Opis problemu pięciu studni

Modelowanie histerezy
w martenzytycznych materialach
wielofazowych
M.S. Kuczma
Instytut Budownictwa, Uniwersytet Zielonogórski
ul. Z. Szafrana 2, 65-516 Zielona Góra
Prace, te, dedykuje, Panu Profesorowi Gwidonowi Szeferowi
z wyrazami glebokiego
szacunku i podziekowania
,
,
Praca dotyczy zagadnienia martenzytycznej przemiany fazowej w przypadku tak
zwanego problemu wielu studni. Energie, efektywna, mieszaniny wielu faz (austenitu
i wariantów martenzytu) aproksymuje sie, lokalnie funkcja, kwadratowa, z wykorzystaniem parametrów wewnetrznych
w postaci udzialów objetościowych
poszczególnych
,
,
wariantów martenzytu. Ewolucyjne zagadnienie poczatkowo-brzegowe
sformulowano
,
w postaci nierówności wariacyjnej. Wyjściowy problem jest niewypukly, można jednak pokazać, że przy przyjetych
zalożeniach istnieje jednoznaczne rozwiazanie
tej
,
,
nierówności na kroku czasowym. Po dyskretyzacji metoda, elementów skończonych
nierówność wariacyjna, rozwiazano
jako liniowe zadanie komplementarne. Zamiesz,
czone wyniki obliczeń numerycznych dla tarczy z materialu wielofazowego ilustruj a,
charakterystyczna, petl
, e, histerezy w przestrzeni przemieszczenie-sila.
1. WSTEP
,
Praca dotyczy matematycznego modelowania zjawiska histerezy obserwowanej
w tak zwanych materialach martenzytycznych i symulacji numerycznej zagadnień poczatkowo-brzegowych
dla konstrukcji wykonanych z takich materialów.
,
Przez material martenzytyczny rozumiemy material, który doznaje martenzytycznej przemiany fazowej (m.p.f.). To niezwykle zjawisko wyst epuje
w wielu
,
materialach o budowie krystalicznej, glównie w stopach na bazie niklu i miedzi,
gdzie zaobserwowano intrygujacy
efekt pamieci
ksztaltu. Przemiana marten,
,
zytyczna jest procesem odksztalceniowym zwi azanym
ze zmiana, siatki krysta,
lograficznej, w którym material b ed
acy
w
fazie
o
wi
ekszej
symetrii, nazywanej
, ,
,
austenitem, przechodzi nagle w faz e, o mniejszej symetrii, nazywanej martenzytem. Martenzyt może wystepować
w wielu odmianach krystalograficznych
,
2
nazywanych wariantami. Przemiana martenzytyczna jest przemian a, pierwszego rzedu,
bezdyfuzyjna,
, odbywajac
, a, sie, przez nukleacje, i rozwój nowej
,
fazy, o wyraźnej dominacji odksztalceń postaciowych (towarzysz ace
jej od,
s
a
praktycznie
pomijalne).
M.p.f.
jest
wynikiem
ksztalcenia objetościowe
,
,
przyjmowania przez uklad stanów o minimalnej energii (lokalne minima, stany
meta stabilne), i może być wywolana przez zmiany temeperatury, napr eżenia
,
lub pola elektromagnetycznego. Chciaż m.p.f. jest procesem krystalograficznie
odwracalnym, z termodynamicznego punktu widzenia jest to proces nieodsie, w postaci
waracalny gdyż towarzyszy mu dyssypacja energii ujawniaj aca
