rozszerzenie

Zadanka z matury rozszerzonej z fizyki, drgania
g i zapisali wynik przyśpieszenia grawitacyjnego. Niepewność pomiaru
długości wahadła wynosiła 0,01 m. Wykonaj obliczenia uczniów.
△ 2002.03
1. WAHADŁO MATEMATYCZNE Studenci dokonali pomiaru zależności okresu
drgań wahadła matematycznego od długości nici wahadła. Wyniki pomiarowe
zamieszczono w tabeli poniżej.
L.p.
1
2
3
4
5
Długość
wahadła
l,m
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
±
±
±
±
±
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
P1
Okres
drgań
T,s
P2
P3
P4
P5
0,90
1,30
1,60
1,80
2,00
0,80
1,40
1,50
1,90
2,10
0,70
1,10
1,80
1,80
2,00
0,90
1,20
1,40
1,60
2,10
0,90
1,20
1,60
2,00
2,30
Średnia
wartość
okresu
T,s
Niepewność
pomiaru
okresu
∆T,s
0,88
0,22
1,58
0,22
4. Zadanie 26. Wahadła (10 pkt)
Metalową kulkę o masie 0,1 kg zawieszono na nici o pewnej długości i
wychylono z położenia równowagi. Zależność wychylenia kulki x od czasu t
możemy opisać wzorem:
Π
x = 0.11 sin 0.8Πt +
2
(Wartości liczbowe wielkości fizycznych, wyrażono w jednostkach układu SI).
(a) Zadanie 23 (3 pkt.) Uzupełnij dane w tabeli pomiarowej. Za niepewność
pomiaru okresu dla każdej długości wahadła przyjmij wartość bezwzględną
największej różnicy pomiędzy średnim okresem, a zmierzoną wartością
okresu. Średnią wartość okresu i niepewność pomiarową okresu podaj z
dokładnością do setnych części sekundy.
(b) Zadanie 24 (3 pkt.) Na podstawie danych pomiarowych wyznacz wartość
przyspieszenia ziemskiego dla każdej długości wahadła. Oblicz średnią wartość przyspieszenia ziemskiego oraz podaj niepewność pomiarową średniej
wartości przyspieszenia ziemskiego. Obliczone wartości podaj z dokładnością do setnych m/s2. Następnie oblicz średnią wartość przyspieszenia
ziemskiego jako średnią arytmetyczną z dla każdej z 5 długości wahadła
i niepewność tej średniej jako wartość bezwzględną największej różnicy
danej wartości przyspieszenie ziemskiego i jego wartości średniej.
(c) Zadanie 25 (5 pkt.) Narysuj wykres zależności okresu drgań wahadła
matematycznego od długości nici. Nanieś na wykresie punkty pomiarowe,
zaznacz niepewności pomiarowe oraz dopasuj odpowiednią krzywą.
(d) Zadanie 26 (2 pkt.) Ustal czy następujące stwierdzenie jest prawdziwe:
Okres drgań wahadła matematycznego jest wprost proporcjonalny do
długości nici wahadła. Odpowiedź uzasadnij.
(e) Zadanie 27 (5 pkt.) Przedstaw na rysunku wahadło matematyczne w
1
położeniu maksymalnego wychylenia oraz w położeniu równowagi. Narysuj
wszystkie siły działające na kulkę wahadła w opisanych przypadkach.
Przyjmij, że kąt maksymalnego wychylenia wahadła jest mniejszy od 5o .
△ 2002.05
2. Zadanie 25. (wahadło) Uczniowie podczas lekcji wyznaczali masę Ziemi,
wykorzystując wahadło matematyczne. Do dyspozycji uczniów przygotowano
następujące przyrządy: nici, obciążniki o małych rozmiarach, stoper, przymiar, haczyk przymocowany do sufitu sali. Uczniowie zapisali wyniki swoich
pomiarów i obliczeń w tabelce:
Długość, m
Okres drgań, s
Masa, 1024 kg
△ 2005.12
0,5
1,43
0,75
1,73
1,0
1,99
1,25
2,24
1,5
2,45
1,75
2,66
2,0
2,83
2,25
3,00
5,885
5,939
6,031
5,958
5,988
5,952
5,994
5,976
(a) Zadanie 25.1. (4 pkt) Korzystając z wielkości mierzonych w doświadczeniu,
przedstaw sposób obliczenia masy Ziemi oraz sprawdź jednostkę obliczonej
masy.
(b) Zadanie 25.2. (4 pkt) Zapisz w punktach czynności wykonywane przez
uczniów podczas doświadczenia.
(c) Zadanie 25.3. (2 pkt) Tablicowa wartość masy Ziemi wynosi 5, 975 ·
1024 kg. Oszacuj niepewność pomiarową wyznaczonej doświadczalnie
A −A
przez uczniów masy Ziemi posługując się wzorem: δ = tA p , gdzie At
t
wielkość tablicowa, Ap średnia wielkość masy Ziemi
(d) Zadanie 25.4. (2 pkt) Przeanalizuj i uzasadnij, czy masa wybranego obciążnika i jego rozmiary oraz długość nici mogą mieć wpływ na otrzymane
wyniki.
