1 Które z poniższych zdań jest tautologią? (p ⇔ q) ⇒ (∼q ⇔ ∼p) A

1 Które z poniższych zdań jest tautologią? (p ⇔ q) ⇒ (∼q ⇔ ∼p) A

1
A
B
C
D
2
A
B
C
D
3
A
B
C
D
4
A
B
C
D
5
A
B
C
D
6
A
B
C
D
7
A
B
C
D
Które z poniższych zdań jest tautologią?
(p ⇔ q) ⇒ (∼q ⇔ ∼p)
(∼p ∧ q ) ⇒ (p ⇒ q)
(p ⇒ q) ⇒ (∼q ⇒ p)
(∼q ⇒ p) ⇔ (p ⇒ ∼q)
Jeśli zbiór A jest podzbiorem zbioru B, to:
A \ B jest zbiorem pustym
A ∩ B nie może być zbiorem pustym
A ∪ B jest podzbiorem zbioru A
Każdy podzbiór zbioru B jest podzbiorem zbioru A
Jeśli (xA ⇒ x∉B), to prawdziwe jest:
A∩B=A
B\ A=B
A\ B=A
A∪B=A
Które z poniższych zdań nie są tautologiami:
(p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)
∼p ∧ ( q ⇒ p)
(p ∧ q) ∨ (∼q ∧ ∼p)
(p ∨ (∼q)) ∨ p
P(A) to zbiór wszystkich podzbiorów A. Wtedy:
A ⊆ P(A)
A ∈ P(A)
∅ ⊆ P(A)
∅ ∈ P(A)
Które z poniższych działań nie są łączne ?
p♣q≔p∧q
A♣B≔A∪B
p ♣ q ≔ p ∨ ∼q
p♣q≔p⇒q
Dla rodziny zbiorów {Ft}, tT; Ft ⊆ F; zachodzi:
Ft ∩ Fs ≠∅ dla każdych t,s. Wtedy prawdziwe jest:
∀ xF ∃ t T xFt
∃ xF ∃ t T xFt
∃ tT ∀x F xFt
∃ xF ∀ t T xFt
1
8 Po to by do funkcji f: XY istniała funkcja
A 
B 
C
D
A 
B
C
D
A
B 
C 
D
A
B 
C 
D 
A
B 
C 
D 
A
B
C 
D 
A
B 
C
D
odwrotna wystarcza, iż:
A
istnieje relacja odwrotna do f i jest stała
B
istnieje relacja odwrotna do f
C
f jest injekcją i surjekcją
D
relacja odwrotna do f jest funkcją
9 Relacja zdefiniowana na ℤ:
A
B
C 
D 
q R p ⇔ pq jest parzyste
A
jest spójna
B
jest symetryczna
C
jest zwrotna
D
jest przechodnia
10 f: XY jest funkcją i y należy do obrazu zbioru
A
B 
C
D
A
∀ x(X \ A): f(x) ≠ y
B
∃ xA: f(x) = y
C
∀ xA y  f(x)
D
y  f(X)
11 Kawałek dowodu wprost w systemie
A
B 
C
D 
A⊆X., A≠∅. Wtedy na pewno zachodzi:
A
B
C
D
12
A
B
C
D
13
A
B
C
D
założeniowym jest postaci:  (p ∨ r) ⇒ (q ∧ r)
 p.
Czy można udowodnić tezę r ?
Podane zdania prowadzą do sprzeczności, więc
możliwy jest tylko dowód nie wprost
Oczywiście, informacje te wystarczają do
ukończenia dowodu wprost.
Nie wystarcza to do ukończenia dowodu wprost.
Tak, ale musimy założyć  q.
