Wst¦p do ekonometrii II Plan kursu

Transkrypt

Wst¦p do ekonometrii II
Szkoªa Gªówna Handlowa studia doktoranckie
dr Andrzej Torój
SGH Zakªad Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii
semestr letni 2015/2016
Plan kursu
Zjazd 1
Modele dynamiczne analiza COMFAC
Stacjonarno±¢ i niestacjonarno±¢ szeregów czasowych
Zjazd 2
Modele ARIMA
Modele o zmiennej wariancji skªadnika losowego
Zjazd 3
Modele VAR
Modele SVAR
Zjazd 4
Kointegracja i modele VEqCM
Filtr Kalmana i modele w przestrzeni stanów
Informacje wst¦pne
I uko«czony wykªad Wst¦p do ekonometrii I
I materiaªy
I http://akson.sgh.waw.pl/
∼atoroj/wde2/
I andrzej.toroj (at) gmail.com
I egzamin: rozwi¡zywanie 4-5 zada« przy u»yciu komputerów
Plan prezentacji
Zjazd 1
Zjazd 2
Modele ARIMA
Zjazd 3
Modele VAR
Modele SVAR
Zjazd 4
Modele ADL
I ADL(I,J): autoregressive distributed lag
J
I
P
P
βj xt−j + εt
j=0
Zaªó»my, »e εt jest sferycznym zaburzeniem.
yt = α0 +
i=1
αi yt−i +
I Na przykªad:
I ADL(1,1):
yt = α0 + α1 yt−1 + β0 xt + β1 xt−1 + εt
I ADL(2,2):
yt = α0 + α1 yt−1 + α2 yt−2 + β0 xt + β1 xt−1 + β2 xt−2 + εt
Restrykcje wspólnego czynnika (COMFAC)
I ADL(1,1):
yt = α1 yt−1 + β0 xt + β1 xt−1 + εt
I w notacji wielomianu opó¹nie«:
(1 − α1 L) yt = (β0 + β1 L) xt + εt
jest to równoznaczne z: (1 − α1 L) yt = β0 1 +
I co by byªo gdyby
−α1 =
gdy jej nie odrzucimy:
β1
β0 ? Testujemy
β1
β0 L
x t + εt
H0 : −α1 β0 = β1
I jest wspólny czynnik, przez który mo»emy podzieli¢ obie
strony, by upro±ci¢ model...
I ...ale to wpªywa na skªadnik losowy!
i
Skªadnik losowy przy COMFAC
H0 : (1 − α1 L) yt = β0 (1 − α1 L) xt + εt
εt
Podzielmy przez (1 − α1 L): yt = β0 xt +
1−α L
| {z 1 }
I Przy
I
vt
I
εt
1−α1 L
vt =
(1 − α1 L) vt = εt
vt = α1 vt−1 + εt
Restrykcja wspólnego czynnika w modelu ADL(1,1)...
...prowadzi do modelu statycznego
yt = β0 xt + vt
z autokorelacj¡
skªadnika losowego! Taki model powinien by¢ szacowany
uogólnion¡ MNK.
Estymator UMNK (1)
y
= Xβ + ε
ε ∼ E [ε] = 0, E εεT = σ 2 Ω
Przy dobrze zdeniowanej, symetrycznej macierzy Ω...
...istnieje jednoznaczna dekompozycja
Ω −1 = V T V .
Mno»ymy obie strony równania lewostronnie przez V
Vy
T:
= VXβ + Vε
Skªadnik losowy w tym modelu jest sferyczny:
h
i
T
var (Vε) = E (Vε) (Vε) = E VεεT VT =
= VE εεT VT = Vσ 2 ΩVT =
−1 T
−1 T
2
T
2
−
1
T
= σ V V V
V = σ VV
V
V = σ2I
Estymator UMNK (2)
Vy
= VXβ + Vε
Assume that V (and, hence,
Ω)
is known. Then the estimation of
the original equation with GLS is equivalent to the estimation of
the above equation with OLS (using transformed data):
β̂
OLS
β̂
=
GLS
−1 T
X y
XT X
=
=
h
T
i−1
(VX)T (Vy) =
T −1 −1 T −1
T
T
X V Vy = X Ω X
X Ω y
(VX) (VX)
T T
−1
X V VX
Estymacja przy COMFAC
β̂
GLS
=
−1 T −1
−1
T
X Ω X
X Ω y
I Skonstruujmy macierz
I
I
I
Ω
Var (vt ) = σ 2
Cov (vt , vt−1 ) = Cov (α1 vt−1 + εt , vt−1 ) = α1 Var (vt−1 ) =
α1 σ 2
Cov (vt , vt−2 ) = Cov (α1 vt−1 + εt , vt−2 ) =
α1 Cov (vt−1 , vt−2 ) = α1 Cov (vt , vt−1 ) = α12 σ 2
I itd.

