Rachunek Prawdopodobieństwa, lista 5

Rachunek Prawdopodobieństwa, lista 5
Zad.45. Odczytaj z tablic rozkładu N (0, 1) wartość pierwszego i trzeciego kwartyla tego rozkładu.
Odczytaj wartości kwantyli rzędu: 0,1; 0,7; 0,9.
Zad.46. Wykonujemy 1200 rzutów symetryczną kostką sześcienną. Prawdopodobieństwo zdarzenia liczba
„szóstek” będzie zawarta w przedziale [180, 220] jest równe
220
X
k=180
! k 1
1200
k
6
1
1−
6
1200−k
= 0, 887844770904761...
Powyższe obliczenie wykonał oczywiście komputer.
a) Oblicz to prawdopodobieństwo, korzystając z twierdzenia de Moivre’a – Laplace’a.
b) Podaj takie najmniejsze m, aby liczba szóstek mieściła się w przedziale 200± m z prawdopodobieństwem 0,99.
Zad.47. W pewnym oddziale banku pojawia się 400 klientów dziennie. Każdy z nich dokonuje operacji
w wysokości X złotych. Gdy X > 0 to znaczy, że wpłaca X złotych, gdy X < 0, to wypłaca. Mamy więc
łaczną sumę (z punktu widzenia banku) X1 + X2 + ... + X400 zł. Zakładamy, że kwoty X1 , X2 , ..., X400
są zmiennymi niezależnymi o zerowej średniej i wariancji σ 2 = 1002 . Ile pieniędzy powinno być rano w
banku, aby na koniec dnia nie zabrakło pieniędzy z prawdopodobieństwem 0,99? Zakładamy, że w ciągu
dnia, jeśli zaczyna brakować pieniędzy, to pracownicy banku uzupełniają braki ze swoich pieniędzy, ale
pod koniec pracy chcą odzyskać swoją gotówkę. ODP. Ok. 4660 zł.
Zad.48. (przybliżenie rozkładu Bernoulliego rozkładem Poissona)
Jak liczyliśmy na wykładzie, prawdopodobieństwo trafienia „szóstki” w Lotto jest równe
1
czyli mniej
(496)
więcej 7·10−8 . Ilu „szóstek” można się spodziewać w kolejnym losowaniu, jeśli grający wypełniają kupony
losowo i niezależnie, a zakładów jest n = 107 ?
a) Podaj przybliżone prawdopodobieństwo dla zera „szóstek”, jednej „szóstki” oraz dwóch „szóstek”.
ODP. 0,4891; 0,3498; 0,1251
b) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w trzech kolejnych losowaniach nie będzie żadnej „szóstki”?
ODP. 0,117 (czyli dość duże!)
Zad.49. Pewne towarzystwo ubezpieczeniowe pobiera od klienta składkę 35 zł miesięcznie, w zamian
otrzymuje on zwrot kosztów leczenia. Towarzystwo wie, że prawdopodobieństwo tego, iż klient w danym miesiącu otrzyma wypłatę 500, 1000 lub 4000 zł wynosi, odpowiednio, 1/50, 1/100 lub 1/400.
Towarzystwo zawarło 1000 takich umów. Korzystając z Centralnego Twierdzenia Granicznego oszacuj
prawdopodobieństwo tego, że w danym miesiącu towarzystwo:
a) odnotuje zysk, b) poniesie stratę w wysokości co najmniej 1000 zł.
c) Dla jakiej liczby klientów prawdopodobieństwo poniesienia straty będzie mniejsze niż 0,05?
ODP. a) ok. 0,752; b) 0,206; c) n ­ 5892.
X=0 X=1 X=2
1/4
0
Zad.50. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład opisany tabelką: Y = −1 1/4
Y =1
0
1/3
1/6
a) Oblicz ρXY czyli współczynnik korelacji zmiennych X i Y . Czy te zmienne są niezależne?
b) Wpisz w tę tabelkę takie prawdopodobieństwa, aby rozkłady brzegowe X i Y pozostały takie, jak
to wynika z powyższej tabelki, ale zmienne stały się niezależne. Czy jest tylko jeden sposób takiego
wypełnienia tabelki?