Seria 3 - dynamika punktu materialnego

PF1 zima 2016-17 ćwiczenia grupa R-4 - seria 3
II zasada mechaniki
1. Na poziomej płaszczyźnie znajduje się równia pochyła o kącie
nachylenia  i masie M. Na zboczu równi położono klocek o
masie m. Wszystkie powierzchnie są doskonale gładkie. Znaleźć
przyspieszenia klocka i równi w kierunku poziomym (względem
nieruchomego układu odniesienia) oraz siły nacisku: klocka na
równię N i równi na podłoże R .
Wskazówka: odpowiednie siły zaznaczono na rysunku. Wygodnie
jest napisać równania ruchu w kierunku x i y oddzielnie dla klocka
i równi. Związki między przyspieszeniami równi i klocka można
wyznaczyć przez podwójne zróżniczkowanie tożsamości
Odp:
;
;
.
;
;
.
2. Po poziomej płaszczyźnie, z przyspieszeniem a porusza się równia pochyła o kącie
nachylenia . Na równi położono klocek. Współczynnik tarcia klocka o równię wynosi . Dla
jakich wartości a klocek jest w spoczynku względem równi?
Odp.: Dla wartości przyspieszenia a z przedziału od
do
.
3. Oblicz przyspieszenie układu jak na rysunku. Pod jakim warunkiem skrzynia o masie M
umieszczona na rampie nachylonej pod kątem α do
poziomu będzie mogła spowodować wciąganie zwisającego
za krawędzią rampy worka o masie m? Współczynnik tarcia
między skrzynią a rampą wynosi f.
Odp.:
, pod warunkiem
.
4. *Lina leżąca na poziomym blacie stołu przechodzi
jednym końcem przez wywiercony w blacie otwór.
Całkowita długość liny wynosi l , a długość zwisającej
części w chwili rozpoczęcia ruchu t  0 wynosiła l0 .
Współczynnik tarcia między liną a deską wynosi . Oblicz
czasowe zależności: prędkości liniowej liny
i długości
zwisającej części x  t  . Jaki warunek powinien być spełniony, aby lina zaczęła się zsuwać?
Najpierw rozwiąż to zadanie dla przypadku braku tarcia (
.
Wskazówka: Ułóż równanie różniczkowe na x  t  , gdzie x jest długością części zwisającej.
Będzie to równanie niejednorodne, a jego rozwiązaniem szczególnym jest x  C , gdzie stałą
C należy wyznacz przez wstawienie tego rozwiązania do równania niejednorodnego.
Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest suma rozwiązania szczególnego i
rozwiązania ogólnego równania jednorodnego.
Odp.
;
5. Oblicz przyspieszenie a, z jakim porusza się klocek o masie
m1 pokazany na rysunku. Dane są masy m1, m2, wartość siły F,
kąt α oraz współczynnik tarcia klocka o powierzchnię f.
Odp.
.
PF1 zima 2016-17 ćwiczenia grupa R-4 - seria 3
6. Na linie przerzuconej przez nieruchomy blok i przyczepionej do
gigantycznego banana o masie M znajduje się małpa o masie m. Dane jest
przyspieszenie ziemskie g. Znajdź ruch całego układu w następujących
przypadkach:
a. małpa nie porusza się względem liny
b. małpa wspina się po linie ze stałą prędkością v0 (względem liny)
c. małpa wspina się ze stałym przyspieszeniem a0 (względem liny)
Odp. a,b) przyspieszenie układu
przyspieszenie małpy
;
; c)
,
, przyspieszenie banana
.
Ruch ciał o zmiennej masie
7. W motorówce o masie M, płynącej z prędkością
w chwili
zepsuł się silnik.
Ponadto zaczęła się do niej wlewać woda ze stałą wydajnością  . Znajdź zależność prędkość
motorówki od czasu
, jeśli opór stawiany przez wodę T jest proporcjonalny do aktualnej
prędkości (
, gdzie - stała proporcjonalności).
Odp.
.
8. * Kropla deszczu o początkowej masie m0 zaczyna spadać w atmosferze pary przesyconej,
powiększając swoją masę. Kondensacja zachodzi z wydajnością proporcjonalną do masy
kropli, tzn.
, gdzie
– stała. Znaleźć prędkość kropli oraz drogę przebytą
przez tę kroplę w funkcji czasu. Założyć, że w chwili początkowej kropla znajdowała się w
spoczynku.
Odp.  (t ) 
g

1  e   ; stąd x(t )    ( )d  t 



g
g
t
t
g
1  e .
t

9. Lokomotywa ciągnie puste wagony po poziomym torze z prędkością
pod systemem
taśmociągów ładujących węgiel. Węgiel spada pionowo w dół ze stałą wydajnością  . Masa
pustego pociągu wynosi
. Oblicz: a) zależność prędkości pociągu podczas załadunku, przy
założeniu, że stała jest siła ciągu lokomotywy i siła tarcia (siła tarcia, a nie współczynnik
tarcia!); b) zależność prędkości od czasu przy założeniu, że w momencie rozpoczęcia
załadunku napęd został wyłączony. Przyjmij, że do ciągnięcia pustych wagonów potrzebna
jest moc P, a wypadkowa siła tarcia pozostaje stała. Po jakim czasie ts pociąg zatrzyma się; c)
jakiej dodatkowej siły ciągu Fc trzeba użyć, aby podczas załadunku prędkość pociągu nie
zmieniała się i wynosiła ?

v02 M 0
M0
P  M0
P
t


Odp.: a) v  t   v0
; b) v  t    v0 
,
; c) Fc  v0

 v0  M 0   t  v0 s
P
M 0  t

10. W cysternie kolejowej stojącej na górce rozrządowej o kącie nachylenia  zepsuł się
system hamulcowy i zaczęła się z niej wylewać, prostopadle do kierunku ruchu cysterny,
ciecz. Znajdź zależność prędkości cysterny w funkcji czasu v  t  . Zaniedbaj tarcie.
Odp.:
.
t 
0
2