I
α1
1
α12

 α1
1
α1


Ω = σ 2  α2
α1 1
1

 ..
..
..
.
.
 .
α1n−1 · · · α12
I
σ2
· · · α1n−1
..
.
.
.
.
..
.
..
α12
.
α1
α1









1
nie ma znaczenia (skalar, dwukrotnie we wzorze na UMNK
skraca si¦)
I
α1
estymowane (ale nie dowolnie to parametr strukturalny w
równaniu!)
COMFAC w modelu ADL(2,2)
I ADL(2,2):
yt = α1 yt−1 + α2 yt−2 + β0 xt + β1 xt−1 + β2 xt−2 + εt
I W notacji wielomianu opó¹nie«:
1
− α1 L − α2
L2
yt = β0
1
+
β1
β0 L
+
β2 2
β0 L
x t + εt
I Faktoryzujemy wielomiany:
(1 − Lγ1 ) (1 − Lγ2 )yt = (1 − Lτ1 ) (1 − Lτ2 )xt + εt
I 2 testowalne restrykcje:
γ1 = τ1 i γ2 = τ2 :
I ª¡czne odrzucenie obu restrykcji: model bez zmian
I odrzucenie 1 z 2: model upraszcza si¦ do ADL(1,1) ze
skªadnikiem losowym AR(1)
I nieodrzucenie »adnej: model upraszcza si¦ do modelu
statycznego ze skªadnikiem losowym AR(2)
Mo»liwe przypadki
I w modelu ADL(1,1):
I brak wspólnego czynnika
I 1 wspólny czynnik model upraszcza si¦ do statycznego z
resztami AR(1)
I w modelu ADL(2,2):
I brak wspólnego czynnika
I 1 wspólny czynnik model upraszcza si¦ do AR(1) z resztami
AR(1)
I 2 wspólne czynniki model upraszcza si¦ do statycznego z
resztami AR(2)
I restrykcje COMFAC
I s¡
nieliniowe
I ...ale czasami
przybli»enie
i powinny by¢ testowane w adekwatny sposób
liniowy
test Walda uznawany za wystarczaj¡ce
(zob: Greene)
wiczenie
Przykªad 19.6 z Greene, s. 585-586:
Rozwa»amy model obja±niaj¡cy logarytm realnej konsumpcji przez
logarytm PKB.
Oszacuj model statyczny. Co z autokorelacj¡ reszt?
Oszacuj model ADL(1,1). Zwerykuj hipotez¦ wspólnego
czynnika.
Oszacuj model ADL(2,2). Zwerykuj hipotezy wspólnych
czynników.
Czy s¡ 2 wspólne czynniki w modelu ADL(2,2)?
Testowanie restrykcji liniowych
Test Walda
H0 : Rβ = q,
tzn. liniowe restrykcje dla
H1 : Rβ 6= q,
i.e. tzn. liniowe restrykcje dla
Statystyka testowa:
F =
β
s¡ prawdziwe
β
s¡ odrzucane przez dane
(RRSS−URSS)/m
ma rozkªad
URSS/(T −k)
F (m, T − k),
RRSS :
suma kwadratów reszt w modelu z restrykcjami
URSS :
suma kwadratów reszt w modelu bez restrykcji
m:
liczba restrykcji
T:
liczba obserwacji
k:
gdzie:
liczba szacowanych parametrów w modelu bez restrykcji
ADL(1,1), nieliniowo±¢
I restrykcja
−α1 β0 = β1
jest nieliniowa (wzgl¦dem parametrów)
I tym bardziej restrykcje dotycz¡ce modelu ADL(2,2) skomplikowane funkcje parametrów strukturalnych
I test Walda dla nieliniowych restrykcji
I hipoteza zerowa i alternatywna: jak w te±cie Walda
I szczegóªy: zobacz plik xls (zakªadka:
oszacowaniach ADL(1,1) z Gretla
ADL_11)
bazuje na
ADL(2,2), 2 restrykcje COMFAC
I
H0 : λ1 = τ1 ∧ λ2 = τ2
I model z 2 restrykcjami:
yt = α0 + (λ1 + λ2 ) yt−1 − λ1 λ2 yt−2 +
β0 xt − β0 (λ1 + λ2 ) xt−1 + β0 λ1 λ2 xt−2 + εt
ADL(2,2), 2 restrykcje COMFAC, nieliniowo±¢
I
H0 : β1 = −α1 β0 ∧ β2 = −α2 β0
(dwa wspólne czynniki)
I test mo»e, ale nie musi by¢ prosty to zale»y od hipotezy
alternatywnej:
I brak wspólnych czynników restrykcje ªatwo wyrazi¢ jako
funkcje parametrów strukturalnych
I jeden wspólny czynnik nie mo»na wówczas ªatwo wyj¡¢
jednego z dwóch równa« z
H0 ,
lecz musimy rozªo»y¢ na
czynniki wielomian opó¹nie«
I xls, zakªadka
ADL22_2_cumulative
ADL(2,2), 1 COMFAC
I
I
1
− α1 L − α2
L2
yt = α0 + β0
1
+
β1
β0 L
+
β2 2
β0 L
xt + εt
(1 − Lλ1 ) (1 − Lλ2 )yt = α0 + (1 − Lτ1 ) (1 − Lτ2 )xt + εt
2
1 − (λ1 + λ2 ) L + λ1 λ2 L yt =
α0 + β0 1 − (τ1 + τ2 ) L + τ1 τ2 L2 xt + εt
yt = α0 + (λ1 + λ2 ) yt−1 − λ1 λ2 yt−2 +
β0 xt − β0 (τ1 + τ2 ) xt−1 + β0 τ1 τ2 xt−2 + εt
I Testujemy
λ1 = τ1 .
(Czy ma znaczenie, czy testujemy
λ1 = τ1
czy
λ2 = τ2 ?)
ADL(2,2), 1 COMFAC, nieliniowo±¢
I
L2
β1
β0 L
β2 2
β0 L
− α1 L − α2
yt = α0 + β0 1 +
+
xt + εt
(1 − Lλ1 ) (1 − Lλ2 ) yt = α0 + β0 (1 − Lτ1 ) (1 − Lτ2 ) xt + εt
1
I Jaka dokªadnie jest relacja mi¦dzy (wspólnymi) czynnikami a
parametrami?
∆ = α12 − 4 (−α2 ) = α12 + 4α2
∆ = β12 −s4β0 β2
− β1 ±
√
λ1,2 =
α1 ± α21 +4α2
2α2
β
τ1,2 =
0
β2
1 −4 β2
β0
0
β
2 β2
0
β2
I jeden wspólny czynnik s
α1 ±
√
α21 +4α2
2α2
pierwiastków
=
H0 : λ1 = τ1
β2
β
1 −4 β2
− β1 ±
β0
β2
0
0
przynajmniej dla jednej pary
β
2 β2
0
I mno»ymy obie strony przez 2α2 β2 , pierwiastki kwadratowe
β0
umieszczamy po prawej stronie równania, podniosimy obie
strony do kwadratu i redukujemy
α1 β1 − 2β0 α2 + 2β2 ±
q
α12 + 4α2
β12 − 4β0 β2 = 0
I s¡ dwa równania i jeden wspólny czynnik, je»eli jedno z nich
zostanie odrzucone
I xls, zakªadka
ADL22_1_incremental
ADL(1,1), zakªadamy liniowo±¢
Oszacuj ADL(1,1) w Gretlu: suma kwadratów reszt?
Oszacuj COMFAC-ADL(1,1) w Gretlu Model / Modele nieliniowe
/ Nieliniowa MNK: suma kwadartów reszt?
genr alpha0 = -0.0853309
genr beta0 = 0.584210
genr alpha1 = 0.904584
l_realcons = alpha0 + alpha1 * l_realcons(-1) + beta0 *
l_realgdp - alpha1 * beta0 * l_realgdp(-1)
deriv alpha0 = 1
deriv alpha1 = l_realcons(-1) - beta0 * l_realgdp(-1)
deriv beta0 = l_realgdp - alpha1 * l_realgdp(-1)
F (1, 199) =
(0,010057−0,009585)/1
0,009585/(203−4)
≈ 9, 80
p-value 0, 002
wspólny czynnik ODRZUCONY
ADL(2,2), 2 restrykcje COMFAC, zakªadamy liniowo±¢
genr alpha0 = 0.1
genr beta0 = 0.1
genr rho1 = 0.1
genr rho2 = 0.1
l_realcons = alpha0 + rho1 * l_realcons(-1) - rho2 *
l_realcons(-2) + beta0 * l_realgdp - beta0 * rho1 *
l_realgdp(-1) + beta0 * rho2 * l_realgdp(-2)
deriv alpha0 = 1
deriv beta0 = l_realgdp - rho1 * l_realgdp(-1) + rho2 *
l_realgdp(-2)
deriv rho1 = l_realcons(-1) - beta0 * l_realgdp(-1)
deriv rho2 = -1 * l_realcons(-2) + beta0 * l_realgdp(-2)
RRSS=0,009124
F (2, 196) =
(0,009124−0,008863)/2
0,008863/(202−6)
≈ 2, 89
z
p-value
0,058
Odrzucenie (lub nie) hipotezy, »e model ADL(2,2) ze sferycznymi
resztami upraszcza si¦ do modelu statycznego z resztami AR(2)
zale»y od wybranego poziomu istotno±ci.
ADL(2,2), 1 restrykcja COMFAC, zakªadamy liniowo±¢
genr alpha0 = 0.5
genr beta0 = 0.5
genr lambda1 = 0.5
genr lambda2 = 0.5
genr tau2 = 0.5
l_realcons = alpha0 + (lambda1+lambda2) * l_realcons(-1) (lambda1*lambda2) * l_realcons(-2) + beta0 * l_realgdp beta0*(lambda1+tau2) * l_realgdp(-1) +
beta0*lambda1*tau2*l_realgdp(-2)
deriv alpha0 = 1
deriv beta0 = l_realgdp - (lambda1+tau2) * l_realgdp(-1) +
lambda1*tau2*l_realgdp(-2)
deriv lambda1 = l_realcons(-1) - lambda2*l_realcons(-2) beta0*l_realgdp(-1) + beta0*tau2*l_realgdp(-2)
deriv lambda2 = l_realcons(-1) - lambda1*l_realcons(-2)
deriv tau2 = -beta0*l_realgdp(-1) + beta0*lambda1*l_realgdp(-2)
RRSS=0,008874
URSS=0,008863
F (1, 198) =
H0
(0,008874−0,008863)/1
0,008863/(202−6)
≈ 0, 246
with p-value=0,62
o 1 wspólnym czynniku nieodrzucona. ADL(2,2) ze sferycznymi
resztami upraszcza si¦ do modelu ADL(1,1) z resztami AR(1).
Lektury
I Greene: rozdziaª Models With Lagged Variables
Plan prezentacji
Zjazd 1
Zjazd 2
Modele ARIMA
Zjazd 3
Modele VAR
Modele SVAR
Zjazd 4
Zmienne losowe denicje
Yt
zmienna losowa przyjmuje warto±ci z okre±lonymi
prawdopodobie«stwami (opisuje je funkcja g¦sto±ci
dystrybuantaF
f (y )/
(y ))
warto±ci + prawdopodobie«stwa, z jakimi mog¡ zosta¢ przyj¦te:
rozkªad zmiennej losowej
{Yt } proces stochastyczny ci¡g zmiennych losowych
Yt
uporz¡dkowanych wedªug czasu
{yt }
szereg czasowy realizacja procesu stochastycznego
w konkretnej próbie
Warto±¢ oczekiwana
Wariancja
zmiennej losowej:
zmiennej losowej:
E (X ) =
´ +∞
−∞
xf (x) dx
D 2 (X ) = E (X − E (X ))2
Poj¦cie stacjonarno±ci procesu
Stacjonarno±¢ I rodzaju (w
w¦»szym sensie
/ mocna)
Rozkªad procesu jest niezmienny w czasie (w ka»dym okresie
realizacj¡ zmiennej
Yt
yt
jest
o identycznym rozkªadzie)
Stacjonarno±¢ II rodzaju (w
szerszym sensie
/ sªaba)
- ±rednia i wariancja procesu s¡ staªe w czasie
E (Yt ) = µ < ∞
D 2 (Yt ) = δ 2 < ∞
- kowariancja mi¦dzy zmiennymi zale»y wyª¡cznie od ich odlegªo±ci
w czasie (a nie od konkretnego momentu)
Cov (Yt , Yt+h ) = Cov (Yt+k , Yt+k+h ) = γ(h)
Biaªy szum
