59. Równanie fali.

Równanie fali mechanicznej
Kierunek drgań lokalnych
Kierunek rozchodzenia się fali
Fala mechaniczną nazywamy ciąg rozchodzących się w przestrzeni zaburzeń ośrodka
związane z transportem energii bez transportu materii.
Aby w danym ośrodku rozchodziła się fala mechaniczna ośrodek musi być:
1. Jednorodny – aby mogło dojść do rezonansowego przekazania energii pomiędzy
drobinami,
2. Sprężysty by możliwe były drgania lokalne.
Z punktu widzenia relacji pomiędzy kierunkiem drgan lokalnych a kierunkiem rozchodzenia
się zaburzenia fale mechaniczne dzielą się na:
1. poprzeczne – jeżeli kierunek drgań lokalnych jest prostopadły do kierunku
rozchodzenia się fali.
2. podłużne – jeżeli kierunek drgań lokalnych jest równoległy do kierunku rozchodzenia
się fali.
Drgające lokalnie drobiny maja ta samą amplitudę, okres, różnią się fazą.
Wielkościami charakteryzującymi rozchodzenie się w danym ośrodku fali są:
1. Prędkość rozchodzenia się fali.
2. Częstotliwość (okres) fali
3. Długość fali.
Ad. 1
Fale w ośrodkach rozchodzą się ruchem jednostajnym, przy czym prędkość zależy od rodzaju
ośrodka i jest stabelaryzowana.
V=
λ
T
1
f =
T
=λ⋅ f
λ - długość fali,
f - częstotliwość drgań źródła (odwrotność okresu T)
Ad.2
Częstotliwość fali zależy od częstotliwości drgań źródła fali i jest jej równa.
Ad. 3
Długością fali λ nazywamy najmniejsza z odległości pomiędzy drobinami ośrodka mającymi
ta samą fazę drgań.
λ
V
ź
i
j
yi
yi
V
x(t ) = c ⋅ sin γ ź ⎫
2 ⋅π
⎪
γ ź - faza drgań źródła, aktualne wychylenie.
x(t ) = c ⋅ sin
⋅ ti
2 ⋅π
⎬
γi =
⋅ ti ⎪
T
T
⎭
t ź - czas drgań źródła,
t i - czas drgań i-tego punktu,
Δt i - czas po jakim fala doszła od źródła do i-tego dowolnego punktu.
t ź →i =
Δt i = t ź − t i ⎫
yi
⎪
yi ⎬ t i = t ź −
V
Δt i =
⎪
V
⎭
Punkty ośrodka drgają z ta samą amplitudą i częstotliwością. Ich drgania
różnią się tylko fazą (czasem trwania ruchu).
y ⎞
2 ⋅π ⎛
⋅ ⎜tź − i ⎟
T ⎝
V ⎠
Sens powyższego równania fali mechanicznej jest następujący:
Równanie to opisuje ruch (wychylenie) dowolnego punktu ośrodka jeżeli znany jest czas od rozpoczęcia
drgań źródła i odległość tego punktu od źródła. Za pomocą tego równania można opisać drgania
każdego punktu ośrodka, czyli opisać jak w ośrodku rozchodzi się fala.
xi (t , y i ) = c ⋅ sin
⎛ 2 ⋅ π ⋅ t ź 2 ⋅ π ⋅ yi
xi (t , y i ) = c ⋅ sin ⎜
−
T ⋅V
⎝ T
⎞⎫
⎟⎪
⎠⎪⎬ ⇒ xi (t , y i ) = c ⋅ sin ⎛⎜ 2 ⋅ π ⋅ t ź − 2 ⋅ π ⋅ y i ⋅ T ⎞⎟ =
λ
T ⋅λ ⎠
⎝ T
⎪
V =
⎪
T
⎭
y ⎞
y
⎛t
Różnica faz drgań pomiędzy fazami drgań źródła a
= c ⋅ 2 ⋅ π ⋅ ⎜ ź − i ⎟ ⇒ Δγ = 2 ⋅ π ⋅ i
λ
drganiami i-tego punktu.
⎝T λ ⎠