Matematyka dyskretna - wykªad (plik nieo cjalny)

Matematyka dyskretna - wykªad (plik nieocjalny)
A. Zembrzuski, P.Jankowski
February 3, 2009
0.1 Literatura
1. Kennweth A. Ross, Charles R.B. Wright, Matematyka dyskretna, PWN 2006
2. Joanna Grygiel, Wprowadzenie do matematyki dyskretnej, EXIT 2007
3. Jerzy Jaworski, Zbigniew Paªka, Jerzy Szyma«ski, Matematyka dyskretna dla informatyków
cz. I: Elementy kombinatoryki, Wydawnictwo Naukowe UAM w Poznaniu 2008
4. Th.H.Cormen, Ch.E.Leiserson, R.L.Rivest, C.Stein, Wprowadzenie do algorytmów, WNT,
2004.
1
1
Wykªad I - zbiory
Teoria mnogo±ci
Dziaª matematyki zajmuj¡cy si¦ teori¡ zbiorów nazywa si¦ po polsku teori¡ mnogo±ci. Wynika to
z faktu, »e zamiennie ze sªowem zbiór u»ywa si¦ terminu mnogo±¢.
Denicja zbioru
Zbiór uwa»a si¦ za poj¦cie pierwotne, czyli takie, którego si¦ nie deniuje.
Okre±lenie elementów zbioru
Aby okre±li¢ zbiór:
1. Wymieniamy jego elementy:
A = {3, 6, 9, 12}.
2. Podajemy wªasno±¢ posiadan¡ przez jego elementy:
A = {x : 3 ≤ x ≤ 12∧x = 3∗n,
n ∈ N}.
3. Przez podanie metody obliczania kolejnych elementów:
(a) Przyjmij
(b) Oblicz
i = 1.
3∗i
(c) Zwi¦ksz
i
i doª¡cz do zbioru.
o 1.
(d) Przerwij dla
i = 4.
Zbiór sko«czony
oznacza w matematyce zbiór równoliczny ze zbiorem
Denicja ta obejmuje równie» zbiór pusty, dla
1, 2, ..., n
dla pewnej liczby naturalnej
n.
n = 0.
Zbiór przeliczalny (nieformalnie)
zbiór przeliczalny to taki zbiór, którego elementy mo»na ponumerowa¢ liczbami naturalnymi.
Jeszcze inaczej: elementy zbioru przeliczalnego mo»na ustawi¢ w ci¡g "wypisa¢ je po kolei".
Zbiór przeliczalny (formalnie)
Zbiór A nazywamy przeliczalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on sko«czony lub istnieje funkcja
wzajemnie jednoznaczna przeksztaªcaj¡ca zbiór wszystkich liczb naturalnych na zbiór A.
Zbiór dyskretny
Do zbiorów dyskretnych zaliczamy zbiory sko«czone oraz przeliczalne.
2
Zbiory liczbowe
Caªkowite =
Z - przeliczalne
Naturalne = N - przeliczalne
Wymierne = Q
Rzeczywiste = R
Zespolone = C
Równo±¢ zbiorów
Mówimy, »e zbiory A i B s¡ równymi,
A = B,
wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy element zbioru A
jest elementem zbioru B i na odwrót:
A=B
⇔
∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B).
Zawieranie (inkluzja) zbiorów
Mówimy, »e zbiór A zawiera si¦ w zbiorze B,
A ⊂ B,
wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy element
zbioru A jest elementem zbioru B. A nazywamy wtedy podzbiorem zbioru B. Zbiór pusty Ø jest
podzbiorem ka»dego zbioru A.
A⊂B
⇔
∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B).
Wªasno±ci równo±ci i zawierania zbiorów
(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ C) ⇒ A ⊂ C
(A = B) ∧ (B = C) ⇒ A = C
(A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇒ A = B
Dopeªnienie zbiorów
Dopeªnieniem zbioru A, A', w przestrzeni X nazywamy wszystkie elementy przestrzeni X nie
nale»¡ce do zbioru A:
A0 = {x : x ∈
/ A}.
Suma zbiorów
Sum¡ zbiorów A i B nazywamy zbiór
A∪B
zªo»ony ze wszystkich elementów nale»¡cych do
któregokolwiek z sumowanych zbiorów:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Ró»nica zbiorów
Ró»nic¡ zbiorów A i B nazywamy zbiór
A \ B,
którego elementami s¡ te elementy zbioru A, które
nie s¡ elementami zbioru B :
A \ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈
/ B}.
3
Iloczyn (przeci¦cie) zbiorów
Iloczynem (przeci¦ciem) zbiorów A i B nazywamy zbiór
A∩B
skªadaj¡cy si¦ z elementów, które
nale»¡ równocze±nie do A i do B:
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Zbiory rozª¡czne
Zbiory A i B nazywamy rozª¡¢znymi wtedy i tylko wtedy gdy
A ∩ B = Ø.
Prawa rachunku zbiorów
Niech A, B, C, D oznaczaj¡ dowolne podzbiory przestrzeni X. Wówczas:
• A ∩ B = B ∩ A• A∪B =B∪A
przemienno±¢ mno»enia,
- przemienno±¢ dodawania,
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- ª¡czno±¢ mno»enia,
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
- ª¡czno±¢ dodawania,
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
- rozdzielno±¢ mno»enia wzgl¦dem dodawania,
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
- rozdzielno±¢ dodawania wzgl¦dem mno»enia,
• A ∪ Ø=A
• A∩X =A
• A ∩ A0 = Ø
• A ∪ A0 = X
Prawa de Morgana
W teorii mnogo±ci prawa De Morgana sªu»¡ opisowi dziaªania dopeªnienia:
(A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0
0
0
0
dopeªnie«, (A ∩ B) = A ∪ B .
1. dopeªnienie sumy zbiorów jest równe cz¦±ci wspólnej ich dopeªnie«,
2. dopeªnienie cz¦±ci wspólnej zbiorów jest równe sumie ich
Para uporz¡dkowana
Par¡ uporz¡dkowan¡ nazywamy par¦, której pierwszym elementem jest a, za± drugim b.
Oz-
naczamy j¡ jako (a,b).
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d.
Iloczyn kartezja«ski
Iloczynem kartezja«skim nazywamy zbiór wszystkich par uporz¡dkowanych (a,b), takich, »e
i
b ∈ B.
Iloczyn kartezja«ski oznaczamy
A × B.
