na bezwymiar. stałe sprzężenia oddziaływań

Stałe konstrukcyjne wszechświatów
Mirosław Kwiatek
Z wyprowadzenia Bohra wzoru Balmera
mamy wzory związane z (pierwszą) orbitą atomu wodoru:
V1 = αc = prędkośd elektronu
1
E1 = - 2 α2mec2 = EB = Eem = energia (podstawowa) elektronu
ћ2
4πε0 h 2ε0hћ c 2chε0 ћ 1 ћ
r1 = ke2m = e2m ћ2π = e2m c = e2 cm = α cm = rB = promieo (atomu)
e
e
e
e
e
gdzie:
v1
e2
1
α = c = 2chε ≈ 137 ≈ 10-2 = αem = bezwymiarowa stała struktury subtelnej
0
lub stała sprzężenia (oddziaływania) elektromagnetycznego
(W rzeczywistości stała ta zmienia się z energią; Rośnie ze wzrostem energii. Wpierw silnie
potem łagodnie, asymptotycznie )
2π2k2e4me
e 4m e
e 4m e
R=
= … = 8ε 2ch3 = … = 64π3ε 2cћ3 = stała Rydberga *1/m+
ch3
0
0
me = masa elektronu = 9,1*10-31
c = prędkośd światła
h 6,6*10-34
ћ = 2π =
= stała Diraca (‘kreślona’ stała Plancka)
2π
1
k, kB = stała elektrostatyczna = 9*109 = 4πε Jednostek SI
0
ε0 = przenikalnośd dielektryczna próżni = 8,85*10-12
e = ładunek elementarny (elektronu) = 1,6*10-19
We wzorze na promieo atomu mona wprowadzid też tylko jedną stałą wymiarową Rydberga:
1 1
r1 = 4π R α
Analogicznie mamy:
1
EN = 2 αs2mprc2 = energia nukleonu (protonu lub neutronu)
Gdzie: αs = 0,119 ≈ 0,12 ≈ 10-1 ≈ 100 = bezwymiarowa stała sprzężenia (oddziaływania)
silnego. (Też jest funkcją energii; Maleje. Wpierw silnie potem asymptotycznie, łagodnie)
mpr = masa protonu = 1,67*10-27
ћ
rN = α m c = promieo nukleonu = 10-15
s pr
Jest też oczywiście i bezwymiarowa stała sprzężenia dla oddziaływania grawitacyjnego αG
Występuje ona np. we wzorze na krytyczną masę gwiazdy zwaną masą Chandrasekhar’a:
Mc = αG-3/2mpr
albo
mpr
3
Mc = αG
albo αG = (mpr/Mc)2/3 = (1,67*10-27/3,5*1030)2/3 = (0,5*10-57)2/3 ≈ (10-114)1/3 = 10-38
(albo MC = 1,44 MSł)
Wzór Chandrasekhar’a wyprowadzony jest dalej’
Masa Mc (nazwa od nazwiska astrofizyka hinduskiego) to maksymalna masa gwiazdy
(zdegenerowanej już w trakcie ewolucji do jądra – białego karła) przed (raczej zbawiennym
…) wybuchem supernowej
Gmpr2
αG = ћc ≈ 10-39 ≈ 10-38
(Też jest funkcją energii – rośnie; wpierw łagodnie potem silnie)
G = stała grawitacji = 6,67*10-11
Są 4 podstawowe oddziaływania; Między (jądrowym) silnym a (najsłabszym) grawitacyjnym,
obok elektrycznego jest jeszcze (jądrowe) słabe (słabsze od elektrostatycznego).
Charakteryzuje się ono stałą sprzężenia αw ≈ 10-5 (i też zależy od energii – maleje; wpierw
silnie potem łagodnie)
mpr
Mając tylko: me, mpr (albo: β = m ), α, αs, ћ, c, G, kB (i αG) można też wyznaczyd m.in.:
e
-Stosunek mocy natężeo (mocy) sił: elektromagnetycznej do grawitacyjnej dla pary: proton i
elektron:
e2
Gmprme
e2
1
e2
1
1 e2 ch
1
1
e2 h c 1
=
=
=
=
2 /
2
4πε0r
r
4πε0 Gmprme 2ε0 2πGmpr me 2ε0 ch 2πGmpr me 2ε0ch 2π Gmpr me =
cћ mpr 1
cћ mpr
1 mpr α mpr α
10-2
= αGm m m = αGm 2 m = αα m = α m = α β ≈ 10-38 1836 ≈ 1036103 ≈ 1039 ≈ 1040 =
pr
pr
e
pr
e
G
e
G
e
G
N1
-Liczbę (Eddingtona) cząstek we Wszechświecie: c3t/Gmpr = 1079 ≈ 1080 (=N12?)
