Lista 4 - Instytut Fizyki

dr hab. Antoni C. Mituś
dr Grzegorz Pawlik
Instytut Fizyki PWr
Wrocław, 18.04.2010
Pakiet algebry symbolicznej Maple
Lista 4: Analiza matematyczna (I): Granice, pochodne i całki.
1. Niech F (x) = lim
h→0
(
f (x+h)−2f (x)+f (x−h)
.
h2
2. Obliczyć: lim 1 +
x→∞
)
1 x
lim
x , n→∞
(
n
∑
1+
i=2
Wyznaczyć F (x) dla f (x) = cos(x2 ).
1
i
)
(
)−1
− ln n , lim 1 + e1/(x−1)
.
x→1
3. Korzystając z definicji pochodnej wyznaczyć f ′ (x) dla f (x) = sin(2x).
4. Obliczyć pierwsze i drugie pochodne następujących funkcji: f (x) = sin(2x), f (x) = cos(x2 ),
f (x) = tan(x), f (x) = sin(x) cos(x), f (x) = (x + 2)2 . Użyć polecenia diff.
5. Dla funkcji f (x) = x2 sin(x) wyznaczyć funkcję g(x) ≡
2
∂2
∂ 2 −x2 sin(y) 6. Obliczyć pochodne ∂x∂y
sin(xy)ex y , ∂x∂y
e
df (x)
dx .
x=π, y=1
Użyć operatora D.
. W obu przypadkach zastosować
polecenie: (a) diff; (b) D.
7. Obliczyć pochodną funkcji f (x) = |x|.
8. Dla jakiej wartości x funkcja y = x3 − 3x + 1 przyjmuje minimum (obliczyć pierwszą i drugą
pochodną)?
9. Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji f (x) = 3x4 −7x3 −2x2 +7x−2 oraz kąty nachylenia
stycznych w tych punktach.
10. Rozwinąć w szereg Taylora z dokładnością do wyrazów szóstego rzędu funkcję f (x) = e−x wokół
punktu x = 1. Narysować na jednym wykresie otrzymany wielomian oraz f (x).
11. Obliczyć całki z funkcji: f (x) = x3 , f (x) = sin2 (x), f (x) = 1/ cos2 (x), f (x) = x2 cos(x),
f (x) = 1/(x2 − 4).
12. Obliczyć pole między krzywą y = sin(x) a osią OX w przedziale 0 ≤ x ≤ π.
13. Sprawdzić dla 1 ≤ n ≤ 5, 1 ≤ m ≤ 5 następującą zależność:
∫ ∞
F (n, x)F (m, x) dx = δn,m ,
−∞
gdzie
e−x /2 H(n, x)
,
F (n, x) = √
√
2n n! π
2
H(n, x) = (−1)n ex
2
dn −x2
e .
dxn
14. Wyznaczyć masę pręta o długości L, gdy jego gęstość ρ(x) = x2 e−x .
15. Obliczyć współrzędne środka masy cienkiego trójkąta prostokątnego równoramiennego dla gęstości proporcjonalnej do odległości od przeciwprostokątnej.
16. Obliczyć moment bezwładności ciała z poprzedniego zadania dla osi przechodzącej przez przeciwprostokątną.
17. Wyznaczyć jakobian przejścia od współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych cylindrycznych, i obliczyć objętość walca i stożka.