Elektryczność i magnetyzm. Równania Maxwella Wyznaczenie pola

Elektryczność i magnetyzm. Równania Maxwella
Wyznaczenie pola magnetycznego
Jak policzyć pole magnetyczne? Istnieją dwie metody wyznaczenia pola
magnetycznego: prawo Biot – Savarta i prawo Ampera.
Prawo Biota – Savarta
Prawo różniczkowe.
Rys 5. Prawo Biot - Savarta
Natężenie pola magnetycznego wytwarzanego w odległości r od elementu dl
wynosi:
r r
r
I dl × r
dH =
4π r 3
(2.1).
zaś indukcja pola magnetycznego:
r
r µ I dl × rr
dB =
4π r 3
(2.2).
Przykład
policzyć pole magnetyczne:
a) odcinka prostoliniowego,
b) przewodnika kołowego (okręgu).
2.2 Prawo Ampera
1
Prawo Ampera (od nazwiska francuskiego fizyka Andre – Marie Ampere) wiąże
cyrkulację (krążenie) pola magnetycznego po konturze zamkniętym l z
natężeniem prądu przechodzącego przez powierzchnię wyznaczoną przez tenże
kontur l.
∫ H dl = ∑ I
l
(2.3).
i
i
Przykład:
Obliczyć pole magnetyczne wytwarzane przez:
a) nieskończony, prostoliniowy przewodnik o promieniu R;
b) selenoid o n zwojach (na jedn. długości) patrz rysunek poniżej.
Rys. 6 Selenoid, schemat
Pole magnetyczne wytwarzane przez selenoid podobne jest do pola
magnetycznego trwałego magnesu.
Rys. 7 Pole magnetyczne selenoidu i trwałego magnesu.
2
Linie pola magnetycznego tworzą zamknięte krzywe. Przyjęto konwencję, e
linie pola „wypływają” z bieguna północnego (N) i „wpływają” do bieguna
południowego (S).
Nie można podzielić magnesu na izolowane północne i południowe monopole.
Aby zwiększyć pole magnetyczne (natężenie, indukcję pola magnetycznego)
najprościej jest wypełnić rdzeń selenoidu materiałem o dużej względnej
przenikalności magnetycznej
Rys. 8 Selenoid wypełniony powietrzem (lewy rysunek) rdzeniem żelaznym
(prawy rysunek)
Prawo Gaussa dla pola magnetycznego
Analogicznie do pola elektrycznego, możemy sformułować prawo Gaussa dla
pola magnetycznego:
r r
∫ B dA = 0
A
lub
r
div B = 0
(4.1).
Równanie 4.1 przedstawia postać całkowa i różniczkowa prawa Gaussa dla pola
magnetycznego. Łatwo wykazać, że strumień indukcji pola magnetycznego
przechodzącego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy zero. Pole
magnetyczne jest polem bezźródłowym! Nie istnieją monopole magnetyczne.
3
Pole elektryczne i pole magnetyczne to nie są twory niezależne od siebie.
Przeciwnie, pole magnetyczne wzbudza pole elektryczne a pole elektryczne
może wzbudzać pole gametyczne. Jaki jest związek między tymi wielkościami?
Mówi o tym prawo Faradaya
1. Prawo indukcji Faradaya
Cyrkulacja, krążenie pola elektrycznego definiujemy w sposób następujący
(patrz rysunek)
Rys 1.1 Cyrkulacja pola elektrycznego
r r B
r r
∫ E dl = ∫ E cos(E, dl ) dl
B
A
(1.1.1)
A
Prawo Faradaya mówi, że cyrkulacja pola elektrycznego wywołana jest zmianą
pola magnetycznego.
r r
dΦ B
∫ E dl = − dt
(1.1.2)
Po podstawieniu definicji strumienia pola magnetycznego otrzymamy
następującą postać prawa Faraday’a:
r r
d r r
∫C E dl = − dt ∫A B dA
(1.1.3)
gdzie kontur C obejmuje powierzchnię A.
4
Prawo Faradaya mówi, że zmiana pola magnetycznego powoduje powstanie
pola elektrycznego. Znak minus występujący w równaniach 1.1.3 i 1.1.4 jest to
reguła Lentza. Pole elektryczne wzbudzane jest w takim kierunku, aby
przeciwdziałać zmianie pola magnetycznego, która go wywołała.