4
a∈A
2
Wykªad II - funkcje
Denicja funkcji
W zbiorze
X
jest okre±lona pewna funkcja
porz¡dkowany dokªadnie jeden element
y
f,
je»eli ka»demu elementowi
z pewnego zbioru
Y.
x
ze zbioru
X
jest przy-
Przyporz¡dkowanie to nazywamy
funkcj¡.
Terminologia
x ze zbioru X nazywamy argumentem funkcji, a element y ze zbioru Y przyporz¡dkowany
elementowi x nazywamy warto±ci¡ funkcji. Warto±¢ funkcji oznaczamy f (x), czyli y = f (x).
Uwaga: sam¡ funkcj¦ te» cz¦sto oznacza si¦ f (x), ale nie nale»y myli¢ poj¦¢ funkcja i warto±¢
Element
funkcji.
Y . Funkcj¦ nazywa si¦ te»
f odwzorowuje (przeksztaªca) zbiór X w zbiór Y ,
co mo»na krótko zapisa¢ stosuj¡c oznacznie f : X → Y .
Zbiór X nazywamy dziedzin¡ funkcji i oznaczamy D(f ). Przeciwdziedzina to zbiór warto±ci
funkcji. Uwaga: cz¦sto przeciwdziedzin¡ nazywa si¦ zbiór Y .
Mówimy, »e
f
jest okre±lona na zbiorze
X
i ma warto±ci w zbiorze
odwzorowaniem lub przeksztaªceniem. Funkcja
Funkcja okre±lona jest przez podanie dziedziny oraz sposobu przyporz¡dkowania warto±ci argumentom.
Sposób przyporz¡dkowania mo»e by¢ okre±lony np.
wzorem, podaniem warto±ci w
tabeli lub opisem sªownym.
Przykªady funkcji i ich wykresy
•
Funkcja staªa
• f (x) =
•
f (x) = 1dla
ka»dego
x∈R
1 dla x ≥ 0
0 dla x < 0
Odwzorowanie to»samo±ciowe (funkcja identyczno±ciowa)
•
Warto±¢ bezwzgl¦dna
• f (x) = x2
•
dla
Na ¢wiczenia:
f (x) = |x| =
f (x) = x, x ∈ R
x dla x ≥ 0
−x dla x < 0
x∈R
f (x) = |x − 2| − 3, f (x) = (x + 1)2 + 2...
Injekcja (funkcja ró»nowarto±ciowa, zanurzenie)
Funkcja, która dla dowolnych dwóch ró»nych argumentów przyjmuje ró»ne warto±ci. Formalnie:
funkcja jest ró»nowarto±ciowa wtedy i tylko wtedy, gdy
∀x1 ,x2 ∈X
x1 6= x2
⇒
f (x1 ) 6= f (x2 ).
Surjekcja (funkcja na)
Funkcja przyjmuj¡ca jako swoje warto±ci wszystkie elementy zbioru
jekcj¡ wtedy i tylko wtedy, gdy
zbiór
X
na zbiór
∀y∈Y ∃x∈X :
f (x) = y .
Y.
5
Y.
Formalnie: funkcja jest sur-
O takiej funkcji mówimy, »e odwzorowuje
Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja)
Funkcja równocze±nie ró»nowarto±ciowa (injekcja) i na (surjekcja).
Przykªady
• f : R → R, f (x) = x + 1
jest bijekcj¡
• f : N → N, f (x) = x + 1
jest injekcj¡, nie jest surjekcj¡
• f : R → R, f (x) = x2
nie jest injekcj¡ ani surjekcj¡
Zªo»enie funkcji
We¹my funkcje
f : X→Y
g◦f : X →Z
zdeniowan¡
g : Y → Z . Zªo»eniem funkcji g z funkcj¡ f nazywamy
wzorem g ◦ f (x) = g (f (x)) dla wszystkich x ∈ X .
oraz
funkcj¦
Przykªady
• f (x) = x2 , g(y) = 1 + y , g ◦ f (x) = 1 + x2
p
√
• f (x) = sin(x), g(y) = y , g ◦ f (x) = sin(x)
• f (x) = πx, g(y) = cos(y), g ◦ f (x) = cos(πx)
q
p
3
• f (x) = (1 + x) , g(y) = 1 + y , g ◦ f (x) = 1 + (1 + x)6
2
• f (x) = x2 , g(y) =
√
y , g ◦ f (x) = |x|
Funkcje odwrotne
g : Y → X , »e zªo»enie
x nale»¡cego do
dziedziny f oraz f (g (y)) = y dla ka»dego y nale»¡cego do dziedziny g . Funkcj¦ odwrotn¡ do f
−1
cz¦sto oznacza si¦ jako f
i nie nale»y tego myli¢ z odwrotno±ci¡ algebraiczn¡ 1/f ...
Funkcj¡ odwrotn¡ do danej funkcji
f : X →Y
nazywa si¦ tak¡ funkcj¦
obu funkcji jest przeksztaªceniem to»samo±ciowym:
g (f (x)) = x
dla ka»dego
Terminologia i wªasno±ci
Nie dla ka»dej funkcji istnieje funkcja odwrotna. Te, które maj¡ funkcj¦ odwrotn¡, nazywamy
−1
−1
odwracalnym. Je»eli f
jest funkcj¡ odwrotn¡ do f , to f jest odwrotna do f
.
Przykªady i wykresy
• f (x) = x3
dla
x ∈ R, f −1 (y) =
• f (x) = x2
dla
x ≥ 0, f −1 (y) =
• f (x) = x2
dla
x∈R
√
3
√
y
dla
y∈R
y
dla
y≥0
nie ma funkcji odwrotnej
6
Uwaga: Na ogóª zamiast
y
x i nie nale»y myli¢ argumentu funkcji z argumentem funkcji
pisze si¦
odwrotnej.
• f (x) =
•
1
x
dla
x 6= 0, f −1 (x) =
1
x
dla
x 6= 0,
czyli
Czy jest jeszcze jaka± funkcja o tej wªasno±ci?
• f (x) = ex
dla
• f (x) = sin(x)
x ∈ R, f −1 (x) = ln(x)
dla
−
dla
f
jest odwrotna do samej siebie.
f (x) = x, −x, 2 − x,...
x > 0 (e = 2.718...)
π
π
≤ x ≤ , f −1 (x) = arcsin(x)
2
2
dla
−1 ≤ x ≤ 1
(funkcje cyklome-
tryczne...)
