Technika regulacji automatycznej 0.5cm Wykład 2

Technika regulacji automatycznej 0.5cm Wykład 2

Technika regulacji automatycznej
Wykład 2
Wojciech Paszke
Instytut Sterowania i Systemów
Informatycznych,
Uniwersytet Zielonogórski
1 z 56
Plan wykładu
Schematy strukturalne
Podstawowe operacje na schematach blokowych
Przykłady
Podstawowe człony dynamiczne
2 z 56
Plan wykładu
Schematy strukturalne
Podstawowe operacje na schematach blokowych
Przykłady
Podstawowe człony dynamiczne
2 z 56
Plan wykładu
Schematy strukturalne
Podstawowe operacje na schematach blokowych
Przykłady
Podstawowe człony dynamiczne
2 z 56
Plan wykładu
Schematy strukturalne
Podstawowe operacje na schematach blokowych
Przykłady
Podstawowe człony dynamiczne
2 z 56
Schematy strukturalne
• W przypadku opisu złożonych układów dynamicznych, należy
zwrócić uwagę na interpretację fizyczną zjawisk przebiegających
w badanym układzie
• Złożony układ dynamiczny opisany jest skomplikowaną
transmitancją dlatego wygodniej jest operować schematem
strukturalnym
• Schemat strukturalny można uzyskać w sposób analityczny na
podstawie równań operatorowych ukłądu bądź w wyniku badań
eksperymentalnych
• Schemat strukturalny jest równoważny równaniom opisującym
układ dynamiczny
3 z 56
Podstawowe elementy schematu strukturalnego
• element dynamiczny
• węzeł sumacyjny
u(s)
y (s)
G (s)
u1
+
++
y = u1 + u2
u2
• węzeł zaczepowy
u
u
u
4 z 56
Przekształcanie schematów strukturalnych
•
Sposoby przekształcania (upraszczania) schematów
strukturalnych
1.
2.
3.
4.
metoda
metoda
metoda
metoda
krok po kroku
przekształcania równań opisujących układ fizyczny
mnemotechniczna
Masona
•
Metody mnemotechniczna i Masona można stosować do
ograniczonej klasy układów
• Metoda krok po kroku jest metodą uniwersalną – można ją
stosować do upraszczania dowolnego schematu strukturalnego
• Przekształcania schematu strukturalnego jest równoważne
przekształcaniu ukłądu równań opisujących ten układ
• Przekształccanie schematu może prowadzić do:
1. zmiany układu połączeń elementów
2. uproszczenia schematu
5 z 56
Podstawowe operacje na schematach blokowych
Połączenie szeregowe
U(s)
Y (s)
G1 (s)
G2 (s)
⇓
U(s)
Y (s)
G (s)
Transmitancja zastępcza
G (s) = G1 (s)G2 (s)
6 z 56
Połączenie równoległe
G2 (s)
U(s)
+
G1 (s)
⇓
U(s)
Y (s)
G (s)
Transmitancja zastępcza
7 z 56
G (s) = G1 (s) + G2 (s)
Y (s)
Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym
+
G1 (s)
±
U(s)
Y (s)
G2 (s)
⇓
U(s)
Y (s)
G (s)
Transmitancja zastępcza
G (s) =
8 z 56
G1 (s)
1 ∓ G1 (s)G2 (s)
Zmiana kolejności węzłów zaczepowych
u
u
u
u
9 z 56
⇒
u
u
u
u
Zmiana kolejności węzłów sumacyjnych
u1 + +
±
u2
10 z 56
+
+ ±
u4
u3
⇒ u1
u2
+
+ ±
+
+ ±
u4
u3
Łączenie/rozdzielanie węzłów zaczepowych
u
u
u
u
11 z 56
u
⇒
u
u
u
Łączenie/rozdzielanie węzłów sumujących
u3
u1
+ +±
u2
12 z 56
±
++
u3
u4
⇒
u1
±
++±
u2
u4
Przesuwanie węzła zaczepowego przed sumujący
u1
u3
13 z 56
±
+
±
u3
u2