,
charakterystycznych petli
histerezy
w
przestrzeniach
wielkości
go
opisuj acych.
,
,
Zagadnienie martenzytycznej przemiany fazowej i towarzysz acego
jej
,
efektu pamieci
kszta
ltu
ma
już
bardzo
bogat
a
literatur
e,
dotycz
ac
a
różnych
,
, ,
,
,
jego aspektów na gruncie metalurgii, krystalografii, mechaniki kontinuum i
matematyki. Wymieńmy tu opracowanie [7] i prace [1, 6, 3, 8, 5], które byly
uzupelnieniem [4] o
inspiracja, podejścia zastosowanego w tej pracy, b ed
,
, acej
analize, numeryczna, przypadku wielu faz.
Problem martenzytycznej przemiany fazowej dla przypadku 3D mieszaniny
wielu faz formulujemy w postaci nierówności wariacyjnej. Dodajmy tutaj, że
nierówności wariacyjne, bed
, ac
, naturalnym uogólnieniem zasad wariacyjnych
na przypadek minimalizacji funkcjonalów na zbiorach wypuklych, stanowi a,
wygodne narzedzie
w analizie jakościowej i numerycznej różnorodnych prob,
lemów mechaniki [9]. W analizowanym tutaj przypadku, istnienie jednoznacznego rozwiazania
problemu przyrostowego opisanego nierówności a, waria,
cyjna, jest zapewnione [4], gdy uwzglednimy
wymagania stawiane przez II
,
zasade, termomechaniki w kontekście dyssypacji energii towarzysz acej
m.p.f.
,
Wykorzystujac
metod
e
elementów
skończonych
rozwi
azujemy
nierówność
,
,
,
wyniki symulacji
wariacyjna, jako liniowe zadanie komplementarne. Zal aczone
,
numerycznych dla pasma z materialu wielofazowego, utwierdzonego na jednym końcu a na przeciwnym obciażonego,
ilustruja, charakterystyczne petle
,
,
hiterezy w przestrzeni sila–przemieszczenie (w warunkach izotermicznych).
2. PROBLEM WIELU STUDNI
W tym rozdziale podajemy sformulowanie problemu pocz atkowo-brzegowego
,
dla ciala, którego material ulega odwracalnej przemianie martenzytycznej.
Material ulegajacy
m.p.f. traktujemy jako kompozyt skladaj acy
sie, z austen,
,
itu, oznaczanego tutaj indeksem i = N + 1 ≡ a, i N wariantów martenzytu.
Każda, z faz (wariantów) charakyteryzuj a, jej odksztalcenia wlasne (fazowe)
D i , przy czym bez utraty ogólności można przyj ać,
, że D a = 0.
Dla każdej z faz przyjmujemy energi e, swobodna, Helmholtza Wi , i =
3
1, 2, . . . , N + 1 w postaci funkcji kwadratowej
1
(E − D i ) · Ai (E − D i ) + $i (θ),
2
Wi (E, θ) =
(1)
poszczególnych faz, które dla
gdzie Ai = A oznaczaja, tensory spreżystości
,
prostoty przyjeto
takie
same.
Oznaczaj
ac
przez
ci udzialy objetościowe
,
,
,
poszczególnych faz możemy uśrednion a, energie, mieszaniny zapisać nastepuj
aco
,
,
N
+1
N +1 N +1
X
1 X X
f (E, c) = 1 (E − D(c))·A [E − D(c)] +
W
ci $i +
ci cj Bij , (2)
2
2
i=1
i=1 j=1
gdzie efektywne odksztalcenie fazowe D(c) jest wypukl a, kombinacja,,
D(c) ≡
N
+1
X
ci D i , dla ci ≥ 0,
i=1
N
+1
X
ci = 1,
(3)
i=1