Jeżeli t = 13,7 mld lat = czas życia naszego Wszechświata = 13,7*109lat*3,1*107 s/rok =
4,25*1017 s
to mamy:
c3
(3*108)3
27*1024
62
17
79
t
=
-11
-27 t =
Gmpr
6,67*10 *1,67*10
11*10-38 t = 2,45*10 *4,25*10 = 10,4*10
≈ 1080
-Stosunek typowego czasu życia gwiazdy do czasu przelotu światła na odległośd promienia
mpr
mpr α mpr α2 mpr
protonu = N2 = ααS m N1 = ααS m α m = α αS( m )2
e
e G
e
G
e
Jak zauważył Dirac (1937), a za nim zwolennicy „celowego dostosowania” Wszechświata do
ludzkich potrzeb (tzw. koincydencje i zasady antropiczne), stosunek ten (niekiedy) jest
równy, co do rzędu wielkości, liczbie N1 (np. dla naszego Wszechświata)
Czyli
mpr
N2/N1 = ααS m ≈ 10-210-1103 = 100 = 1
e
tS
ctS 3*108*(6*108lat*3,1*107s/rok)
Albo inaczej: N2 = r /c = r =
= 55,8*1038 ≈ 6*1039
-15
10
pr
N
Gdzie ts = minimalny (ze względu na ewolucję życia) czas życia gwiazdy:
Czas życia (cyklu) gwiazdy typu Słooce: tS = (α2/αG)(mp/me)ћ(mpc2)-1
-Minimalną masę planety litej: M = mp(α/αG)3/2(me/mp)3/4
-Minimalny promieo planety litej: R = rB(α/αG)1/2(me/mp)1/4
-Długośd dnia na planecie litej:
Td = 2π(2)3/2rB/c(mp/me)1/2(ααG)-1/2
-Długośd roku na planecie litej (i sprzyjającej życiu termicznie): Ty = 0.2rB/c(mp/me)2α-13/2αG-1/8
Nasz Wszechświat jest jednym z wielu równolegle istniejących (albo kolejnym z wielu
występujących po sobie). W innych wszechświatach są inne zestawy wartości
rozpatrywanych stałych. …
Na podst.
http://www.colorado.edu/philosophy/vstenger/Cosmo/MonkeyGod.pdf = wzory (i
statystyka 100 wygenerowanych wszechświatów – patrz niżej)
http://www.colorado.edu/philosophy/vstenger/Cosmo/monkey.html = generator
wszechświatów
http://www.racjonalista.pl/kk.php/s,4990 = o wieloświecie
Uzupełnienia (patrz art.: Wyprowadz. wzoru na energię nukleonu …):
h2
EN ≈ m r 2
pr N
h
αS ≈ m cr
pr N
Mirosław Kwiatek, 2014
Wyprowadzenie wzoru na możliwą wysokośd góry na (wyimaginowanej) planecie litej
(„skalistej”) o minimalnej gęstości (z „zestalonego” wodoru).
