Belki złożone i zespolone - Zakład Wytrzymałości Materiałów PK

Belki złożone i zespolone - Zakład Wytrzymałości Materiałów PK

Adam Zaborski – belki złożone i zespolone
Belki złożone i zespolone
definicja belki złożonej, siła rozwarstwiająca, projektowanie połączeń, przykłady obliczeń,
definicja belki zespolonej, założenia technicznej teorii zginania, rozkład naprężeń normalnych, przykład obliczeń
Belki złożone
Belką złożoną nazywamy belkę, której przekrój poprzeczny składa się z kilku współpracujących elementów, wykonanych z jednego materiału.
Porównajmy pracę 2 przekrojów poprzecznych składających się z 2 prostokątów o łącznym wymiarze b×h: pracujących niezależnie i połączonych w sposób zapewniający wspólną
pracę.
W pierwszym przypadku: Jy = 2 b(h/2)3/12 = bh3/48, Wy = bh2/24, σx = 0.5My/Wy =
12M/bh2. W drugim: Jy = bh3/12, Wy = bh2/6, σx = My/Wy = 6M/bh2. Jak więc widać w drugim przypadku maksymalne naprężenia normalne będą 2-krotnie mniejsze.
Istotne jest to, że elementy są połączone ze sobą w sposób uniemożliwiający wzajemne
przesunięcia powierzchni kontaktu. Aby zlikwidować wzajemne przesunięcia w płaszczyźnie
połączenia, należy zapewnić odpowiednią wytrzymałość połączenia. Wprowadzimy pojęcie
siły rozwarstwiającej tR, czyli poziomej siły przypadającej na jednostkę długości belki wzdłuż
płaszczyzny połączenia:
t R = τ zx b =
QS y ( z )
Jy
.
Przykład - belka drewniana
Drewniana belka składa się z dwóch sosnowych bali o przekrojach 0.2 x 0.24 m, połączonych ze sobą za pomocą śrub (które nie przenoszą ścinania), oraz prostokątnych klinów. Belka leży na 2 podporach oddalonych od siebie o 6 m i obciążona jest w środku przęsła siłą 60
kN. Określić rozmiary c i liczbę klinów n, jeśli Rd = 7 MPa (na docisk), Rt = 1.5 MPa (na ścinanie).
Adam Zaborski – belki złożone i zespolone
a
24
2 50 cm
8
24
c
a-c
c
20
Płaszczyzny docisku i ścinania
Q = const = ±30 kN,
τ xz = τ zx =
S y = 20 ⋅ 24 ⋅ 13 = 6240cm 3 ,
30 ⋅10 3 ⋅ 6240 ⋅10 − 6
208000 ⋅10 − 8 ⋅ 0.2
Jy =
20 ⋅50 3
12
−
20 ⋅ 2 3
12
= 208000cm 4
= 0.45MPa
Całkowita siła rozwarstwiająca w belce T = tR l = 540 kN.
Ilość klinów obliczamy z warunku na dopuszczalne naprężenia ściskające:
σd =
T
≤ Rd ,
nFd
⇒
n=
T
540 ⋅ 103
=
= 12.86 ,
Rd Fd 7 ⋅ 106 ⋅ 0.03 ⋅ 0.2
przyjmujemy 13 klinów
Rozmiar c klinów przyjmujemy z warunku na dopuszczalne naprężenia ścinające:
τ xz = τ zx =
3
2
T
=
nFt
3
2
T
≤ Rt ,
ncb
⇒
c=
3
2
T
≈ 21 cm
nRt b
14 odcinków (a-c) między klinami i na zewnątrz belki daje: (a-c) = (600-13×21)/14 =
23.3 > 21 cm, a więc materiał belki również nie ulegnie ścięciu dla a = 21 + 23.3 = 44.3 cm.
Przykład - blachownica
240 mm
20
5
400
12
Adam Zaborski – belki złożone i zespolone
Sprawdzić wytrzymałość spawanej belki, leżącej swobodnie na 2 podporach i obciążonej
obciążeniem ciągłym 40 kN/m na całej długości, oraz 2 siłami P = 480 kN przyłożonymi w
odległości 1 m od podpór. Długość belki wynosi 8 m, R = 160 MPa, Rt = 100 MPa, wysokość
każdej ze spoin pachwinowych h = 0.7 x 5 mm. Przekrój poprzeczny dwuteowy jak na rysunku (wymiary w mm).
Mmax = 800 kNm, Qmax = 640 kN,
momenty statyczne: półki Sy = 1970 cm3, 1/2 przekroju Sy = 2930 cm3,
moment bezwładności Jy = 214000 cm4, Wy = 5100 cm3.
Sprawdzenie wytrzymałości przekroju:
a) naprężenia normalne: σ max =
b) naprężenia styczne: τ max =
c) ścięcie spoiny: τ =
M max
Wy
= 157 MPa < R
Q max S y ( z = 0)
J yb
QS y ( z = 380)
J y 2 ⋅ 0.7 ⋅ 5 ⋅10 −3
=
=
640 ⋅10 3 ⋅ 2930 ⋅10 −6
214000 ⋅10 −8 ⋅ 0.012
640 ⋅10 3 ⋅1970 ⋅10 −6
214000 ⋅10 −8 ⋅ 2 ⋅ 0.7 ⋅ 0.005
= 73.02 MPa < Rt
= 84.17 MPa < Rt .
Połączenia nitowane
Podobnie projektujemy połączenia nitowane, sprawdzając: przekrój belki na naprężenia
normalne (od zginania), przekrój belki na naprężenia styczne (od siły poprzecznej), nity na
docisk (od siły przenoszonej przez nit), nity na ścinanie (j.w.), materiał łączony na ścinanie
