, 4 1 19 < S S , 2 2 − = = = aa a m a ma

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI
„ZDAJ MATMĘ NA MAKSA”
Zestaw nr 7 – Poziom Rozszerzony
Zad.1. (6p)
Ciąg x – 3, x + 3, 6x + 2, ... jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach
S
1
dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że 19 < , gdzie Sn oznacza sumę n
S 20 4
początkowych wyrazów tego ciągu.
Zad.2. (6p)
mx
m +1
+
= x + 1 ma dwa pierwiastki x1, x2
Dla jakich wartości parametru m równanie
m −1
x
1
1
spełniające warunek
+
< 2m + 1 ?
x1 x 2
Zad.3. (4p)
3
Oblicz wartość wyrażenia sin 3 x + cos 3 x, jeżeli wiadomo, że sin x + cos x = .
4
Zad.4. (5p)
Narysuj wykres funkcji f (m), która jest liczbą rozwiązań układu równań z parametrem m.
(m − 1) x + 3 y = 5

mx − 2 y = 4
Zad.5. (7p)
Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC leżą na paraboli y = - x2 + 6x. Punkt C jest
wierzchołkiem paraboli, a bok AB jest równoległy do osi odciętych.
a) Sporządź rysunek na płaszczyźnie kartezjańskiej.
b) Oblicz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC.
Zad.6. (6p)
Stożek i walec mają równe tworzące, równe pola powierzchni bocznej i równe objętości.
Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy.
Zad.7. (6p)
Oblicz miary kątów rombu, w którym stosunek długości obwodu do sumy długości
2 6
przekątnych jest równy
.
3
Zad.8. (5p)
a1 = m

Ciąg (an) określony wzorem rekurencyjnym a 2 = 2m
, gdzie m jest liczbą naturalną.
a = 2 a − a
n
n −1
 n+1
Wykaż, że każda liczba naturalna podzielna przez m jest wyrazem tego ciągu.
Zad.9. (4p)
Towarzystwo lotnicze wyczarterowuje sześćdziesięciomiejscowe samoloty grupom liczącym
co najmniej 45 osób. Jeśli leci 45 osób, to każda z nich płaci za przelot 600 zł. Po zwiększeniu
liczebności grupy o jedną osobę każdemu pasażerowi obniża się cenę biletu o 10 zł. Ile osób
powinna liczyć grupa, aby towarzystwo lotnicze za wyczarterowanie samolotu uzyskało jak
największą zapłatę?
Zad.10. (4p)
Oblicz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu
(x – 16)2 + y2 = 4 jest okrąg o równaniu (x - 8)2 + (y - 4)2 = 36 a skala tej jednokładności jest
liczbą ujemną.