a elementy Bij macierzy B sa, stalymi materialowymi.
Nierówność dyssypacyjna, wynikajac
, a, z II zasady termomechaniki można
zapisać jako
N
X
f
∂W
Xm ċm ≥ 0,
(4)
D=−
·ċ ≡ X·ċ =
∂c
m=1
gdzie sila napedowa
X jest macierza, kolumnowa, o skladnikach
,
Xm = D m ·A [E] −
N
X
?
(D m ·A [D i ] + Bmi
) ci − ($m − $a ) − Bam .
(5)
i=1
+
Uwzgledniaj
ac
,
, (4) wprowadzamy funkcje progowe κ m ≡ max{Lm cm , 0},
≡ min{Lm (cm − 1), 0}, i postulujemy nastepuj
ace
kryterium zachodzenia
,
,
m.p.f. dla każdego wariantu martenzytu (L m stale materialowe, 1 ≤ m ≤ N ):
κ−
m
jeśli
Xm (c) = κ+
m (cm )
wtedy
ċm ≥ 0
jeśli
Xm (c) = κ−
m (cm )
wtedy
ċm ≤ 0
jeśli
+
κ−
m (cm ) < Xm (c) < κm (cm )
wtedy
ċm = 0
(6)
Równania równowagi spreżystej
przyjmuja, forme,
,
div A[E(u) − D(c)] + f = 0.
gdzie f jest wektorem obciażeń
masowych.
,
(7)
4
3. NIERÓWNOŚĆ WARIACYJNA
Dla typowego kroku czasowego tn−1 → tn zdefiniujmy przyrosty skończone
wektora przemieszczenia ∆un i macierzy kolumnowej udzialów fazowych ∆cn
nastepuj
aco:
un = un−1 + ∆un , cn = cn−1 + ∆cn . Problem przyrostowy dla
,
,
warunków (7) i (6) w slabej postaci daje si e, ujać
, nierównościa, wariacyjna.
,
Znaleźć pare, (∆un , ∆cn ) ∈ V (tn ) × K(cn−1 ) taka,, że
a(∆un , v) − g(∆cn , v) = fn,n−1 (v)
(8)
±
±
±
∓g(z ± − ∆c±
n , ∆un ) ± h(∆cn , z ± − ∆cn ) ≥ ∓bn−1 (z ± − ∆cn )
dla wszystkich v ∈ V (tn ), z ± ∈ K± (cn−1 ).
Z
gdzie:
a(w, v) =
A [∇w] · ∇v dx
Ω
g(w, v) =
N Z
X
m=1
h(w, v) =
wm A [D m ]·∇v dx
Ω
N X
N Z
X
m=1 i=1
fn,n−1 (v) =
b±
n−1 (w)
=
Z
Ω
Ω
?
(D m ·A [D i ] + Bmi
+ δmi Lm )wm vi dx
(9)
∆f n · v dx + (terms on Γ)n,n−1
N Z
X
m=1
[Bam + ($m − $a ) + Lm (cm,n−1 − pm,n−1 )± ]wm dx
Ω
∓g(w, un−1 ) ± h(cn−1 , w).
V (tn ) jest zbiorem kinematycznie dopuszczalnych przyrostów przemieszczeń
obszar Ω ∈ Rd . Zbióry ograniczeń zmiany cześci
dodatniej
ciala zajmujacego
,
,
+
∆cn i ujemnej ∆c−
udzia
lów
fazowych
martenzytu
s
a
zdefiniowane
poniżej
n
,
n
o
P
K(z) = w ∈ L2 (Ω, RN ) | |wi | ≤ 1, 0 ≤ N
(z
+
w
)
≤
1,
z
∈
Z
i
i=1 i
n
o
P
K+ (z) = w ∈ L2 (Ω, RN ) | wi ≥ 0, N
(z
+
w
)
≤
1,
z
∈
Z
i
i
i=1
(10)
2
N
K− (z) = w ∈ L (Ω, R ) | wi ≥ 0, zi − wi ≥ 0, z ∈ Z
n
o
P
Z = z ∈ L2 (Ω, RN ) | zi ≥ 0, N
z
≤
1
.
i=1 i
5
4. LINIOWE ZADANIE KOMPLEMENTARNE
Stosujac
, metode, elementów skończonych możemy sprowadzić nierówność (8)
do liniowego zadania komplementarnego (dopelniaj acego)
,
Ā xn + y n = bn,n−1
x0n ≥ 0, y 1n = 0, y n ≥ 0, xT
n yn = 0
(11)
gdzie xn jest wektorem niewiadomych wartości w ez
, lowych aproksymacji MES,
y n oznacza wektor zmiennych dopelniaj acych,
a wektor bn,n−1 jest znany w
,
chwili tn . Przez x0n oznaczamy elementy wektora xn bez wektora x1n ≡ ∆un ,
który nie jest ograniczony w znaku. Macierz Ā i wektory xn , bn,n−1 maja,
nastepuj
ac
, a, strukture,
,


