Przykładowe zadania na kolokwium/egzamin

Kolokwium zaliczeniowe/egzamin
Przykładowe zadania
1. Zbadać zbieżność szeregu
∞
X
n2n + 1
n=1
n3n + 1
.
∞ r
X
2. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego
n=1
n2
n
(1 − x)n .
+1
3. Wyznaczyć szereg Maclaurina, określić promień jego zbieżności i obliczyć pochodne f (17) (0),
f (18) (0), jeżeli f (x) = x2 / 3x2 − 2 .
4. (a) Napisać równanie płaszczyny stycznej do powierzchni (x + 2)2 + (y − 3)2 + z 2 = 6 w punkcie
(0, 2, −1).
(b) Na powierzchni z = y ln 1 + x + y 2 znaleźć taki punkt, aby płaszczyzna styczna do tej
powierzchni w tym punkcie była równoległa do płaszczyzny z − y ln 2 = 0.
√
x
5. (a) Wyznaczyć wszystkie punkty, w których pochodna kierunkowa funkcji f (x) =
w kieruny
√
√ 2/2, 2/2 przyjmuje wartość 0.
ku wersora
√ √ (b) Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = ex x + y 2 w punkcie 0, 2 + 2 w
kierunku wersora ~
v tworzącego kąt π/4 z dodatnim zwrotem osi Ox. W którym z ośmiu geo-
graficznych kierunków: N, W, S, E, NW, NE, SW, SE szybkość wzrostu funkcji f od punktu
√ 0, 2 + 2 jest największa?
Uwaga. N-północ, W-zachód, S-południe, E-wschód.
√
6. (a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x − y x + y 2 − 3y.
(b) Znaleźć wartości najmniejszą i największą funkcji f (x, y) = x2 − y 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (4, 0), (0, 4).
7. (a) Zmienić kolejność całkowania w całce
Z2
Z1
dy
0
−2+
f (x, y) dx. Naszkicować obszar całko-
√
2y−y 2
wania.
1
1
+ 2 dxdy, jeżeli obszar D jest ograniczony krzywą
(b) Obliczyć całkę podwójną
2
x
y
D
√
x = y 2 + 1 i prostymi y = x, y = 1 i y = 3. Naszkicować obszar całkowania.
ZZ 8. Obliczyć całkę
ZZ
D
y dxdy
2
2
2
3 , gdzie D = (x, y) ∈ R : 1 ¬ x + y ¬ 9, y ¬ 0 .
2
2
(x + y )
9. (a) Obliczyć objętość tej części kuli x2 + y 2 + z 2 ¬ 1, która zawarta jest wewnątrz sfery x2 +
y 2 + (z − 1)2 = 1. Sporządzić rysunek.
(b) Obliczyć pole części powierzchni sfery x2 + y 2 + z 2 = 3 leżącej wewnątrz paraboloidy 2z =
x2 + y 2 . Sporządzić rysunek.