nitami (j.w.), materiał łączony na docisk (jak dla nitów), materiał łączony na rozerwanie
(osłabiony otworami na nity). Zależnie od charakteru pracy rozróżniamy nity jedno-, dwu- i
wielocięte.
Adam Zaborski – belki złożone i zespolone
Wzmacnianie przekroju
Pomiędzy dwoma rodzajami wzmocnienia, jak na rysunku, istotna różnica polega na braku i istnieniu naprężeń stycznych od sił rozwarstwiających, występujących pomiędzy przekrojem pierwotnym i wzmocnieniem. Dla przekroju wzmacnianego jak po lewej stronie, naprężenia ścinające są pomijalne (poza otoczeniem punktu przyłożenia obciążenia skupionego),
podczas gdy dla przypadku z prawej – naprężenia ścinające wynikające z istnienia sił rozwarstwiających są istotne i nie do pominięcia.
Obliczenia przekroju żelbetowego według Eurokodu 2
Zgodnie z normą żelbetową, zarówno beton jak i stal zbrojeniowa, są materiałami sprężysto-plastycznymi.
Dla betonu zależność pomiędzy odkształceniami i naprężeniami ściskającymi jest nieliniowa. W obliczeniach na nośność rozkład naprężeń ściskających może być przyjmowany
jako parabola-prostokąt bądź jako prostokątny.
rozkład naprężeń w betonie
sigma [MPa]
70
60
50
40
30
krzywa teoretyczna
20
parabola-prostokąt
10
prostokąt
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
x [m]
Stal zbrojeniowa opisywana jest modelem Prandtla bez wzmocnienia (bez limitu odkształceń) bądź z liniowym wzmocnieniem (i wówczas przyjmowany jest limit dopuszczalnych odkształceń).
Adam Zaborski – belki złożone i zespolone
Belki zespolone
Belką zespoloną nazywamy belkę, której przekrój poprzeczny składa się z różnych materiałów, przy czym powierzchnia żadnego z nich nie jest mała
Nie chodzi więc o żelbetowe konstrukcje prętowe, gdzie powierzchnia zbrojenia jest mała
w stosunku do powierzchni betonu.
1
y
2
z
Założenia technicznej teorii zginania:
1. pionowa oś symetrii przekroju
2. hipoteza płaskich przekrojów ε x = ε 0 + κ z
3. (jednoosiowy stan naprężenia) σ x >> σ y , σ z
Stosowalność hipotezy płaskich przekrojów zależy od prawidłowego połączenia konstrukcyjnego obu materiałów tak, aby spełnić warunki zgodności odkształceń: ε x1 = ε x 2
Z warunków równoważności otrzymujemy:
N=
∫∫σ dF + ∫∫σ
1
F1
M =
∫∫
F1
2 dF
= E1 F1ε 0 +E1S1κ + E2 F2ε 0 + E2 S 2κ = ( E1 F1 + E2 F2 )ε 0 + ( E1S1 + E2 S 2 )κ
F2
σ 1 zdF +
∫∫
.
σ 2 zdF = E1S1ε 0 +E1 J1κ + E2 S 2ε 0 + E2 J 2κ = ( E1S1 + E2 S 2 )ε 0 + ( E1 J1 + E2 J 2 )κ
F2
Poszukujemy takiej osi y*, aby ( E1Sˆ1 + E2 Sˆ2 ) = 0 , gdzie daszek oznacza moment statyczny liczony względem nowej osi. Niech odległość nowej osi od osi głównej centralnej wynosi
zw (zgodnie ze zwrotem osi z). Z twierdzenia Steinera: Sˆ = S − Fz0 , otrzymujemy:
E1 S1 − E1 F1 z 0 + E 2 S 2 − E 2 F2 z 0 = 0 ⇒
zw =
E1 S1 + E 2 S 2
E1 F1 + E 2 F2
Tę nową oś wraz z osią symetrii będziemy nazywać osiami ważonymi. Równania równowagi, zapisane względem układu osi ważonych, przyjmują postać:
N = ( E1 F1 + E 2 F2 )ε 0 , Mˆ = ( E1 Jˆ1 + E 2 Jˆ 2 )κ
gdzie daszek ^ oznacza wielkości liczone względem osi ważonej. Jak widać, przyjęcie układu
związanego z osiami ważonymi umożliwia separację rozciągania i zginania. Oś ważona y*
(zginania) określa włókna przekroju, których odkształcenie liniowe (wydłużenie lub skrócenie
względne) zależy jedynie od siły podłużnej, a ich krzywizna — od momentu zginającego.
Wprowadźmy definicje ważonych charakterystyk geometrycznych:
E1
≡ n,
E2
F ∗ ≡ nF1 + F2 ,
S ∗ ≡ nS1 + S 2 ,
J ∗ ≡ nJˆ1 + Jˆ 2
Adam Zaborski – belki złożone i zespolone
gdzie wagi odnoszą się do modułów Younga.
Położenie osi ważonej możemy teraz zapisać: z w =
N = ε 0 F ∗ E2 ,
Mˆ = κ J ∗ E 2 ,
S∗
F∗
, a warunki równoważności:
gdzie Mˆ = M − Nz w
Obliczamy parametry rozkładu odkształceń:
ε 0=
N
E2 F
∗
, κ =
Mˆ
∗
E2 J
⇒
,
ε x=
1
E2
 N
Mˆ