Biaªy szum denicja
E (εt ) = 0
2
[wahania maj¡ tendencj¦ do znoszenia si¦]
2
D (εt ) = δ < ∞
[staªo±¢ wariancji w czasie homoskedastyczno±¢]
Cov (εt , εt+h ) = 0, h 6= 0
[brak autokorelacji]
Wªasno±ci biaªego szumu powinien wykazywa¢ skªadnik losowy
w klasycznym modelu regresji liniowej.
εt ∼ IID(0, δ 2 )
I independent
I indentically
D distributed
Zmienna stacjonarna biaªy szum
Zmienna niestacjonarna proces bª¡dzenia losowego
Proces bª¡dzenia losowego denicja
yt = yt−1 + εt
yt = yt−1 + εt = yt−2 + εt−1 + εt = yt−3 + εt−2 + εt−1 + εt = . . . =
T
PT
y 0 =0 X
y0 + t=1 εt =
εt
t=1
| {z }
trend stochastyczny
Wªasno±ci bª¡dzenia losowego
E (yt ) = E (
PT
t=1 εt )
D 2 (yt ) = D 2 (
PT
=
t=1 εt )
PT
t=1
E (εt ) = 0
cov (εt ,εt−h )=0
=
PT
t=1
D 2 (εt ) = T δ 2
cov (yt , yt−h ) = E (yt , yt−h ) − E (yt )E (yt−h ) =
T
−h
T
−h
X
X
P −h PT −h
P −h
PT −h 2
2
E( T
ε
ε
)−E
(
)
E
(
) = D2( T
t=1 t
t=1 t
t=1 εt ) =
t=1 D (εt ) = (T −h)δ
t=1
t=1
| {z }| {z }
0
0
Stopie« integracji zmiennej
O zmiennej stacjonarnej mówimy, »e jest zintegrowana w
stopniu 0.
Denicja zintegrowania zmiennej
Zmienna
yt
jest zintegrowana w stopniu d (yt
∼ I (d)),
je»eli mo»na
j¡ sprowadzi¢ do stacjonarno±ci po d-krotnym ró»nicowaniu.
yt = yt−1 + εt jest zintegrowany w stopniu 1
(yt ∼ I (1)), bo yt − yt−1 = εt , za± εt ∼ I (0) z denicji.
Np. proces
Pierwsze ró»nice:
∆yt = yt − yt−1
Drugie ró»nice:
∆∆yt = ∆yt − ∆yt−1 = yt − yt−1 − yt−1 + yt−2 = yt − 2yt−1 + yt−2
(ltr (1,-2,1))
z dryfem
Proces bª¡dzenia losowego z dryfem denicja
yt = α0 + yt−1 + εt
yt = α0 + yt−1 + εt = α0 + α0 + yt−2 + εt−1 + εt =
y 0 =0
α0 + α0 + α0 + yt−3 + εt−2 + εt−1 + εt = . . . = T α0 +
T
X
εt
t=1
| {z }
trend stochastyczny
Wªasno±ci bª¡dzenia losowego z dryfem
E (yt ) = E (T α0 +
PT
t=1 εt )
= T α0 +
PT
t=1
E (εt ) = T α0
Wariancja i kowariancja takie same, jak w przypadku bª¡dzenia przypadkowego, bo
przesuniecie o staª¡ nie wpªywa na dyspersj¦ procesu.
z dryfem
Test Dickey'a-Fullera (DF)
Dickey i Fuller, 1979, 1981
yt = α1 yt−1 + εt
I
proces jest stacjonarny, je»eli
I
proces jest niestacjonarny, je»eli
α1 < 1
α1 = 1
(wtedy bª¡dzenie losowe)
H0 : α1 = 1
H1 : α1 < 1
I
H0 → zmienne w równaniu s¡ niestacjonarne → estymator
obci¡»ony → hipotezy nie mo»na werykowa¢ bezpo±rednio
prawdziwo±¢
KMNK
Test DF konstrukcja statystyki testowej
W celu wyeliminowania potencjalnej niestacjonarno±ci zmiennej
obja±nianej w regresji testowej, od obu stron równania odejmujemy
yt−1
i w ten sposób otrzymujemy zró»nicowan¡ (a wi¦c potencjalnie
stacjonarn¡) zmienn¡ obja±nian¡.
Ostatecznie regresja testowa testu Dickey'a-Fullera ma posta¢:
∆yt = (α1 − 1) yt−1 + εt
| {z }
δ
H0 : δ = 0 ⇐⇒ α1 = 1 ⇐⇒ yt ∼ I (1)
H1 : δ < 0 ⇐⇒ α1 < 1 ⇐⇒ yt ∼ I (0)
DF emp =
δ̂
Sˆδ
∼ DF
(konstrukcja jak w te±cie t-Studenta, tylko inne
rozkªady statystyk testowych zob. MacKinnon (1996) )
Je»eli
DF emp < DF ∗ ,
to odrzucamy
H0
na rzecz
H1 ,
czyli proces uznajemy za
stacjonarny. W przeciwnym wypadku nie ma podstaw do odrzucenia
niestacjonarno±ci procesu.
H0
o
Test DF algorytm post¦powania
o zrobi¢ w przypadku braku podstaw do odrzucenia
H0
?
W takim przypadku wiemy, ze zmienna jest niestacjonarna, ale nie wiemy, czy
nie jest zintegrowana w stopniu wy»szym ni» 1...
Znowu testujemy...
Zmienna jest zintegrowana w stopniu 2 (yt
∼ I (2)),
je»eli staje si¦ ona
stacjonarna dopiero po dwukrotnym ró»nicowaniu, wi¦c sprawdzamy, czy do
ustacjonarnienia zmiennej wystarczyªo jednokrotne ró»nicowanie, czyli czy
zmienna jednokrotnie zró»nicowana jest stacjonarna:
∆(∆yt ) = δ∆yt−1 + εt
H0 : δ = 0 ⇐⇒ yt ∼ I (2)
H1 : δ < 0 ⇐⇒ yt ∼ I (1)
DF emp =
δ̂
Sˆδ
∼ DF
Test DF szeregi I(2)
Co zrobi¢ w przypadku
ponownego
braku podstaw do odrzucenia
H0
?
W takim wypadku nie wiemy, czy zmienna jest zintegrowana w stopniu 2, czy
te» nieodrzucenie
H0
nie wynika przypadkiem z niskiej mocy testu...
Znowu testujemy...
∆3 yt = δ∆2 yt−1 + εt
H0 : δ = 0 ⇐⇒ yt ∼ I (3)
H1 : δ < 0 ⇐⇒ yt ∼ I (2)
DF emp =
δ̂
Sˆδ
∼ DF
Je±li ponownie nie ma podstaw do odrzucenia, to oznacza, »e test ma sªab¡
moc (zbyt rzadko odrzuca nieprawdziw¡ hipotez¦ zerow¡), poniewa»
w ekonomii niespotykane s¡ szeregi zintegrowane w stopniu wy»szym ni» 2.
Test ADF
Said i Dickey, 1985
I
Test Dickey'a-Fullera opiera si¦ na zaªo»eniu, i» skªadnik losowy regresji
testowej (εt ) jest biaªym szumem. Je±li jednak wyst¦puje autokorelacja
skªadnika losowego w regresji testowej, znacz¡co spada moc testu.
I
Z tego wzgl¦du nale»y pozby¢ si¦ autokorelacji skªadnika losowego
z regresji testowej!
I
Najprostszym sposobem na jej usuni¦cie jest zdynamizowanie modelu
poprzez dodanie opó¹nionych zmiennych obja±nianych...
Augmented Dickey-Fuller test ADF
∆yt = δyt−1 + γ1 ∆yt−1 + γ2 ∆yt−2 + . . . + γk ∆yt−k + εt
Test ADF ile opó¹nie«?
I ogólna zasada: nale»y zrealizowa¢ cel, jakim jest usuni¦cie
autokorelacji skªadnika losowego
I UWAGA! do oceny nie stosujemy testu DW (opó¹niona
zmienna obja±niana jako regresor...)
I algorytmy wspomagaj¡ce:
I wskazujemy maksymalny rz¡d opó¹nie« i wybieramy najlepsz¡
regresj¦ testow¡ przy u»yciu kryteriów informacyjnych (AIC,
SIC, HQC)
I wskazujemy maksymalny rz¡d opó¹nie« i sprawdzamy, czy
ostatnie z nich jest istotne w modelu; je»eli nie, usuwamy je i
powtarzamy a» do uzyskania istotnego ostatniego opó¹nienia...
Test ADF specykacja regresji testowej
k
P
∆yt = δyt−1 +
γ i ∆yt−i + εt
i=1
ewentualne rozszerzenia:
∆yt = β + δyt−1 +
k
P
i=1
+ εt → H 0 :
γ i ∆yt−i
proces niestacjonarny z dryfem
dodatkowo mo»na uwzgl¦dnia¢ trend, trend kwadratowy, sezonowe
zmienne zerojedynkowe...
Test (A)DF trendostacjonarno±¢
∆yt = β + δyt−1 +
k
P
i=1
γ i ∆yt−i
+ εt
rozszerzenie:
∆yt = β + δyt−1 +
→
je»eli odrzucimy
trendostacjonarny
→
k
P
i=1
H0 ,
je»eli nie odrzucimy
γ i ∆yt−i
+ γt + εt
a trend t oka»e si¦ istotny szereg jest
H0 ,
szereg jest niestacjonarny (w dotychczasowym
rozumieniu mo»e by¢ przyrostostacjonarny)
Zadanie 1
Otwórz plik adf.gdt i dokonaj oceny stopnia zintegrowania
poszczególnych 3 zmiennych zawartych w pliku za pomoc¡ ró»nych
wariantów testu ADF.
Test ADF-GLS
Elliot, Rothenberg, and Stock, 1996
I próba zwi¦kszenia mocy testu ADF w przypadku procesów
silnie autoregresyjnych
Krok 1: z szeregu usuwamy ±redni¡ (i ewentualnie trend) przez
oszacowanie regresji szeregu wzgl¦dem staªej (i ewentualnie trendu)
za pomoc¡ estymatora GLS (UMNK)
Krok 2: reszty z kroku 1 do testu ADF
Zadanie 2
Powtórz zadanie 1 dla testu ADF-GLS. Czy wyniki s¡ zbie»ne?
Test KPSS (1)
Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin (1992)
H0 : yt ∼ I (0)
H1 : yt ∼ I (1)
UWAGA: INNY UKAD HIPOTEZ NI W TECIE ADF!
krok 1: estymacja OLS parametrów modelu (z trendem lub bez)
yt = α + βt + εt
obliczamy reszty
εt
Test KPSS (2)
krok 2: obliczamy sumy reszt
St =
t
X
dla t = 1, . . . , T
εr ,
r =1
i warto±¢ zgodnego estymatora wariancji dªugookresowej reszt (z
wagami Newey'a - Westa lub Bartletta)
S 2 (k) = T −1
"
T
X
et2 + 2
t=1
k
X
s=1
wagi Bartletta:
w (s, k) = 1 −
k
w (s, k)
- dobieramy arbitralnie (np.
k =8
T
X
#
et et−s
t=s+1
s
k +1
dla danych kwartalnych)
Test KPSS (3)
krok 3: obliczamy statystyk¦ testow¡
PT
η=
2
t=1 St
T 2 S 2 (k)
i porównujemy z warto±ciami krytycznymi (np. produkowanymi
przez gretla), je±li
η > ηkryt
odrzucamy
H0 .
Zadanie 3
a) Otwórz plik kpss.gdt i dokonaj oceny stopnia zintegrowania
zmiennej.
b) Na podstawie informacji zawartych w prezentacji skonstruuj plik
xls, w którym wykonasz test KPSS. Wynik porównaj z wynikiem z
Gretla.
Test Phillipsa-Perrona (1)
Phillips-Perron (1988)
I inna modykacja testu DF maj¡ca na celu usuni¦cie
autokorelacji w regresji testowej
H0 : yt ∼ I (1)
H1 : yt ∼ I (0)
krok 1: regresja testowa DF
∆yt = β + δyt−1 + γt + εt
krok 2:
obliczamy statystyk¦ testow¡