•
3
A jak b¦dzie dla
f (x) = 1 + x?
Odp.
f −1 (x) = x − 1...
Wykªad III. Ci¡gi
Notacja: wska¹niki
Je»eli rozwa»amy ukªad równa« z dwoma lub trzema niewiadomymi, niewiadome te mo»emy oznaczy¢
x, y , z .
Maj¡c np. siedem niewiadomych zastosujemy raczej oznaczenie
x1 , x2 ,
... ,x7 .
Wspóªczynniki w wielomianie niskiego stopnia mo»emy oznaczy¢ kolejnymi literami a, b, c itd.,
ax2 + bx + c. Ale w wielomianie wy»szego stopnia wygodniejsze byªoby ich ponumerowanie,
6
5
4
3
2
np. a6 x + a5 x + a4 x + a3 x + a2 x + a1 x + a0 .
np.
Liczby caªkowite numeruj¡ce zmienne i wspóªczynniki w powy»szych przykªadach nazywamy
indeksami lub wska¹nikami.
Notacja: suma
5
X
k = 1 + 2 + 3 + 4 + 6,
k∈N
k<4
X
k 2 = 22 + 32 + 42 ,
k=2
k=1
X
4
X
(−1)k = (−1)3 + (−1)6 + (−1)8 ,
k=3,7,8
0
1
2
3
k
=
+
+
+
.
k+1
0+1 1+1 2+1 3+1
Denicja ci¡gu
k zostanie przyporz¡dkowana jedna liczba rzeczywista ak , to mówimy,
»e zostaª okre±lony niesko«czony ci¡g liczbowy. A wi¦c ci¡g jest funkcj¡ odwzorowuj¡c¡ N w R.
Ci¡g zapisujemy w postaci a0 , a1 , a3 , ... lub (ak )k∈N lub (ak ).
Je»eli ka»dej liczbie naturalnej
Typowe oznaczenia
a, b, c, x, u, ... i wska¹ników: i, j , k , l, m, n. Równie» w programach numerycznych litj , k , l, m, n standardowo oznacza si¦ liczby caªkowite. W programach zamiast wska¹ników
si¦ zapis jak dla funkcji, np. a(k).
Dla ci¡gów:
erami i,
stosuje
7
Przykªady
ak = k 2 , (0, 1, 4, ...)
1 1
1
,
1, , , ...
ak =
k+1
2 3
ak = (−1)k , (1, −1, 1, −1, ...).
Zbiór warto±ci:
{−1, 1}.
Granica ci¡gu
Nieformalnie: je»eli dla du»ych warto±ci
k
ak zbli»a si¦ do pewnej liczby g ,
lim ak = g . Mówimy, »e ci¡g (ak ) d¡»y
warto±¢
nazywamy granic¡ ci¡gu. Zapisujemy to tak:
k→∞
ci¡g d¡»y do plus lub minus niesko«czono±ci, nazywamy go rozbie»nym.
to liczb¦ t¦
do
g.
Je»eli
Przykªady
lim
k→∞
1
k
= 0, lim
= 1, lim (−1)k
k→∞
k→∞
k+1
k+1
- nie istnieje,
lim k 2 = ∞.
k→∞
Ci¡g arytmetyczny
ak = k , (0, 1, 2, 3, ...), lim ak = ∞,
k→∞
n
X
ak = 0 + 1 + 2 + ... + n =
k=0
n(n + 1)
.
2
Ci¡g geometryczny
ak = aq k , (a, aq, aq 2 , aq 3 , ...).
k 1 1 1
1
1
,
1, , , , ... .
⇒ ak =
Przykªad: a = 1, q =
2
2
2 4 8
Granica ci¡gu geometrycznego:
lim ak = ∞
k→∞
je»eli
q > 1,
lim ak = a
je»eli
q = 1,
lim ak = 0
je»eli
−1 < q < 1,
k→∞
k→∞
lim ak nie istnieje, je»eli q < −1.
k→∞
Suma wyrazów ci¡gu geometrycznego:
n
n+1
X
ak = a
k=0
1−q
1−q
∞
X
1
ak = a
1−q
k=0
.
je»eli
−1 < q < 1.
Dla
q≥1
sum jest niesko«czona, a dla
q ≤ −1
nie istnieje
Szeregi
Omawiaj¡c ci¡gi arytmetyczny i geometryczny u»yli±my okre±lenia suma wyrazów ci¡gu.
Jest
to okre±lenie opisowe, które wyja±nia, »e dodajemy do siebie poszczególne wyrazy danego ci¡gu.
Bardziej formalnie, zgodnie z terminologi¡ stosowan¡ w podr¦cznikach analizy matematycznej,
8
nale»aªoby powiedzie¢, »e
trycznego. Podobnie,
∞
X
n
X
ak
to suma cz¦±ciowa szeregu, np.
ak
to niesko«czona suma szeregu. Uwaga: sam szereg, którego denicji
k=0
∞
X
tutaj nie przypominamy, równie» jest oznaczany
Je»eli suma
∞
X
arytmetycznego lub geome-
k=0
ak
- tak jak niesko«czona suma.
k=0
ak
istnieje i ma sko«czon¡ warto±¢, to szereg nazywamy zbie»nym. Np. szereg
k=0
geometryczny jest zbie»ny dla
−1 < q < 1.
Gdy szereg nie jest zbie»ny, nazywamy go rozbie»nym.
Np. szeregi arytmetyczny oraz geometryczny dla
|q| ≥ 1
s¡ rozbie»ne.
Warunek zbie»no±ci szeregu
Suma cz¦±ciowa szeregu oczywi±cie istnieje zawsze, o ile wyrazy ci¡gu zostaªy dobrze okre±lone. Ale
niesko«czona suma mo»e nie istnie¢ lub mie¢ niesko«czon¡ warto±¢, czyli szereg mo»e by¢ rozbie»ny.
Szereg jest zbie»ny tylko wtedy, gdy
lim ak = 0.
Jest to warunek konieczny, ale niewystarczaj¡cy
k→∞
- mo»e si¦ zdarzy¢, »e szereg b¦dzie rozbie»ny nawet, gdy wyrazy
ak
d¡»¡ do zera, np.
∞
X
1
k=1
k
= ∞.
Notacja: iloczyn
5
Y
k 2 = 22 · 32 · 42 · 52
k=2
Ci¡g silnia
an =
n
Y
k = 1 · 2 · 3 · ... · n = n!
k=1
a1 = 1!=1, a2 = 2! = 2, a3 = 3! = 6, a4 = 4! = 24, itd.