−K
GT
−GT


 G

−H
H
−IT
−IT
1


∆


T
T
 −G

H
−H
I
−I
1
∆ 

Ā = 
(12)
,


I
−I
1
1






I
∆


I∆




f un,n−1 
∆un 














+




+
c




∆c

b



n 
n−1















−
 ∆c−


c
n
bn−1 
xn =
,
bn,n−1 =
.
(13)
1 



r




1
−
c
n
n−1 










+ 




0
+




r




c
n




n−1









 0− 

−
rn
cn−1
Macierz sztywności K, macierz prostok atna
G = wiersz [G1 , . . . , GN ], oraz
,
macierz kwadratowa H = [H 11 , . . . , H N N ], generowane sa, przez formy
funkcji bazowych pola przemieszczenia i pól
dwuliniowe (9)1−3 dla przyjetych
,
udzialów fazowych. Macierze I1 , I∆ wynikaja, z ograniczeń (10), a towarzyszace
,
+
−
im niewiadome wektory r 1n , r 0n , r 0n pelnia, role, mnożników Lagrange’a tych
nierównościowych wiezów.
,
6
5. PRZYKLAD LICZBOWY
Dla ilustracji przewidywań rozpatrywanego tutaj modelu m.p.f. przeprowadzono obliczenia numeryczne zagadnienia dwuwymiarowego dla pasma wykonanego ze stopu Cu-Al-Ni. Analizowano pasmo o stosunku boków a: b=18:3,
zamocowane na lewym końcu i obciażone
na końcu przeciwleglym. Proces
,
odksztalcania sterowany byl przemieszczeniem w(t). Warunki podparcia i
obciażenie
pasma pokazano na rys. 1. Pasmo podzielono na 18 × 3 × 4 = 216
,
trójkatnych
elementów skończonych. Pole przemieszczeń aproksymowano
,
kwadratowymi funkcjami ksztaltu, natomiast pola frakcji fazowych - liniowymi
wlasnym programem komputfunkcjami ksztaltu. Zadanie (11) rozwi azano
,
erowym, zob. [4].
y, v
w(t)
b
F(t)
x, u
a
Rysunek 1: Pasmo z materialu wielofazowego, a: b=6:1, poddane quasistatycznemu wymuszeniu kinematycznemu w(t).
Traktujac
, problem jako dwuwymiarowy możemy wyróżnić w analizowanym
przypadku stopu Cu-Al-Ni doznajacego
m.p.f. typu uklad regularny → uklad
,
rombowy (cubic → orthorhombic) cztery jako istotne z sześciu możliwych wariantów martenzytu. Tensory odksztalceń fazowych tych wariantów martenzytu, mierzone wzgledem
odksztalceń zerowych austenitu, D 5 = 0, sa,
,
nastepuj
ace,
por.
[2]:
,
,
0.04245
0
0.04245 0.01945
D1 =
,
D2 =
,
0
−0.09620
0.01945 0.04245
D3 =
0.04245 −0.01945
−0.01945
0.04245
,
D4 =
−0.09620
0
0
0.04245
.
Pozostale brakujace
dane przyjeto
nawiazuj
ac
,
,
,
, do wyników pracy [6], kieruj ac
,
sie, zasada, nie wyróżniania żadnego z wariantów: modul Younga E = 10 000.0
MPa, wspólczynnik Poissona ν = 0.3, różnica w energiach stanu swobodnego,
∆$ = $m − $5 = 3.756 J/m3 . Ponadto, przyjeto
parametry zwiazane
z
,
,
3
dyssypacja, energii, Bii = 0, Bij = 0.50 J/m , dla i, j = 1, . . . , N +1 = 5, i 6= j,
Lm = 1.02 J/m3 , m = 1, . . . , N = 4.
7
c1
0.1
0.05
0
3
2
y
1
0
2
4
6
8
18
10 12 14 16
x
0
2
4
6
8
18
10 12 14 16
x
0
2
4
6
8
18
10 12 14 16
x
0
2
4
6
8
18
10 12 14 16
x
c2
0.15
0.1
0.05
0
3
2
y
1
c3
0.06
0.04
0.02
0
3
2
y
1
c4
0.3
0.2
0.1
0
3
2
y
1
Rysunek 2: Rozklady frakcji martenzytu c i dla max. w(t), pkt A na rys. 3.
8
Wyniki numeryczne na rys. 2 i 3 odpowiadaj a, kinematycznemu wymuszeniu
w(t) wywolujacemu
petl
,
, e, 0-A-B-A-O’. Szczególn a, uwage, zwraca fakt niezerowych przemieszczeń przy zerowej sile F i odwrotnie.
F
A
