Zadania z kombinatoryki, lista nr 1

28 września 2016
Zadania z kombinatoryki, lista nr 1
1. W sklepie dolarowym każdy z k oferowanych artykułów kosztuje dolara. Na ile sposobów może
zrobić zakupy klient dysponujący m dolarami (nie musi wydać wszystkiego)?
2. Z grupy n mężczyzn i n kobiet wybieramy podzbiór liczący tyle samo kobiet i mężczyzn. Następnie
w podzbiorze wybieramy przywódcę mężczyzn spośród mężczyzn i przywódcę kobiet spośród kobiet.
Rozważając liczbę sposobów na jakie można to uczynić pokaż, że
2
2
2
n
n
n
2n − 2
12
+ 22
+ · · · + n2
= n2
1
2
n
n−1
3. Rozważając kolorowania k spośród n kulek dwoma kolorami pokaż, że
n n
n n−1
n n−k
k n
+
+ ··· +
=2
0
k
1
k−1
k
0
k
4. W koło wpisano n-kąt tak, że żadne trzy jego przekątne nie przecinają się w jednym punkcie
wewnątrz koła. Pokaż, że przekątne i boki n-kąta dzielą koło na
n
n
+
+1
4
2
obszarów.
5. Niech xk = xk /k!. Udowodnij wzory
m + 1 x X x x
(a)
−k =
k
m+1
2
2
k:k≤m
X
a+b
b+a
(a + b)!
(b)
(−1)k
=
a+k
b+k
a!b!
k
X
b+c
c+a
(a + b + c)!
k a+b
(c)
(−1)
=
a!b!c!
a+k
b+k
c+k
k
X n (−1)k
n!
(d)
=
k x+k
x(x + 1) · · · (x + n)
k
6. Wylicz wartość sum
X n
(a)
k
k
k
X 1 n
(b)
k+1 k
k
7. Udowodnij następujące tożsamości:
n
X
n
(a)
k2
= n(n + 1)2n−2
k
k=1
X
n
n
X
(−1)k+1 n
1
=
(b)
k
k
k
k=1
k=1
n
X
x
y+k
x−y−1
k
(c)
(−1)
=
n−k
k
n
k=0
Y
n
n X
x
n−x
x−1
x
(d)
(−1)k
=
= (−1)n
=
1−
k
n
n
k
k=0
k=1
x
n
n
y−x
X
(e)
(−1)k k y k = ny (f)
k=0
n
X
k
n
k
(−1)k x+k
k
k=0
n
=
x
x+n