Temat 2. Relacje.
Transkrypt
Temat 2. Relacje.
Maria Michalska, seminarium licencjackie 2014/15 RELACJE 1. Relacje Definicja 1. Relacją n-członową R w zbiorze A1 × · · · × An nazywamy dowolny podzbiór R ⊂ A1 × · · · × An . Mówimy, że x1 ∈ A1 , . . . xn ∈ An pozostają w relacji R, gdy (x1 , . . . , xn ) ∈ R. Przykład 2. Niech R będzie podzbiorem R3+ , gdzie R+ = {x ∈ R : x > 0}, takim że (a, b, c) ∈ R wtedy i tylko wtedy, gdy a, b oraz c odpowiadają dlugości boków pewnego trókąta na płaszczyźnie. Ćwiczenie 3. Zastanów się jak inaczej można zapisać powyższy warunek. Dla relacji dwuczłonowej R zamiast (x1 , x2 ) ∈ R piszemy często x1 Rx2 . Przykład 4. Relacja mniejszości < dla liczb rzeczywistych jest relacją dwuczłonową. Formalnie można pisać <⊂ R2 oraz (x, y) ∈< jeśli x jest mniejszy niż y. Zwróćmy uwagę, że raczej przyjęło się pisać x < y. Ćwiczenie 5. Podaj przykłady innych znanych relacji dwuczłonowych. 2. Rodzaje relacji W dalszym ciągu rozważać będziemy zbiór X oraz relację dwuargumentową R zawartą w X 2 . Definicja 6. Mówimy, że relacja R jest • zwrotna, gdy dla dowolnego x ∈ X zachodzi xRx. • przeciwzwrotna, gdy dla dowolnego x ∈ X zachodzi ∼ xRy. • symetryczna, gdy dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi xRy ⇒ yRx. • słabo antysymetryczna, gdy dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi (xRy ∧ yRx) ⇒ x = y. • przeciwsymetryczna (antysymetryczna), gdy dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi xRy ⇒∼ yRx. • przechodnia, gdy dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz. • spójna, gdy dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi xRy ∨ yRx ∨ x = y. 1 Maria Michalska, seminarium licencjackie 2014/15 2 RELACJE Przykład 7. Poniższa relacja jest zwrotna. Niech X = N i dla dowolnych x, y ∈ X mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy NWD(x, y) = x. Przykład 8. Poniższa relacja jest przeciwzwrotna. Niech X = R i dla dowolnych x, y ∈ X mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy x2 6= y 2 . Przykład 9. Poniższa relacja jest symetryczna. Niech X = R i dla dowolnych x, y ∈ X mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy |x| + |y| = 3. Przykład 10. Poniższa relacja jest słabo antysymetryczna. Niech X = R i dla dowolnych x, y ∈ X mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy x ¬ y. Przykład 11. Poniższa relacja jest przeciwsymetryczna. Niech X = R i dla dowolnych x, y ∈ X mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy x < y. Przykład 12. Poniższa relacja jest przechodnia. Niech X = N i dla dowolnych x, y ∈ X mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy x dzieli y. Przykład 13. Poniższa relacja jest spójna. Niech X = R i dla dowolnych x, y ∈ X mamy xRy wtedy i tylko wtedy gdy istnieje z ∈ R takie, że x + y = z. Ćwiczenie 14. Sprawdź, które warunki spełniają relacje z Przykładów 7-13. Ćwiczenie 15. Potraktuj relacje z Przykładów 7-13 jako podzbiory i spróbuj zaznaczyć je płaszczyźnie. Ćwiczenie 16. Zrób ćwiczenia od 4.45 do 4.72 z książki [MO]. 