Zadania z kombinatoryki, lista nr 1
Transkrypt
Zadania z kombinatoryki, lista nr 1
28 września 2016 Zadania z kombinatoryki, lista nr 1 1. W sklepie dolarowym każdy z k oferowanych artykułów kosztuje dolara. Na ile sposobów może zrobić zakupy klient dysponujący m dolarami (nie musi wydać wszystkiego)? 2. Z grupy n mężczyzn i n kobiet wybieramy podzbiór liczący tyle samo kobiet i mężczyzn. Następnie w podzbiorze wybieramy przywódcę mężczyzn spośród mężczyzn i przywódcę kobiet spośród kobiet. Rozważając liczbę sposobów na jakie można to uczynić pokaż, że 2 2 2 n n n 2n − 2 12 + 22 + · · · + n2 = n2 1 2 n n−1 3. Rozważając kolorowania k spośród n kulek dwoma kolorami pokaż, że n n n n−1 n n−k k n + + ··· + =2 0 k 1 k−1 k 0 k 4. W koło wpisano n-kąt tak, że żadne trzy jego przekątne nie przecinają się w jednym punkcie wewnątrz koła. Pokaż, że przekątne i boki n-kąta dzielą koło na n n + +1 4 2 obszarów. 5. Niech xk = xk /k!. Udowodnij wzory m + 1 x X x x (a) −k = k m+1 2 2 k:k≤m X a+b b+a (a + b)! (b) (−1)k = a+k b+k a!b! k X b+c c+a (a + b + c)! k a+b (c) (−1) = a!b!c! a+k b+k c+k k X n (−1)k n! (d) = k x+k x(x + 1) · · · (x + n) k 6. Wylicz wartość sum X n (a) k k k X 1 n (b) k+1 k k 7. Udowodnij następujące tożsamości: n X n (a) k2 = n(n + 1)2n−2 k k=1 X n n X (−1)k+1 n 1 = (b) k k k k=1 k=1 n X x y+k x−y−1 k (c) (−1) = n−k k n k=0 Y n n X x n−x x−1 x (d) (−1)k = = (−1)n = 1− k n n k k=0 k=1 x n n y−x X (e) (−1)k k y k = ny (f) k=0 n X k n k (−1)k x+k k k=0 n = x x+n