Prawo Biota-Savarta - Open AGH e

Prawo Biota-Savarta
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski
Istnieje równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczyć pole B z rozkładu prądu. To prawo jest matematycznie
równoważne z prawem Ampère'a (zob. moduł Prawo Ampere'a). Jednak prawo Ampère'a można stosować tylko, gdy znana jest
symetria pola (trzeba ją znać do obliczenie odpowiedniej całki). Gdy ta symetria nie jest znana, wówczas dzielimy przewodnik z
prądem na różniczkowo małe elementy i stosując prawo Biota-Savarta, obliczamy pole jakie one wytwarzają w danym punkcie.
Następnie sumujemy (całkujemy) pola od tych elementarnych prądów żeby uzyskać wypadkowy wektor B. Na Rys. 1 pokazany
jest krzywoliniowy przewodnik z prądem o natężeniu I . Zaznaczony jest element dl tego przewodnika i pole dB jakie wytwarza w
punkcie P.
Rysunek 1: Pole dB wytworzone przez element dla przewodnika
Zgodnie z prawem Biota-Savarta pole dB w punkcie P wynosi
PRAWO
Prawo 1: Prawo Biota-Savarta
dB =
μ0 I dl×r
4π r3
(1)
μ0 I dlsinθ
4π
r2
(2)
Wartość liczbowa dB jest więc dana równaniem
dB =
PRZYKŁAD
Przykład 1: Zastosowanie prawa Biota-Savarta
Jako przykład zastosowania prawa Biota-Savarta obliczmy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem w punkcie P
pokazanym na Rys. 2.
Rysunek 2: Kołowy przewodnik o promieniu R przewodzący prąd o natężeniu I
Z prawa Biota-Savarta znajdujemy pole dB pochodzące od elementu dl (położonego na szczycie okręgu)
μ0 I dlsin90o
4π
r2
dB =
μ0 I dl
4π r2
=
(3)
Zwróćmy uwagę, że element dl jest prostopadły do r.
Pole dB można rozłożyć na dwie składowe, tak jak na rysunku. Suma wszystkich składowych dBy jest równa zeru bo dla
każdego elementu przewodnika dl ta składowa znosi się z odpowiednią składową elementu leżącego po przeciwnej stronie
okręgu. Wystarczy więc zsumować składowe dB. Ponieważ
dBx = dBcosα
(4)
μ0 Icosαdl
(5)
−−−−−−
r = √R2 + x2
(6)
zatem
dBx =
4πr2
Ponadto, zgodnie z Rys. 2
oraz
cosα =
R
r
=
R
√ R 2 + x2
(7)
Ostatecznie więc otrzymujemy
dBx =
μ0 IR
4π(R 2 +x2 )3/2
(8)
dl
Zauważmy, że wielkości I, R, x są takie same dla wszystkich elementów dl prądu. Wykonujemy teraz sumowanie
(całkowanie), żeby obliczyć wypadkowe pole B (wyłączając stałe czynniki przed znak całki)
B = ∫ dBx =
∫
μ0 IR
4π(R 2 +x2 )3/2
μ0 IR
4π(R +x2 )3/2 ∫ dl
2
(2πR) =
=
(9)
μ0 IR 2
2(R 2 +x2 )3/2
ZADANIE
Zadanie 1: Pole magnetyczne w środku obręczy
Treść zadania:
Wzór ( 9 ) przyjmuje znacznie prostszą postać w szczególnych punktach. Spróbuj na jego podstawie określić pole w środku
koła ( x = 0) oraz w dużej odległości od przewodnika tzn. dla x >> R. Jak już mówiliśmy każdy obwód z prądem jest
charakteryzowany poprzez magnetyczny moment dipolowy μ = IS, gdzie S jest powierzchnią obwodu. Wyraź obliczane
pole magnetyczne poprzez μ. B(x = 0) = B(x >> R) =
ROZWIĄZANIE:
Dane:
μ = IS = πR2 , R, x
Pole magnetyczne wytworzone przez kołowy przewodnik o promieniu R (przewodzący prąd o natężeniu I ) w odległości x
na osi symetrii przewodnika jest dane wyrażeniem
μ0 IR 2
B=
2(R 2 +x2 )3/2
W środku koła ( x = 0) ten wzór przyjmuje postać
μ0 I
2R
B=
μ0
=
2πR3
μ
a w dużej odległości od przewodnika tzn. dla x >> R
μ0 IR 2
2x3
B=
=
μ0
2πx3
μ
ZADANIE
Zadanie 2: Klasyczne obliczanie pola magnetycznego w atomie wodoru
Treść zadania:
Korzystając z wyliczonego pola magnetycznego w środku przewodnika kołowego oblicz pole wytwarzane w środku orbity
(w miejscu jądra atomowego) przez elektron w atomie wodoru. Zgodnie z modelem Bohra elektron krąży w atomie wodoru
po orbicie o promieniu R = 5·10 −11 m z częstotliwością f = 6.5·10 15 1/s. Porównaj obliczone pole z wartościami podanymi
w tabeli 1 w module Siła magnetyczna B =
ROZWIĄZANIE:
Dane:
μ0 = 4π ⋅ 10−7 Tm/A,
R = 5 ⋅ 10−11 m,
f = 6.5 ⋅ 1015 1/s,
e = 1.6 ⋅ 10−19 C
Pole magnetyczne wytworzone przez kołowy przewodnik o promieniu R (przewodzący prąd o natężeniu I ) w jego środku
jest dane wyrażeniem
B=
μ0 I
2R
Natężenie prądu I wytwarzanego przez elektron o ładunku e przebiegający orbitę w czasie T (okres obiegu) wynosi
I=
q
t
=
e
T
= ef
Łączymy powyższe wzory
B=
μ0 ef
2R
i po podstawieniu danych otrzymujemy B = 13 T.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Czas generacji dokumentu: 2015-06-17 14:18:53
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=6420309d55f79144bd8c14490464ab0a
Autor: Zbigniew Kąkol, Piotr Morawski