u1
⇒
±
u3 ±
+
±
+
±
u3
u2
Przesuwanie węzła sumującego przed zaczepowy
u1
u2
14 z 56
±
+
±
u3
u1
u1
⇒
u2
±
+
u3
±
±
±
+
u1
Przesuwanie węzłów zaczepowych
u
G (s)
y
u
15 z 56
u
⇒
y
G (s)
1
G (s)
u
Przesuwanie węzłów zaczepowych – cd
u
y
16 z 56
G (s)
y
u
⇒
y
G (s)
G (s)
y
Przesuwanie węzłów sumacyjnych
u1 ±
u2
17 z 56
+
±
G (s)
y
u1
⇒
u2
G (s)
G (s)
±
+
±
y
Przesuwanie węzłów sumacyjnych – cd
u1
G (s)
±
+
±
18 z 56
u1 ±
y
u2
⇒
+
±
y
G (s)
1
G (s)
u2
Przykłady
Przykład 1
Wyznaczyć transmitancję zastępczą poniższego układu
172
173
19 z 56
174
Rozwiązanie
1. rozdzielamy węzeł zaczepowy 172 i liczymy transmitancję połączenia z
pełnym sprzężeniem zwrotnym
2. przesuwamy węzeł zaczepowy 172 i liczymy transmitancję połączenia
szeregowego
3. łączymy węzły zaczepowe 173 i 174, a następnie je rozdzielamy
4. liczymy transmitancję połączenia ze sprzężęniem zwrotnym, a następnie
połączenia szeregowego
5. rozdzielamy węzeł zaczepowy 174 i liczymy transmitancję połączenia z
pełnym sprzężeniem zwrotnym
6. wyznaczamy transmitancję zastępczą układu poprzez wyznaczenie
transmitancji połączenia ze sprzężenim zwrtotnym
20 z 56
Przykład 2
Wyznaczyć transmitancję zastępczą poniższego układu
172
21 z 56
173 174
Rozwiązanie
1. przesuwamy węzeł zaczepowy 172
za transmitancję G2
2. przesuwamy węzeł sumacyjny 173 przed transmitancję G1 i łączymy
węzły sumacyjne
3. liczymy transmitancję połączenia szeregowego
4. rozdzielamy węzeł sumacyjny 174’
5. liczymy transmitancję połączenia ze sprzężeniem zwrotnym
6. liczymy transmitancję połączenia równoległego
7. wyznaczamy transmitancję zastępczą układu poprzez wyznaczenie
transmitancji połączenia szeregowego
22 z 56
Podstawowe człony dynamiczne
23 z 56
Człon proporcjonalny
•
Równanie w dziedzinie czasu
y (t) = Ku(t)
•
Transmitancja
Y (s) = KU(s) ⇒ G (s) =
G (s) = K
•
Transmitancja widmowa
G (jω) = K
•
Przykład: G (s) = 2
24 z 56
Y (s)
=K
U(S)
Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b)
(a)
(b)
Impulse Response
3
1
2.5
0.5
Amplitude
Amplitude
Step Response
2
1.5
1
0
25 z 56
0
−0.5
0.2
0.4
0.6
Time (sec)
0.8
1
−1
0
0.2
0.4
0.6
Time (sec)
0.8
1
Charakterystyki Bodego
Bode Diagram
Magnitude (dB)
7.5
7
6.5
6
5.5
Phase (deg)
5
1
0.5
0
−0.5
−1
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
26 z 56
Charakterystyka Nyquista
Nyquist Diagram
1
Imaginary Axis
0.5
0
−0.5
−1
−1
27 z 56
−0.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
2
2.5
3
Człon inercyjny I rzędu
• Równanie różniczkowe
T
dy (t)
+ y (t) = Ku(t)
dt
• Transmitancja
G (s) =
K
1 + Ts
• Transmitancja widmowa
G (jω) =
K
1 + jT ω
• Przykład: zbiornik zasilany cieczą o swobodnym wypływie
28 z 56
Przykład: G (s) =
1
1 + 0.1s
Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b)
(a)
(b)
Impulse Response
1
10
0.8
8
Amplitude
Amplitude
Step Response
0.6
6
0.4
4
0.2
2
0
0
29 z 56
0.1
0.2
0.3
Time (sec)
0.4
0.5
0.6
0
0
0.1
0.2
0.3
Time (sec)
0.4
0.5
0.6