r
Z =

c0  δ̂
 −
S 2 (k) SE δ̂
gdzie
estymator OLS
K
δ
PT
t=1
z kroku 1
liczba parametrów oszacowanych w regresji testowej (3)
SE δ̂ 2
2
et2
s =
,
T −K
T −K 2
s ,
c0 =
T
2
δ̂
1
T · SE δ̂
S 2 (k) − c0 p
S 2 (k)s 2
- bª¡d standardowy oszacowania tego parametru
S (k) = T
−1
T
P
t=1
2
et + 2
k
P
s=1
w (s, k)
T
P
t=s+1
et et−s
(jak w te±cie KPSS)
krok 3: warto±ci statystyki porównujemy z warto±ciami krytycznymi
testu DF, wnioskowanie jest analogiczne (ten sam ukªad hipotez)
Zadanie 4
Na podstawie danych z pliku kpss.gdt oraz informacji zawartych w
prezentacji wykonaj w Excelu test PP, a nast¦pnie porównaj warto±¢
statystyki testowej z odpowiednimi warto±ciami krytycznymi.
Inne testy
I testy DHF i HEGY na zaj¦ciach nt. sezonowo±ci
I Elliott-Rothenberg-Stock Point Optimal (wariant ADF-GLS dla
danych quasi-ró»nicowanych, szczegóªy w pracy
ERS)
I Phillips (1987) test uwzgl¦dniaj¡cy zªamanie strukturalne
(zob.
Syczewska, 1998)
I Ng-Perron (2001)
I ª¡czny test ADF-KPSS (Charemza i Syczewska, 1998;
K¦bªowski i Welfe, 2004)
Praca domowa 1
Ze strony Eurostatu ±ci¡gnij dla wybranego pa«stwa Unii Europejskiej 5
szeregów czasowych:
I zharmonizowany indeks cen konsumenta (HICP), procentowe
przyrosty rok do roku, dane miesi¦czne
I PKB, oczyszczone sezonowo dane kwartalne, w jednostkach waluty
krajowej lub euro na 1 mieszka«ca
I realny efektywny kurs walutowy (REER), indeks
jednopodstawowy, dowolne uj¦cie
I dªugoterminowa stopa procentowa (np. Maastricht criterion
series), dane miesi¦czne
I stopa bezrobocia, dowolne uj¦cie
Plan prezentacji
Zjazd 1
Zjazd 2
Modele ARIMA
Zjazd 3
Modele VAR
Modele SVAR
Zjazd 4
Wprowadzenie
I modele ARMA geneza w pracach Boxa i Jenkinsa w latach
70. XX w.
I jednowymiarowa analiza szeregów czasowych: wiedza o
przyszªo±ci szeregu zakl¦ta w jego przeszªo±ci :-)
I podstawowe zastrze»enia:
szeregów stacjonarnych
tylko do prognoz krótkookresowych
model ateoretyczny
I tylko do
I
I
Model AR
AR ang.
autoregression,
bie»¡ca (w okresie
zale»y od
p
t)
proces autoregresyjny
warto±¢ stacjonarnego szeregu czasowego
warto±ci poprzedzaj¡cych:
yt = c + φ1 · yt−1 + φ2 · yt−2 + ... + φp · yt−p + εt = c +
Notacja wielomianu charakterystycznego:
1
yt
− φ1 L − φ2
L2
− ... − φp
Lp
yt = c + εt
p
P
i=1
φi yt−i + εt
Model MA
MA ang.
moving average,
bie»¡ca (w okresie
zale»y od
q
t)
±rednia ruchoma
warto±¢ stacjonarnego szeregu czasowego
yt
poprzedz¡jacych warto±ci reszt losowych:
yt = c + θ1 · εt−1 + θ2 · εt−2 + ... + θq · εt−q + εt = c +
q
P
j=1
θj εt−j + εt
yt − c =
1
+ θ1 L + θ2 L2 + ... + θq Lq εt
Model ARMA poª¡czenie AR i MA
Przy odpowiednich zaªo»eniach (zob. dalsze slajdy) mo»na proces AR
przeksztaªci¢ do postaci MA(∞) i na odwrót.
W praktyce zadowalaj¡ce dopasowanie uzyskuje si¦ dzi¦ki kombinacji niewielkiej
liczby regresorów typu AR i MA, czyli
yt = c +
p
P
i=1
φi yt−i +
q
P
j=1
θj εt−j + εt
Umieszczenie w modelu regresorów zarówno typu AR, jak i MA, pozwala
uzyska¢ rozs¡dne przybli»enie, cho¢ identykacja parametrów
piq
takiego
modelu jest trudna.
1
− φ1 L − φ2 L2 − ... − φp Lp yt = c +
1
+ θ1 L + θ2 L2 + ... + θq Lq εt
Model ARIMA
Szeregi niestacjonarne...
1. analiza
wielowymiarowa
(kointegracja i model korekty bª¦dem zob.
Ekonometria szeregów czasowych (SM));
2. analiza
jednowymiarowa
tworzymy model ARMA na szeregu
zró»nicowanym tyle razy, aby uzyska¢ jego stacjonarno±¢:
∆Yt = Yt − Yt−1
∆2 Yt = ∆Yt − ∆Yt−1
Model ARIMA(p ,d ,q ):
4d y
t
=c+
p
P
i=1
φi
4d
yt−i +
q
P
j=1
θj εt−j + εt
ARMA a ARIMA
Model ARMA jest szczególnym przypadkiem modelu ARIMA (z parametrem
d=0).
Model ARIMAX
ARIMAX model ARIMA uzupeªniony o zestaw egzogenicznych
regresorów:
∆d yt
= c + xt β +
p
P
i=1
φi ∆d yt−i
+
q
P
j=1
θj εt−j + εt
Zadanie A
Wygeneruj w arkuszu kalkulacyjnym licz¡ce po 500 obserwacji
realizacje procesów:
I AR(1)
I AR(2)
I MA(1)
I MA(2)
dla wspólnego skªadnika losowego o rozkªadzie normalnym
standardowym, warto±ci pocz¡tkowych zero i wybranej przez siebie
parametryzacji. Utwórz wykresy.
Przydatne funkcje:
=ROZKAD.NORMALNY.S.ODW(LOS())
losuje liczb¦ z rozkªadu
normalnego standardowego
Zadanie B
1. Poka», »e model AR(1) mo»na przedstawi¢ jako MA(∞).
Sformuªuj odpowiedni warunek.
2. Poka», »e model MA(1) mo»na przedstawi¢ jako AR(∞).
Sformuªuj odpowiedni warunek.
Stacjonarno±¢ procesu
Proces AR jest
...
stacjonarny
...je»eli wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego (tzn.
rozwi¡zania równania 1
− φ1 L − φ2 L2 ... − φp Lp = 0
wzgl¦dem
L)
le»¡ poza koªem jednostkowym, tzn. s¡ co do moduªu > 1.
I Stacjonarny proces AR(p ) mo»na przedstawi¢ jako
MA(∞). W modelu AR bie»¡ca warto±¢ szeregu zale»y od
p
poprzednich, a na poprzednie skªada sie niesko«czona liczba
opó¹nionych szoków (ε). W modelu MA tych szoków model
"widzi" tylko q.
Odwracalno±¢ procesu
Proces MA jest
...
odwracalny
...je»eli wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego (tzn.
rozwi¡zania równania 1
+ θ1 L + θ2 L2 ... + θq Lq = 0
wzgl¦dem
le»¡ poza koªem jednostkowym, tzn. s¡ co do moduªu > 1.
I Odwracalny proces MA(q ) mo»na przedstawi¢ jako
AR(∞).
L)
Czym jest koªo jednostkowe?
I Pierwiastki wielomianu mog¡ by¢ liczbami zespolonymi, tzn.
mie¢ cz¦±¢ rzeczywist¡
a
i urojon¡
b (a + bi ).
I Mo»na je przedstawi¢ na pªaszczy¹nie jako punkt w przestrzeni
dwuwymiarowej o wspóªrz¦dnych (a,b ).
I
|a + bi| =
√
a2 + b 2 ,
wi¦c warunek
stacjonarno±ci/odwracalno±ci
a 2 + b 2 > 12
|a + bi| > 1
oznacza
(pole poza okr¦giem o ±rodku
(0, 0)
i promieniu
1, czyli koªem jednostkowym).
I Niektóre programy ekonometryczne podaj¡ pierwiastki w
formie odwrotno±ci (Inverse Roots). Skoro
1
|a + bi| > 1,
to
|a+bi| < 1. W tej sytuacji odwrotno±¢ pierwiastka musi le»e¢
wewn¡trz koªa jednostkowego.
Zadanie C
Sprawd¹, czy nast¦puj¡ce procesy s¡ stacjonarne / odwracalne:
1.
yt = 0, 9yt−1 + εt
2.
yt = 1, 1yt−1 + εt
3.
yt = 1, 2yt−1 − 0, 4yt−2 + εt
4.
yt = 0, 1yt−1 − 1, 5yt−2 + εt
5.
yt = εt + 0, 9εt−1
6.
yt = εt + 1, 4εt−1 − 0, 3εt−2
7.
yt = 1, 2yt−1 − 0, 4yt−2 + εt + 1, 4εt−1 − 0, 3εt−2
Wielomian charakterystyczny procesu AR(2) przykªad (1)
Fakt 1. Ka»dy proces AR(p ) mo»emy zapisa¢ jako AR(1) po
przedeniowaniu zmiennej na wektor zawieraj¡cy jej opó¹nienia.
Np.
yt = ayt−1 + byt−2 + εt
⇔
yt
a b
yt−1
yt−2
=
+
yt−1
1 0
∗ + ε∗
yt∗ = Ayt−
t
1
∗
∗
∗
Fakt 2. Gdy proces yt = Ayt−1 + εt dotyczyª jednej zmiennej (A
n
liczb¡), to oczekiwali±my, »e przy stacjonarno±ci A → 0 dla
n → ∞. Podobnie w przypadku macierzy A oczekujemy, »e
An → 0 dla n → ∞.
εt
0
Fakt 3. Niech P macierz zªo»ona z wektorów wªasnych macierzy
A, D macierz zawieraj¡ca warto±ci wªasne macierzy A na gªównej
przek¡tnej (w kolejno±ci odpowiadaj¡cej kolumnom w P) i zera
poza ni¡. Istnieje dekompozycja:
A
= PDP−1
Fakt 4. Z algebry macierzy:
An
= PDn P−1
Wniosek: An
→0
dla
n→∞
n
gdy D
→0
. D jest macierz¡
diagonaln¡, a wi¦c d¡»y do zerowej gdy diagonalne elementy d¡»¡
do 0 przy podnoszeniu do kolejnych pot¦g. Czyli ich warto±ci
bezwzgl¦dne musz¡ by¢
< 1.
Warto±ci wªasne macierzy A:
a−λ b
1
0−λ
=0
(a − λ) (0 − λ) − b = 0
λ2 − aλ − b = 0
Rozwa»my podstawienie
1
L=
− aL − bL2 = 0
1
λ . Wówczas:
Odpowiada to wielomianowi charakterystycznemu procesu AR(2)
yt = ayt−1 + byt−2 + εt .
Gdy wszystkie pierwiastki
(z podstawienia) wszystkie
λ<1
L > 1,
wówczas
i warunek stacjonarno±ci jest
speªniony.
Prognoza
1. Horyzont prognozy musi nale»e¢ do zakresu czasowego
pliku.
2. W pliku musz¡ by¢ wszystkie niezb¦dne warto±ci zmiennych
egzogenicznych w horyzoncie prognozy (je»eli to model
ARIMAX).
3. Analiza / Prognoza... w oknie modelu.
4. Je»eli model jest dynamiczny (opó¹nienia zmiennej
endogenicznej), mo»na wybra¢ prognoz¦ dynamiczn¡ lub
statyczn¡:
4.1
dynamiczna:
jako przyszªe warto±ci
yt−1 , yt−2
itd. w
charakterze zmiennych obja±niaj¡cych u»yte zostan¡
poprzednie prognozy;
4.2
statyczna:
jako przyszªe warto±ci
yt−1 , yt−2
u»yte dane z pliku (o ile s¡ dost¦pne).
itd. zostan¡
Zadanie B
Otwórz plik arma.gdt i oszacuj dla tych danych pewien oszcz¦dnie
sparametryzowany proces ARMA.
1. Oce« jego stacjonarno±¢ / odwracalno±¢ na podstawie podanej
przez Gretl informacji o pierwiastkach wielomianu
charakterystycznego.
2. Dokonaj jego prognozy na 10 okresów w przód.
Zadanie C
Plik arma_identykacja.gdt zawiera 9 szeregów czasowych,
wygenerowanych przez procesy ARMA(p ,q ), przy czym
q = 0, 1, 2
p = 0, 1, 2
(wszystkie mo»liwe kombinacje). Zidentykuj
poszczególne procesy.
i
Funkcja autokorelacji (ACF)
Pokazuje korelacj¦ warto±ci szeregu z kolejnymi opó¹nieniami
tego samego szeregu:
opó¹nienie 1 r1
opó¹nienie 2 r2
opó¹nienie 3 r3
itd.
Szacujemy na podstawie danych, obliczaj¡c wspóªczynniki korelacji
liniowej Pearsona.
Wspóªczynnik korelacji cz¡stkowej
Wspóªczynnik korelacji mi¦dzy
rij.l =
i
oraz
j
z wykluczeniem wpªywu
rij −ril ·rjl
(1−ril2 )·(1−rjl2 )
q
l:
Funkcja autokorelacji cz¡stkowej (PACF)
Pokazuje korelacj¦ warto±ci szeregu z kolejnymi opó¹nieniami
tego samego szeregu, z wykluczeniem wpªywu opó¹nie«
ni»szego rz¦du:
opó¹nienie 1 r1
(tak samo jak w ACF)
opó¹nienie 2 korelacja cz¡stkowa warto±ci bie»¡cej z 2
opó¹nieniem z wykluczeniem wpªywu 1 opó¹nienia
opó¹nieniem z wykluczeniem wpªywu 1 i 2 opó¹nienia
opó¹nieniem z wykluczeniem wpªywu 1, 2 i 3 opó¹nienia
itd.
Funkcje ACF i PACF jako kryterium doboru
p ,q
Sposób post¦powania podpowiadany przez korelogram:
I dla modeli AR(p): szukamy punktu uci¦cia na wykresie
PACF
I dla modeli MA(q): szukamy punktu uci¦cia na wykresie
ACF
I dla modeli ARMA(p,q): zwi¦kszamy stopniowo
p i q,
staraj¡c
si¦ wyczy±ci¢ wykres ACF i PACF
Zaczynamy od
Zmienna / Korelogram.
Nast¦pnie, po oszacowaniu modelu ARMA, ogl¡damy ACF i PACF
reszt losowych.
ACF i PACF: przykªad (1)
Proces AR(1):
Correlogram of P2
Autocorrelation
Partial Correlation
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
PAC
Q-Stat
Prob
0.817
-0.012
-0.018
-0.046
-0.005
-0.058
0.046
0.078
-0.039
-0.067
0.005
-0.051
98.762
164.35
206.97
232.66
247.86
255.38
259.61
263.05
265.31
266.24
266.61
266.62
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
AC
PAC
Q-Stat
Prob
0.514
0.056
0.045
0.027
-0.002
-0.082
-0.081
0.033
0.062
0.016
-0.093
-0.220
0.514
-0.282
0.225
-0.151
0.094
-0.192
0.118
0.003
0.039
-0.038
-0.130
-0.156
39.057
39.526
39.824
39.932
39.932
40.973
41.976
42.148
42.751
42.789
44.156
51.912
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.817
0.663
0.533
0.412
0.316
0.221
0.165
0.149
0.120
0.077
0.048
0.010
ACF i PACF: przykªad (2)
Proces MA(1):
Correlogram of P4
Autocorrelation
Partial Correlation
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Testy statystyczne i miary dopasowania
I testy istotno±ci (t )
I testy autokorelacji Q (Ljung-Box) i efektów ARCH
I UWAGA! Interpretacja R-kwadrat mo»e by¢ myl¡ca zwracamy raczej uwag¦ na kryteria informacyjne
I pomagaj¡ rozstrzyga¢ mi¦dzy konkurencyjnymi modelami
I kompromis mi¦dzy dopasowaniem a oszcz¦dn¡ parametryzacj¡
Ró»nicowanie sezonowe
Model ARIMA z sezonowo±ci¡ nazywamy SARIMA (Seasonal
ARIMA).
Dodatkowe parametry (w stosunku do ARIMA):
I
s
dªugo±¢ cyklu sezonowo±ci (4 dla danych kwartalnych, 12
dla miesi¦cznych, 5 lub 7 dla dziennych itp.)
I
D
parametr sezonowego ró»nicowania
d = 1:
∆s yt = yt − yt−s
∆2s yt = ∆s yt − ∆s yt−s
Ogólnie:
D−1 y − ∆D−1 y
∆D
t
t−s
s yt = ∆s
s
.
.
.
Dla
.
.
.
∆s (∆d yt ) = ∆d yt − ∆d yt−s
∆2s (∆d yt ) =
∆s (∆d yt ) − ∆s (∆d yt−s )
d
D−1 (∆d y ) −
∆D
t
s (∆ yt ) = ∆s
D−
1
d
∆s (∆ yt−s )
Model SARIMA