Uwaga: funkcja silnia jest okre±lona równie» dla k = 0. Z
0! = 1.
Np.
pewnych wzgl¦dów przyjmuje si¦, »e
Rekurencyjna denicja silni
a0 = 1, ak = k · ak−1 dla k > 0.
Np. a1 = 1 · 1 = 1, a2 = 2 · 1 = 2, a3 = 3 · 2 = 6
4
itd.
Wykªad IV. Elementy logiki
Zdanie
Zdaniem jest dowolne stwierdzenie, o którym mo»emy jednoznacznie powiedzie¢, »e jest prawdziwe
lub falszywe. To znaczy musi ono przyjmowa¢ jedn¡ z tych warto±ci i nie mo»e by¢ równocze±nie
prawdziwe i faªszywe.
9
Przykªad stwierdze« b¦d¡cych zdaniami
1. Autorem Pana Tadeusza byª H.Sienkiewicz.
2. Autorem Pana Tadeusza byª A.Mickiewicz.
3. Kraków to miasto.
4.
2 + 2 = 4.
5.
2 ∗ 3 = 10.
6. Ka»da liczba caªkowita parzysta wi¦ksza od 4 jest sum¡ dwóch liczb pierwszych - dot¡d nie
dowiedziona hipoteza Goldbacha.
7.
x+y =y+x
8. Istniej¡ liczby
dla wszystkich
n ∈ N,
x, y ∈ R.
dla których
2n = n2 .
Przykªad stwierdze«, którym nie mo»na przypisa¢ warto±ci logicznej
1. To twoje czy moje miejsce?
2. Albo kupisz mi lody albo si¦ obra»¦. - tylko osoba mówi¡ca zdanie wie czy jest ono prawdziwe.
3. Dlaczego studiujesz informatyk¦?
Przykªady stwierdze« niejednoznacznych
1. Wykªadowcy dobrze zarabiaj¡.
2. Mleko jest zdrowe.
3. Jest dzisiaj bardzo zimno.
4.
x−y =y−x
(a) dla wszystkich
(b) dla pewnych
x, y ∈R
x, y ∈R
- faªsz,
- prawda.
5. Nie istnieje pierwiastek z liczby
(a) dla
x ∈R
(b) dla
x, y ∈C
x<0
- prawda,
- faªsz.
10
Spójniki logiczne
Wyró»niamy pi¦¢ podstawowych spójników logicznych:
1.
∼
- nie - negacja,
2.
∧
- i - koniunkcja,
3.
∨
- lub - alternatywa,
4.
⇒
- je»eli to - implikuje - implikacja,
5.
⇔
- wtedy i tylko wtedy, gdy - równowa»no±¢.
Warunki
W przypadku prawdziwo±ci zdania
p ⇒ q
mówimy, »e p jest warunkiem wystarczaj¡cym dla q
lub, »e q jest warunkiem koniecznym dla p.
wystarczaj¡cym dla q oznacza, »e zdanie
p⇔q
Stwierdzenie, »e p jest warunkiem koniecznym i
jest prawdziwe.
Przykªady
1. ›eby zda¢ egzamin z matematyki dyskretnej trzeba ci¦»ko pracowa¢.
⇒ci¦»ko
Implikacja zda¢
pracowa¢ jest prawdziwa. Implikacja odwrotna ju» nie. Niestety ci¦»ka praca nie
zawsze wystarcza, »eby zda¢.
2. Zerowanie si¦ pierwszej pochodnej funkcji w punkci
x0
jest warunkiem koniecznym, ale nie
wystarczaj¡cym, aby funkcja posiadaªa w tym punkcie minimum.
Podziaª zda«
Zdania dzielimy na:
•
Zdania proste - w których nie wyst¦puje »aden spójnik logiczny,
•
Zdanie zªo»one - w których wyst¦puje co najmniej jeden spójnik logiczny.
Zdanie zªo»one
Przykªady
1. Je»eli Agatha Christie jest autork¡ kryminaªów to jest autork¡ poezji,
2. Wrocªaw i Warszawa sa województwami,
3. Nie jest prawd¡, »e 3 jest liczb¡ parzyst¡ lub 7 jest liczb¡ pierwsz¡,
4. Ziemia jest pªaska wtedy i tylko wtedy gdy 2+2=5.
11
Zmienne zdaniowe
Zmienne zdaniowe reprezentuj¡ proste zdania, których warto±¢ logiczn¡ mo»emy ªatwo rozstrzygn¡¢.
Interpretacja ta nie jest w ogóle potrzebna w rachunku zda«. Zmienne zdaniowe mog¡ by¢ (i cz¦sto
s¡) traktowane jako formalne symbole bez specjalnego znaczenia poza budowan¡ teori¡. Zmienne
zdaniowe oznaczamy zwyczajowo jako p,q,r,s.
Rachunek zda«
Rachunek zda« to dziaª logiki matematycznej badaj¡cy zwi¡zki mi¦dzy zdaniami (zmiennymi zdaniowymi) lub funkcjami zdaniowymi utworzonymi za pomoc¡ spójników zdaniowych ze zda« lub
funkcji zdaniowych prostszych. Rachunek zda« okre±la sposoby stosowania spójników zdaniowych
w poprawnym wnioskowaniu.
Matryca logiczna
Matryca logiczna to stworzony w XIX wieku przez logika ameryka«skiego Charlesa Sandersa
Peirce'a ukªad tabelaryczny zero-jedynkowych kombinacji warto±ci logicznych argumentów danej
funkcji zdaniowej i dokªadnie zale»¡cych od nich warto±ci logicznych tej»e funkcji zdaniowej, gdzie
prawdzie odpowiada 1 (lub ang. P ) a faªszowi przypisuje si¦ 0 (F ).
p
q
~p
~q
p∨q
p∧q
p⇒q
p⇔q
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
Równowa»no±¢
p ⇔ q jest zdeniowany
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Równowa»no±¢
p
q
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2
za pomoc¡ zdania
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Alternatywa wykluczaj¡ca
⊕
∼ (p ⇔ q).
Alternatywa wykluczaj¡ca
oznaczana jest przez informatyków XOR i ma te same warto±ci
logiczne co zdanie
Jej denicja jest nast¦puj¡ca:
p
q
p⊕q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
12
Tautologia
Tautologia to zdanie zªo»one b¦d¡ce zawsze prawdziwe niezale»nie od warto±ci logicznych tworz¡cych je zmiennych zdaniowych.