Modelem góry może byd ostrosłup o podstawie kwadratowej mający wysokośd i krawędź
podstawy H. Masa góry m równa jest jej gęstości ρ pomnożonej przez objętośd:
m ≈ ρH3
(pomijamy 1/3)
GMm
R2 . Stosunek tej siły
grawitacji do pola podstawy H2 jest jej naciskiem na planetę. Nacisk ten można przyrównad
do nacisku atomów na siebie (≈ 1012 N/m2) pomnożonej przez współczynnik skalujący
makroświat z mikroświatem (me/mp)1/2 ≈ (1/1863)1/2 ≈ 0,0233 ≈ 10-2. Nacisk atomów czyli
E0
elektronów na siebie jest stosunkiem energii elektronu do objętości atomu:
(2a0)3
J Nm N
e2
[m3 = m3 = m2 ] gdzie 2a0 = średnica atomu. Z kolei energia elektronu wynosi: 2a . Mamy
0
więc:
Góra przyciągana jest grawitacyjnie przez „resztę” planety siłą
GMm 2
E0
1/2
R2 / H = (2a0)3 (me/mp)
GMρH3 2 e2/2a0
1/2
R2 / H = (2a0)3 (me/mp)
GMρH
e2
1/2
=
2
R
(2a0)4 (me/mp)
GMρH
H M
H
M
H M1/3M2/3
H M1/3 2/3
H M 1/3 2/3
R2 = G R ρ R = G R ρ (R3)1/3 = G R ρ (R3)1/3 = G R ρ (R3)1/3 M = G R ρ (R3 ) M =
H
H
= GR ρ (ρ)1/3 M2/3 = GR ρ4/3 M2/3
Znajdźmy stosunek wysokości góry do promienia planety:
H
e2
1/2
4/3
2/3
=
R (2a0)4 (me/mp) / (Gρ M )
czyli
H - 4/3
R~ρ
H
e2
1
1
albo: R = (2a )4 (me/mp)1/2 G M2/3 ρ4/3
0
(!)
Widad, że im większa gęstośd planety tym niższe maksimum wysokości góry, która może się
na niej wypiętrzyd.
Gęstośd góry z „litego wodoru” jest taka sama jak gęstośd atomu wodoru:
mp
ρ = (2a )3
(!!)
0
mp
mp4/3
ρ4/3 = [(2a )3 ]4/3 = (2a )4
0
(!!!)
0
Więc:
H
e2
1 (2a0)4
1/2
R = (2a0)4 ( me/mp) G M2/3 mp4/3
Czyli:
H 2
1
1
1/2 1
=
e
(m
2/3
e/mp)
R
G M mp4/3
Ale:
Gmp2
αG = ћc
Oraz:
e2
α = ћc
więc:
więc:
αGћc
G= m 2
p
e2 = αћc
2
H
1
1
1/2 mp
Więc: R = αћc (me/mp) α ћc M2/3 m 4/3
G
p
2
H
1
1/2 mp
-4/3
=
α
(m
/m
)
e
p
R
αG M2/3 mp
6/3
-4/3
H α
1/2 mp mp
R = αG (me/mp)
M2/3
2/3
H α
1/2 mp
=
(m
/m
)
e
p
R αG
M2/3
Ostatecznie:
H α
1/2
2/3
R = αG (me/mp) (mp/M)
H
1/2
2/3
R = (α/αG) (me/mp) (mp/M)
W rzeczywistości planety (np. Ziemia) zbudowane są z Fe i SiO2 mających gęstości wyższe
więc we wzorze musi byd współczynnik korygujący. Jest to masa atomowa (cząsteczkowa) A
podniesiona do potęgi takiej jak gęstośd: A-4/3 (Źródło podaje A-5/3 - ?). W przybliżeniu dla Fe
oraz SiO2 A = 50. A-4/3 ≈ 5,5 * 10-3 (A-5/3=1,5*10-3). Bez tego czynnika (≈10-3) uwzględniającego
większą od 1 (A=1 dla wodoru) liczbę protonów (nukleonów) będzie H/r>1! Czyli H>R.
(Minimalna) masa planety M wyliczona w innym miejscu ze wzoru: M=mp(α/αG)3/2(me/mp)3/4
wynosi 2,5*1023 kg. Tak więc:
H
1
-39
-27
23 2/3
-2
39
-2
-50 2/3
35
≈
[
R 137 /(5,88*10 )](0,023)(1,67*10 /(2,5*10 )) ≈ 10 *10 *10 *(10 ) = 10 *(10
100 1/3
) = 1035*(10-1*10-99)1/3 = 1035*10-1/3*(10-99)1/3 ≈ 1035*(10-99)1/3 = 1035*10-33 = 102 > 1
Dokładniej: 0,2*102 ≈ 101 = 10 >1
(0,2*102)(4,5*10-3) = 0,9*10-1 ≈ 10-1
Wydaje się, że w dalszym ciągu wartośd stosunku H/R jest za duża. Jeden z naukowców
proponuje (Weisskopf, 1975 – patrz źródło) dodatkowy czynnik ≈ 0,03.