3. Relacja równoważności i klasy abstrakcji Przypomijmy, że rozważamy relację dwuargumentową R zawartą w zbiorze X 2 . Definicja 17. Relacja R jest nazywana relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Jednym z bardziej znanych przykładów relacji równoważności jest relacja modulo w liczbach całkowitych. Przykład 18 (Równość modulo). Ustalmy niezerową liczbę całkowitą p. O dwóch liczbach całkowitych x, y mówimy, że x jest równe y modulo p, co zapisujemy x ≡p y lub x ≡ y(mod p), wtedy i tylko wtedy gdy różnica x − y jest podzielna przez p. Ćwiczenie 19. Sprawdź czy powyższa relacja jest istotnie relacją równoważności. *Zastanów się nad jej związkiem z pierścieniami p-elementowymi. Definicja 20. Klasą abstrakcji relacji równoważności R elementu x nazywamy zbiór kxkR := {y ∈ X : xRy}. Przykład 21. Weźmy pod uwagę relację równości modulo 4 (porównaj Przykład 18). Dla x = 0 mamy k0k≡4 = {. . . , −8, −4, 0, 4, 8, 12, . . . }. Inaczej, klasa abstrakcji elementu 0 składa się z liczb podzielnych przez 4. Istotnie, liczba y należy do klasy abstrakcji 0 jeżeli 0 ≡4 y. Z definicji relacji oznacza to, że 0 − y jest podzielne przez 4. A zatem y też jest podzielne przez 4. Ćwiczenie 22. Wyznacz wszystkie klasy abstrakcji powyższej relacji. Maria Michalska, seminarium licencjackie 2014/15 RELACJE 3 Twierdzenie 23 (Zasada abstrakcji). Niech R będzie relacją równoważności w niepustym zbiorze X. Klasy abstrakcji relacji R ustalają rozbicie zbioru X na rozłączne i niepuste podzbiory. Dowód pozostawiamy jako ćwiczenie, można go znaleźć w [R]. Ćwiczenie 24. Sprawdź czy R ⊂ X 2 jest relacją równoważności i wyznacz klasy abstrakcji. a) X = C, z1 Rz2 ⇐⇒ Rez1 = Rez2 b) X = N, xRy ⇐⇒ 2|x − y c) X = R[t], xRy ⇐⇒ ∃a,b,c∈R x − y = at2 + bt + c Ćwiczenie 25. Zrób ćwiczenia 4.94-4.123 ze zbioru [MO]. Uwaga 26. Warto wspomnieć, że dzięki zasadzie abstrakcji można z liczb naturalnych skonstruować kolejno: całkowite, wymierne oraz rzeczywiste. 4. Relacja porządku Kolejnym ważnym typem relacji jest relacja porządku. Przypomijmy znowu, że rozważamy relacje dwuargumentowe w zbiorze X 2 . Definicja 27. Relacja jest nazywana porządkiem, jeśli jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia. Relację porządku często oznaczamy . Ćwiczenie 28. Która z relacji, < czy ¬, jest w tym sensie relacją porządku? Definicja 29. Relację przeciwzwrotną i przechodnią nazywamy relacją ostrego porządku. Przykład 30. Rozważmy zbiór RR wszystkich funkcji rzeczywistych. Jeśli f g wtedy i tylko wtedy, gdy f (t) ¬ g(t) dla dowolnego t ∈ R, to relacja jest relacją porządku. Uwaga 31. Załóżmy, że jest relacją porządku. Wykaż, że relacja ≺ dana wzorem x ≺ y ⇐⇒ (x y ∧ x 6= y) jest relacją ostrego porządku. Ćwiczenie 32. Udowodnij powyższą uwagę. Definicja 33. Relację porządku, która dodatkowo jest spójna, nazywamy porządkiem liniowym. Ćwiczenie 34. Sprawdź czy poniższe relacje R są relacjami porządku/ostrego porządku/liniowego porządku w zbiorze X. a) X = C, xRy ⇐⇒ kxk ¬ kyk b) X = N, xRy ⇐⇒ y dzieli x c) X = S 1 , eiφ Reiψ ⇐⇒ ψ − φ > 0 d) X = R[t], f Rg ⇐⇒ ∃>0 ∀x∈(0,) f (x) ¬ g(x) e) X dowolny, xRy ⇐⇒ x = y f) X = C, (a + ib)R(c + id) ⇐⇒ (a ¬ c ∧ b ¬ d) Maria Michalska, seminarium licencjackie 2014/15 4 RELACJE g) X to rodzina podzbiorów dowolnego zbioru Y , xRy ⇐⇒ x ⊂ y Definicja 35. Mówimy, że element m zbioru X z porządkiem jest maksymalny, jeśli nie można znaleźć elementu od niego większego tj. dla dowolnego x ∈ X mamy m x ⇒ m = x. Analogicznie można zdefiniować element minimalny (Jak? Ćwiczenie). Ćwiczenie 36. Znajdź, o ile to mozliwe, elementy maksymalne i minimalne dla porządków z Ćwiczenia 34. Ćwiczenie 37. Podaj przykład zbioru k + 1 elementowego, który posiada k elementów maksymalnych i 1 element minimalny. Uwaga 38. Z pojęciem porządku oraz elementów maksymalnych ściśle związany jest Lemat Kuratowskiego-Zorna. Literatura [R] [MO] Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej. PWN, Warszawa 1999 Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach. PWN, Warszawa 2000