Dla uproszczenia notacji: niech yt∗ = ∆Ds (∆d yt ) oznacza odpowiednio
zró»nicowany szereg.
Oprócz sezonowego ró»nicowania szeregu wyj±ciowego, mo»emy w modelu
uwzgl¦dni¢ sezonowe regresory typu AR i MA.
Model ARIMA (p ,d ,q ):
1
− φ1 L − φ2 L2 − ... − φp Lp yt∗ = c +
1
+ θ1 L + θ2 L2 + ... + θq Lq εt
Model SARIMA (p ,d ,q )x(P ,D ,Q )s :
− Φ1 L1·s − Φ2 L2·s − ... − ΦP LP·s yt∗ =
c + 1 + θ1 L + θ2 L2 + ... + θq Lq 1 + Θ1 L1·s + Θ2 L2·s + ... + ΘQ LQ·s εt
1
− φ1 L − φ2 L2 − ... − φp Lp
1
Model SARIMA - parametryzacja
P rz¡d opó¹nie« sezonowych typu AR
Q rz¡d opó¹nie« sezonowych typu MA
Parametryzacja modelu SARIMA: (p ,d ,q )x(P ,D ,Q )s
Uwagi:
Model ARIMA jest szczególnym przypadkiem modelu SARIMA z P=0, D=0 i
Q=0.
Brak sezonowo±ci sprowadza si¦ do ustalenia parametru s=1, przez co P, D i
Q trac¡ sens bytu (staj¡ si¦ nierozró»nialne od odpowiednio p, d i q).
Zadanie A
Jakie dokªadnie równanie szacujemy w przypadku nast¦puj¡cych
modeli SARIMA?
1.
(1, 0, 1) × (1, 0, 0)12
2.
(1, 0, 1) × (0, 0, 1)12
Ile jest szacowanych parametrów, a ile regresorów? Omów
restrykcje naªo»one na parametry w takich równaniach.
Zadanie B
Oszacuj model SARIMA dla zmiennej pass w pliku pass.gdt. Znajd¹
odpowiedni¡ specykacj¦. Wyznacz prognoz¦ dla kilku okresów w
przód.
Praca domowa 2
Wybierz 2 z szeregów czasowych analizowanych na pierwszych zaj¦ciach
(z wyj¡tkiem stopy bezrobocia). Oszacuj dla nich modele ARIMA o
specykacji, któr¡ uznasz za najbardziej adekwatn¡ na podstawie
testów stacjonarno±ci oraz znanych Ci kryteriów doboru opó¹nie«
(ACF, PACF, kryteria informacyjne, testy istotno±ci i autokorelacji).
Przedstaw uzasadnienie wybranej specykacji. Oce« stacjonarno±¢
/ odwracalno±¢ obu procesów (przedstaw wªasne obliczenia,
traktuj¡c wynik z Gretla jako sprawdzenie ich poprawno±ci).
Dokonaj prognozy na 4 okresy w przód.
Plan prezentacji
Zjazd 1
Zjazd 2
Modele ARIMA
Zjazd 3
Modele VAR
Modele SVAR
Zjazd 4
Czym s¡ efekty ARCH?
I niestaªa wariancja skªadnika losowego (heteroskedastyczno±¢)
I klastrowanie wariancji (ang. volatility clustering): blisko
siebie skupione s¡ obserwacje o wysokiej wariancji skªadnika
losowego, w innych okresach koncentruj¡ si¦ obserwacji o
niskiej wariancji
I pasuje schemat autoregresyjny dla wariancji skªadnika
losowego, jako warunkowej wzgl¦dem najbli»szej przeszªo±ci:
AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity
Test efektów ARCH
Test mno»nika Lagrange'a ARCH Engle (1982)
1. Szacujemy równanie regresji, resztami z niego s¡
ε̂t .
2. Szacujemy równanie pomocnicze:
ε̂2t = α0 + α1 ε̂2t−1 + . . . + αq ε̂2t−q + ηt
3. Je»eli efekty ARCH nie wyst¦puj¡, to
R2
z modelu (2)
powinno by¢ niskie:
H0 : α1 = . . . = αq = 0
H1 : ∃j αj 6= 0
4. Statystyka testowa:
LM = T · R 2 ,
gdzie
T
liczba obserwacji.
2
Rozkªad χ (q). Wysokie warto±ci statystyki testowej prowadz¡
do odrzucenia
H0
o braku efektów ARCH.
Alternatywne specykacje testów ARCH
I
T·
q
P
k=1
ρ2 (k) ∼ χ2 (q),
gdzie
ρ2 (k)
autokorelacji kwadratów reszt (rz¦du
wspóªczynniki
k)
z oszacowanego
równania podstawowego
I
T (T + 2)
q
P
k=1
1
2 (k)
T −k ρ
∼ χ2 (q)
(odpowiednik testu
Ljunga-Boxa)
Specykacja modelu ARCH(q)
Engle (1982)
yt = µ + xt β + εt
εt = σt t
t ∼ N (0; 1)
q
P
2
σt = α0 +
αi ε2t−i
i=1
Ostatnie równanie (wariancji) szacowane jest jako:
ε2
t
= α0 +
q
P
i=1
αi ε2t−i + ηt
Zadanie 1
Rozwa»amy procesy ARCH(1) i ARCH(2). :
1. Dla ka»dego z nich wyznacz stacjonarn¡ (bezwarunkow¡)
wariancj¦ skªadnika losowego
σ̄ 2 ,
tzn. tak¡ staª¡ wariancj¦,
która wyst¦powaªaby pod nieobecno±¢ wstrz¡sów w równaniu
wariancji (ηt ).
2. Udowodnij, »e dla procesu ARCH(1)
σt2 = σ̄ 2 + α1 ε2t−1 − σ̄ 2
. Zinterpretuj t¦ zale»no±¢.
Specykacja modelu GARCH(p,q)
Bollerslev (1986)
I równanie wariancji ró»ni si¦ od modelu ARCH:
q
p
P
P
σt2 = α0 +
i=1
αi ε2t−i +
j=1
2
βj σt−j
I rozszerzenie specykacji analogiczne do przechodzenia z
procesów MA o wysokim rz¦dzie opó¹nie« do oszcz¦dnie
sparametryzowanych procesów AR
Warunek stacjonarno±ci modelu GARCH(p, q ) wg Bollersleva:
q
P
i=1
αi +
p
P
j=1
βj < 1
Zadanie 2
1. Wyznacz stacjonarn¡ (niezale»n¡) wariancj¦ procesu
GARCH(1,1).
2. Przeksztaª¢ proces GARCH(1,1) do postaci procesu ARCH.
Jaki jest parametr
q
dla takiego procesu ARCH? Co mo»na
powiedzie¢ o wagach przypisanych poszczególnym
opó¹nieniom?
Zadanie 3
1. Dokonaj oceny stopnia zintegrowania szeregu PLN i w razie
potrzeby zaproponuj odpowiedni¡ transformacj¦.
2. Oszacuj model AR(2) dla ostatecznie wybranego szeregu i
przeprowad¹ test wyst¦powania efektów ARCH.
3. Oszacuj modele ARCH i GARCH dla szeregu.
4. Porównaj prognozy z modeli ARCH i GARCH z prognoz¡ z
modelu AR(2). Zwró¢ uwag¦ na dªugo±¢ przedziaªów ufno±ci.
Zaprezentuj prognoz¦ na wykresie zawieraj¡cym 1000
poprzedzaj¡cych obserwacji.
Zadanie 4
Wygeneruj proces:
1. AR(1) z wybranym parametrem
2
staªej wariancji σ
φ1
2. AR(1) z tym samym parametrem
i skªadnikiem losowym o
φ1
i skªadnikiem losowym
GARCH(1,1) sparametryzowanym w ten sposób, aby
dªugookresowa wariancja byªa równa
σ2
Porównaj wykresy obu procesów.
Plan prezentacji
Zjazd 1
Zjazd 2
Modele ARIMA
Zjazd 3
Modele VAR
Modele SVAR
Zjazd 4
Modele VAR - wprowadzenie (1)
Modele VAR pojawiªy si¦ w ekonometrii w latach osiemdziesi¡tych
(Sims,
1980)
jako odpowied¹ na wady wielkich modeli
strukturalnych:
I aprioryczny (na podstawie teorii)podziaª na zmienne endo- i
egzogeniczne
I apriorycznie okre±lana struktura dynamiczna (rz¡d opó¹nie«)
systemu zwykle niewystarczaj¡ca
I problem identykacji
I sªabe wªasno±ci prognostyczne
Modele VAR - wprowadzenie (2)
Wªasno±ci modeli VAR:
I brak podziaªu
a priori
na zmienne endogeniczne i egzogeniczne
I ateoretyczno±¢ jedynie wybór zmiennych do modelu podyktowany
jest teori¡
I bardzo dobre wªasno±ci prognostyczne w krótkim okresie
I parametry w zasadzie nieinterpretowalne, za± ze wzgl¦du na siln¡
wspóªliniowo±¢, istotno±ci zmiennych nie mo»na testowa¢ za
pomoc¡ standardowych statystyk t-Studenta; inne kryteria:
I ksztaªt oraz znak funkcji reakcji na impuls
I kryteria informacyjne (rozstrzyganie mi¦dzy konkurencyjnymi
modelami najcz¦±ciej rz¦dami opó¹nie«)
Modele VAR - posta¢ zredukowana (1)
VAR(p):
yt
= A0 dt + A1 yt−1 + A2 yt−2 + ... + Ap yt−p + εt
= [y1t yt 2 ... ytk ]T
I yt
- wektor zmiennych endogenicznych
I dt wektor zmiennych deterministycznych (staªa, trend,
zmienne 0-1, zmienne sezonowe)
I A0 macierz parametrów (k
× k)
przy zmiennych
deterministycznych
I Ai
i = 1, ..., p
macierz parametrów (k
× k)
przy
i -tych
opó¹nieniach zmiennych endogenicznych
I
εt
k -wymiarowy
wektor skªadników losowych (zaªo»enie o
biaªoszumowo±ci)
Modele VAR - posta¢ zredukowana (2)
I model VAR(p) dla k zmiennych endogenicznych skªada si¦ z...
I
k
równa« o identycznej strukturze
I w ka»dym równaniu w roli zmiennych obja±niaj¡cych wyst¦puje
p opó¹nie« wszystkich zmiennych w systemie...
I oraz zmienne deterministyczne)
i-te równanie modelu:
yit = a0 dt + a1,i 1 y1,t−1 + a1,i 2 y2,t−1 + ... + a1,ik yk,t−1 +
+a2,i 1 y1,t−2 + a2,i 2 y2,t−2 + ... + a2,ik yk,t−2 + ...
... + ap,i 1 y1,t−p + ap,i 2 y2,t−p + ... + ap,ik yk,t−p + εit
Estymacja modeli VAR
I w przypadku zredukowanej postaci modelu VAR (posta¢ bez
równoczesnych powi¡za« pomi¦dzy zmiennymi) nie wyst¦puje
problem endogeniczno±ci (skorelowania zmiennych
obja±niaj¡cych ze skªadnikiem losowym, które skutkuje
niezgodno±ci¡ estymatorów)
I z tego wzgl¦du model mo»e by¢ szacowany za pomoc¡
KMNK (ka»de równanie oddzielnie)
Quick -- Estimate VAR...
Utworzenie modelu VAR(4) z 3 zmiennymi i trendem
deterministycznym:
var mvar.ls 1 4 m1 gdp tb3 @ @trend
Dobór rz¦du opó¹nie«
I jedyna oprócz skªadu wektora zmiennych i ew. komponentów
deterministycznych decyzja w sprawie specykacji modelu
I kryteria:
I
kryteria informacyjne
(AIC, HQC, SIC) ich warto±ci zale»¡
od (i) stopnia dopasowania do danych (+), (ii) liczby
oszacowanych parametrów (-) wybieramy warto±¢ jak
najni»sz¡
I brak
autokorelacji
skªadnika losowego
I testu zasadno±ci restrykcji, jakie wi¡»¡ si¦ z zerowymi
parametrami przy wy»szych rz¦dach opó¹nie«
Test restrykcji LR
testu ilorazu wiarygodno±ci test istotno±ci kolejnych opó¹nie«
wszystkich zmiennych w poszczególnych równaniach:
I
H0 :
dane potwierdzaj¡ zasadno±¢ naªo»onych restrykcji
(mniejszy rz¡d opó¹nie«)
I
LR = T (logLR − logLU ) ∼ χ2p
I
logLR
- logarytm naturalny funkcji wiarygodno±ci modelu z
restrykcjami (wykluczenie ostatnich opó¹nie«)
I
logLU
- logarytm naturalny funkcji wiarygodno±ci modelu bez
restrykcji
I p = liczba restrykcji = liczba parametrów, na które naªo»ono
restrykcj¦ zerow¡
Testy reszt losowych w modelu VAR
I test autokorelacji Q (np. Ljunga-Boxa):
autokorelacja skªadnika losowego do
H0 nie wyst¦puje
rz¦du p wª¡cznie
I rozwi¡zanie: wy»szy rz¡d opó¹nie«
I test normalno±ci rozkªadu reszt (np. Doornika-Hansena wielowymiarowe uogólnienie testu Jarque-Bera):
H0
rozkªad
reszt losowych jest normalny
I rozwi¡zanie: np. zmienne zerojedynkowe przy obserwacjach
odstaj¡cych
I test efektów ARCH:
H0
nie wyst¦puj¡ efekty ARCH (tzn.
wariancja skªadnika losowego jest staªa)
I rozwi¡zanie: model z efektami ARCH
Szczegóªy: EViews 7 User's Guide II, s. 464 nn.
Stabilno±¢ modelu VAR
I przez analogi¦ do procesów AR: warto±ci wªasne tzw. macierzy
towarzysz¡cej musz¡ by¢ co do moduªu <1 (le»e¢ wewn¡trz
koªa jednostkowego)
I co to jest macierz towarzysz¡ca?
I dla modelu VAR(1):
yt
= A1 yt−1 + εt
badamy macierz A1 :
|A1 − λI| = 0
I dla modelu VAR(2) i wy»szych rz¦dów opó¹nie« tworzymy i
badamy tzw. macierz towarzysz¡c¡ (ang.
comanion/accompanying matrix),
yt
= A1 yt−1 + A2 yt−2 + εt
yt
A1 A2
=
yt−1
I
0
{z
}
|
np.
yt−1
yt−2
+
T (macierz towarzyszaca)
|T − λI| = 0
Przykªad stabilnego modelu VAR
Pierwiastki równania charakterystycznego VAR
εt
0
Przyczynowo±¢ w sensie Grangera
Denicja
Zmienna x jest przyczyn¡ w sensie Grangera zmiennej y, je»eli bie»¡ce warto±ci
zmiennej y mo»na wyprognozowa¢ z wi¦ksz¡ dokªadno±ci¡ (mniejszy bª¡d
prognozy) korzystaj¡c z przeszªych warto±ci zmiennej x ni» nie korzystaj¡c z
nich. Je»eli oka»e si¦, »e x nie jest przyczyn¡ w sensie Grangera zmiennej y, to
y jest zmienn¡ egzogeniczn¡.
View -- Lag Structure -- Granger Causality/Block Exogeneity Test
nazwa_obiektu.testexog
H0 :
zmienna x nie jest przyczyn¡ w sensie Grangera zmiennej y (parametry przy
opó¹nieniach zmiennej x w równaniu ze zmienn¡ y jako obja±nian¡ s¡ ª¡cznie
równe 0)
Werykacja hipotezy na podstawie testu ilorazu wiarygodno±ci:
LR = 2(logLR − logLU )
W ostatnim wierszu (all): ª¡czna istotno±¢ opó¹nie« wszystkich zmiennych w
modelu (poza opó¹nieniami zmiennej zale»nej)
Przykªad
var.wf1
Szacujemy model VAR na potrzeby analizy transmisji polityki
pieni¦»nej w USA. Model zawiera 3 zmienne: luk¦ PKB, stop¦
inacji i realn¡ stop¦ procentow¡. W modelu s¡ 2 opó¹nienia i
staªa.
Jakie jest równanie modelu i wymiary macierzy parametrów?
Ile parametrów nale»y w sumie oszacowa¢?
Jaki jest stopie« zintegrowania szeregów czasowych?
Jaki rz¡d opó¹nie« nale»aªoby wybra¢ w naszym przypadku?
Czy wybrany rz¡d opó¹nie« gwarantuje usuni¦cie autokorelacji
skªadnika losowego?
Czy model jest stabilny?
Czy skªadnik losowy ma rozkªad normalny?
Czy wyst¦puj¡ efekty ARCH?
Plan prezentacji
Zjazd 1
Zjazd 2
Modele ARIMA
Zjazd 3
Modele VAR
Modele SVAR
Zjazd 4
Funkcje odpowiedzi na impuls (IRF)
I narz¦dzie ekonomicznej interpretacji i oceny modelu
I jak b¦d¡ zmieniaªy si¦ poszczególne zmienne w modelu po 1,
2, 3... okresach od wyst¡pienia jednostkowego zaburzenia
(ε2 ,