0,9*10-1*0,03 = 2,7*10-3 ≈ 10-3
Hmax byłoby więc rzędu 10-3R
Dla Ziemi mielibyśmy: H = 2,7*10-3*6378 km = 17,221 km > 8,850 dla Czomolungmy
(Dla A-5/3 byłoby
(17,221 km) * 1,5/5,5 ≈ 4,697 km < 8,850 dla Mount Everest)
Najwyższa góra w Układzie Słonecznym znajduje się na Marsie (Olympus Mons – 21 km
ponad średnią powierzchnię planety …)
Wyprowadzenie wzoru na okres (długośd doby) autowirowania planety „litej” (czy księżyca)
albo gwiazdy neutronowej
GMm mν2
R2 = R
ν = ωR
GM
2
2 2
R = (ωR) = ω R
M
GR3
ω=
ω = Gρ
Czyli tym większa prędkośd kątowa (autowirowania) planety im większa jej gęstośd.
2π
ω= T
2π
T= ω
T=
T=
2π
Gρ
2π
6,67*10-11
1
=
ρ
2π
66,7*10-12
1
2π
0,8*106
= 8,2*10-6 =
ρ
ρ
Dla planety z „litego wodoru” mielibyśmy:
0,8*106 0,8*106
= 37,4 ≈ 2*104 = 20000 sek = 5,5(7)h ≈
1400
6h
0,8*106 0,8*106
Dla Marsa:
= 63 ≈ 1,2698*104 = 12698 sek = 3,5h
3970
0,8*106 0,8*106
Dla Ziemi:
= 74,3 ≈ 1,0767*104 = 12698 sek = 2,99h
5520
Dzisiejsze okresy dla Marsa i Ziemi wynoszą odpowiednio: 24h37min oraz 23h56min a więc
są kilkakrotnie większe (chod najwyżej o rząd wielkości); Przez ok. 4,4 mld lat planety
spowalniały swą autorotację z powodu oddziaływania grawitacyjnego innych ciał niebieskich
(np. Księżyca na Ziemię, Jowisza na Marsa). Największy wpływ miało tu Słooce na
Merkurego, którego okres autorotacji nie jest rzędu godzin ale dób (59). Jeszcze większy
okres ma Wenus (243 doby) ale tu jest hipoteza, że odpowiada za to (prawie „czołowe”)
zderzenie z inną planetą w prehistorii.
10-27
Dla gwiazdy neutronowej gęstośd wynosi tyle co gęstośd jądra atom.: (10-15)3 = 1018 więc:
0,8*106
-3
-3
18 = 0,8*10 ≈ 10 sek. Znacznie poniżej sekundy!
10
T ≈ G-1/2ρ-1/2 =
mp
T = G-1/2((2a )3 )-1/2
0
Uwzględniając, że:
ћ2
a0 = m e 2
e
e2
α = ћc
Gmp2
αG = ћc
me
mamy…: G = m 2 αGαa0c2
p
więc:
me
mp
T = (m 2 αGαa0c2)-1/2((2a )3 )-1/2
p
0
-1/2
me-1/2 -1/2
-1/2 -1 mp
T = m -1 a0 (αGα) c (2a )-3/2
p
0
T=
-1/2
mp1mp-1/2
-1/2 -1 a0
(α
α)
c
G
me1/2
(2a0)-3/2
-1/2
mp1/2
-1/2 -1 a0
T ≈ m 1/2 (αGα) c a -3/2
e
0
mp
T ≈ (m )1/2(αGα)-1/2c-1 a0-1/2a03/2
e
a0
T ≈ c (mp/me)1/2(αGα)-1/2
ω= prawie 1000 obr/s
Wyprowadzenie wzoru na okres obiegu wokołosłonecznego planety sprzyjającej życiu
ze wzoru na max. promieo d orbity planety warunkujący jej właściwą temperaturę.