0.6
0.4
0.2
–8
–6
–4
–2 0 O’
–0.2
2
4
6
8
w [%]
–0.4
–0.6
B
Rysunek 3: Petla
histerezy miedzy
przemieszczeniem poprzecznym wzgl ednym
,
,
,
w/a prawego boku tarczy i odpowiadaj ac
, a, mu sila, F .
Praca naukowa finansowana ze środków Komitetu Badań
Podziekowanie
,
Naukowych w latach 2003-2006 jako projekt badawczy.
Bibliografia
[1] J. Ball, R. James, Fine phase mixtures as minimizers of energy, Arch.
Rational Mech. Anal., 100(1):13–52, 1987.
[2] K. Bhattacharya, Comparison of the geometrically nonlinear and linear
theories of martensitic transformation, Continuum Mech. and Themodyn.,
5:205–242, 1993.
[3] R. Kohn, The relaxation of a double-well energy, Continuum Mech. Thermodyn., 3:193–236, 1991.
[4] M.S. Kuczma, Application of variational inequalities in the mechanics of
plastic flow and martensitic phase transformations, PP, Poznań, 1999.
[5] V. I. Levitas, E. Stein, M. Lengnick, On a unified approach to the description of phase transition and strain localization, Arch. Appl. Mech.,
66:242–254, 1996.
9
[6] I. Müller, H. Xu, On the pseudoelastic hysteresis. Acta metall. mater.,
39:263–271, 1991.
[7] W.K. Nowacki (red.), Podstawy termomechaniki materialów z pami eci
, a,
ksztaltu, IPPT PAN, Warszawa, 1996.
[8] B. Raniecki, C. Lexcellent, K. Tanaka, Thermodynamic models of pseudoelastic behaviour of shape memory alloys. Arch. Mech., 44:261–284,
1992.
[9] G. Szefer, Zasady wariacyjne w metodach komputerowych mechaniki, w:
Mater. V Konf. Metod Komputerowych w Mech., 65–83, Wroclaw 1981.
Summary
The paper is concerned with the so-called multi-well martensitic phase transformation problem. The effective energy of the mixture of phases (austenite
and many variants of martensite) is approximated locally by a quadratic function and use is made of internal variables which are volume fractions of all
martensitic variants. This evolutional initial-boundary value problem is formulated in the form of a variational inequality. Although the original problem
is non-convex, it can be shown that under imposed assumptions there exists
a unique solution to the derived variational inequality on a single time-step
(incremental problem). After the finite element discretization, the resulting
variational inequality is solved as a sequence of linear complementarity problems. The included numerical results illustrate the characteristic hysteresis
loop in space displacement-force which we have obtained for a disk made of a
shape memory material with a number of martensitic variants.
This paper has appeared in the book dedicated to Professor Gwidon Szefer
on the occassion of His 70th birthday:
Rozprawy z mechaniki konstrukcji i materialów. Sesja jubileuszowa. Politechnika Krakowska im. T. Kościuszki, Monografia 302, Kraków 2004, s. 161–169.
Uwaga. Artykul ten ukazal siȩ w ksia̧żce wydanej z okazji Jubilueuszu
70. urodzin Profesora Gwidona Szefera:
Rozprawy z mechaniki konstrukcji i materialów. Sesja jubileuszowa. Politechnika Krakowska im. T. Kościuszki, Monografia 302, Kraków 2004, s. 161–169.