Graniastosłupy i ostrosłupy 1. Długość krawędzi bocznej ostrosłupa

Graniastosłupy i ostrosłupy
1. Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 21 . Ściana boczna
ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 600.
a) Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz pole jego przekroju wyznaczonego przez wysokość i krawędź
boczną ostrosłupa.
b) Oblicz odległość wierzchołka podstawy ostrosłupa od jego krawędzi bocznej.
2. Długość wysokości prawidłowego ostrosłupa czworokątnego wynosi 7 3 , a krawędź boczna tego
ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 600.
a) Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
b) Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną
do płaszczyzny podstawy pod kątem 300.
3. Objętość prawidłowego graniastosłupa trójkątnego jest równa 432 3 . Długość promienia okręgu
wpisanego w podstawę graniastosłupa wynosi 2 3 .
a) Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa oraz wyznacz cosinus kąta między przekątnymi
ścian bocznych wychodzącymi z tego samego wierzchołka graniastosłupa.
b) Oblicz pole przekroju graniastosłupa płaszczyzną poprowadzoną przez przekątną ściany bocznej i
środek jego krawędzi bocznej nie zawierającej się w tej ścianie.
4. Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o bokach długości 2 cm i 4 cm, i kącie ostrym
60. Wysokość graniastosłupa tworzy z przekątną ściany bocznej o mniejszej powierzchni kąt miary
30. Oblicz:
a) objętość graniastosłupa;
b) długość dłuższej przekątnej graniastosłupa.
5. W ostrosłupie prostym podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 8 cm i 15
cm. Wszystkie ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem miary 60. Oblicz
pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odległość środka podstawy od krawędzi bocznej jest
równa 6 cm, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 60. Oblicz:
a) objętość ostrosłupa;
b) pole powierzchni bocznej ostrosłupa;
c) tangens kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy ostrosłupa.
7. Sześcian o krawędzi 12 przecięto na dwie
części płaszczyzną w sposób pokazany
na rysunku. Oblicz objętości obu części.
8. Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną zawierającą wysokości dwóch sąsiednich
ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa. Wiedząc, że otrzymany przekrój jest
trójkątem równobocznym o boku 8, oblicz objętość tego ostrosłupa.
9. W graniastosłupie prostym o podstawie trójkąta prostokątnego przekątne ścian bocznych
wychodzące z jednego wierzchołka kata prostego tworzą z krawędziami podstawy kąty odpowiednio α
i β. Znajdź cosinus kata między tymi przekątnymi.
10. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez, w którym dłuższa podstawa i jedno ramię są do
siebie prostopadłe i mają tę samą długość a. Dłuższa przekątna graniastosłupa ma długość 2a. Pod
jakim kątem ta przekątna jest nachylona do podstawy?
11. Oblicz pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego przedstawionego na rysunku
Odpowiedzi:
1. a) 𝑉 = 9 3, 𝑃 =
2
9 3
,
2
b) 𝑑 =
12 7
7
2. a) 𝑉 = 228 3 3, 𝑃𝑐 = 98( 7 + 1), b) 𝑃 =
3
49 3
2
3. a) 𝑃𝑐 = 72( 3 + 6), 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 8, b) 𝑃 = 36 6
4. a) 24 cm3; b) 2 10 cm.
5. 120 cm2
6. a) 384 cm3; b) 96 7 cm2; c)
7.192, 1536
512 2
8. 𝑉 =
3
9. 𝑐𝑜𝑠𝛾 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽
10. 45.
11. 𝑃𝑏 = 2 7 2 + 2 .
6.