Przykªady
p
p⇒p
0
1
1
1
[p
∧
(p
⇒ q )]
⇒
p
q
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
4
p
q
~
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
3
(p ∨ q) ⇔ (∼ p
q
∧
∼ q)
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
2
4
2
3
2
Zdanie sprzeczne
Zdaniem sprzecznym nazywamy zdanie zªo»one, które jest zawsze faªszywe czyli jest faªszywe dla
dowolnych warto±ci tworz¡cych je zda« prostych (zmiennych zdaniowych).
sprzeczne wówczas zdanie
∼P
Je»eli zdanie
P
jest
jest tautologi¡.
Przykªad
Klasycznym przykªadem zdania sprzecznego jest zdanie zªo»one
p
~p
p∧ ∼ p
0
1
0
1
0
0
p∧ ∼ p:
Zdania odwrotne i przeciwstawne (kontrapozycje)
We¹my zdanie zªo»one
inne ni» zdania
p ⇒ q.
p ⇒ q.
q ⇒ p jest zdaniem do niego odwrotnym. jego znaczenie jest
p ⇒ q jest równowa»ne zdaniu ∼ q ⇒∼ p,
przeciwstawnym lub kontrapozycj¡ zdania p ⇒ q .
Zdanie
Okazuje si¦ natomiast, »e zdanie
które nazywamy zdaniem
Przykªad
p⇒q z
odwrotne q ⇒ p
We¹my zdanie: je»eli pada deszcz, to na niebie s¡ chmury. Jest to zdanie zªo»one
p=
pada deszcz i q= na niebie s¡ chmury. Jest to zdanie prawdziwe. Zdanie
ma
posta¢ je»eli na niebie s¡ chmury, to pada deszcz. Jest to zdanie faªszywe. Kontrapozycja ma
13
posta¢: je»eli na niebie nie ma chmur to nie pada deszcz. Jest to zdanie prawdziwe i wydaje si¦
logiczne bez znajomo±ci zycznego zwi¡zku mi¦dzy chmurami i deszczem.
Zdania logicznie równowa»ne
Dwa zdania zªo»one P i Q sa zdaniami logicznie równowa»nymi, je»eli maj¡ takie same warto±ci
logiczne dla wszystkich kombinacji warto±ci logicznych ich zmiennych zdaniowych p, q itd. Innymi
sªowy, kolumny ostatecznych warto±ci logicznych w ich matrycach logicznych s¡ takie same.
P ⇔Q
wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie zªo»one
P ⇔Q
jest tautologi¡.
Implikacje logiczne
Dla danych dwóch zda« zªo»onych P i Q mówimy, »e zdanie P implikuje logicznie zdanie Q, je»eli
zdanie Q ma warto±¢ logiczn¡ prawdy zawsze wtedy, gdy zdanie P ma warto±¢ logiczn¡ prawdy.
P ⇒Q
wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie zªo»one
P ⇒Q
jest tautologi¡.
Aksjomat
Aksjomat (postulat, pewnik; gr.
αξιωµα
aksíoma godno±¢, pewno±¢, oczywisto±¢) jedno z
podstawowych poj¦¢ logiki matematycznej.
Od czasów Euklidesa uznawano, »e aksjomaty to
zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi si¦ w obr¦bie danej teorii matematycznej.
We wspóªczesnej matematyce denicja aksjomatu jest nieco inna:
Aksjomaty s¡ zdaniami wyodr¦bnionymi spo±ród wszystkich twierdze« danej teorii, wybranymi
tak, aby wynikaªy z nich wszystkie pozostaªe twierdzenia tej teorii. Taki ukªad aksjomatów nazywany jest aksjomatyk¡.
5
Metody dowodzenia
Kontrprzykªad
Zdanie zªo»one
∀x p(x)
b¦dzie faªszywe, je»eli jedno ze zda«
p(x)
b¦dzie faªszywe.
St¡d, aby
wykaza¢, »e takie zdanie zªo»one jest faªszywe wystarczy pokaza¢, »e jedno z jego zda« skªadowych
jest faªszywe. Innymi sªowy, wystarczy pokaza¢ jeden przykªad zaprzeczaj¡cy zdaniu ogólnemu,
tzw. kontrprzykªad.
Przykªad
Liczba 2 jest kontrprzykªadem na stwierdzenie, »e wszystkie liczby pierwsze sa nieparzyste.
Dowody równowa»no±ci
Pierwszym rodzajem dowodów s¡ dowody równowa»no±ci:
p ⇔ q.
Mo»emy je udowadnia¢ na dwa
sposoby.
Naraz w obie strony
Korzystaj¡c ze znanych denicji i aksjomatów przechodzimy od jednej strony równowa»no±ci do
drugiej, dbaj¡c aby ka»dy krok byª równie» równowa»no±ci¡
14
Za pomoc¡ dwóch implikacji
Cz¦sto ªatwiejszym sposobem jest skorzystanie z tautologii rachunku zda«:
(p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))
i udowodnienie niezale»nie implikacji w obie strony.
Przykªad
Pokaza¢, »e dla dowolnego
k∈N
10 dzieli
k
wtedy i tylko wtedy gdy ostatni¡ cyfra
k
jest 0.
Rozwi¡zanie
Lewa strona:
p
= 10 dzieli
q
Prawa strona:
k ∈ N.
k jest 0.
def
k ∈ N ⇔ istnieje
= ostatni¡ cyfra
Dowód w obie strony: 10 dzieli
takie
n ∈ N,
»e
k = 10n⇔
ostatni¡ cyfr¡
k
jest 0.
Dowód przez implikacje: Je»eli
cyfr¡
k
jest 0 to
k
k
dzieli si¦ przez 10 to jego ostatni¡ cyfr¡ jest 0. Je»eli ostatni¡
dzieli si¦ przez 10.
Dowody implikacji
Mamy doczynienia ze zbiorem zaªo»e«
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q .
p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧pn
i tez¡
q.
Udowadniamy implikacj¦
Cz¦sto implikacj¦ zapisujemy pro±ciej jako
p ⇒ q.
Dowód wprost
Jedna z najbardziej naturalnych metod dowodzenia. Zakªadamy, »e
»e z tego wynika, »e
q
p
jest prawd¡ i pokazujemy,
jest prawd¡.