ε1
ε3 )?




 

y1,t
y1,t−1
y1,t−2
ε1t
 y2,t  = A1  y2,t−1  + A2  y2,t−2  +  ε2t ,
y3,t
y3,t−1
y3,t−2
ε3t
ε ∼ (0, Σ), Σ diagonalna
I analogicznie do modelu AR, wektor zmiennych obja±nianych
mo»emy przedstawi¢ w postaci niesko«czonej sumy bie»¡cych i
przeszªych szoków:
IRF (2)
View -- Impulse response
IRF (3)
IRF (4)
IRF
nazwa_obiektu.impulse(horyzont, a, imp=chol, widok,
matbyr=nazwa_macierzy) zmienne_odpowiedzi @
zmienne_szoki
nazwa_macierzy nazwa macierzy, w której zapisane zostan¡
odpowiedzi kolejnych zmiennych na kolejne impulsy (w pierwszej
kolumnie odpowied¹ pierwszej zmiennej na pierwszy szok, w
drugiej kolumnie odpowied¹ pierwszej zmiennej na drugi szok itd.)
widok: g pojedynczy rysunek, m oddzielne rysunki, t tabela
IRF w modelu VAR: problem





 

y1,t
y1,t−1
y1,t−2
ε1t
 y2,t  = A1  y2,t−1  + A2  y2,t−2  +  ε2t ,
y3,t
y3,t−1
y3,t−2
ε3t
ε ∼ (0, Σ), Σ diagonalna
czym wªa±ciwie jest
macierzy
Σ
εt
i jak zada¢ impuls? (zaªo»enie o diagonalnej
rzadko mo»liwe do uwzgl¦dnienia w praktyce)
(1): niediagonalna macierz kowariancji skªadnika losowego








y1,t
y1,t−1
y1,t−2
ε1t
 y2,t  = A1  y2,t−1  + A2  y2,t−2  + B  ε2t ,
y3,t
y3,t−1
y3,t−2
ε3t
Bε ∼ 0, BT ΣB
...ale jak zada¢ impuls, skoro B i
Σ
nierozró»nialne?
(2): jednoczesne zwi¡zki mi¦dzy zmiennymi





 

y1,t
y1,t−1
y1,t−2
ε1t
A0  y2,t  = A1  y2,t−1  + A2  y2,t−2  +  ε2t ,
y3,t
y3,t−1
y3,t−2
ε3t
ε ∼ (0, Σ)


y1,t
 y2,t  =
y3,t






y1,t−1
y1,t−1
ε1t
−1
−1
−1 
ε2t ,
A0 A1  y2,t−1  + A0 A2  y2,t−1  + A0
y
y3,t−1
ε3t
3,t−1 −1
−1 T
1
A0 ε ∼ 0, A0
ΣA−
0
...problem ten sam co przy B (mog¡ wyst¦powa¢ jednocze±nie
niejednostkowe macierze A0 i B)
Rozwi¡zania problemu IRF
1. zignorowanie korelacji jednoczesnych w analizie IRF (residual )
2. uªo»enie zbioru bie»¡cych zmiennych w kolejno±ci od
najbardziej z góry ustalonej do najbardziej endogenicznej
(dekompozycja Choleskiego)
3. inne restrykcje na macierz A0 prowadz¡ce do jej
identykowalno±ci (SVAR krótkookresowy)
4. Cholesky dla ka»dej zmiennej na pocz¡tku Pesaran and
Shin (1998) (generalized IRF )
5. inne restrykcje na macierz B prowadz¡ce do jej
identykowalno±ci (SVAR krótkookresowy)
6. restrykcje na skumulowane IRF (macierz mno»ników
dªugookresowych C) prowadz¡ce do identykowalno±ci (SVAR
dªugookresowy)
Dekompozycja Choleskiego
I przeksztaªcenie do systemu równa« rekurencyjnych (bardzo
wa»na kolejno±¢!):

Σ = LLT
L
1
0
...
...
...
0

 γ2,1
1
... 