+
 F∗ J∗


z


oraz naprężenia wraz z położeniem osi obojętnej:
 N
Mˆ

σ 1= E1ε = n ∗ + ∗ z  = nσ 2
J 
F
σ 2 = E 2ε =
N
F
∗
+
Mˆ
J∗
z
Równanie osi obojętnej ma postać:
σ x = 0 ⇒ ε x = 0 ⇒ z0 = −
N J∗
(= 0 dla N = 0) .
Mˆ F ∗
W powyższych wzorach z jest mierzone od osi ważonej.
Obliczając rozkład naprężenia w przekroju zespolonym, możemy zastąpić przekrój rzeczywisty przekrojem sprowadzonym, w którym szerokość części wykonanej z materiału 1 powiększamy n-krotnie.
Jest to sposób zalecany przez normę międzynarodową Eurocode.
Przykład
Określić rozkład naprężenia dla belki o przekroju jak na rysunku, obciążonym N = 500
kN (rozciąganie) oraz M = 490.5 kNm (dolne włókna rozciągane), dla danych:
-10
2
20
-36
1
0.2
-4
oś ob.
y*
0.0636
0.339
55 cm
y
z
0.211
109
1. stal St3S, E = 210 GPa, h = 55 cm, Jy = 99180 cm4, F = 213 cm2,
2. beton B20, E = 23 GPa, F = 400 cm2.
Rozwiązanie:
Obliczamy: n = E1/E2 = 9.13,
oś ważona: z* = (9.13•0.0213•0.275+0.04•0.65)/(9.13•0.0213+0.04) = 0.339 m
oś geometryczna: zgeom = (0.0213•0.275+0.04•0.65)/(0.0213+0.04) = 0.520 m
charakterystyki ważone:
Adam Zaborski – belki złożone i zespolone
F* = 9.13•0.0213+0.04 = 0.2345 m2
J* = 9.13•[9.918•10-4+0.0213•(0.339-0.275)2]+0.24/12+0.04•(0.65-0.339)2 = 0.01385 m4
redukcja momentu do osi ważonej z: M̂ = 490.5 - 500•(0.52 - 0.339) = 400 kNm
naprężenia:
σ1 = 19.5 + 263.7z,
σ1 (-0.211) = -36.2 MPa,
σ1 (0.339) = 108.9 MPa
σ2 = 2.13 + 28.9z,
σ2 (-0.411) = -9.7 MPa,
σ2 (-0.211) = -4.0 MPa
Rozkład naprężeń normalnych w przekroju zespolonym przedstawia rysunek.