Rys. 1.1 Reguła Lentza.
1.1 Indukcja własna
Weźmy cewkę indukcyjną N zwojach. Jeżeli prąd przepływający przez
uzwojenie zmienia się, to zgodnie z prawe Faradaya zmienia się strumień pola
magnetycznego, czyli w uzwojeniu cewki indukuje się siła elektromotoryczna
indukcji SEM równa:
ε SEM = − N
dΦ B
dt
(1.1.5)
Ostatecznie otrzymujemy wzór:
ε SEM = − L
dI
dt
(1.1.6)
gdzie I – natężenie prądu płynącego w uzwojeniu cewki, L – współczynnik
indukcji, indukcyjność zwojnicy.
1.2 Indukcja wzajemna
5
Gdy mamy cewki, zmiana prądu w jednej może powodować indukowanie siły
elektromotorycznej SEM w drugiej cewce. Strumień przechodzący przez drugą
cewkę jest proporcjonalny do zmian prądu w pierwszej cewce (i na odwrót).
dI 2
dt
dI
ε 2 = − M 21 1
dt
ε1 = − M 12
(1.1.7a)
(1.1.7b)
gdzie M12, M21 – współczynniki indukcji wzajemnej.
W idealnych warunkach, gdy cały strumień pola wytwarzany przez pierwszą
zwojnicę przenika przez uzwojenie drugiej zwojnicy wtenczas współczynnik
M12 jest równy:
M 12 = L1 L2
(1.1.8a)
W rzeczywistości zawsze mamy straty, stąd
M 12 < L1 L2
(1.1.8b)
Prawo Faradaya jest niezwykle ważne ze względu na zastosowania. Można
powiedzieć, że przemył energetyczny, elektromaszynowy oparty jest na
zastosowaniach prawa Faradaya. Dzięki temu prawu mamy silniki elektryczne,
generatory prądu, transformatory i wiele innych.
2. Równania Maxwella
Równania Maxwella: zbiór czterech równań, zebranych przez J. C. Maxwella,
opisujących zachowanie pola elektrycznego i magnetycznego oraz ich
oddziaływanie z materią.
6
James Clerk Maxwell (1831 – 1879)
Tabela 1. Równania Maxwella.
I
II
III
IV
prawo Gaussa
(dla pola
elektrycznego)
prawo Gaussa
(dla pola
magnetycznego)
prawo Faradaya
prawo Ampera
(uzupełnione
przez Maxwella)
r r
∫ D dA = Q
A
r r
∫ B dA = 0
A
r r
d r r
∫l E dl = − d t ∫A B dA
r
r r
r r
∂D r
∫l H dl = ∫A j dA + ∫A ∂t dA
Pierwsze równanie Maxwella: pole elektryczne jest polem źródłowym, istnieją
ładunki elektryczne.
Drugie równanie Maxwella: pole magnetyczne jest polem bezźródłowym, nie
istnieją monopole magnetyczne.
Trzecie równanie Maxwella to prawo Faradaya o indukcji. Zmienny strumień
pola magnetycznego powoduje powstanie pola elektrycznego.
7
Czwarte równanie Maxwella to prawo Ampera z dodanym członem
odpowiedzialnym za tzw. prąd przesunięcia. Prądy i zmienne pole elektryczne
powodują powstanie pola magnetycznego.
Znaczenie wielkości występujących w równaniach Maxwella:
Tabela 2. Oznaczenia użyte w równaniach Maxwella.
Oznaczenie
r
E
r
D
r
H
r
Br
j
Nazwa
natężenie pola elektrycznego
ρ
gęstość ładunku
r
dl
różniczkowy element
powierzchni, normalny do tej
powierzchni
różniczkowy element krzywej L
zawierającej powierzchnię A
operator nabla
(w układzie kartezjańskim)
r
dA
∇
gradϕ (r )
r
div A
r
rot A
µ0 , ε 0
µ, ε
indukcja pola elektrycznego
Powiązania
r
r
D = ε 0ε E
natężenie pola magnetycznego
indukcja pola magnetycznego
gęstość prądu
gradient funkcji skalarnej
dywergencja funkcji wektorowej
(źródłowości)
rotacja funkcji wektorowej
(cyrkulacja, krążenie)
przenikalność magnetyczna,
elektryczna, próżni
względna przenikalność
magnetyczna, elektryczna,
materiału
Konsekwencje równań Maxwella.