GMm mν2
R2 = R
2πR
v= T
GM 2 2πR 2 4π2R2
R = v = ( T ) = T2
T2 4π2
R3 = GM
Wyprowadziliśmy dopiero tylko potrzebne tu prawo Keplera (ostatnie, trzecie); Stąd:
4π2R3 1/2
T = ( GM )
albo:
1/G1/2d3/2
T = 4π
M1/2
2
d = na podstawie praw ciał doskonale czarnych (współczynnik ε≈0,1):
60
d = (π3103 )1/2 a0(mp/me)ε-2α-4αG-1/4 ≈ 5*1011m = 500 mln km
Orbita Marsa wynosi 227 mln km a Jowisza – 778 mln km (Ziemi - 150)
M jest masą typowej gwiazdy, która z kolei jest równa 0,1MC = 0,1mpαG-3/2
1/G1/2[a0(mp/me)ε-2α-4αG-1/4]3/2
T≈
[mpαG-3/2]1/2
T=
G-1/2a03/2(mp/me)3/2ε-3α-12/2αG-3/8
= G-1/2a03/2 mp3/2mp-1/2 me-3/2 ε-3α-6 αG-3/8αG 3/4 =
mp1/2αG-3/4
= G-1/2 a03/2 mp me-3/2 ε-3α-6 αG3/8
Uwzględniając, że:
ћ2
a0 = m e 2
e
e2
α = ћc
(spoistośd planety)
Gmp2
αG = ћc
me
mamy …: G = m 2 αGαa0c2 = memp-2αGαa0c2
p
więc:
T = (memp-2αGαa0c2)-1/2 a03/2 mp me-3/2ε-3α-6αG3/8 =
me-1/2mpαG -1/2α-1/2a0-1/2c-1 a03/2 mp me-3/2 ε-3α-6 αG3/8 =
me-2mp2a0c-1 ε-3α-13/2 αG-1/8 =
= ε-3 (mp/me)2 (a0/c) (αGα)-1/2 α-13/2 αG-1/8
a dokładniej:
T = 0,2 ε-3 (mp/me)2 (a0/c) (αGα)-1/2 α-13/2 αG-1/8
T ≈ 6dób czyli rzędu 10 dób; To tylko o 1 rząd wielkości mniej od 100 a taki rząd wielkości ma
liczba dób: 366…
http://www.colorado.edu/philosophy/vstenger/Cosmo/Press.pdf
Oszacujmy d dla Układu Słonecznego.
Prawo Stefana-Boltzmanna dla ciał fizycznie doskonale czarnych (a takim jest Słooce):
8π5k4
π2k4
π2k4 4
4
E(T) = 15h3c3 T4 = 15ћ3c3 T4 =60ћ3c2 c T4=δ c T4 = AT4
δ = stała Stefana-Boltzmanna = 5,67*10-8 W/(m2K4) = 5,67*10-8 J/(sm2K4)
δT4*4πR2 = δTd4*4πd2
T4*R2 = Td4*d2
T4
d 2 = R 2T
4
d
T
d = R(T )2
d
Fotosfera („powierzchnia”) Słooca ma temperaturę od 4400 do 6000 K; Weźmy średnią 5200 K.
Promieo Słooca wynosi ok. 0,7 mln km
Woda ciekła potrzebna życiu istnieje od 0 do 100 0C;
Weźmy średnią = 50 czyli 323 K
5200
d = 0,7( 323 )2 = 0,7*(52002/3232) = 0,7*(27040000/104329) ≈ 0,7*259 ≈ 180 mln km
czyli między orbitami Ziemi i Marsa
(5200
Dla Td = 300 K (270C) byłoby: d = 0,7 300 )2 = 0,7*17,32 ≈ 0,7*299 ≈ 210 mln km (prawie orbita
Marsa)
Wyprowadzenie wzoru na minimalną masę planety (maksymalną asteroidy) i mnimalny
promieo.