Przykªad
Udowodni¢, »e je»eli
a
jest tak¡ liczb¡ caªkowit¡, ze
a−4
jest podzielne przez 5, to
a3 + 1
jest
równie» podzielne przez 5.
Rozwi¡zanie
Zaªo»enie:
Teza:
q
p
= a jest tak¡ liczb¡ caªkowit¡, ze
3
= a + 1 jest podzielne przez 5
Dowód: Je»eli
a−4
jest podzielne przez 5
a − 4 jest podzielne przez 5 (p), to istnieje taka liczba caªkowita k , »e a − 4 = 5k .
St¡d
a + 1 = (a − 4) + 5 = 5k + 5 = 5(k + 1),
wi¦c
a3 + 1 = (a + 1)(a2 − a + 1) = 5(k + 1)(a2 − a + 1),
czyli
a3 + 1jest
podzielne przez 5 (q ).
15
Dowód kontrapozycji (nie wprost)
Korzystamy z tautologii rachunku zda«, zwanej prawem kontrapozycji:
(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p).
(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ (p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn )).
Zakªadamy wi¦c, »e teza twierdzenia
p
q jest faªszywa i pokazujemy, »e z tego wynika, »e zaªo»enie
jest faªszywe.
Przykªad
Udowodni¢, »e je»eli iloczyn dwóch liczb caªkowitych
parzyst¡ lub
b
a
b
i
jest liczb¡ parzyst¡, to
a
jest liczb¡
jest liczb¡ parzyst¡.
Rozwi¡zanie
Zaªo»enie:
Teza:
q
p
= iloczyn dwóch liczb caªkowitych
= a jest liczb¡ parzyst¡ lub
q = q1 + q 2 , q1
logiczn¡ dwóch zda«:
b
aib
jest liczb¡ parzyst¡
jest liczb¡ parzyst¡. Tez¦ mo»emy zapisa¢ jako sum¦
= a jest liczb¡ parzyst¡,
Dowód: ›eby udowodni¢ implikacj¦
p ⇒ q,
q2
= b jest liczb¡ parzyst¡.
udowodnimy implikacj¦
∼ q ⇒∼ p.
Skorzystamy
dodatkowo z prawa D Morgana do zapisu zaprzeczenia tezy:
∼ (q1 ∨ q2 ) ⇔∼ q1 ∧ ∼ q2 .
Zaprzeczenie tezy:
∼q
Zaprzeczenie zaªo»enia:
= a jest liczb¡ nieparzyst¡ i
∼p
= iloczyn
aib
b
jest liczb¡ nieparzyst¡.
jest liczb¡ nieparzyst¡.
Z zaprzeczenia tezy wynika, »e istniej¡ liczby caªkowite
a = 2k + 1
kil
takie, »e
b = 2l + 1.
St¡d otrzymujemy, »e
ab = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1,
czyli iloczyn
aib
jest nieparzysty.
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczno±ci (dowód przez zaprzeczenie)
Korzystamy z tautologii rachunku zda«:
(p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q).
Stosuj¡c do jego prawej strony prawo De Morgana, otrzymujemy równowa»no±¢:
(p ⇒ q) ⇔∼ (p∧ ∼ q)
.
p ⇒ q jest faªszywa wyª¡cznie gdy p jest prawdziwe i q jest faªszywe.
Wówczas, równowa»nie (p∧ ∼ q) musiaªoby by¢ prawdziwe.
Dowód polega wi¦c na zaªo»eniu, »e p jest prawdziwe i q jest faªszywe i doprowadzeniu do
sprzeczno±ci, czyli wykazaniu, »e (p∧ ∼ q) jest faªszywe.
Pami¦tamy, »e implikacja
16
Przykªad
Udowodni¢, »e spo±ród trzynastu ludzi dwóch lub wi¦cej ma swoje urodziny w tym samym miesi¡cu.
Rozwi¡zanie
Zaªo»enie:
Teza:
p
q
= mamy trzynastu ludzi.
= dwóch lub wi¦cej z nich ma swoje urodziny w tym samym miesi¡cu.
Dowód:
Zaªó»my, »e mamy trzynastu ludzi (p prawdziwe) i »adnych dwóch z nich nie ma
urodzin w tym samym miesi¡cu (q faªszywe). To prowadzi do stwierdzenia, »e jest przynajmniej
trzyna±cie miesi¦cy w roku, czyli do sprzeczno±ci. Wykazali±my wi¦c, »e
zatem implikacja
p⇒q
(p∧ ∼ q)
jest faªszywe,
jest prawdziwa.
Dowód przez przypadki
Czasami musimy udowodni¢ implikacj¦ postaci
p1 ∨ p2 ∨ · · · ∨ pn ⇒ q
.
Jest ona równowa»na
(p1 ⇒ q) ∧ (p ⇒ q) ∧ · · · ∧ (pn ⇒ q),
wi¦c mo»na j¡ dowodzi¢ rozpatruj¡c przypadki czyli dowodz¡c ka»dej implikacji
pi ⇒ q
oddzielnie.
Przykªad
Udowodni¢, »e dla ka»dego
n∈N
liczba
n3 + n
jest parzysta.
Przypadek 1
Zaªó»my, »e
n
jest liczb¡ parzyst¡. Wtedy
n = 2k
dla pewnej liczby
k ∈ N.
St¡d:
n3 + n = 8k 3 + 2k = 2(4k 3 + k)
jest parzysta.
Przypadek 2
Zaªó»my, »e
n
jest liczb¡ nieparzyst¡. Wtedy
n = 2k + 1
dla pewnej liczby
k ∈ N.
St¡d:
n3 + n = (8k 3 + 12k 2 + 6k + 1) + (2k + 1) = 2(4k 3 + 6k 2 + 4k + 1)
jest parzysta.
Zasada szuadkowa (Dirichleta)
Zasada suadkowa polega na prostej obserwacji, »e je»eli rozmie±cimy
adkach, gdzie
n > m,
n
przedmiotów w
m
szu-
to istnieje szuadka, która zawiera co najmniej dwa przedmioty.
Zasada:
Je»eli rozmie±cimy
n
przedmiotów w
szuadce znajdzie si¦ co najmniej
k+1
m
szuadkach, przy czym
przedmiotów.
17
n > km (k ∈N),
to w której±
Przykªad
Pokaza¢, »e je»eli w trójk¡cie równobocznym o boku dªugo±ci 4 umie±cimy 17 punktów, to znajdziemy dwa punkty, mi¦dzy którymi odlegªo±¢ nie przekracza 1.