=
 ... γk−1,k−2
0 
γk,1
...
γk,k−1 1
I zaªo»enia:
I szok dotykaj¡cy pierwszej zmiennej w modelu ma bezpo±redni
wpªyw na wszystkie zmienne w systemie (zmienna najbardziej
egzogeniczna),
I szok dotykaj¡cy drugiej wpªywa bezpo±rednio na wszystkie
zmienne w systemie oprócz pierwszej,
I szok dotykaj¡cy ostatni¡ zmienn¡ ma równoczesny wpªyw
wyª¡cznie na ni¡ sam¡ (zmienna najbardziej endogeniczna)
Model Blancharda-Quah
I Blanchard i Quah (1989)
I przykªad SVAR dªugookresowego
I zaªo»enie (ekonomiczne): szoki popytowe nie wpªywaj¡ na
poziom produkcji w dªugim okresie
I zaªo»enia (ekonometryczne):
I wektor 2
I wektor 2
∆yt
zmiennych:
πt
ε1
wstrz¡sów:
ε2
I macierz restrykcji dªugookresowych
wykazuje wpªywu na
yt
C=
∗
∗
0
∗
, tzn.
(skumulowanego wpªywu na
ε2
∆yt )
Przykªad
svar.wf1
Dane o dynamice PKB oraz stopie inacji w Polsce, stree euro
(17) i Niemczech.
Zidentykujmy wstrz¡sy popytowe i poda»owe w tych
gospodarkach.
Zbadajmy reakcje gospodarek na takie wstrz¡sy.
Narz¦dzie: model SVAR z restrykcjami Blancharda-Quah.
nie
Plan prezentacji
Zjazd 1
Zjazd 2
Modele ARIMA
Zjazd 3
Modele VAR
Modele SVAR
Zjazd 4
Niestacjonarno±¢ zmiennych
I budowanie modeli na podstawie szeregów niestacjonarnych:
I OLS: regresja pozorna
I ARMA, VAR: niestabilno±¢
I I(0)+I(1): niestacjonarne reszty + bª¦dne wnioskowanie
statystyczne
I rozwi¡zanie: ró»nicowanie danych I(1)
I OLS, ARIMA, VAR: adekwatne narz¦dzia
I usuni¦cie z danych zale»no±ci
DUGOOKRESOWYCH
Kointegracja szeregów czasowych
I zale»no±ci pomi¦dzy zm. niestacjonarnymi czasami stabilne
w czasie
I takie zale»no±ci nazywami RELACJAMI
KOINTEGRUJCYMI
Kointegracja
Szeregi czasowe
y1 i y2
s¡ skointegrowane (rz¦du d,b), je»eli s¡
zintegrowane w stopniu d, za± istnieje ich liniowa kombinacja, która jest
rz¦du d-b:
y1 , y2 ∼ CI (d, b) ⇐⇒ y1 ∼ I (d) ∧ y2 ∼ I (d) ∧ ∃β6=0 yT β
|{z}
∼ I (d − b)
y1 β1 +y2 β2
Zwykle kointegracja dotyczy zmiennych zintegrowanych w stopniu 1, za±
ich kombinacja jest stacjonarna.
Kointegracja: alternatywne spojrzenia
I istnieje pewien mechanizm, który sprawia, i» po wytr¡ceniu z
równowagi system sam do niej powróci
I kointegracja = niestacjonarne zmienne zawieraj¡ wspólny
trend stochastyczny:
y1t = γ1 zt + ε1t
y2t = γ2 zt + ε2t
, gdzie
zt = zt−1 + ξt
I wykrycie relacji kointegruj¡cejpozwala zdekomponowa¢ w
modelu zmienno±¢ krótko- i dªugookresow¡
Testowanie kointegracji
Procedura Engle'a-Grangera (Engle,
Metoda Johansena (Johansen,
Granger, 1987)
1988)
Procedura Engle'a-Grangera I etap
1. Testujemy stopie« zintegrowania zmiennych
2. W przypadku tego samego stopnia zintegrowania szeregów
budujemy model na poziomach zmiennych
y1t = β0 + β1 y2t + t
2.1 parametry szacujemy KMNK (superzgodno±¢)
2.2 znajomo±¢ parametrów pozwala oszacowa¢ szereg reszt (ˆt )
Procedura Engle'a-Grangera II etap
W II etapie procedury testujemy stacjonarno±¢ reszt otrzymanych w
I kroku analizy:
y1 , y2 ∼ CI =⇒ ˆt ∼ I (0)
je»eli szereg reszt jest stacjonarny, to
zmienne uznajemy za skointegorwane
Kointegracyjny test Dickey'a-Fullera
Hipotezy testowe:
H0 : ˆt ∼ I (1)
H1 : ˆt ∼ I (0)
Regresja i statystyka testowa jak w te±cie DF/ADF, ale inne
warto±ci krytyczne!!!
Model korekty bª¦dem (1)
Twierdzenie Grangera
Skointegrowanie zmiennych jest równoznaczne z istnieniem mechanizmu
korekty bª¦dem.
Przykªad: model ADL(1,1,1) model autoregresyjny z rozkªadem opó¹nie« (1
opó¹nienie zmiennej zale»nej, 1 zmienna niezale»na, 1 opó¹nienie zmiennej
niezale»nej):
yt = α0 + α1 yt−1 + β0 xt + β1 xt−1 + εt
Przej±cie od modelu ADL do ECM:
yt = α0 + α1 yt−1 + β0 xt + β1 xt−1 +
εt +yt−1 − yt−1 + xt−1 − xt−1 + β0 xt−1 − β0 xt−1 + α1 xt−1 − α1 xt−1
ECM(1,1,1) (Error Correction Model):
∆yt = (α1 − 1)(yt−1 −
|
α0
β0 + β1
−
xt−1 ) + β0 ∆xt + εt
1 − α1
1 − α1
{z
}
ECT : t−
ˆ 1
Model korekty bª¦dem (2)
I w przypadku modelu korekty bª¦dem II krok procedury
Engle'a-Grangera polega na oszacowaniu modelu ECM za pomoc¡
KMNK
I uznajemy, »e zmienne s¡ skointegrowane, je»eli oszacowanie
(α1 − 1) < 0
I wielko±¢ tego parametru okre±la tempo powrotu systemu do
równowagi
I δ = β0 +β1 mno»nik dªugookresowy
1−α1
I
β0 mno»nik krótkookresowy
Przykªad
ecm.wf1
Ocena elastyczno±ci rynku pracy przez pryzmat modelu korekty
bª¦dem dla:
pªac realnych (zmienna obja±niana)
wydajno±ci
bezrobocia
Na przykªadzie
Zasova, Melihovs (2005)
Metoda Johansena
Metoda Engle'a-Grangera
1. Wady statystyczne
2. Wybór zmiennych obja±nianej istotny dla szeregu reszt w
krótkich próbach
3. Mo»liwo±¢ oszacowania najwy»ej 1 relacji kointegruj¡cej,
b¦d¡cej kombinacj¡ wi¦kszej ich liczby...
I ...w systemie n zmiennych mo»e ich by¢ do n-1!
Metoda Johansena
I pozwala przezwyci¦»y¢ wady dwustopniowej procedury
Engle'a-Grangera
I procedur¦ Johansena przeprowadzamy w ramach modelu VAR
z kointegracj¡
I VEqCM Vector Equilibrium Correction Model
Model VEqCM
I VAR z
p
opó¹nieniami (dla zmiennych niestacjonarnych):
yt = A0 Dt + A1 yt−1 + A2 yt−2 + ... + Ap yt−p + εt
I przej±cie od modelu VAR do VEqCM:
yt = A0 Dt + A1 yt−1 + A2 yt−2 + ... + Ap yt−p + εt +
+yt−1 − yt−1 + (A1 − I)yt−2 − (A1 − I)yt−2 +
+(A1 + A2 − I)yt−3 − (A1 + A2 − I)yt−3 + ...
I model VEqCM z
p−
P1
∆yt =
p−1
opó¹nieniami:
Π ∆yt−i + Πyt−1 + εt
i=1
Pp
Π = i=
P1 pAi − I
Π = − j=i+1 Aj
i
i
Dekompozycja macierzy
Q
ECM:
∆y1t = β0 ∆y2t + (α1 − 1)(1y1,t−1 −
VEqCM:
I
Q
β
∆yt =
= αβ ,
i=1
macierz
n×n
1
α0
− 1−α
1
- macierz dostosowa«
bª¦dem
y2,t−1 ) + εt
Πi ∆yt−i + Πyt−1 + t
- macierzh wektorów kointegruj¡cych
i
wektorowi
α
p−
P1
β0 +β1
α0
1−α1 1 − 1−α1
(α1 − 1)
r × n,
+β1
− β10−α
1
n × r , odpowiada
odpowiada
parametrowi korekty
Rz¡d macierzy
Q

3 zmienne endogeniczne (n
1.
2.
= 3),

∗ ∗ ∗
Π= ∗ ∗ ∗ 
∗ ∗ ∗
r (Π) = 0 zmienne stacjonarne


 
∗ ∗ ∗
∗ Π =  ∗ ∗ ∗  = αβ =  ∗  ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗
| {z }
r (Π)=1

3.
4.