Wyprowadzenie wzoru na masę i promieo planety „życiodajnej” (litej)
M
mp
3 =
R
(2a0)3
(gęstości)
GM
me 1/2 E0
R = ε (mp ) mp
(potencjały energetyczne)
R3mp
Z pierwszego: M = (2a )3
0
G R3mp
me 1/2 1 e2
3=ε(
R (2a0)
mp ) mp 2a0
do drugiego:
e2
Bo: E0 = 2a
0
GR2mp
me 1/2 e2
(2a0)2 = ε (mp ) mp
me
e2 (2a0)2
R2 = ε (m )1/2 m Gm
p
p
p
me
e2
R = ε1/2 (m )1/4 2a0 (Gm 2 )1/2
p
p
Uwzględniając, że:
e2
α = ћc
Gmp2
αG = ћc
αG Gmp2
mamy…: α = e2 Więc:
me
α
R = ε1/2 (m )1/4 2a0 (α )1/2
p
G
1 1
me
E0
Z drugiego r-nia, z potencjałami: R = GM ε (m )1/2 m
p
p
Wstawmy teraz ten promieo (odwrotnośd) do pierwszego aby wyznaczyd tym razem masę:
e2
(2a )3
1
me
mp
0
M(GM )3 ε3 (m )3/2 m 3 = (2a )3
p
p
0
M (e2)3 3 me 3/2
M3 G3mp3 ε (mp ) = mp
1 (e2)3
me
M2 = m G3m 3 ε3 (m )3/2
p
p
p
e2 3 2 3 me 3/2
M = ( Gm 2 ) mp ε (m )
p
p
2
αG Gmp2
α = e2 Więc:
α
me
M2 = (α )3 mp2 ε3 (m )3/2
G
p
α
me
M = ε3/2 (α )3/2 mp (m )3/4
G
p
=
(e2)3 mp2 3 me 3/2
=
G3mp4 mp2 ε (mp )
(e2)3
2 3 me 3/2
3
2 3 mp ε (
G (mp )
mp )
Wyprowadzenie wzoru na minimalną masę planety (maksymalną asteroidy) i mnimalny
promieo
Natężenie oddziaływania [N/m2] grawitacyjnego między planetą a jakąś masą na
powierzchni tej planety można wyrazid jako stosunek energii potencjalnej (grawitacji) do
objętości planety [J/m3 = (Nm)/m3 = N/m2]
GM2/R GM2
R3 = R4 (w przybliżeniu)
Załóżmy, że planeta składa się z „zestalonego wodoru” (i że jest to najlżejszy jego izotop:
prot). Planeta taka składająca się z N atomów zawiera też N protonów. Na masę M planety
składa się więc N mas mp protonu:
M=Nmp
Ponieważ przyjęliśmy zestalenie wodoru to odległośd między jego atomami (w siatce
krystalicznej) wynosi a0 a wtedy promieo planety:
R = N1/3 a0
G*M2/R4 = G(Nmp)2/( N1/3 a0)4
Tak więc:
=
Gmp2 N2
G
2 2/3
4
4/3 =
a0 N
a 04 m p N
Jeśli M=Nmp to:
N = M/mp więc dalej:
G
G mp2
G
2 M 2/3
2/3
4/3 2/3
)
=
=
4 mp (
4
2/3 M
a0
mp
a0 mp
a 04 m p M
Zajmijmy się teraz natężeniem oddziaływania grawitacyjnego między protonem jądra a
elektronem atomu wodoru. Elektron na orbicie ma energię potencjalną (o wartości
bezwzględnej e2/a0)i kinetyczną ruchu obrotowego (jak rozpatrywana wyżej masa na
planecie). Energia (całkowita, co do modułu) elektronu wynosi
e2/(2a0)
Objętośd atomu wynosi:
(2a0)3
(2a0 = średnica atomu)
Natężenie oddziaływania grawitacyjnego mikroobiektów (elektronu i protonu) byłaby więc:
e2/(2a0)
e2
(2a0)3 = 16a04
Ale w celu przyrównania obu natężeo trzeba zastosowad współczynnik skalujący:
1/2
(me/mp)
G
e2
4/3
2/3
= ( a 4 mp M ) / (16a 4 )
0
0
albo inaczej:
e2
G
1/2
4/3 2/3
=
4 (me/mp)
16a0
a 04 m p M
Z tego wzoru wyznaczamy poszukiwaną masę:
M
2/3
e2
1
= 16 (me/mp)1/2 Gm 4/3
p
1
e2 3/2
3/4
M = 64 (me/mp) (Gm 4/3 )
p
1
e2 mp2/3
1
e2
M = 64 (me/mp)3/4 (Gm 4/3 m 2/3 )3/2 = 64 (me/mp)3/4 (Gm 2 )3/2 (mp2/3)3/2)
p
p
p
M=
1
e2 3/2
3/4
64 (me/mp) (Gmp2 ) mp
M=
1
e2 ћc 3/2
3/4
64 (me/mp) (Gmp2 ћc ) mp
=
1
ћc e2 3/2
3/4
64 (me/mp) (Gmp2 ћc ) mp
1
1
M = 64 (me/mp)3/4 (α α)3/2 mp
G
M ≈ mp (me/mp)3/4 (α/αG)3/2
Po wstawieniu danych: Mmin = 1*1023 kg
czyli MZiemi = MZ = 6*1024 ≈ 16 Mmin
Masa Marsa = 0,108 MZ ≈ 1,5Mmin
Masa Merkurego = 0,055MZ = 0,88Mmin ≈ MMin (Najbliżej Słooca a pyzatym ten sam rząd wlk.)