Charakterystyki Bodego
Bode Diagram
Magnitude (dB)
0
−10
−20
−30
Phase (deg)
−40
0
−45
−90
−1
10
30 z 56
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
Charakterystyka Nyquista
Nyquist Diagram
Imaginary Axis
0.5
0
−0.5
−1
−0.5
0
Real Axis
0.5
1
Ćwiczenie
Wykreślić charakterystyki czasowe i częstotliwościowe dla systemu
G (s) =
31 z 56
1
1 − 0.1s
Człon inercyjny II rzędu
• Równanie różniczkowe
T1 T2
d 2 y (t)
dy (t)
+ (T1 + T2 )
+ y (t) = Ku(t)
dt
dt
• Transmitancja
G (s) =
K
(1 + T1 s)(1 + T2 s)
• Transmitancja widmowa
G (jω) =
K
(1 + jT1 ω)(1 + jT2 ω)
• Przykład: dwa zbiorniki połączone ze sobą, ciecz wpływa do
pierwszego zbiornika i swobodnie wypływa z drugiego zbiornika
32 z 56
Przykład: G (s) =
2
(1 + 0.1s)(1 + s)
Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b)
(a)
(b)
Step Response
Impulse Response
1.6
2
1.4
1.2
Amplitude
Amplitude
1.5
1
1
0.8
0.6
0.4
0.5
0.2
0
0
33 z 56
1
2
3
Time (sec)
4
5
6
0
0
1
2
3
Time (sec)
4
5
6
Charakterystyki Bodego
Bode Diagram
Magnitude (dB)
20
0
−20
−40
−60
−80
Phase (deg)
−100
0
−45
−90
−135
−180
−2
10
34 z 56
−1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
Charakterystyka Nyquista
Nyquist Diagram
1.5
Imaginary Axis
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1
35 z 56
−0.5
0
0.5
Real Axis
1
1.5
2
Człon oscylacyjny
• Równanie różniczkowe
T2
d 2 y (t)
dy (t)
+ 2ξ T
+ y (t) = Ku(t)
dt
dt
gdzie T – stała czasowa, ξ – współczynnik tłumienności,
K – wzmocnienie
• Transmitancja
G (s) =
K
T 2 s 2 + 2ξ Ts + 1
• Transmitancja widmowa
G (jω) =
• Przykład: układ obrotowy
36 z 56
K
1 − T 2 ω 2 + j2ξ T ω
Przykład: G (s) =
2
s 2 + 0.2s + 1
Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b)
(a)
(b)
Step Response
Impulse Response
3.5
2
3
1.5
1
Amplitude
Amplitude
2.5
2
1.5
1
37 z 56
0
−0.5
0.5
0
0
0.5
−1
10
20
30
Time (sec)
40
50
60
−1.5
0
10
20
30
Time (sec)
40
50
60
Charakterystyki Bodego
Bode Diagram
Magnitude (dB)
40
20
0
−20
Phase (deg)
−40
0
−45
−90
−135
−180
−1
10
38 z 56
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
Charakterystyka Nyquista
Nyquist Diagram
15
Imaginary Axis
10
5
ω = −∞
0
ω=∞
ω=0
0
Real Axis
2
−5
−10
−15
−6
−4
−2
4
6
Ćwiczenie
Wykreślić charakterystyki częstotliwościowe dla systemu z poprzedniego
zadania dla ξ = 0.1, 0.5, 1, 5
39 z 56
Człon różniczkujący (idealny)
• Równanie różniczkowe
y (t) = Td
du(t)
dt
gdzie Td – stała czasowa
• Transmitancja
• Transmitancja widmowa
• Przykład: G (s) = 2s
40 z 56
G (s) = Td s
G (jω) = jTd ω
Charakterystyki Bodego
Bode Diagram
Magnitude (dB)
30
25
20
15
10
Phase (deg)
5
91
90.5
90
89.5
89
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
41 z 56
Charakterystyka Nyquista
Nyquist Diagram
10
ω=∞
Imaginary Axis
5
0
ω=0
−5
−10
−1
ω = −∞
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
Real Axis
0
0.2
0.4
Ćwiczenie
Wykreślić charakterystyki czasowe idealnego członu różniczkującego
42 z 56
Człon całkujący (idealny)
