-Verlag,
Nowy Jork, 1999.
[13] W. H. Fleming, R. W. Rishel. Deterministic and stochastic optimal control.
Springer-Verlag, Nowy Jork, 1975.
[14] H. Föllmer, P. Laukert.
Quantile hedging.
Finance and Stochastics,
3:251–273, 1999.
[15] J. E. Gentle.
Random number generation and Monte Carlo methods.
Springer-Verlag, Nowy Jork, 1998.
21
[16] P. Guasoni. Risk minimization under transaction costs. Finance and Stochastics, 6:91–113, 2002.
[17] P. J. Hunt, J. E. Kennedy. Financial derivatives in theory and practice. John
Wiley and Sons, Ltd, Chichester, 2000.
[18] J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, Ł. Stettner. Matematyka finansowa. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2003.
[19] J. Jakubowski, R. Sztencel. Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. SCRIPT,
Warszawa, 2001.
[20] R. Jarrow, S. Turnbull. Pricing options on financial securities subject to credit
risk. The Journal of Finance, 50:53–85, 1995.
[21] I. Karatzas, S. E. Shreve. Methods of mathematical finance. Columbia University Press, Nowy Jork, 1995.
[22] J. F. C. Kingman. Procesy Poissona. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.
[23] M. Kirch, R. N. Krutchenko, A. V. Melnikov. Efficient hedging for a complete
jump-diffusion model. Discussion paper 27, 2002.
[24] P. Kliber. Metody redukcji ograniczania ryzyka na rynku instrumentów pochodnych. Zabezpieczenia kwantylowe. Praca doktorska, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, 2004.
[25] M. Musiela, M. Rutkowski.
Martingale methods in financial modelling.
Springer-Verlag, Nowy Jork, 1998.
[26] J. N. Rojtenberg. Teoria sterowania. Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
Warszawa, 1978.
[27] J. Sekine. Quantile hedging for defaultable securities in an incomplete market.
Working Paper, 1999.
[28] A. N. Shiryaev. Probability. Springer-Verlag, Nowy Jork, 1984.
[29] A. N. Shiryaev. Essentials of stochastic finance. World Scientific Publ., Singapur, 1999.
[30] A.
Weron,
R.
Weron.
Inżynieria
finansowa.
Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1998.
[31] D. Williams. Probability with martingales. Cambrige University Press, Cambridge, 1991.
22
[32] R. Zieliński. Metody Monte Carlo. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1970.
23
Przypisy
1
Najlepszym przykładem może być wycena opcji amerykańskich lub opcji
egzotycznych.
2
Istotne jest tu nie to, że stopa procentowa jest stała, ale że jest determini-
styczna. Jeśli przyjąć, że stopa procentowa (a więc także i cena obligacji) jest
procesem stochastycznym, to w modelu rynku pojawia się dodatkowe źródło
ryzyka. Metoda wyznaczania strategii zabezpieczającej staje się wówczas bardziej skomplikowana. Stochastyczne modele stopy procentowej można znaleźć
w: [5], [11], [25].
3
4
Zobacz np. [29], roz. II.3c.
W modelu z czasem ciągłym strategia inwestycyjna jest samofinansu-
jąca, jeśli spełnia stochastyczne równanie różniczkowe dVt = θt0 dBt + θt1 dSt .
Zobacz np. [18], [17], [30].
5
Rozważania na temat tego, kiedy rynek jest zupełny można znaleźć np.
w [4], [10], [21] [29]. Pojęcia rynku zupełnego i niezupełnego pochodzą od K.J.
Arrowa i G. Debreu i zostały wprowadzone przy okazji analizy równowagi
ogólnej w modelu gospodarki uwzględniającym ryzyko. Zob. [1], [2], [8].
6
Informacje nt. pojęć z zakresu teorii prawdopodobieństwa, takich jak
przestrzeń probabilistyczna, σ-algebra czy filtracja można znaleźć np. w [28],
[19], [31]. Dwie ostatnie pozycje zawierają także przykłady zastosowań tych
pojęć do teorii rynków finansowych.
7
Rozważania nt. możliwości praktycznego wyznaczania strategii zabez-
pieczających w różnych modelach rynku można znaleźć w trzecim rozdziale
pracy [24].
8
Współczynnik zmienności obliczono jako odchylenie standardowe stóp
zwrotu z sesji na sesję zdyskontowanych cen akcji. Do obliczeń wzięto notowania akcji z ostatnich trzech miesięcy poprzedzających pierwsze notowanie
badanego instrumentu pochodnego. Stopy zwrotu dla każdej sesji obliczono
na podstawie cen zamknięcia.
24
Tablica 1. Warranty użyte do badań
Symbol
warrantu
AGOC055BDM
OPTF065BDM
ORBC017BDM
PKMF130BRE
PKNC020BRE
TPSL014BRE
Źródło: Ceduła
Instrument
Cena
Data
Data
pierwotny wykonania pierwszego wygaśnięcia
(akcja)
notowania
Agora
55
27.12.2001 15.03.2002
Optimus
65
19.03.2001 15.06.2001
Orbis
17
27.12.2001 15.03.2002
Prokom
130
18.02.2002 21.06.2002
PKN Orlen
20
19.11.2001 15.03.2002
TP S.A.