Masa Księżyca = 0,012MZ = 0,19MMin
Dalej można znaleźd wzór również na promieo minimalny planety:
M
M ≈ ρR3 stąd R = ( ρ )1/3 = (1/ρ)1/3 M1/3
Gęstośd planety z „litego wodoru” = gęstości każdego z jej atomów. Masa atomu to
praktycznie tylko masa jądra czyli protonu więc:
mp
ρ = (2a )3
0
Tak więc:
1/3
R = (1/ρ)
1/3
M
(2a0)3 1/3
= [ m ] [mp (me/mp)3/4 (α/αG)3/2]1/3
p
2a0
R = m 1/3 mp1/3 (me/mp)1/4 (α/αG)1/2
p
R ≈ a0 (me/mp)1/4 (α/αG)1/2
1
1
R = 2*(0,53*10-10)*( 137*(5,88*10-39) )0,5*(1863 )0,25 =
1
1
= 2*(0,53*10-10)*( 137*(58,8*10-38) )0,5*(1863 )0,25 ≈ 2*(0,9*106) m = 1,8 tys km
Promieo Merkurego wynosi ok. 2,4 tys km
A promieo Księżyca: 1,8 tys km.
Dokładniej licząc RMin trzeba by pomnożyd jeszcze wynik przez (1/64)1/3 ≈ 0,25 więc masa ta
jest jeszcze mniejsza …
Nie uwzględniliśmy też czynnika 4/3 …
Wyprowadzenie wzoru na max. masę MC gwiazdy (ChandraSekhar’a)
i na min. masę gwiazdy zdegenerowanej lub max. masę planety litej
Dla gwiazdy MC energia grawitacyjna jest równa (nie jest jeszcze większa od) termicznej a ta
z kolei jest równa energii promienistej (ciała doskonale czarnego jakim jest gwiazda):
M
mP kT
=
GM2
R
π2 k4
k4
k4 1 1
a = 15 c3ћ3 ≈ c3ћ3 = c2ћ3 c = δ c
R3*aT4
=
k = 1,38*10-23 J/K = stała Boltzmanna
δ = 5,7*10-8 W/(m2K4) = stała Stefana-Boltzmanna
Z r-nia 1 + 2:
MkT GM2
mP = R
MmPG
k
(r-nie A)
Mk
(RT)3 = am
(r-nie B)
RT =
Z r-nia 1 + 3:
MkT 3 4
mP = R aT
P
R-nie A podstawiamy do B:
MmPG
Mk
( k )3 = am
P
M3mP3G3 Mk 1
=m a
k3
P
k4 1
k4 c3ћ3 c3ћ3 1
M = G3m 4 a = G3m 4 k4 = G3 m 4
P
P
P
2
cћ 3/2 1 mP2/2 cћ 3/2 mP
cћ
mP
cћ
1
M = ( G ) m 4/2 m 2/2 = ( G ) m 6/2 = ( G )3/2 (m 2)3/2 = (Gm 2 )3/2 mP = (α )3/2 mP =
P
P
P
P
P
G
M = MC = αG-3/2 mP
= … ≈ 3,7*1030 kg ≈ 1,5MSŁ
Typowa gwiazda ma masę 0,1MC
Natomiast wzór na minimalną masę gwiazdy zdegenerowanej, zimnej / maksymalną masę
planety litej! (Jowisz – jest prawie martwą gwiazdą!) jest następujący:
M ≈ (α/αG)3/2 mp ≈ 2*1027 = 0,001*1030 = 0,001MSŁ
Ta masa jest większa prawie (około) 300 razy czyli: (me/mp)-3/4 od masy minimalnej planety
(1*1023); Masa Jowisza jest większa 317 razy od masy Ziemi (która z kolei wynosi 16 mas
minimalnych planety).
Wyprowadzenie wzoru M ≈ (α/αG)3/2 mp:
Trzeba przekształcid warunek równowagi dla energii grawitacyjnej i energii materii
zdegenerowanej. Ta energia Fermiego = pe2/(2me); Skorzystad trzeba też ze wzoru na
moment pędu Fermiego: pFd = ћ, gdzie d = odległośd między atomami. Ostatecznie energia
zdegenerowana N atomów wynosi: N(ћ/d)2/(2me).