Rozwi¡zanie
Podzielmy trójk¡t na 16 maªych trójk¡tów równobocznych (ka»dy bok dzielimy na 4 cz¦±ci) o boku
dªugo±ci 1. Wykorzystujemy je jako szuadki, do których wkªadamy 17 przedmiotów (punktów).
Z zasady szuadkowej wynika, »e istnieje co najmniej jeden maªy trójk¡t zawieraj¡cy co najmniej
dwa punkty. Takie dwa punkty s¡ w odlegªo±ci mniejszej lub równej 1.
Indukcja matematyczna
Zasada indukcji matematycznej
Rozwa»amy twierdzenie dotycz¡ce liczb naturalnych. Sprawdzamy, czy speªnione s¡ dwa warunki:
1. Twierdzenie jest prawdziwe dla ustalonej liczby naturalnej
no .
2. Z zaªo»enia prawdziwo±ci twierdzenia dla dowolnej liczby naturalnej
ono prawdziwe tak»e dla liczby nast¦pnej,
k ≥ n0
wynika, »e jest
k + 1.
Je»eli oba warunki s¡ speªnione, to twierdzenie jest prawdziwe dla ka»dej liczby naturalnej
n ≥ n0 .
Przykªad
Udowodnij, »e
a + aq + aq 2 + . . . + aq n = a
1 − q n+1
.
1−q
•
Warunek pocz¡tkowy. Twierdzenie jest prawdziwe np. dla
•
Zaªo»enie indukcyjne. Zakªadamy, »e twierdzenie
a + aq + aq 2 + . . . + aq k = a
jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej
•
Teza indukcyjna.
twierdzenia dla
1 − q 0+1
n0 = 0: a = a
= a.
1−q
1 − q k+1
1−q
k ≥ 0.
Chcemy sprawdzi¢, »e z zaªo»enia indukcyjnego wynika prawdziwo±¢
k + 1,
czyli
a + aq + aq 2 + . . . + aq k + aq k+1 = a
•
1 − q k+2
.
1−q
Krok indukcyjny.
a+aq+aq 2 +. . .+aq k +aq k+1 = a
1 − q k+1
1 − q k+1 + q k+1 − q k+2
1 − q k+2
+aq k+1 = a
=a
1−q
1−q
1−q
18
6
J¦zyki formalne na przykªadzie gramatyk Lindenmayera
7
Rekurencja
Wprowadzenie
Ci¡gi mo»na deniowa¢ podaj¡c w sposób jawny wzory na kolejne wyrazy, np.
•
ci¡g arytmetyczny:
an = n ⇒ a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2
•
ci¡g geometryczny:
an = a · q n ⇒ a0 = a, a1 = a · q , a2 = a · q 2
itd.;
itd.
Mo»na te» deniowa¢ kolejne wyrazy ci¡gu za pomoc¡ wyrazów poprzednich, np.
•
ci¡g arytmetyczny:
a0 = 0, an+1 = an + 1;
•
ci¡g geometryczny:
a0 = a, an+1 = q · an .
Tego typu zale»no±ci nazywamy zale»no±ciami rekurencyjnymi lub wzorami rekurencyjnymi. Je»eli
zale»no±¢ rekurencyjna stanowi denicj¦ ci¡gu, to nazywamy j¡ denicj¡ rekurencyjn¡.
Denicja rekurencyjna
Mówimy, »e ci¡g jest zdeniowany rekurencyjnie, je»eli:
•
Okre±lony jest pierwszy wyraz lub pewna ilo±¢ pierwszych wyrazów ci¡gu;
•
Nast¦pne wyrazy zdeniowane s¡ za pomoc¡ poprzednich wyrazów ci¡gu.
Dalsze przykªady
1
1
1
· an ⇒ a0 = 4, a1 = 2, a2 = 1, a3 = , a4 =
2
2
4
•
ci¡g geometryczny:
•
suma wyrazów ci¡gu arytmetycznego:
a0 = 4, an+1 =
itd.
s0 = 0, sn+1 = sn + (n + 1), ⇒ s1 = 1, s2 = 3, s3 = 6
itd.
•
silnia:
0! = 1, (n + 1)! = (n + 1) · n! ⇒ 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24
•
ci¡g Fibonacciego:
itd.
F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 ⇒ F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5
itd.
Znajdowanie wyrazu ogólnego
Zale»no±ci rekurencyjne odgrywaj¡ wa»n¡ rol¦ w informatyce, s¡ cz¦sto stosowane w programach
numerycznych. Niemniej, potrzebna mo»e by¢ równie» znajomo±¢ wzoru ogólnego (jawnego) na
wyrazy ci¡gu zdeniowanego rekurencyjnie. Znajdowanie wyrazu ogólnego mo»e polega¢ na jego
odgadni¦ciu czy te» nieformalnym wyprowadzeniu, a nast¦pnie formalnym udowodnieniu np. za
pomoc¡ indukcji matematycznej.
19
Przykªad
Znale¹¢ ogólny wyraz ci¡gu
sn
zdeniowanego wcze±niej rekurencyjnie. Wyraz
sn
oznacza sum¦
n: sn = 1 + 2 + . . . + n. Pierwszy skªadnik sumy to 1, ostatni to n, a wi¦c
n+1
. Liczb tych jest n, czyli suma powinna wynosi¢
sumowanych liczb wynosi
2
liczb naturalnych od 1 do
±rednia warto±¢
sn =
n (n + 1)
.
2
Teraz nale»y ten wzór udowodni¢ indukcyjnie.
1 · (1 + 1)
= 1.
2
•
Warunek pocz¡tkowy
•
Zakªadamy, »e zale»no±¢ jest speªniona dla
•
Chcemy udowodni¢, »e st¡d wynika prawdziwo±¢ wzoru dla
•
Dowód:
s1 = 1
jest speªniony, gdy»
sn+1 = sn + (n + 1) =
s1 =
n ∈ N: sn =
n (n + 1)
.
2
n+1, czyli sn+1 =
(n + 1) (n + 1 + 1)
.
2
n(n + 1) + 2n + 2
(n + 2)(n + 1)
n (n + 1)
+n+1=
=
2
2
2
Przykªad
Wyznacz za pomoc¡ zale»no±ci rekurencyjnej liczb¦ permutacji zbioru
{1, 2, 3, . . . , n}.