• Równanie różniczkowe
Ti
dy (t)
= Ku(t)
dt
gdzie Ti – stała czasowa
• Transmitancja
G (s) =
K
Ti s
• Transmitancja widmowa
G (jω) = −j
• Przykład: G (s) =
43 z 56
2
0.1s
K
Ti ω
Charakterystyki Bodego
Bode Diagram
Magnitude (dB)
30
25
20
15
10
Phase (deg)
5
−89
−89.5
−90
−90.5
−91
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
44 z 56
Charakterystyka Nyquista
Nyquist Diagram
10
ω=0
8
Imaginary Axis
6
4
2
ω = −∞
0
ω=∞
−2
−4
−6
−8
−10
−1
ω=0
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
Real Axis
0
0.2
0.4
Ćwiczenie
Wykreślić charakterystyki czasowe idealnego członu całkującego
45 z 56
Człon opóźniający
• Równanie różniczkowe
y (t) = u(t − T0 )
gdzie T – stała czasowa
• Transmitancja
• Transmitancja widmowa
G (s) = e −sT0
G (s) = e −jωT0
• Przykład: transport substancji
46 z 56
Przykład: G (s) = e −0.1s
Charakterystyki Bodego
Bode Diagram
Magnitude (dB)
1
0.5
0
−0.5
Phase (deg)
−1
0
−45
−90
−135
−15
10
47 z 56
−10
−5
10
10
Frequency (rad/sec)
0
10
Charakterystyka Nyquista
Nyquist Diagram
1
Imaginary Axis
0.5
0
−0.5
−1
−1
−0.5
0
Real Axis
0.5
1
Ćwiczenie
Wykreślić charakterystyki czasowe członu opóźniającego. Wykorzystać
właściwości przekształcenia Laplace’a
48 z 56
Człon całkujący (rzeczywisty)
• Równanie różniczkowe
T
d 2 y (t) dy (t)
+
= Ku(t)
dt 2
dt
gdzie T – stała czasowa
• Transmitancja
G (s) =
K
s(Ts + 1)
• Transmitancja widmowa
G (s) =
−KT ω − jK
T 2ω 3 − ω
• Przykład: zlinearyzowany model silnika prądu stałego
49 z 56
Przykład: G (s) =
2
s(0.1s+1)
Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b)
(a)
(b)
Impulse Response
Step Response
2
3000
1.8
2500
1.6
1.4
Amplitude
Amplitude
2000
1500
1.2
1
0.8
1000
0.6
0.4
500
0.2
0
0
500
1000
Time (sec)
50 z 56
1500
0
0
0.1
0.2
0.3
Time (sec)
0.4
0.5
0.6
Charakterystyki Bodego
Bode Diagram
Magnitude (dB)
50
0
−50
Phase (deg)
−100
−90
−135
−180
−1
10
51 z 56
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
Charakterystyka Nyquista
Nyquist Diagram
10
ω=0
8
Imaginary Axis
6
4
ω = −∞
2
0
ω=∞
−2
−4
−6
ω=0
−8
−10
−1
52 z 56
−0.8
−0.6
−0.4
Real Axis
−0.2
0
Człon różniczkujący (rzeczywisty)
• Równanie różniczkowe
T
dy (t)
du(t)
+ y (t) = K
dt
dt
gdzie T – stała czasowa
• Transmitancja
G (s) =
Ks
Ts + 1
• Transmitancja widmowa
G (s) =
K ω 2 + jK ω
1 − T 2ω 2
• Przykład: model transformatora w biegu jałowym
53 z 56
Przykład: G (s) =
2s
0.1s+1
Charakterystyki czasowe: skokowa (a), impulsowa (b)
(a)
(b)
Step Response
Impulse Response
20
0
18
−20
16
−40
−60
12
Amplitude
Amplitude
14
10
8
−80
−100
−120
6
−140
4
−160
2
−180
0
0
54 z 56
0.1
0.2
0.3
Time (sec)
0.4
0.5
0.6
−200
0
0.1
0.2
0.3
Time (sec)
0.4
0.5
0.6
Charakterystyki Bodego
Bode Diagram
Magnitude (dB)
30
20
10
0
−10
Phase (deg)
−20
90
45
0
−1
10
55 z 56
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10
Charakterystyka Nyquista
Nyquist Diagram
10
Imaginary Axis
5
ω=∞
ω=0
0
ω = −∞
−5
−10
−5
0
5
10
Real Axis
56 z 56
15
20