Energia grawitacyjna wynosi: GM2/R = G(Nmp)2/(N1/3 d)
Mamy więc:
Nћ2
GN2mp2
2d2me = N1/3d
ћ2
2 N
=
Gm
p 1/3
2dme
N
d = a0
więc:
ћ2
2 2/3
2a0me = Gmp N
N = M/mp więc:
ћ2 1
2 M 2/3
=
Gm
p (
2me a0
mp )
ћ2
a0 = m e2 Więc:
e
ћ2 mee2
2 M 2/3
2 = Gmp (
2me ћ
mp )
e2
M 2/3
2=(
2Gmp
mp )
1 e2 ћc
ћc e2 1
2 Gmp2 ћc ≈ Gmp2 ћc = αG α więc:
α
M 2/3
=
(
α G mp )
M
α 3/2
mp = (αG )
więc:
M ≈ (α/αG)3/2 mp
c.b.d.o.
Natomiast wzór na minimalną masę gwiazdy, trudny i uciążliwy do wyprowadzenia jest
następujący:
M ≈ (0,1mp/me)3/4* (α/αG)3/2 mp ≈ (50)*(2*1027) = 0,1*1030 = 0,1MSŁ
Czyli jest większa ok. 50 razy od min. masy gwiazdy zdegenerowanej czy też max. masy
planety.
Oszacowanie max. wysokości H istot żywych na Ziemi
mgH = ε*(me/mp)1/2 Ry*(m/mp)2/3
(m/mp)2/3 jest współczynnikiem wiązao organicznych (W. H. Press, 1980 r.)
GmM
mg = R2
Oraz
e2
Ry = 2a
0
Więc:
2
M
1/2 e
m(GR2 )H = ε*(me/mp) (2a )*(m/mp)2/3
0
Gmp2
αGћc
αG = ћc stąd: G = m 2
p
Oraz:
e2
α = ћc
skąd:
e2 = ћcα
αGћc M
ћcα
(m1/3)( m 2 )R2 H = ε*(me/mp)1/2 ( 2a )*(1/mp)2/3
p
0
mp
mp
m = H3ρ oraz: ρ = (2a )3 Czyli: m = H3(2a )3
0
0
mp1/3 αG M
(H 2a )m 4/3 R2 H = ε*(me/mp)1/2 α
0
p
αG M
H2m R2 = ε*(me/mp)1/2 α
p
2
1/2
H = ε*(me/mp)
mp R2
αα M
G
α
R2
H = (α )1/2 ε1/2*(me/mp)1/4mp1/2(M )1/2
G
R2 *ε1/22a0(me/mp)1/4(α/αG)1/2]2
ε(2a0)2(me/mp)1/2(α/αG)
M = ε3/2mp(me/mp)3/4(α/αG)3/2 = ε3/2mp(me/mp)3/4(α/αG)3/2 =
(2a0)2
= ε-1/2 m (me/mp)-1/4 (α/αG)-1/2
p
R2 1/2 -1/4 2a0
(M ) = ε m 1/2 (me/mp)-1/8 (α/αG)-1/4
p
α
2a0
H = [(α )1/2 ε1/2*(me/mp)1/4mp1/2][ ε-1/4m 1/2 (me/mp)-1/8 (α/αG)-1/4]
G
p
H = ε1/4(2a0) (me/mp)1/8 (α/αG)1/4
(≠ε1/4(2a0) (me/mp)1/4 (α/αG)1/4 ?)
1
1
H = [0,10,25]*2*0,53*10-10[(1836 )1/8]2 * (137*58,8*10-40 )0,25
(Tak czy owak) H jest rzędu kilka cm …
17/18 kwi 2014
Czas życia gwiazdy ciągu głównego
tS = (α2/αG)(mp/me)ћ(mpc2)-1
(1836)2
6,6*10-34/2π
ts = (137)2*(5,88*10-39) (1,67*10-27)(3*108)2
1039
10-34
105
169 105 169
tS ≈ (1836/137)2* 6 *(10-27)(3*108)2 ≈ 132*(6*10-27)(9*1016) =6*9 10-11 = 54 1016
tS ≈ 3*1016 s
Rok ma 366*24*60*60≈3*107 sekund a więc:
tS ≈ 3*1016 s / 3*107 = 109 lat czyli 1 mld lat