8
r
r
B = µ0 µ H
r
r dI
j=
dS
∂ ∂ ∂
 ∂x , ∂y , ∂z 


 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 
 ∂x , ∂y , ∂z 


r r ∂A ∂Ay ∂Az
+
∇ ⋅ A(r ) = x +
∂y
∂z
∂x
r
r
rot A = ∇ × A
c=
1
ε 0 µ0
2.1 Zasada zachowania ładunku
Z równań Maxwella można otrzymać związek między natężeniem prądu a
zmianą ładunku. Opisuje to równanie:
r
∂ρ
div j = −
∂t
(1.2.3)
Całkowity prąd wypływający przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy
zmianie ładunku (ze znakiem minus) zawartej wewnątrz tej powierzchni.
Jest to treść zasady zachowania ładunku.
2.2 Pole elektromagnetyczne w próżni
W próżni, w nieobecności ładunków i prądów, równania Maxwella przybiorą
postać:
r r
∫ D dA = 0
;
A
r r
∫ B dA = 0
A
r r
d r r
∫l E dl = − d t ∫A B dA
;
r
r r
∂D r
H
d
l
=
∫l
∫A ∂t dA
Rozwiązaniem powyższego układu równań różniczkowych jest równanie fali.
Dla przypadku fali jednowymiarowej równanie fali przybiera postać:
∂2E 1 ∂2E
=
∂ x 2 c 2 ∂t 2
(2.2.3a)
∂2B 1 ∂2B
=
∂ x 2 c 2 ∂t 2
(2.2.3b)
dla pola elektrycznego (E) i magnetycznego (B).
Rozwiązaniem równań 2.2.3 jest zmienne pole elektryczne i magnetyczne o
równaniach, odpowiednio:
E = E0 sin(ωt − kx )
B = B0 sin(ωt − kx)
(2.2.4)
9
Oczywiście rozpatrujemy fale jednowymiarową, i rozwiązania (2.24) słuszne są
dla fali jednowymiarowej.
Zgodnie z równaniami Maxwella iloraz amplitud pola magnetycznego i
elektrycznego jest związana zależnością:
E0
=c
B0
(2.2.5)
gdzie c – prędkość światła. Pole magnetyczne jest prostopadłe do pola
elektrycznego, zaś iloczyn wektorowy E x B wyznacza kierunek propagacji fali
elektromagnetycznej
Przykład fali elektromagnetycznej ukazuje rysunek poniżej.
Rys. Fala elektromagnetyczna
Widmo fal elektromagnetycznych
Okrycie fal elektromagnetycznych (koniec XIX w.) jest wielkim osiągnięciem
wynikającym z równań Maxwella. Dzięki falom radiowym mamy radio, TV,
radary, telefony komórkowe, mikrofalówki, etc.
10
Rys. Widmo fal elektromagnetycznych.
Rys. Widmo fal elektromagnetycznych.
Rys. Widmo w zakresie widzialnym, długość fali w nm.
11
Jak powstaje światło? Słońce jest najważniejszym źródłem światła.
Widmo promieniowana elektromagnetycznego wytwarzanego przez słońce.
Dlaczego widzimy w tym zakresie długości fali?
Rośliny i światło – zjawisko fotosyntezy
Rys. Wykres absorpcji światła przez chlorofil
Dwa maksima absorpcji: w świetle niebieski i czerwonym, odpowiadają one
energii światła niezbędnego do procesu fotosyntezy.
Fotosynteza:
ogólne równanie reakcji
12
6 CO2 +
dwutlenek
węgla
6 H20
woda
→
światło!!!
C6H12O6 +
cukier
6 O2
tlen
Uwaga: proces złożony. Niezbędne światło – dostawca energii do reakcji.
Fotosynteza – proces dwuetapowy, patrz dwa maksima na wykresie absorpcji
światła widzialnego przez chlorofil.
Minimum absorpcji w zakresie światła zielonego. Oznacza to, że to światło jest
odbijane przez rośliny. Dlatego rośliny są zielone. I dlatego my widzimy w
zakresie optycznym 400 – 700 nm. Dowód na wspólne początki wszystkich
żywych stworzeń.
13