△ 2005.11
3. Zadanie 2. (8 pkt) Na lekcji fizyki uczniowie wykonali pomiary okresu wahadła
matematycznego o długości 76 cm, 9 razy z dokładnością 0,01 s. Otrzymali
następujące wyniki w sekundach: 1,75; 1,74; 1,74; 1,76; 1,75; 1,77; 1,74;
1,73; 1,75.
(a) 2.1. (2 pkt) Jakie będzie najlepsze przybliżenie okresu tego wahadła?
Zapisz wartość okresu wahadła z dokładnością do 0,01 s.
(b) 2.2. (6 pkt) Wykorzystując otrzymane wyniki, uczniowie obliczyli średnią
wartość przyspieszenia grawitacyjnego, a następnie obliczyli niepewność
∆l
∆T
względną ze wzoru: ∆g
g = l + 2 T , niepewność bezwzględną ∆
2
(a) 26.1 (3 pkt) Podaj i zapisz wartość amplitudy i fazy początkowej oraz
oblicz okres drgań tego wahadła.
(b) 26.2 (2 pkt) Wykaż, że jeżeli okres wahań wahadła matematycznego
jest równy 2 s, to jego długość wynosi około 1 m. Przyjmij, że wartość
przyspieszenia ziemskiego wynosi 10 sm2 .
(c) 26.3 (2 pkt) Tę samą metalową kulkę zawieszono na sprężynie i wprawiono w drgania. Okres drgań kulki był równy 2 s. Oblicz współczynnik
sprężystości sprężyny (masę sprężyny pomiń).
(d) 26.4 (3 pkt) Obserwując dzieci huśtające się na huśtawce można zauważyć,
że amplituda wahań w miarę upływu czasu stopniowo maleje. Napisz, jakie
trzy warunki należy spełnić, aby amplituda wahań huśtawki była stała.
Przyjmij, że okres wahań wynosi 4 s.
△ 2009.01
5. Zadanie 1. Wahadło Foucaulta (12 pkt) Wahadło Foucaulta to wahadło,
które ma możliwość drgań w dowolnej płaszczyźnie pionowej. Nazwa wahadła
upamiętnia jego wynalazcę, Jeana Bernarda Léona Foucaulta, który 8 stycznia
1851 roku zawiesił ciężarek o masie 28 kilogramów na linie o długości 67
m w Panteonie w Paryżu. Obserwując poruszające się wahadło, zauważył,
że płaszczyzna drgań wahadła obracała się względem osi prostopadłej do
powierzchni Ziemi. Dokładna analiza zjawiska pozwala na wyrażenie wartości
prędkości kątowej, z jaką obraca się płaszczyzna drgań wzorem (1):
3
3 A 2
ωobr = ωz 1 −
sin(φ)
8 l
gdzie: ωobr - prędkość kątowa obrotu płaszczyzny drgań wahadła, ωz prędkość kątowa obrotu Ziemi, A - amplituda drgań wahadła, l - długość
wahadła, φ - szerokość geograficzna.
Gdy amplituda drgań jest znacznie mniejsza od długości wahadła wzór ten
przyjmuje postać (2):
ωobr = ωz sin(φ)
Aby zaobserwować zmianę płaszczyzny drgań, wymagany jest długi czas
drgań (co najmniej kilka godzin). Wskazana jest również duża masa ciężarka.
Wahadło działające na University of Colorado w USA ma długość 40 m i
masę ciężarka 300 kg.
(a) Zadanie 1.1 (2 pkt) Oblicz okres drgań wahadła zbudowanego przez Foucaulta, stosując przybliżenie wahadła matematycznego. Przyjmij wartość
przyspieszenia ziemskiego równą 10 m/s2.
(b) Zadanie 1.2 (3 pkt) Oszacuj względną różnicę ( ∆ω
ω ), jaką uzyskamy,
obliczając wartość prędkości kątowej dla wahadła zbudowanego przez
Foucaulta z uproszczonej zależności (2) zamiast z zależności (1). Przyjmij,
że amplituda drgań wahadła jest stała i wynosi 4 m.
(c) Zadanie 1.3 (5 pkt) Naszkicuj wykres ilustrujący zależność okresu obrotu
płaszczyzny drgań wahadła Foucaulta ( Tobr , w godzinach) od szerokości geograficznej (φ). W tym celu dokonaj odpowiednich obliczeń dla
szerokości geograficznych: 30o , 45o , 60o , 90o . Przyjmij, że amplituda
drgań wahadła jest znacznie mniejsza od długości wahadła, oraz, że okres
obrotu Ziemi wokół własnej osi wynosi 24 h. Obliczenia
(d) Zadanie 1.4 (2 pkt) Wyjaśnij, dlaczego dla długotrwałego działania wahadła konieczna jest duża długość wahadła i duża masa ciężarka.
4