14
20.08.2001 21.12.2001
Giełdy Papierów Wartościowych
25
Tablica 2. Ceny teoretyczne badanych instrumentów pochodnych
Symbol
Cena
warrantu
S0
σ
Blacka-Scholesa
AGOC055BDM 50,20 0,029336
3,02
OPTF065BDM
30,30 0,050008
0,20
ORBC017BDM 17,15 0,022305
1,44
PKMF130BRE 129,00 0,029074
15,52
PKNC020BRE
19,75 0,024566
2,05
TPSL014BRE
12,40 0,027846
0,91
Źródło: Obliczenia własne
26
Tablica 3. Szacunki parametrów w modelu zmienności stochatycznej dla badanych
warantów
Symbol
warrantu
a0
AGOC055BDM −0,251783
OPTF065BDM −0,240725
ORBC017BDM −0,537549
PKMF130BRE −0,353111
PKNC020BRE −0,624942
TPSL014BRE −0,459093
Źródło: Obliczenia własne
27
a1
0,965008
0,963027
0,931905
0,947961
0,921289
0,936955
Cena
c
0,249909
0,274595
0,246771
0,237475
0,217035
0,225877
Tablica 4. Wyniki symulacji Monte Carlo zabezpieczenia w modelu zmienności
stochastycznej wyznaczonego metodą symulacji modelu z wykorzystaniem drzewa
Niezmodyfikowana próba bootstrapowa
Różnice
Współczynnik sukcesu
Instrument
Badane
BS
KW
Badane
BS
KW
AGOC055BDM
1,26
3,01
3,98
0,8921
0,3636
0,3805
(4,09) (3,15) (3,51) (0,2611) (0,4789) (0,4761)
OPTF065BDM
0,10
2,00
0,50
0,9893
0,4118
0,4140
(1,32) (2,28) (0,51) (0,1010) (0,4922) (0,4914)
ORBC017BDM
0,33
0,50
1,08
0,9100
0,4968
0,5406
(0,98) (0,62) (0,91) (0,2108) (0,4907) (0,4796)
PKMF130BRE
8,50
6,16
10,55
0,8304
0,5366
0,5464
(19,67) (7,64) (10,67) (0,2919) (0,4849) (0,4663)
PKNC020BRE
0,53
0,48
1,28
0,8941
0,6084
0,6348
(1,43) (0,74) (1,23) (0,2243) (0,4833) (0,4695)
TPSL014BRE
0,40
1,13
0,21
0,8715
0,2964
0,6589
(1,25) (1,02) (0,16) (0,2949) (0,4518) (0,4412)
Próba zmodyfikowana – zmieniony trend
Różnice
Współczynnik sukcesu
Instrument
Badane
BS
KW
Badane
BS
KW
AGOC055BDM
2,57
2,01
2,74
0,8056
0,5247
0,5292
(6,08) (2,64) (3,13) (0,3329) (0,4949) (0,4813)
OPTF065BDM
0,22
1,61
0,40
0,9777
0,4909
0,4966
(2,16) (2,13) (0,48) (0,1446) (0,4999) (0,4975)
ORBC017BDM
0,28
0,53
1,14
0,9192
0,4664
0,5143
(0,87) (0,64) (0,92) (0,2012) (0,4905) (0,4827)
PKMF130BRE
10,64
5,51
9,22
0,7935
0,5945
0,5982
(21,83) (7,12) (10,35) (0,3128) (0,4739) (0,4511)
PKNC020BRE
0,55
0,48
1,28
0,8912
0,6050
0,6329
(1,46) (0,74) (1,24) (0,2272) (0,4839) (0,4700)
TPSL014BRE
0,33
1,23
0,23
0,8908
0,2623
0,6443
(1,13) (1,05) (0,16) (0,2733) (0,4357) (0,4511)
Źródło: Obliczenia własne
28
Tablica 5. Wyniki symulacji Monte Carlo zabezpieczenia w modelu zmienności
stochastycznej wyznaczonego metodą symulacji modelu z wykorzystaniem drzewa
— percentyle różnic
Instrument
AGOC055BDM
Percentyl
0,90
0,99
OPTF065BDM
0,90
0,99
ORBC017BDM
0,90
0,99
PKMF130BRE
0,90
0,99
PKNC020BRE
0,90
0,99
TPSL014BRE
0,90
0,99
Źródło: Obliczenia własne
Proba
Badane
4,12
21,11
0,00
1,09
1,14
4,84
31,94
92,39
2,01
6,86
1,39
6,36
29
normalna
Proba zmodyfikowana
BS
KW Badane BS
KW
7,75 8,94
9,61 6,14
7,50
10,90 11,77
29,26 9,66
10,74
5,48 1,25
0,00 5,02
1,16
7,74 1,66
8,28 7,43
1,61
1,46 2,36
0,96 1,52
2,41
2,29 3,15
4,43 2,36
3,19
18,22 26,39
39,15 16,43
25,21
28,98 35,70
99,03 27,93
34,87
1,65 3,10
2,09 1,67
3,10
2,90 4,28
7,09 2,90
4,26
2,63 0,42
0,91 2,73
0,43
3,50 0,54
5,92 3,56
0,53