Relacja na ℤ: n R m ⇔ n2 ≤ m2 jest:
liniowego porządku
częściowego porządku
antysymetryczna
zwrotna
Funkcja f: XY spełnia:
∀ A⊆ X, A≠∅: f(A)=f(X). Prawdą jest:
∀ B⊆Y f—1(B) = X
∀ B⊆Y f—1(B) = ∅
∀ B⊆Y, C⊆Y f—1(B) = f—1(C)
∀ B⊆Y (f—1(B) = ∅ ∨ f—1(B) =X)
A
B 
C
D
C
B
D
A 
A
C
B
D 
14 Jeśli dwa zbiory A,B są równoliczne to:
A
jeśli A⊆C⊆B to A i C są równoliczne
B
jeśli A⊆C⊆B to A=C
C
zbiór A\B jest co najwyżej skończony
D
jeśli C⊆A⊆B to C nie może być równoliczny B
15 Następnikiem zbioru X jest X' = X ∪ {X}. Wtedy
20 P(A) oznacza zbiór potęgowy zbioru A. Które z
B 
A
D
C
jest prawdą:
A
( X' = Y' ) ⇔ ( X = Y)
B
Dla dowolnego X, {∅} ∈ X'
C
( X' = Y' )⇒ ( X = Y)
D
x∈ X' ⇒ x∈X
16 Złożenie f°g injekcji f i surjekcji g na pewno
B 
D
A 
C
jest:
A
jest suriekcją
B
nie musi być surjekcją czy injekcją
C
jest bijekcją
D
jest injekcją
17 Zbiór P(P(A)) (zbiór wszystkich podzbiorów
A
B
C
D
18
A
B
C
D
19
A
B
C
D
zbioru wszystkich podzbiorów zbioru A) jest
równoliczny z:
zbiorem wszystkich funkcji z A×Α na {0,1}
zbiorem wszystkich funkcji z A na {0,1}×{0,1}
zbiorem wszystkich funkcji z {0,1} na A×{0,1}
zbiorem wszystkich funkcji z A×{0,1} na {0,1}
Relacja R określona na A×A jest przechodnia.
O R możemy powiedzieć, że:
R2⊆R
jest relacją dobrego porządku
jest antysymetryczna
R2= A×A
Moc zbioru A wynosi α, moc zbioru B wynosi β.
Jaka jest moc zbioru A\B ∪ B\A?
nie da się określić
max(α,β)
(α−β)+ (β−α)
α+β
B
D 
A
C
D
A
C
B
B 
A
C
D
D 
C
B
A
poniższych stwierdzeń są prawdziwe:
A
istnieje injekcja z A w P(A)
B
Jeśli A jest przeliczalny to P(A) jest przeliczalny
C
P(A) jest równoliczny z A
D
Nie istnieje surjekcja z A na P(A)
21 Proszę wskazać które z poniższych zbiorów
A
B
C
D
22
A
B
C
D
23
A
B
C
D
24
A
B
C
D
słów nad alfabetem {a,b}, (ab jest zadanym
porządkiem nad alfabetem), są uszeregowane
zgodnie z porządkiem leksykograficznym.
{aa,aaa,b,baaa,bbaab}
{a,ab,abb,abba,abbab,abbabb}
{b,ba,bbb,bba,bbbb,bbba}
{a,ab,aaa,aaab,aaaaa}
Wskaż prawidłowe zastosowanie reguły
odrywania:
jeśli  jest tezą, oraz ∨ jest tezą to  jest tezą
jeśli , oraz ⇒ są tezami to  jest tezą
jeśli , oraz  są tezami to ⇒ jest tezą
jeśli , oraz ⇒ są tezami to  jest tezą
Wskaż prawidłowy dowód wprost w systemie
założeniowym dla formuły p⇒(q⇒(q ∧ p)):
Nie da się przeprowadzić dowodu
 p;  q;  q ∧ p;
 p;  p ⇒ q;  q;  q ∧ p;
 p ⇒ q;  q;  p;  q ∧ p;
Które z poniższych są drzewami nad
alfabetem {x,y,z}: (-oznacza słowo puste)
{,x,xx,xxy,y,yz,xxxyz}
{,x,xy,yy,yyy,xyx,yyxy}
{,x,xy,xyz,xyzx,xyy,xyx}
{,x,xy,xxx,xxxy}
Imię i nazwisko
KOD
A 
D
C
B 
A 
C 
D
B
D
C
B
A 
D
A 
C
B
A 
D
C 
B