Nast¦pnie
znajd¹ wzór jawny na liczb¦ permutacji tego zbioru.
Wprowadzamy oznaczenie:
an
- liczba permutacji zbioru zawieraj¡cego
n
elementów.
n = 1 jest tylko jedna mo»liwo±¢, wi¦c a1 = 1. Dwa elementy zbioru mo»na ustawi¢ na
dwa sposoby, {1, 2} lub {2, 1}, czyli a2 = 2. Trzy elementy mo»na ustawi¢ na sze±¢ sposobów,
{3, 1, 2}, {1, 3, 2}, {1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 3, 1}, {2, 1, 3}, st¡d a3 = 6.
Np. dla
n-ty element zbioru mo»na ustawi¢ na n sposobów: na pierwszym miejscu, na drugim i tak
n-tego miejsca. Czyli liczba permutacji an zbioru n-elementowego jest n
razy wi¦ksza ni» liczba permutacji an−1 zbioru zawieraj¡cego o jeden element mniej: an = n · an−1 .
Ostatni,
dalej, a» do ostatniego,
Jest to szukana zale»no±¢ rekurencyjna.
Poniewa»
a1 = 1
oraz
an = n · an−1 ,
to ci¡g
an
jest ci¡giem silnia, czyli
an = n!.
Odpowiedzi
•
Zale»no±¢ rekurencyjna:
•
Ogólny wzór jawny:
a1 = 1, an = n · an−1 ;
an = n!.
Jednorodne liniowe zale»no±ci rekurencyjne
Jednorodnymi liniowymi zale»no±ciami rekurencyjnymi nazywamy zale»no±ci postaci
an = c1 an−1 + c2 an−2 + . . . + cr an−r .
Zale»no±ci takie musz¡ mie¢ zadanych
r
warunków pocz¡tkowych:
zagadnienia nazywamy wzór ogólny (jawny) dla wyrazu
20
an ,
gdzie
n
(1)
a1 , a2 ,
...,
ar .
Rozwi¡zaniem
jest dowoln¡ liczb¡ naturaln¡.
Zauwa»my, »e zawsze istnieje rozwi¡zanie trywialne
an = 0,
je±li pierwsze
r
wyrazów te» byªo
równych zeru. Dalej zajmiemy si¦ szukaniem rozwi¡za« nietrywialnych, tzn. takich, dla których
przynajmniej cz¦±¢ wyrazów jest ró»nych od zera.
Z równaniem (1) zwi¡zane jest równanie algebraiczne zwane równaniem charakterystycznym:
xr − c1 xr−1 − c2 xr−2 − . . . − cr = 0.
Oznaczmy pierwiastki (rozwi¡znie) tego równania
α1 , α2 ,
...,
(2)
αr .
Twierdzenie
Równanie rekurencyjne (1) ma rozwi¡zanie postaci
an = C1 α1n + C2 α2n + . . . + Cr αrn ,
gdzie staªe
Ci
(3)
s¡ liczbami do wyznaczenia z warunków pocz¡tkowych.
Przykªad
Fn ci¡gu Fibonacciego okre±lonego jednorodn¡, liniow¡ zale»no±Fn = Fn−1 + Fn−2 z warunkami pocz¡tkowymi F0 = 0 oraz F1 = 1.
Wyznaczy¢ wzór na ogólny wyraz
ci¡ rekurencyjn¡
•
W tym przypadku
c1 = c2 = 1
oraz
r = 2,
czyli równanie charakterystyczne ma posta¢:
x2 − x − 1 = 0.
√
1+ 5
α1 =
2
√
1− 5
α2 =
2
•
Jego rozwi¡zaniem s¡ liczby
•
Ogólne rozwi¡zanie podanego równania charakterystycznego ma posta¢:
F n = C1
•
oraz
√ !n
1+ 5
+ C2
2
.
√ !n
1− 5
.
2
Z warunków pocz¡tkowych dostajemy równania na staªe
Ci :


0 =√C1 + C2
√
1+ 5
1− 5 .
 1 = C1
+ C2
2
2
•
Ich rozwi¡zaniem s¡ liczby
St¡d
Odpowied¹:
1
Fn = √ ·
5
1
C1 = √
5
oraz
1
C2 = − √
5
.
√ !n
√ !n
1
1+ 5
1
1− 5
−√ ·
.
Fn = √ ·
2
2
5
5
√ !n
√ !n
1+ 5
1
1− 5
−√ ·
. Sprawdzenie: F0 = 0, F1 = 1, F2 = 2,
2
2
5
itd.
21
Uwaga
Dla ci¡gu Fibonacciego przyjmuje si¦ te» cz¦sto denicj¦ z innymi warunkami pocz¡tkowymi:
√ !n+1
√ !n+1
F0 = 1 i F1 = 1.
Wtedy
1
Fn = √ ·
5
1+ 5
2
1
−√ ·
5
1− 5
2
.
Liczby Fibonacciego
Wyrazy tego ci¡gu: (0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 itd. nosz¡ nazw¦ liczb Fibonacciego.
Zadanie domowe
Udowodni¢ indukcyjnie nast¦puj¡c¡ wªasno±¢ ci¡gu Fibonacciego:
Fn+1 · Fn−1 − Fn2 = (−1)n .
Niejednorodne jednorodne zale»no±ci rekurencyjne
Np. ci¡g arytmetyczny lub suma wyrazów ci¡gu arytmetycznego.
Zªo»one (nieliniowe) zale»no±ci rekurencyjne
Np. ci¡g silnia.
Zadanie na ¢wiczenia
a0 = 12 i a1 = 29 oraz
ka»dego n ≥ 0 wyrazy ci¡gu
Pokaza¢, »e je»eli speªnione s¡ warunki pocz¡tkowe
wzór rekurencyjny an
an = 5 · 3n + 7 · 2n .
•
= 5an−1 − 6an−2 ,
to dla
dla
n ≥ 2
zachodzi
dane s¡ równaniem
Dowód indukcyjny:
an+1 = 5an − 6an−1 = 5 · (5 · 3n + 7 · 2n ) − 6 · (5 · 3n−1 + 7 · 2n−1 ) = 5 · 3n+1 + 7 · 2n+1
•
Wyprowadzenie z równania charakterystycznego:
x2 − 5x + 6 = 0 ⇒ α1 = 3,
α2 = 2;
an = C1 · 3n + C2 · 2n
a0 = 12,
a1 = 29 ⇒ C1 = 5,
22
C2 = 7