MMT-07 Masowa obsluga

2012-11-27
Podstawowe
definicje
Teoria masowej obsługi (teoria kolejek),
zajmuje się budową modeli matematycznych,
które można wykorzystać
w racjonalnym zarządzaniu
dowolnymi systemami działania,
zwanymi systemami masowej obsługi.
Przykłady: skrzyżowania ulic, porty lotnicze,
stacje obsługi samochodów,
centra logistyczne,
stanowiska przeładunkowe,
centrale telefoniczne itp.
zł
Stanowisko obsługi
Proces zgłoszeń
Stanowisko obsługi
Całkowity
Źródło
zgłoszeń
Kolejka
…oooooo
Stanowisko obsługi
Stanowisko obsługi
Stanowisko obsługi
Obsługi
Niezadowolenia klienta
Regulamin kolejki
Pojemność poczekalni
Poziom obsługi
Liczba stanowisk obsługi
Proces obsługi
Proces wyjścia
Wielkość źródła zgłoszeń
1
2012-11-27
Oczekiwanie
◦ z oczekiwaniem
◦ bez oczekiwania
Liczba stanowisk (kanałów) obsługi
◦ jednokanałowe
◦ wielokanałowe
Typy i klasyfikacja smo
◦ priorytetowe
◦ bez priorytetu
◦ nieograniczona
◦ ograniczona (ze stratami)
•
•
•
•
•
•
•
•
prawdopodobieństwo tego, że system nie jest
pusty
średni czas oczekiwania
prawdopodobieństwo tego, że w systemie jest
n klientów
średnia liczba klientów czekających
średnia liczba klientów w systemie
średni czas przebywania w systemie
prawdopodobieństwo tego, że przybywający klient
będzie czekał
procent czasu zajętości wszystkich stanowisk
obsługi
…
Liczba miejsc w poczekalni
Rozkład czasów pomiędzy zgłoszeniami
(proces zgłoszeń)
Liczba stanowisk obsługi
Rozkład czasów obsługi
(proces obsługi)
Kategorie zgłoszeń
Długość kolejki
•
A/B/m/k
FIFO (first in - first out) - kolejność obsługi według
kolejności przybycia
SIRO (service in random order) – losowa kolejność
obsługi
LIFO (last in - first out), czyli ostatnie zgłoszenie
jest obsłużone jako pierwsze
priorytet dla niektórych zgłoszeń (np. samoloty
lądujące mają pierwszeństwo w korzystaniu z drogi startowej
przed samolotami startującymi)
M – wykładniczy (proces Poissona)
D – deterministyczny
Ek – Erlanga rzędu k-tego
G – dowolny
Przykłady:
M/M/1 – zgłoszenia Poissona, obsługa
wykładniczy, jedno stanowisko
obsługi, kolejka nieograniczona
M/D/1/5 – zgłoszenia Poissona, stały
czas obsługi, jedno stanowisko, w
kolejce 5 miejsc
M/G/4/0 – zgłoszenia Poissona, dowolny
rozkład czasu obsługi, 4
stanowiska, bez kolejki
Procesy losowe
zgłoszeń i obsług
2
2012-11-27
τn – zmienna losowa opisująca czas między
zgłoszeniami n i n+1
{τn} – proces stochastyczny
Założenie: kolejne odstępy między zgłoszeniami
mają taki sam rozkład
E[τn] = E[τ] = 1/λ
λ – intensywność zgłoszeń
sn – zmienna losowa opisująca czas obsługi
n-tego zgłoszenia na stanowisku obsługi
{sn} – proces stochastyczny
Założenie: kolejne czasy obsługi mają taki sam
rozkład
E[sn] = E[s] = µ
µ – intensywność obsługi
{A(t)} – proces zgłoszeń
Liczby zgłoszeń w rozłącznych przedziałach
czasu są niezależne
Liczba zgłoszeń w przedziale czasu (t,t+τ]
◦ zależy wyłącznie od τ
◦ ma rozkład Poissona z parametrem λ
P{A(t + τ ) − A(t ) = n} = e −λτ
(λτ )n
n!
λ – intensywność zgłoszeń
Złożenie i rozdział procesu Poissona
Dobrze modeluje napływ zgłoszeń z wielu
niezależnych źródeł
„Prostota” rozwiązań analitycznych
Brak pamięci
Analiza smo
Równania dynamiki
d
pn (t ) = λn −1 pn −1 (t ) + µ n +1 pn +1 (t ) − (λn + µ n ) pn (t )
dt
d
n = 0 : p0 (t ) = µ1 p1 (t ) − λ0 p0 (t )
dt
n > 0:
3
2012-11-27
Dla węzła S
λn −1 pn −1 + µ n +1 pn +1 = (λn + µ n ) pn
λn −1 pn −1 − µ n pn = λn pn − µ n +1 pn +1
f n = λn pn − µ n +1 pn +1
f n −1 = f n = const
f 0 = λ0 p0 − µ1 p1 ⇒ f n = 0
Zgłoszenia – proces Poissona z
intensywnością λ
Obsługa – rozkład wykładniczy z
parametrem µ
Zgłoszenia niezależne od obsług
Jedno stanowisko obsługi
Kolejka nieograniczona
µpn = λpn −1
λ
pn = pn−1 = ρpn −1 = K = ρ n p0
µ
Warunek normalizujący
∞
∑p
n =0
Dla przekroju SC
n
∞


= 1 ⇔ p0 1 + ∑ ρ n  = 1 ⇔ p0 = 1 − ρ
 n =1 
Stan stacjonarny systemu
pn = ρ n (1 − ρ )
λn pn = µ n+1 pn+1
λ – intensywność zgłoszeń
N – średnia liczba klientów w systemie
T – średni czas przebywania klienta w systemie
Twierdzenie Little’a:
Warunek równowagi (dla przekroju)
Współczynnik wykorzystania systemu: ρ = λ
µ
◦ procent czasu zajętości stanowiska obsługi
◦ prawdopodobieństwo tego, że system jest zajęty
◦ system jest stabilny dla ρ<1
N=λT
4