∗ ∗ ∗
Π =  ∗ ∗ ∗  = αβ = 
∗ ∗ ∗
|
r (Π) = 3
Rz¡d macierzy

∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ 
∗ ∗ ∗
∗ ∗
{z }
r (Π)=2
zmienne niestacjonarne i brak kointegracji
Π
= liczba relacji kointegruj¡cych!
Badanie rz¦du macierzy
Q
Rz¡d macierzy jest równy liczbie jej niezerowych warto±ci wªanych,
a wi¦c testy rz¦du kointegracji polegaj¡ na badaniu, czy oszacowane
warto±ci wlasne macierzy
Q
s¡ istotnie ró»ne od zera.
1. Test ±ladu:
H0 : R = r
H1 : R > r
P
TRACE = −T ki=r +1 ln(1 − λ̂i ) ∼ χ2
2. Test najwi¦kszej warto±ci wªasnej:
H0 : R = r
H1 : R = r + 1
MAX = −Tln(1 − λrˆ+1 ) ∼ χ2
Identykacja macierzy
αiβ
I aby zdekomponowa¢ macierz
Q
= αβ ,
nale»y naªo»y¢
r2
restrykcji:
I
r = 1:
wystarczy restrykcja normalizacyjna (β
I
r > 1:
konieczne inne restrykcje (β
I restrykcje na
α
lub na
=
1
0
0
1
= 1 ∗ ∗ )
∗
)
∗
β
Procedura Johansena w EViews
1. Stopie« zintegrowania zmiennych
2. VAR na zmiennych I(1) wybór rz¦du opó¹nienia, diagnostyka.
3. Wymiar przestrzeni kointegruj¡cej (test ±ladu i najwi¦kszej
warto±ci wªasnej).
4. Restrykcje identykuj¡ce i estymacja parametrów modelu
VEqCM.
5. Restrykcje testowane (zerowe, homogeniczno±ci, sªabej
egzogeniczno±ci).
Procedura Johansena (1)
View -- Cointegration Test
Procedura Johansena (2)
1. staªa = 0 w caªym modelu (bardzo restrykcyjne!)
2. staªa tylko w relacji kointegruj¡cej (brak liniowych trendów
w danych)
3. staªa w relacji kointegruj¡cej oraz równaniach VAR (s¡
liniowe trendy w danych, ale znosz¡ si¦ w relacji kointegruj¡cej)
4. staªa i trend w relacji kointegruj¡cej (s¡ liniowe trendy w
danych i nie znosz¡ si¦ w relacji kointegruj¡cej)
5. staªa i trend w relacji kointegruj¡cej oraz równaniach VAR
(s¡ kwadratowe trendy w danych)
Szacowanie modelu VEqCM (1)
Proc -- Specify/Estimate -- Vector Error Correction
Szacowanie modelu VEqCM (2)
Skªadnia EViews
Estymacja modelu VEqCM
var beer.EC(C,1) 1 1 Q BS TOT R NFA DEBT @ D9805
I c specykacja komponentów deterministycznych
I
a
wersja 1,
b
wersja 2,
c
wersja 3,
d
wersja 4
I 1 liczba relacji kointegruj¡cych
I 1 1 opó»nienia (w cz¦±ci krótkookresowej) od 1 do 1
Testowanie restrykcji w modelu VEqCM
Test ilorazu wiarygodno±ci:
H0 :
restrykcje nie s¡ odrzucane przez dane
Statystyka testowa:
LR = T
Pr
i=1 [ln(1
− λR ) − ln(1 − λU )] ∼ χ2p
λR
warto±¢ f. wiarygodno±ci, model z ograniczeniami (Restricted)
λU
warto±¢ f. wiarygodno±ci, model bez ogranicze«
(Unrestricted)
p
liczba restrykcji
Przykªad
veqcm.wf1
/
veqcm.prg
Replikujemy obliczenia z pracy B¦zy-Bojanowskiej i MacDonalda
(2009) dotycz¡ce kursu równowagi BEER dla PLN/EUR:
q:
realny kurs PLN/EUR deowany PPI
r:
dysparytet realnych stóp procentowych PL i EA
bs:
wzgl¦dna wydajno±¢ pracy w PL na tle EA (proxy efektu
Balassy-Samuelsona)
tot:
terms of trade w PL wzgl¦dem DE
nfa:
aktywa zagraniczne netto
def:
decyt bud»etowy / PKB
debt:
zadªu»enie SP / PKB
Plan prezentacji
Zjazd 1
Zjazd 2
Modele ARIMA
Zjazd 3
Modele VAR
Modele SVAR
Zjazd 4
Filtr Kalmana idea
I problem ekstrakcji sygnaªu
I identykacja i pomiar zmiennej nieobserwowalnej na podstawie
sieci zale»no±ci mi¦dzy ni¡ a obserwowalnymi
I estymacja parametrów modeli ze zmiennymi
nieobserwowalnymi
I pozwala skonstruowa¢ funkcj¦ wiarygodno±ci
I stworzony na potrzeby nauk technicznych (maszyny
produkcyjne, armia i zbrojenia, fale radiowe)
I ró»ne wersje specykacji modelu
I wªa±ciwo±ci stochastyczne, zmienne egzogeniczne, dynamika...
Model w przestrzeni stanów
Liniowy, Gaussowski:
(
αt
yt
= c + Tαt −1 + Rηt
= d + Zαt + t
STATE:
m×1
I
αt
I
ηt ∼ N (0, Q)
wektor
zmiennych modelu (nieobserwowalnych)
wstrz¡sy w modelu
SIGNAL:
I
yt
I
t ∼ N (0, H)
wektor
n×1
zmiennych obserwowalnych
bª¦dy pomiaru
Filtr Kalmana (1): inicjalizacja
Przed okresem
t
znamy:
I yt−1
I at−1 warto±¢ oczekiwana
α t −1
warunkowa wzgl¦dem yt−1
I Pt−1 macierz wariancji-kowariancji
wzgl¦dem yt−1
Problem inicjalizacji:
a0 , P 0
bezwarunkowe (Hamilton,
I
I
α t −1
warunkowa
zwykle dªugookresowe warto±ci
1994):
a0 = c
vecP0 = [Im2 − (T ⊗ T)]−1 · vec (Q)
EViews)
I estymacja bayesowska diuse priors
Filtr Kalmana (2): predykcja
Równania predykcji (ex
ante
w
t ):
I at|t−1
= Tat−1 + c
I yt|t−1
= Zat|t−1 + d
I Pt|t−1
= TPt−1 TT + RQRT
Macierz wariancji-kowariancji yt :
I Ft
= ZPt|t−1 ZT + H
(warto±¢ domy±lna w
Filtr Kalmana (3): aktualizacja
Kalman gain:
I Kt
1
= Pt|t−1 ZT F−
t
Równania aktualizacji (ex
I
post
w
t ):
υ t = yt − yt|t−1
I at
= at|t−1 + Kt υ t
warto±¢ oczekiwana
αt
warunkowa
wzgl¦dem yt
I Pt
= Pt|t−1 − Kt ZPt|t−1
Funkcja wiarygodno±ci a ltr Kalmana
I ltr Kalmana pozwala na zapisanie (i maksymalizacj¦) funkcji
wiarygodno±ci...
I ...w obecno±ci zmiennych nieobserwowalnych
L [y, θ] = −
Tn
2
ln (2π) +
T
T X
2
ln |Ft | −
t=1
→ max
θ
1
2
T
X
t=1
1
υ Tt F−
t υt
Wyprowadzenie
Filtr Kalmana w EViews
I
Object -- New Object -- SSpace
I specykacja:
I automatyczna:
I r¦czna:
Spec
Proc -- Define State Space
Specykacja równa«
Przykªadowe równania STATE i SIGNAL
@state sv1 = c(2)*sv1(-1) + c(3)*sv2(-1) + [var = exp(c(5))]
@state sv2 = sv1(-1)
@signal y = sv1 + sv2*x1 + sv3*x2 + sv4*y(-1) + [var=exp(c(1))]
log(passenger) = c(1) + c(3)*x + sv1 + c(4)*sv2
I @state oznacza równanie stanu, @signal lub nic równanie
obserwacji
I w równaniach stanu nie mog¡ si¦ pojawi¢ opó¹nienia
pó¹niejsze ni» pierwsze
I równania nie mog¡ by¢ nieliniowe ze wzgl¦du na stan
I w równaniach sygnaªu mo»e si¦ pojawia¢ tylko bie»¡ca
zmienna stanu
Specykacja wstrz¡sów
I deniowanie wstrz¡sów przez wariancj¦ wyklucza ich
skorelowanie
I alternatywa: @ename (deklaracja wstrz¡su)
I @evar pozwala zdeniowa¢ ich wariancje i kowariancje
Bª¡dzenie losowe z bª¦dem pomiaru
y = c(1) + sv1 + e1
@state sv1 = sv1(-1) + e2 + c(2)*e1
@ename e1
@ename e2
@evar cov(e1, e2) = c(2)
@evar var(e1) = exp(c(3))
Warto±ci pocz¡tkowe
I warto±ci startowe dla estymacji:
param c(1) .15 c(2) .5
I inicjalizacja ltru Kalmana:
I
I
I
@mprior v1
@vprior m1
gdzie: v1 wektor, m1
a1|0 :
P1|0 :
EViews
macierz w przestrzeni roboczej
Wykresy i prognozy w EViews
ONE-STEP AHEAD...
warunkowa warto±¢ oczekiwana na podstawie informacji do
t-1
wª¡cznie
one-step ahead predicted signal: yt|t−1
one-step ahead predicted state: Pt|t−1
FILTERED...
warunkowa warto±¢ oczekiwana na podstawie informacji do
t
wª¡cznie
ltered state: at
SMOOTHED...
warto±¢ oczekiwana przy zaªo»eniu dost¦pno±ci informacji z caªej próby
(wcze±niejsze wyprowadzenia zakªadaªy warto±ci oczekiwane na podstawie
informacji do t-1 albo do t wª¡cznie)
Przykªad
kalman.xls / kalman.prg
Szacujemy NATURALN STOP PROCENTOW dla Polski.
(Zmodykowana) replikacja badania
Problemy z estymacj¡: por. te»
Bencika (2009)
dla Sªowacji.
Laubach i Williams (2003)
Kalibracja wybranych ilorazów wariancji szoków
Równania
ln(NAGDPSAt )
= LYPOTt + LYGAPt
REALMMIRt = Rt + RGAPt
∆ ln (CPICt ) = α0 + α1 · LYGAPt + (1 − α2 − α3 ) ·
∆ ln (EURPLNt−1 ) + α2 · ∆ ln (CPICt−1 ) + α3 · ∆ ln (CPIEXt ) + 1,t
∆ ln (1/EURPLNt ) =
RGAPt−1 − RGAPt−2 + β1 ∆ ln (CPISKt /CPIEUt ) + 2,t
LYGAPt = γ1 RGAPt−1 + γ2 RGAPt−2 + γ3 RGAPt−3 + ε1,t
LYPOTt = δ0 + LYPOTt−1 + LYPOTSHOCKt
LYPOTSHOCKt = η1 LYPOTSHOCKt−1 + ε2,t
Rt = Rt−1 + ε3,t
RGAPt = ϕ1 RGAPt−1 + ε4,t

Wst¦p do ekonometrii II Plan kursu

Transkrypt

Podobne dokumenty